含参数的一元二次方程整数解

含参数的一元二次方程整数解

知识定位

对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。

知识梳理

1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：

x=a

ac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)

2、根的判别式

① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：

b 2－4a

c ≥0.

② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：

b 2－4a

c 是完全平方式⇔方程有有理数根.

③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么

③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；

④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a

ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；

⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=

a

c

(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件

整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，

a+b+c=0⇔x 1=1 ，

a －b+c=0⇔x 1=－1.

例题精讲

【试题来源】

【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．

【答案】1；2

【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知

x20- bx0 - 2 = 0, ①

x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②

① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,

②∴b = 2 或x0 = b + 1.

当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;

当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是

公共根x0 =b + 1 = 2.

【知识点】含参数的一元二次方程整数解

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=

【答案】0

【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，

∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。

aS

1993+bS

1992

+cS

1991

=a(x

11993+1993x

2

1993)+b(x

1

1992+1993x

2

1992)+c(x

1

1991+1993x

2

1991)

=(ax

11993+bx

1

1992+cx

1

1991)+(a·1993x

2

1993+b·1993x

2

1992+c·1993x

2

1991)

= x

11991(ax

1

2+bx

1

+c)+1993x

2

1991(ax

2

2+bx

2

+c)

=0。

【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂练习

【难度系数】4

【试题来源】

【题目】已知方程a2x2-(3a2 - 8a)x + 2a2 - 13a + 15 = 0 (其中a 为非负整数) 至少有一个整数根. 那么a =——

【答案】如下

【解析】解：显然a ≠ 0, 故原方程为关于x 的一元二次方程.

因为△ = [-(3a2 - 8a)]2 - 4a2(2a2 - 13a + 15)

= [a(a + 2)]2是完全平方式, 则原方程可用十字相乘

因式分解为: [ax -(2a - 3)][ax-(a - 5)] = 0,

【知识点】含参数的一元二次方程整数解

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根

【答案】m=2

【解析】解：解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得

由于x1，x2是正整数，所以

m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，

解得m=2．这时x1=6，x2=4．