上海市高二第一学期期末考试数学试卷含答案(共3套)

上海市高二第一学期期末考试

数学试卷

（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）

一、

填空题（每小题3分，满分30分，请将正确答案直接填写在相应空格上）

1、计算

=-+i

i

11 。

（i 为虚数单位） 2、已知向量(3,4)a =与(2,0)b =，则a 在b 方向上的投影为_______。

3、过点(1,5)A -,且以(2,1)n =-为法向量的直线的点法向式方程为_______。

4、直线y x m =+被圆22

1x y +=，则m =_______________。

5、已知直线032=++a y ax 和07)1(3=-+-+a y a x 平行，则a =___________。

6、椭圆

22

1259

x y +=上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 最大时点P 的坐标为 。 7、以抛物线x y 162

=的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以(

)

1,3-=

p

、()1,3=

q

为两条渐近线的

法向量的双曲线方程为_______________。

8、如图1，设线段EF 的长度为1，端点F E 、在边长为2的正方形ABCD 的四边上滑动．当F E 、沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 围成的面积为S ，则

=S 。

9、下列四个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ?，则直线l 的倾斜角[

,]44p p

a ?；②直线l ：1y kx =+与以(1,5)A -、(4,2)B -两点为端点的线段相交，则4k ?或3

4

k ?

；③如果实数x y 、满足方程2

2

(2)3x y -+=，那么y

x

的最大值为3；④直线1y kx =+与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则m 的取

值范围是1m ³.其中正确命题的序号是________。

10、如图2，设椭圆17162

2=+y x 的左右焦点分别为21F F 、，过焦点1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若2ABF ∆的内切圆的面积为π，设B A 、两点的坐标分别为),(),(2211y x B y x A 、，则||21y y -值

为 。 二、

选择题（每小题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案）

11、直线3450x y --=的倾斜角为（ ） A. 3arctan

4 B. 3arctan 4π- C. 4arctan 3 D. 4arctan 3

π- 12、已知C z ∈，且1,z i i -=为虚数单位，则35z i --的最大值是 （ ）

A 、5

B 、6

C 、7

D 、8

13、曲线C :(,)0f x y =关于直线:30l x y --=的对称曲线`C 的方程是（ ）

A 、(3,)0f x y -=

B 、(3,)0f y x +=

C 、(3,3)0f y x -+=

D 、(3,3)0f y x +-=

14、已知点A B C 、、是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则关于x 的方程2

0x OA xOB AC ++=的解集为（ ）

A. ∅

B. {}1-

C. ⎪⎪⎩⎭

D.{}1,0- 三、

解答题（共5小题，满分54分，请将解答完成在答题卡方框内，解答要有详细的论证过程与运算

步骤）

15、 （本小题满分10分）

在直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点)0,1(F 的距离与到定直线1:-=x l 的距离相等，记P 的轨迹为Γ．又直线AB 的一个方向向量(1,2)d =且过点)0,1(，若直线AB 与Γ交于B A 、两点，求||AB 的长．

16、 （本小题满分10分）

已知z 是复数，i

z

i z -+33、

均为实数（i 为虚数单位）， （1）求复数z ; (2) 求一个以z 为根的实系数一元二次方程.

17、（本题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足()0AB tOC OC -=，求t 的值。

18、(本题满分12分)

已知等轴双曲线C 的两个焦点1F 、2F 在直线y x =上，线段12F F 的中点是坐标原点，且双曲线经过点

33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

． (1)、若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线C 的方程：①2

2

274

x y -=

； ②9xy =；③9

2

xy =

．请推理判断哪个是等轴双曲线C 的方程，并求出此双曲线的实轴长； (2) 、现要在等轴双曲线C 上选一处P 建一座码头，向()3,3A 、()9,6B 两地转运货物．经测算，从P 到A 、从P 到B 修建公路的费用都是每单位长度a 万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？

19、(本题满分12分)

已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ，短轴两个端点为B A ,，且四边形B AF F 21是

边长为2的正方形. （Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P .证明：

→

→⋅OP OM 为定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.