保险精算学人寿保险的精算现值
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假定(x)岁的人，保额1元，n年定期两全保险
基本函数关系
vt
vvtn
, ,
tn tn
bt 1, t0
zt btvt vvnt,,ttnn
符号及保费厘定：
A x:n
A1 x:n
Ax:1n
0nvttpx xtdtvnnpx
4.2 死亡年末给付的人寿保险
死亡年末赔付的含义
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件 发生的当年年末给予保险赔付。
记
2Ax
e2t
0
fT(t)dt
所以方差等价为
Va (zt)r2Ax(Ax)2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
vt vt , t0
vt , tm
1 , bt 0,
保险精算学人寿保险的精算现值
第四章 人寿保险的精算现值
4.1 死亡即付的人寿保险 4.2 死亡年末给付的人寿保险 4.3 死亡即付人寿保险与死亡年末付人寿保
险的精算现值的关系 4.4 递增型人寿保险与递减型人寿保险
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期寿险
1
A x:n
趸缴纯保费厘定：
A x :1 n E (zt) v nnp x e nnp x
现值随机变量的方差：
Var(zt)v2nnpx (vnnpx)2
21
Ax:n
1
(Ax:n
)2
➢ n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保 险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在 第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期 寿险的组合。
由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末， 所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它 距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时 的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年 龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死 亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时 通常先假定的理赔方式。
死亡年末给付的计算原理同死亡即刻给付 4.2.1 定期寿险 4.2.2 终身寿险 4.2.3 两全保险 4.2.4 延期寿险
一年递增无穷次（连续递增）：
对于递增的n年定期寿险，只需将积分上限换成n即可。
2.死亡年度末给付的递增型终身寿险的趸缴纯保 费
相应地，对于n年定期保险，有
4.4.2 递减型寿险 1.立即给付型递减型寿险（n年定期寿险为例）
2. 死亡年末给付型递减型寿险（n年定期寿险为例）
4.4.3 两类精算现值的换算
延期m年的终身寿险/延期m年的n年定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险
4.1.2 n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付 保险金的险种，又称为n年死亡保险。
假定：( x )岁的人，保额1元n年定期寿险 基本函数关系
vt vt , t0
vt , tn
tm tm
zt
btvt 0,
tm
符号： m A x
厘定：
m|Ax
vt
m
fT
t
dt
et
m
fT
t
dt
延期m年的n年定期寿险：
A m| x:n m mnvt fT t dt
e mn t
m
t
px
xtdt
(为常数时)
0 m n e ttp xx td t0 m e ttp xx td t
保险精算
第五章 年金的精算现值
第五章 年金的精算现值
5.1 生存年金的概念 5.2 连续给付型生存年金 5.3 离散型生存年金 5.4 每年给付数次的生存年金
5.1 生存年金的概念
5.1.1 生存年金的概念
生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定
的金额以连续方式或以一定的周期进行一系列给付的保险， 且每次年金给付必须以年金受领人生存为条件。
5.1.2 生存年金精算现值的概念
又称为生பைடு நூலகம்年金的趸缴纯保费，使依赖于剩余寿命确 定年金的数学期望值。
计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法
现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时的现值， 再将所有的现值相加或积分。
4.1.5 生存保险与两全保险的趸缴纯保费 ➢ n 年定期生存保险
定义 被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末 支付保险金的保险。
假定: (x)岁的人，保额1元，n年定期生存保险 基本函数关系
vt vn , t0
vn , tn
1, tn bt 0, tn
zt
btvt
0
,
tn
符号：
记
2A1 x:n
ne2t
0
fT(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Va(ztr)2Ax1:n(Ax1:n)2
4.1.3 终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给 付保险金的险种。
假定：( x )岁的人，保额1元终身寿险 基本函数关系
1, tn bt 0, tn
zt
btvt
0
,
tn
A 符号：
1 x :n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt) 0 zt fT(t)dt
nvt 0
t
px
xtdt0nett px
xtdt
方差公式：
V ( z ta ) E ( r z t 2 ) E ( z t) 2 0 n e 2 tfT ( t) d E t ( z t) 2
延期m年的终身寿险
延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年两全保险
4.3 死亡即付人寿保险与死亡年末副人寿 保险的精算现值的关系
UDD假设下死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年 末赔付净趸缴纯保费的 i 倍。
4.4 递增型人寿保险与递减型人寿保险
4.4.1 递增型寿险
1.死亡时立即给付的递增型终身寿险的趸缴纯保费 一年递增一次： 一年递增m次：
vt vt , t0 bt 1, t0
zt btvt vt
,
t0
符号： A x
厘定：
Ax E(zt) 0 zt fT(t)dt
vt
0
t
px
xtdt
et
0
t
px
xtdt
方差公式
V a r ( z t) E ( z t 2 ) E ( z t) 2 0 e 2 tfT ( t) d t E ( z t) 2
基本函数关系
vt
vvtn
, ,
tn tn
bt 1, t0
zt btvt vvnt,,ttnn
符号及保费厘定：
A x:n
A1 x:n
Ax:1n
0nvttpx xtdtvnnpx
4.2 死亡年末给付的人寿保险
死亡年末赔付的含义
死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件 发生的当年年末给予保险赔付。
记
2Ax
e2t
0
fT(t)dt
所以方差等价为
Va (zt)r2Ax(Ax)2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
vt vt , t0
vt , tm
1 , bt 0,
保险精算学人寿保险的精算现值
第四章 人寿保险的精算现值
4.1 死亡即付的人寿保险 4.2 死亡年末给付的人寿保险 4.3 死亡即付人寿保险与死亡年末付人寿保
险的精算现值的关系 4.4 递增型人寿保险与递减型人寿保险
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定
n年期定期寿险 终身寿险 延期寿险
1
A x:n
趸缴纯保费厘定：
A x :1 n E (zt) v nnp x e nnp x
现值随机变量的方差：
Var(zt)v2nnpx (vnnpx)2
21
Ax:n
1
(Ax:n
)2
➢ n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保 险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在 第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期 寿险的组合。
由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末， 所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它 距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时 的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年 龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死 亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时 通常先假定的理赔方式。
死亡年末给付的计算原理同死亡即刻给付 4.2.1 定期寿险 4.2.2 终身寿险 4.2.3 两全保险 4.2.4 延期寿险
一年递增无穷次（连续递增）：
对于递增的n年定期寿险，只需将积分上限换成n即可。
2.死亡年度末给付的递增型终身寿险的趸缴纯保 费
相应地，对于n年定期保险，有
4.4.2 递减型寿险 1.立即给付型递减型寿险（n年定期寿险为例）
2. 死亡年末给付型递减型寿险（n年定期寿险为例）
4.4.3 两类精算现值的换算
延期m年的终身寿险/延期m年的n年定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险
4.1.2 n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付 保险金的险种，又称为n年死亡保险。
假定：( x )岁的人，保额1元n年定期寿险 基本函数关系
vt vt , t0
vt , tn
tm tm
zt
btvt 0,
tm
符号： m A x
厘定：
m|Ax
vt
m
fT
t
dt
et
m
fT
t
dt
延期m年的n年定期寿险：
A m| x:n m mnvt fT t dt
e mn t
m
t
px
xtdt
(为常数时)
0 m n e ttp xx td t0 m e ttp xx td t
保险精算
第五章 年金的精算现值
第五章 年金的精算现值
5.1 生存年金的概念 5.2 连续给付型生存年金 5.3 离散型生存年金 5.4 每年给付数次的生存年金
5.1 生存年金的概念
5.1.1 生存年金的概念
生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定
的金额以连续方式或以一定的周期进行一系列给付的保险， 且每次年金给付必须以年金受领人生存为条件。
5.1.2 生存年金精算现值的概念
又称为生பைடு நூலகம்年金的趸缴纯保费，使依赖于剩余寿命确 定年金的数学期望值。
计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法
现时支付法是将时刻t的年金给付额折现至签单时的现值， 再将所有的现值相加或积分。
4.1.5 生存保险与两全保险的趸缴纯保费 ➢ n 年定期生存保险
定义 被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末 支付保险金的保险。
假定: (x)岁的人，保额1元，n年定期生存保险 基本函数关系
vt vn , t0
vn , tn
1, tn bt 0, tn
zt
btvt
0
,
tn
符号：
记
2A1 x:n
ne2t
0
fT(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Va(ztr)2Ax1:n(Ax1:n)2
4.1.3 终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给 付保险金的险种。
假定：( x )岁的人，保额1元终身寿险 基本函数关系
1, tn bt 0, tn
zt
btvt
0
,
tn
A 符号：
1 x :n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt) 0 zt fT(t)dt
nvt 0
t
px
xtdt0nett px
xtdt
方差公式：
V ( z ta ) E ( r z t 2 ) E ( z t) 2 0 n e 2 tfT ( t) d E t ( z t) 2
延期m年的终身寿险
延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年两全保险
4.3 死亡即付人寿保险与死亡年末副人寿 保险的精算现值的关系
UDD假设下死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年 末赔付净趸缴纯保费的 i 倍。
4.4 递增型人寿保险与递减型人寿保险
4.4.1 递增型寿险
1.死亡时立即给付的递增型终身寿险的趸缴纯保费 一年递增一次： 一年递增m次：
vt vt , t0 bt 1, t0
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,
t0
符号： A x
厘定：
Ax E(zt) 0 zt fT(t)dt
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方差公式
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