专题等腰三角形含答案

9、等腰三角形

【知识精读】

（－）等腰三角形的性质

1. 有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

2. 定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定

1. 有关的定理及其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3. 等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

【分类解读】

例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是1 / 9

的中点。BE A

D

1 E

C B

M 1，而∠是等边三角形，∠DBE＝ABC。因为△BC，所以想到连结BD，证BD＝EDABC分析：欲证M是BE 的中点，已知DM⊥21＝E，从而问题得证。ACB，所以∠1＝∠∠由CE＝CD，又可证∠E2 AC的中点ABC是等边

三角形，D是证明：因为三角形1＝1 所以∠ABC

∠2E CDE＝∠＝CD，所以∠又因为CEE 2∠所以∠ACB＝

E

1＝∠即∠M

，垂足为DM⊥BC 所以BD＝BE，又（等腰三角形三线合一定理）BE的中点所以M是

AB?ACAD?DB，DC?CA?ABC?BAC的度数。，D是中，BC如图，已知：例2. 上一点，且，求A

B C

D

AD?DBDCAC?CA?BAC?ABCAB?在题中，但仅靠分析：题中所要求的是无法求出来的。因此需要考虑在和目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。

AB?AC?B??C解：因为，所以?B??DAB??CDB?AD；，所以因为

?CD?CADCA??CDA（等边对等角），所以因为

??B??DAB?ADC而

所以?2，?2?B?DAC??BADC?BAC??3B所以

?B??C??BAC?180又因为

2 / 9

36?180?B???C?3?B?B即所以 108?BAC?即求得

等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。说明1.

本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。?AC，

CD?AB?BAC?ABC?AB2?DCB。已知：如图，。求证：中，于D例3.

A

1 2

D 3 B C

E

?BAC?DCB是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，的关系。

AE?BC AB?AC证明：过点A作E，于1BAC????1?2所以（等腰三角形的三线合一性质）

2 ?1??B?90因为

CD?AB 90??CDB，所以又

?3??B?90所以（直角三角形两锐角互余）

?1??3（同角的余角相等）所以

?2??BACDCB即

说明：作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高

是一条常用的辅助 1.

线；对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，

或构造 2.

DCB?的等角等。“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出

、中考题型：4ACBBD36AACABABC△＝，∠＝°，、∠CEABC，则图中的分别为中，如图，1.的角平分线，且相交于点与∠F3 / 9

）等腰三角形有（ D. 9个 B. 7个 C. 8个A. 6个A 36 ° D

E F C

B

C。分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择ACAB＝ABC AF。分别是垂足。求证：AE＝DF⊥AC，2.）已知：如图，在△E中，、FBC，D是的中点，DE⊥AB， A

E F C

D

B

?AC?B?AB?C因为，所以证明：?ABDE，DF?AC又因为 ?BED??CFD?90所以

DB?DC的中点，所以又D是BC

)DEB?CFD(AAS??所以

BE?CFAE?AF，所以所以??AFD?AED，通过AD 说明：证法二：连结证明即可

5、题形展示：

?ABC 100?，?AAB?AC?ABC中，如图，1. 例。平分，BD?ADBD?BC。求证： A D

1 2 B C

E F

BF?BD?1??2AD?CF，想到在BC分析一：上截取BC从要证明的结论出发，在，只需证明上截取，考虑到4 / 9 BE?BAAD?FDDE?CF，这就要从条件出发，通则有过角，只需证明度计算可以得出，连结DE，易得，CF?DF?DE。BE?BA，BF?BD，连结证明一：在BC上截取DE、DF

?BE，?1??2，BD?BDBAEBD?ABD?中，和在??ABD??EBD(SAS)

80DEF????BED??A?100?AD?DE， 100A?AC， AB??又

1 ??ABC??100C)?40(180??21 20?401??2????2?BDBF而

11 8020??(BDF?180)(180???2)??BFD??

22 ?DE?DF??DFE?80DEF?? 40??DFE?80C，?? 4040C?80????FDC??DFE??

??FDC??C?DF?FC?AD?DE?DF?FC?BC?BF?FC?BD?ADAD?BD?BC即 202??，只BC，由于，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BD分析二：如图，可以考虑延长到E，使DE＝AD 80BCE??E??需

证明 A D E 3 6 4 5 1 2

B F C