2018年江苏省南京市高考数学一模试卷

合集下载

高三数学-2018年南京市高三第一次质量检测精品

2018年南京市高三第一次质量检测数学 2018.2一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．（1）与向量(12,5)a =平行的单位向量为（）A ．125(,)1313-B ．125(,)1313--C ．125(,)1313或125(,)1313--D ．125(,)1313±±（2）函数2log (2)y x =+的定义域为（）A.．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(,1][3,)-∞-+∞ C ．(2,1]-- D ．(2,1][3,)--+∞ （3）已知样本:10 8 6 10 13 8 10 12 11 78 9 11 9 12 9 10 11 12 12那么频率为0.3的范围是（）A ．5.5~7.5B ．7.5~9.5C ．9.5~11.5D ．11.5~13.5 （4）已知直线m 、n 和平面α，则m ∥n 的一个必要条件是（）A ．m ∥α，n ∥α Ｂ．m ⊥α，n ⊥α C ．m ∥α，n ⊂α D ．m 、n 与α成等角（5）若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是（）A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0(（6）设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（）A B C D （7）若函数y =f (x ) (x ∈R )满足f (x +2)=f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )=|x |．则函数y =f (x )的图象与函数y =log 4|x |的图象的交点的个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．8（8）已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是7(,4)2A ，则||||PA PM +的最小值是（） A ．112 B ．4 C ．92D ．5（9）已知函数()y f x =的图象与函数21x y -=-的图象关于直线y x =对称，则(3)f 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（10）能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值为（）A ．2C ．3 D．（11）关于x 的不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集是（） A ．(-∞,-1)∪(2,+∞) B ．(-1,2) C ．(1,2) D ．(-∞,1)∪(2,+∞)（12）由0，1，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（）A.180B.196C.210D.224第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）如图，已知点E 是棱长为2的正方体1AC 的棱1AA 的中点，则点A 到平面EBD 的距离等于_____________．（14）若123n a n =++++ ，则数列1{}na 的前n 项和n S =_____________．（15）已知1sincos,222θθ+=则cos 2θ= ．（16）有两个向量1(1,0)e = ，2(0,1)e =，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12e e + 相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e +；另一动点Q ，1A 1B 1C 1D DC BAE从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e + 相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥ 时，t = 秒．三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)某厂生产的A 产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A 产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A 产品中有2件次品．（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．(18)(本小题满分12分)已知偶函数f (x )=cos θsin x －sin(x －θ)+(tan θ－2)sin x －sin θ的最小值是0，求f (x )的最大值及此时x 的集合．(19) (本小题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AB AC AA ==，90BAC ∠=，D 为棱1BB 的中点．（Ⅰ）求异面直线1C D 与1AC 所成的角；（Ⅱ）求证：平面1A DC ⊥平面ADC ．(20) (本小题满分12分)已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行．（I ）求f (x )的解析式；（II ）求函数g (x )=f (x 2)的单调递增区间 (21) (本小题满分12分)等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==．A CB A 1C 1B 1D（1）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b 的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项，并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由． (22)(本小题满分14分)如图，已知过点D (2,0)-的直线l 与椭圆2212xy +=交于不同的两点A 、B ，点M 是弦AB 的中点．（Ⅰ）若O P O A O B =+，求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）求||||MD MA 的取值范围．2018年南京市高三数学第一次质量检测参考解答及评分标准一、选择题：每小题5分，满分60分．(1)C (2)D (3) B (4)D (5) B (6) B (7)C (8)C (9)D (10)C (11)A (12)C 二、填空题：每小题4分，满分16分．(14)21n n +； (15)18-； (16)2．三、解答题（17）(本小题满分12分)解: (1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为410C 种，……………………1＇其中次品数不超过1件有431882C C C +种，…………………………………………………2＇被检验认为是合格的概率为431882410C C C C +……………4＇（本步正确，对上两步不作要求）1315=．……………………………………………………6＇ (2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，…………………………………………7＇因两次检验得出该盒产品合格的概率均为1315，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为121313C (1)1515⋅⋅-…………………………………10＇ 52225=．…………………………………………11＇答：该盒产品被检验认为是合格的概率为1315；两次检验得出的结果不一致的概率为52225．…………………………………………………………………………………………………12＇说明：两小题中没有简要的分析过程，各扣1分．（18）(本小题满分12分)解：f (x )=cos θsin x －(sin x cos θ－cos x sin θ)+(tan θ－2)sin x －sin θ=sin θcos x +(tan θ－2)sin x －sin θ．……………………………………………………1'因为f (x )是偶函数，所以对任意x ∈R ，都有f (－x )=f (x )，……………………………………………………2' 即sin θcos(－x )+(tan θ－2)sin(－x )－sin θ=sin θcos x +(tan θ－2)sin x －sin θ, 即(tan θ－2)sin x =0，所以tan θ=2．……………………………………………………………………………5'由22sin cos 1,sin 2,cos θθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩…………………………………………………………………6'解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==；，55cos 552sin θθ 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.55cos 552sin θθ，……………………………………………………………………8' 此时，f (x )=sin θ(cos x －1).当sin θ=552时，f (x )=552(cos x －1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；.……9' 当sin θ=552-时，f (x )=552-(cos x －1)最小值为0，当cos x =－1时，f (x )有最大值为554,…………………………………………11' 自变量x 的集合为{x |x =2k π+π,k ∈Z }．.…………………………………………………12'（19）(本小题满分12分) 解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB a =，则11(0,0,2),(0,,0),(0,,2),(,0,)A a C a C a a D a a ，于是11(,,),(0,,2)C D a a a AC a a =--=-．x111111cos ,||||C D A C C D A C C D A C ⋅<>=⋅2215==，∴异面直线1C D 与1AC所成的角为15．（Ⅱ）1(,0,),(,0,),(0,,0)A D a a AD a a AC a =-==，221100,0A D AD a a A D AC ∴⋅=+-=⋅=.则11,A D AD A D AC ⊥⊥．1A D ∴⊥平面ACD ．又1A D ⊂平面1ACD ， ∴ 平面1A DC ⊥平面ADC ．解法二：（Ⅰ）连结1AC 交1AC 于点E ，取AD 中点F ，连结EF ，则EF ∥1C D ．∴直线EF 与C A 1所成的角就是异面直线1C D 与1AC 所成的角．设AB a =，则1C D== ，1AC ==．AD ==．CEF ∆中，1122CE AC ==，1122EF C D ==，直三棱柱中，90BAC ∠= ，则AD AC ⊥．2CF ===．ACBA 1C 1B 1 D FE…………2'…………4'…………12'…………11' …………10' …………7'…………6'222222533cos21522a a aCE EF CFCEFCE EF+-+-∠===⋅，∴异面直线1C D与1AC所成的角为15．（Ⅱ）直三棱柱中，90BAC∠= ，AC∴⊥平面11ABB A．则1AC A D⊥．又AD=，1A D=，12AA a=，则22211AD A D AA+=，于是1AD A D⊥．1A D∴⊥平面ACD．又1A D⊂平面1ACD，∴平面1A DC⊥平面ADC．（20）(本小题满分12分)解：（I）设f(x)=ax2+bx+c，则f '(x)=2ax+b．………………………………………………1'由题设可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-='=',3)0(,2)0(,0)1(fff即⎪⎩⎪⎨⎧-=-==+.3,2,02cbba…………………………………………4'解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1cba…………………………………………………………………………5'所以f(x)=x2-2x-3．……………………………………………………………………6'（II）g(x)=f(x2)=x4－2x2－3，g'(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x+1)．………………………8'列表：………………………………………………………………………………………11'由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．………………………12'（21）(本小题满分12分)…………6'…………7'…………8'…………10'解：（Ⅰ）0d=时，{}n a 的项都是{}n b 中的项；…………………2＇（任一非负偶数均可）1d =时，{}n a 的项不都是{}n b 中的项．……………………3＇（任一正奇数均可）（Ⅱ）4d=时，422(21),n a n n =-=-…………………………………………………4＇123n n b -=⨯……………………………………………………………5＇131 2(21)2n m a -+=⨯-=131(2n m -+=为正整数），{}n b 的项一定都是{}n a 中的项．……………………………………………………………………………7＇（Ⅲ）当且仅当d 取2(*)k k ∈N （即非负偶数）时，{}n b 的项都是{}n a 中的项．理由是：……………………………………………………………………………………………9＇ ①当2(*)dk k =∈N 时，2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-⋅=+-⋅2n >时，11122112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=⋅+=++⋅⋅⋅++，其中112211C C n n n n n kk k -----++⋅⋅⋅+是k 的非负整数倍，设为Ak （*A ∈N ），只要取1m A =+即（m 为正整数）即可得n m b a =，即{}n b 的项都是{}n a 中的项；……11＇②当21,()d k k =+∈N 时，23(23)2k b +=不是整数，也不可能是{}n a 的项．…………12＇（22）(本小题满分14分)解：（Ⅰ）①若直线l ∥x 轴，则点P 为(0,0)；………………………………………………1＇ ②设直线:2l x my =-，并设点,,,A B M P的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x y B x y M x y P x y ，由222,22x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x ，得 22(2)420m y my +-+=， ①……………………2＇由直线l 与椭圆有两个不同的交点，可得22(4)8(2)0m m ∆=--+>，即28(2)0m ->，所以22m>．……………………………………………………………4＇由OP OA OB =+ 及方程①，得12242m y y y m =+=+，121228(2)(2)2x x x my my m =+=-+-=-+，即228,24.2x m m y m ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩…………………………………………………………………………6＇由于0m ≠（否则，直线l 与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，2ymx=-，代入到方程282x m =-+，得282()2x yx=--+，整理，得22240x y x ++=（20)x -<<．综上所述，点P 的轨迹方程为22240x y x ++=（20)x -<≤．……………………8＇（Ⅱ）①当l ∥x 轴时，,A B 分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，所以，||2,||MD MA ==||||MD MA =……………………………………………9＇②由方程①，得12022,22y y my m +==+所以，0|||D MD y y =-=，01|||MA y y =-==所以||||MD MA ==…………………………………………………12＇因为22m >，所以22(1,0)m -∈-(0,1)，所以||)||MD MA ∈+∞．综上所述，||)||MD MA ∈+∞．…………………………………………………………14＇。

高三数学-2018年南京市高三数学第一次模拟考试(含解答

2018年南京市高三数学第一次模拟考试本试卷共150分考试时间120分钟 2018. 3. 13 学校班级学号姓名得分一. 选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分）1. 以下可以估计总体稳定性的统计量是 ………………………………………( ) A. 样本平均数 B. 样本中位数 C. 样本方差 D. 样本最大值2. 函数)0x (1x y ≥-=y 的反函数是……………………………………… ( )A. )0x ()1x (y 2≥+=B. )1x ()1x (y 2-≥+=C. )0x ()1x (y 2≥-=D. )1x ()1x (y 2-≥-=3.若向量n 与直线l 垂直, 则称向量n 为直线l 的法向量. 直线03y 2x =++的一个法向量为 ………………………………………………………………………………( ) A. )2,1( B. )2 ,1(- C. )1,2( D. )1,2(-4. 设等差数列}a {n 的前n 项的和是n S , 且0a a 84=+, 则………………( ) A. 54S S < B. 54S S = C. 56S S < D. 56S S =5. 已知ABC ∆的三个顶点在同一球面上, .2AC AB ,90BAC ===∠ 若球心O 到平面ABC 的距离为1, 则该球的半径为 ……………………………………( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 26. 当),0(x π∈ 时, 函数xsin x sin 3x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为…………( )A. 22B. 3C. 32D. 47.若函数)0a (ax cos ax sin )x (f >+= 的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为…………………………………………………………………………………（） A. )0,8( π-B. )0,0(C. )0,81( -D. )0,81( 8. 函数|x |log 22y =的图像大致是……………………………………………( )9.“2b a =+”是“直线0y x =+与圆2)b y ()a x (22=-+-相切”的 … ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数)x (f 满足)x (f )x (f -π=, 且当)2,2(x ππ-∈ 时, x sin x )x (f +=. 设)3(f c ),2(f b ),1(f a === , 则……………………………………………( )A. c b a <<B. a c b <<C. a b c <<D. b a c <<11. 若M 是直线01sin y cos x =+θ+θ上到原点的距离最近的点，则当θ在实数范围内变化时, 动点M 的轨迹是………………………………………………………( )A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆12. 将三种作物种植在如图5块试验田里, 每块种植一种作物, 且同一种作物在相邻的试验田中, 不同的种植方法有……………………………………………………( )A. 24种B. 36种C. 42种D. 48种二. 填空题（本大题共6小题；每小题4分，共24分） 13. 设集合)}3a (log ,5{A 2+= , }b ,a {B =. 若{1}AB =, 则A B = .14. 设周期为4的奇函数)x (f 的定义域为R, 且当)6,4[x ∈时, 2x 2)x (f -=, 则)1(f - 的值为 .15. 已知双曲线的中心在坐标原点O, 焦点在y 轴上, 它的虚轴长为2, 且焦距是两准线间距离的2倍, 则该双曲线的方程为 .16. 设,3n (x a x a x a a )1x (n n 2210n ≥++++=- 且)Z n ∈. 若0a 3a 23=+, 则n = . 17. 在ABC ∆中, 若22A cos A sin =+, 则)4A tan(π-的值为 .18. 已知)0,1(A -, )1,2(B, )1 ,1(C - . 若将坐标平面沿x 轴折成直二面角, 则折后BAC ∠的余弦值为 .三. 解答题（本大题共5小题,共66分）19. (本小题满分12分)一位学生每天骑自行车上学, 从他家到学校有5个交通岗, 假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的, 且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p , 其余3个交通岗遇到红灯的概率均为21. (1) 若32p =, 求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率; (2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过185, 求p 的取值范围.20. (本小题满分12分)如图, 在正方形ABCD —1111D C B A 中,E 为AB 的中点.(1) 求AD 和C B 1所成的角(2) 证明: 平面D EB 1⊥平面CD B 1;(3) 求二面角E —C B 1—D 的大小. (用反三角函数表示)21. (本小题满分14分)已知函数,34x 3x x 31)x (f 23+--=直线l : 0c y 2x 9=++. (1) 求证: 直线l 与函数)x (f y =的图像不相切;(2) 若当]2,2[x -∈时, 函数)x (f y =的图像在直线l 的下方, 求c 的范围.22. (本小题满分14分)已知函数.x12)x (f +=数列}a {n 中, )a (f a ,a a n 1n 1==+ )N n (*∈. 当a 取不同的值时,得到不同的数列}a {n , 如当1a =时, 得到无穷数列;,717,37,3,1 当21a -=时,得到有穷数列. 0,21- (1) 求a 的值, 使得0a 3=;(2) 设数列}b {n 满足),N n )(b (f b ,21b 1n n 1*+∈=-=求证: 不论a 取}b {n 中的任何数, 都可以得到一个有穷数列}a {n ; (3) 求a 的取值范围, 使得当2n ≥时, 都有3a 37n <<.23. (本小题满分14分)(1) 已知抛物线),0p (px 2y 2>= 过焦点F 的动直线l 交抛物线于B ,A 两点, O 为坐标原点, 求证: OB OA ⋅为定值;(2) 由 (1) 可知: 过抛物线的焦点F 的动直线 l 交抛物线于B ,A 两点, 存在定点P , 使得⋅为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.2018年南京市高三数学第一次模拟考试参考答案及评分标准 2018. 3. 13一. 选择题（每小题5分，共60分）二. 填空题（每小题4分, 共24分）13.;}5,1,1{ - 14. 23 ; 15.;1x y 22 =- 16. 11 ; 17. ;3 18. .253三. 解答题（共66分） 19．（本小题满分12分）解: (1) 记该学生在第i 个交通岗遇到红灯i A )5,,2,1i ( =,.12121)211()321()A A A (P 321=⨯-⨯-=⋅⋅答：该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率为.121……………6分 (2) 该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯（记为A ）或恰好遇到一次红灯（记为B ）,)p 1(81)211(C )p 1(C )A (P 2303202-=--=……………7分 =-⋅-+-⋅-=30312213202)211(C )p 1(p C )211(C )p 1(C )B (P ).p 1(p 41)p 1(832-+-…………………9分 +-2)p 1(81.38p 31185)p 1(p 41)p 1(832≤≤⇒≤-+-……………11分又,1p 0≤≤ 所以p 的取值范围是].1,31[ ……………12分20．（本小题满分12分）解: (1) 正方体中, BC //AD , AD ∴与C B 1所成的角为CB B 1∠或其补角.45CB B 1=∠, AD ∴和C B 1所成的角为 45……………4分(2) 取C B 的中点,F D B 的中点,G 连结.GF ,EG ,BF⊥CD 平面11B BCC , BF DC ⊥∴.又C B BF 1⊥, ,C C B DC 1=⋂⊥∴BF 平面CD B 1.……………6分GFBE ,CD21 ,CD 21BE∴GF , ∴四边形BFGE 是平行四边形, .CE //BF ∴⊥∴EG 平面.CD B 1……………7分又⊂EG 平面D EB 1, ∴平面⊥D EB 1平面.CD B 1……………8分(3) 连结EF . .C B GF ,CD //GF ,C B CD 11⊥∴⊥ 又⊥EG 平面CD B 1,,C B EF 1⊥EFG ∠∴为二面角E —C B 1—D 的平面角. …………10分设正方形的边长为a, 则在E F G ∆中,,a 33EF ,a 21GF ==.33EF GF EFG cos ==∠∴……………11分 ∴二面角E —C B 1—D 的大小为.33arccos…………12分 21．（本小题满分14分）解: (1) 证明: .3x 2x )x (f 2--='……………2分假设直线l : 0c y 2x 9=++与函数)x (f y =的图像相切, 则293x 2x 2-=--有实数解, 即023x 2x 2=+-有实数解. ……………5分因为02<-=∆时, 方程023x 2x 2=+-无实数解, 所以直线l 与函数)x (f y =的图像不相切.……………7分(2) 当]2,2[x -∈时, 函数)x (f y =的图像在直线l 的下方,即0)2cx 29(34x 3x x 3123<---+--对于一切]2,2[x -∈都成立, ……………9分即038x 3x 2x 32c 23<--+-<对于一切]2,2[x -∈都成立. ……………10分令)x (g .38x 3x 2x 3223--+-= 因为.01)1x (23x 4x 2)x (g 222<---=-+-='所以)x (g 在]2,2[ -上单调递减, ……………12分所以当]2,2[x -∈时, .6)2(g )]x (g [min -==……………13分所以6c -<, 所以c 的范围是)6,(--∞ ……………14分 22．（本小题满分14分）解: (1) 因为,a a 1=,a 12a n1n +=+ 所以,a 1a 2a 12a 12+=+=.1a 22a 5a 12a 23++=+=……………2分要,0a 3=即要52a -=. 所以, 52a -=时, .0a 3=……………4分 (2)由题知,21b 1-=.b b 12n 1n =++不妨设a 取n b , 所以,b b 12a 1n n 2-=+=,b b 12a 12a 2n 1n 23--=+=+=……………6分 ……,,21b b 12a 12a 121n n -==+=+=-所以,0a 1n =+……………8分所以不论a 取}b {n 中的任何数, 都可以得到一个有穷数列}a {n .……………9分 (3).3a 13a 12373a 371n 1n n <<⇔<+<⇔<<--……………11分因为)3,37()3,1( , 所以只要有3a 372<<就有).3n (3a 37n ≥<< ……………12分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+3a1a 237a 1a 2, 解得: ⎩⎨⎧><<<1a 0a 3a 0或, 即3a 1<<.所以, a 的取值范围是)3,1( .……………14分 23．（本小题满分14分）解: (1) 若直线l 垂直于x 轴, 则)p ,2p(A , )p ,2p (B - .=⋅OB OA .p 43p )2p (222-=-……………2分若直线l 不垂直于轴, 设其方程为)2px (k y -=, )y ,x (A 11 )y ,x (B 22 .由0k 4p x )k 2(p x k px2y )2p x (k y 222222=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-= .4p x x ,p k )k 2(x x 2212221=⋅+=+ ……………4分 ∴⋅=+=2121y y x x )2px )(2p x (k x x 21221--+4k p )x x (k 2p x x )k 1(22212212++-+=22222222p 434k p kp )k 2(k 2p 4p )k 1(-=++⋅-+=. 综上, ⋅2p 43-=为定值. ……………6分 (2) 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆)0b ,0a (1by a x 2222>>=+ 的一个焦点F 的动直线l交椭圆于A 、B 两点, 存在定点P , 使⋅为定值. ……………7分证明: 不妨设直线l 过椭圆 1by a x 2222=+的右焦点)0,c (F (其中22b a c -=)若直线l 不垂直于轴, 则设其方程为: )c x (k y -=, )y ,x (A 11 )y ,x (B 22 .由0)b a k c a (x ck a 2x )b k a (1b y ax )c x (k y 222222222222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=得: 所以 ,b k a ck a 2x x 2222221+=+.2222222221bk a b a k c a x x --=⋅……………9分由对称性可知, 设点P 在x 轴上, 其坐标为).0,m ( 所以⋅2121y y )m x )(m x (+--=222212212k c m )x x )(ck m (x x )k 1(++++-+=)k 1(2+=22222222b k a b a k c a --)ck m (2+-22222bk a ck a 2+222k c m ++ 22222222224224bk a b )a m (k )cm a 2m a b b a a (+-+-+--= 要使⋅为定值,只要),a m (a cm a 2m a b b a a 2222224224-=-+--即2c)e 3(a2c )b a 2(c a 2b b a a 2m 222224224-=+=--= 此时⋅22a m -==4224462222a4)a 4c (b a 4a 4c )b a 2(-=-+……………12分若直线l 垂直于x 轴, 则其方程为c x =, )a b ,c (A 2 , )a b ,c (B 2-. 取点)0,a2c)b a 2((P 222 + 有PB PA ⋅==--+242222a b ]c a 2c )b a 2([.a 4)a 4c (b 4224-……………13分综上, 过焦点)0,c (F 的任意直线l 交椭圆于A 、B 两点, 存在定点)0,a2c )b a 2((P 222 + 使⋅.a 4)a 4c (b 4224-=为定值. ……………14分。

南京市高考数学一模试卷(理科)(I)卷

南京市高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高一下·汕头期末) 设全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·重庆模拟) 在复平面内，复数的共轭复数对应的点坐标为（）A . （1，3）B . （1，﹣3）C . （﹣1，3）D . （﹣1，﹣3）3. （2分）已知函数，则“c=-1”是“函数f(x)在R上递增”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。

经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是（）A . 甲、乙B . 甲、丙C . 乙、丁D . 甲、丁5. （2分）如果执行图中的程序框图，那么最后输出的正整数i＝（）A . 43B . 44C . 45D . 466. （2分）若关于、的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）A .B .C .D . 或7. （2分）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此棱锥的体积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·西安期中) 在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，c=4，则为（）A .B .C .D .9. （2分）已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于（）A . 1B . 2C . 4D . 810. （2分）(2020·邵阳模拟) 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题： (共5题；共5分)11. （1分）经调查知，奇瑞汽车的销售量y（辆）与广告费x（万元）之间的回归直线方程为y=250+4x，当广告费为50万元时，预计汽车销售量为________辆．12. （1分）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X≤0）=0.1，则P（1≤X≤2）=________．13. （1分） (2019高一上·长春月考) 设，则 ________.14. （1分）(2017·松江模拟) 设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn ，若 = ，则n=________15. （1分） (2017高一上·张家港期中) 函数f（x）=x+2x的零点所在区间为（n，n+1），n∈z，则n=________．三、解答题： (共6题；共65分)16. （10分） (2018高二下·鸡西期末) 已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数的图像向左平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图像,求在上的值域.17. （15分） (2016高三上·定州期中) 设数列{an}的前n和为Sn ， a1=1，Sn=nan﹣2n2+2n（n∈N*）．（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；（2）是否存在自然数n，使得S1+ + +…+ +2n=1124？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由；（3）设cn= （n∈N*），Tn=c1+c2+c3+…+cn（n∈N*），若不等式Tn＞（m∈Z），对n∈N*恒成立，求m的最大值．18. （15分） (2018高一下·双鸭山期末) 如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6。

江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学 Word版

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图第4题图则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ． 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知2c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？第13题图 ABC A 1B 1C 1 MN第15题图F18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.A B ED F O · 第21(A)图C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．M A CD O P 第22题图南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412． 13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A M C，1A M ⊂平面1A M C ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =，所以1AB ⊥平面1A M C ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC，所以11AB A C ⊥． ……………14分16．解：（1）因为c =，则由正弦定理，得sin C B =． ……………2分又2C B =，所以s i n 2s i n2B B =，即4sn c o s 5sinB B =． ……………4分又B 是ABC ∆的内角，所以s i nB >，故c o s 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而223cos 25a c bB ac+-===， (12)分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而3c o 44B Bππ+=． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RM T O MO T =-=．从而2R B EMT==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒= ……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积E为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分 18．解：（1）由2N Q ，得直线NQ 的方程为32y x =- …………………2分令0x =，得点B 的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分将点N 的坐标)2代入，得222213a+=，解得24a =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为y kx =-．在y kx =-0y =，得P x k =，而点Q 是线段OP 的中点，所以2Q x k =．所以直线BN的斜率2BN BQ k k k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得M x = 用2k 代k ，得2163316N x k =+． ………………12分又2DN NM =，所以2(N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =．所以直线BM的方程为y x =- ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP的中点，所以2P Qx x =，故=． …………………10分又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得2143y y =+． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2119x =．又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -+=21120y +=，解得1y =（舍）或1y =．又10x >，所以点M 的坐标为(3M ．……………14分故直线BM的方程为2y x =- …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-…，即12n r n m --⋅…对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅…，所以172n n m --…对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n nn n n n n nb b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T …．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，.当c =时，()b g x ax x=+，所以2()b g x a x '=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aa x c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以3)c a t >--对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以23=（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c …．故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即02x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入22001x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．ABE DF O · 第21(A)图因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由13x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当x y ==时，max ()x y += 所以当x y+取最大值时x 的值为2x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分（2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，C第22题图在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n …时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)n nxx-++()()0111n nn n C C x------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n nC C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21nn f n C -=成立. ………………10分。

2018年江苏省南京市高考数学一模试卷

2018年江苏省南京市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合A={x|x(x−4)<0}，B={0, 1, 5}，则A∩B=________．【答案】{1}【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x(x−4)<0}={x|0<x<4}，B={0, 1, 5}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}.2. 设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若(1+i)⋅z为纯虚数，则a的值为________．【答案】1【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：∵z=a+i，∴(1+i)⋅z=(1+i)(a+i)=a−1+(a+1)i，又(1+i)⋅z为纯虚数，∴a−1=0即a=1．故答案为：1.3. 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50, 100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70, 80)（单位：分钟）内的学生人数为________．【答案】1200 【考点】频数与频率用样本的频率分布估计总体分布【解析】由频率分布直方图求出该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70, 80)（单位：分钟）内的频率，由此能估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70, 80)（单位：分钟）内的学生人数．【解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70, 80)（单位：分钟）内的频率为： 1−(0.005+0.035+0.020+0.010)×10=0.3，∴ 估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70, 80)（单位：分钟）内的学生人数为： 4000×0.3=1200．故答案为：1200.4. 执行如图所示的伪代码，若x =0，则输出的y 的值为________．【答案】 1【考点】程序框图伪代码【解析】根据题意得出执行程序后输出函数y ，由此求出结果．【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数y ={lnx,x >0,e x,x ≤0,当x =0时，y =e 0=1．故答案为：1.5. 口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．【答案】23【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n =C 42=6，利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数，由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n=C42=6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：(1, 4)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 4)，共4个，∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为P=46=23．故答案为：23.6. 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x24−y25=1的右焦点重合，则实数p的值为________．【答案】6【考点】抛物线的定义双曲线的标准方程【解析】根据双曲线的方程，可得c=3，从而得到双曲线的右焦点为F(3, 0)，再根据抛物线的简单几何性质，可得p2=3，解之即可得到实数p的值．【解答】解：∵双曲线的方程x24−y25=1，∴a2=4，b2=5，可得c=√a2+b2=√9=3，因此双曲线的右焦点为F(3, 0)，∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合，∴p2=3，解之得p=6．故答案为：6.7. 设函数y=e x+1e−a的值域为A，若A⊆[0, +∞)，则实数a的取值范围是________．【答案】(−∞, 2]【考点】函数的值域及其求法【解析】利用基本不等式的性质即可求解．【解答】解：函数y=e x+1e x−a的值域为A，∵e x+1e x ≥2√1e x⋅e x=2，∴值域A为[2−a, +∞)．又∵A⊆[0, +∞)，∴2−a≥0，即a≤2．故答案为：(−∞,2].8. 已知锐角α，β满足(tanα−1)(tanβ−1)=2，则α+β的值为________．【答案】3π4【考点】两角和与差的正切公式三角函数线【解析】由已知化简可得tanα+tanβ+1=tanαtanβ，代入两角和的正切公式，可以求出α+β的正切值，根据α、β为锐角，我们易得α+β的值．【解答】解：∵(tanα−1)(tanβ−1)=2，可得：tanα+tanβ+1=tanαtanβ，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1.∵锐角α，β，可得：α+β∈(0, π)，∴α+β=3π4．故答案为：3π4.9. 若函数y=sinωx在区间[0, 2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________．【答案】(0, 1 4 ]【考点】正弦函数的单调性【解析】由函数y=sinωx，图象过原点，可得ω>0,2πω≤π2，可得实数ω的取值范围【解答】解：由函数y=sinωx，图象过原点，若ω<0，图象在[0, 2π]上先单调递减，∴ω> 0.∵y=sinωx在[0, 2π]单调递增，∴14T≥2π，即T≥8π，∴2πω≥8π，∴0<ω≤14．故答案为：(0, 14].10. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为________．【答案】 4034 【考点】等差数列的前n 项和【解析】考查等差数列的求和公式S n =n2(a 1+a n )，先利用S 奇=a 1+a 3+a 5+...+a 2017=1009×(a 1+a 2017)×12=2018，得出得出a 1+a 2017=4．再求S 2017=20172(a 1+a 2017)=2017×2=4034即可．【解答】解：因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且{a n }的前2017项中的奇数项和为2018，所以S 奇=a 1+a 3+a 5+...+a 2017 =1009×(a 1+a 2017)×12=2018，得a 1+a 2017=4．则S 2017=20172(a 1+a 2017)=2017×2=4034.故答案为：4034.11. 设函数f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)={x(3−x),0≤x ≤3,−3x+1,x >3, 若函数y =f(x)−m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】[1, 94) 【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：由0≤x ≤3可得f(x)∈[0, 94]；x >3时，f(x)∈(0, 1)．画出函数y =f(x)与y =m 的图象，如图所示，∵ 函数y =f(x)−m 有四个不同的零点， ∴ 函数y =f(x)与y =m 的图象有4个交点，由图象可得m 的取值范围为[1, 94). 故答案为：[1,94).12. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y =k(x −3√3)上存在一点P ，圆x 2+(y −1)2=1上存在一点Q ，满足OP →=3OQ →，则实数k 的最小值为________．【答案】 −√3【考点】平行向量的性质直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】设P 、Q 的坐标，代入直线与圆的方程，由OP →=3OQ →得出坐标关系，再由直线与圆的关系求出k 的取值范围，从而求出实数k 的最小值．【解答】解：设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则y 1=k(x 1−3√3)①，x 22+(y 2−1)2=1②，由OP →=3OQ →，得{x 1=3x 2,y 1=3y 2,即{x 2=13x 1,y 2=13y 1,代入②得x 12+(y 1−3)2=9，此方程表示的圆心(0, 3)到直线kx −y −3√3k =0的距离为d ≤r ，即√3k|√k 2+1≤3，解得−√3≤k ≤0．∴ 实数k 的最小值为−√3．故答案为：−√3.13. 如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置所图所示，则AB →⋅CD →的最大值为________．【答案】 24【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据条件建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，利用向量数量积的坐标公式分别进行计算，然后进行比较即可．【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A(√32, 92)，B(0, 0)，那么容易得到C(0, 5)时，D 的位置可以有三个位置，其中D 1(−√32, 12)，D 2(−√3, 0)，D 3(−3√32, 12)，此时AB →=(−√32, −92)，CD 1→=(−√32, −92)，CD 2→=(−√3, −5)，CD 3→=(−3√32, −92)，则AB →⋅CD 1→=21，AB →⋅CD 2→=24，AB →⋅CD 3→=22.5，则AB →⋅CD →的最大值为24.故答案为：24.14. 若不等式ksin 2B +sinAsinC >19sinBsinC 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________．【答案】 100【考点】正弦定理函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ ksin 2B +sinAsinC >19sinBsinC ，由正弦定理可得：kb 2+ac >19bc ， ∴ k >19c b−c b ⋅ab，又∵ c −b <a <b +c ， ∴ −b −c <−a <b −c ， ∴19c b −c b ⋅a b <19c b+c b (−c+bb)=20cb −(cb )2=100−(cb −10)2，当cb =10时，20cb −(cb )2取得最大值100，∴k≥100，即实数k的最小值为100．故答案为：100.二、解答题（共6小题，满分90分）如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．(1)求证：BN // 平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．【答案】证明：(1)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AB // A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB // A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M // BN．又BN平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN // 平面A1MC；(2)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M，MC⊂平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB1⊥A1C．【考点】两条直线垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）欲证明BN // 平面A1MC，只需推知A1M // BN；（2）根据直三棱柱的特征和线面垂直的判定与性质来证明线线垂直．【解答】证明：(1)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AB // A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB // A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M // BN．又BN平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN // 平面A1MC；(2)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M，MC⊂平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB1⊥A1C．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√52b．(1)若C=2B，求cosB的值；(2)若AB→⋅AC→=CA→⋅CB→，求cos(B+π4)的值．【答案】解：(1)因为c=√52b，则由正弦定理得，sinC=√52sinB．又C=2B，所以sin2B=√52sinB，即2sinBcosB=√52sinB．又B是△ABC的内角，所以sinB≠0，故cosB=√54；(2)因为AB→⋅AC→=CA→⋅CB→，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2−a2=b2+a2−c2，得a=c．从而cosB=a2+c2−b22ac =c2+c2−45c22c2=35，又0<B<π，所以sinB=√1−cos2B=45．从而cos(B+π4)=cosBcosπ4−sinBsinπ4=35×√22−45×√22=−√210．【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的余弦公式平面向量数量积的性质及其运算律余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由正弦定理，得sinC=√52sinB．又C=2B，即2sinBcosB=√52sinB．cosB=√54．（2）由AB→∗AC→=CA→∗CB→，可得cbcosA=bacosC，b2+c2−a2=b2+a2−c2，得a=c，求得从而cosB，sinB即可．【解答】解：(1)因为c=√52b，则由正弦定理得，sinC=√52sinB．又C=2B，所以sin2B=√52sinB，即2sinBcosB=√52sinB．又B是△ABC的内角，所以sinB≠0，故cosB=√54；(2)因为AB→⋅AC→=CA→⋅CB→，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2−a2=b2+a2−c2，得a=c．从而cosB=a2+c2−b22ac =c2+c2−45c22c2=35，又0<B<π，所以sinB=√1−cos2B=45．从而cos(B+π4)=cosBcosπ4−sinBsinπ4=35×√22−45×√22=−√210．有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120∘的扇形，且弧EF^，GH^分别与边BC，AD相切于点M，N．(1)当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？【答案】解：(1)在图甲中，连接MO交EF于点T，设OE=OF=OM=R，在Rt△OET中，因为∠EOT=12∠EOF=60∘，所以OT=R2，则MT=OM−OT=R2．从而BE=MT=R2，即R=2BE=2．故所得柱体的底面积S=S扇形OEF −S△OEF=13πR2−12R2sin120∘=4π3−√3，又所得柱体的高EG=4，所以V=S⋅EG=16π3−4√3．答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为(16π3−4√3)立方分米；(2)设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF −S△OEF=13πR2−12R2sin120∘=(4π3−√3)x2，又所得柱体的高EG=6−2x，所以V=S⋅EG=(8π3−2√3)(−x3+3x2)，其中0<x<3．令f(x)=−x3+3x2，0<x<3，则由f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)=0，解得x=2或x=0（舍）．列表如下：所以当x=2时，f(x)取得最大值．答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．【考点】利用导数研究函数的最值扇形面积公式柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）结合图形可得S=S扇形OEF−S△OEF，再根据体积公式计算即可，（2）借助（1）可得V=(8π3−2√3)(−x3+3x2)，其中0<x<3．令f(x)=−x3+ 3x2，0<x<3，利用导数求出函数的最值．【解答】解：(1)在图甲中，连接MO交EF于点T，设OE=OF=OM=R，在Rt△OET中，因为∠EOT=12∠EOF=60∘，所以OT=R2，则MT=OM−OT=R2．从而BE=MT=R2，即R=2BE=2．故所得柱体的底面积S=S扇形OEF −S△OEF=13πR2−12R2sin120∘=4π3−√3，又所得柱体的高EG=4，所以V=S⋅EG=16π3−4√3．答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为(16π3−4√3)立方分米；(2)设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF −S△OEF=13πR2−12R2sin120∘=(4π3−√3)x2，又所得柱体的高EG=6−2x，所以V=S⋅EG=(8π3−2√3)(−x3+3x2)，其中0<x<3．令f(x)=−x 3+3x 2，0<x <3，则由f′(x)=−3x 2+6x =−3x(x −2)=0，解得x =2或x =0（舍）．列表如下：所以当时，取得最大值．答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的下顶点为B ，点M ，N 是椭圆上异于点B 的动点，直线BM ，BN 分别与x 轴交于点P ，Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点(√3,√32)处时，点Q 的坐标为(2√33,0)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MN 交y 轴于点D ，当点M ，N 均在y 轴右侧，且DN →=2NM →时，求直线BM 的方程．【答案】解：(1)由N(√3,√32)，点Q 的坐标为(2√33,0)，得直线NQ 的方程为y =32x −√3，令x =0，得点B 的坐标为(0, −√3)．所以椭圆的方程为x 2a 2+y 23=1，将点N 的坐标(√3, √32)代入，得3a2+343=1，解得a 2=4．所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)设直线BM 的斜率为k(k >0)，则直线BM 的方程为y =kx −√3．在y =kx −√3中，令y =0，得x P =√3k ，而点Q 是线段OP 的中点，所以x Q =√32k ．所以直线BN 的斜率k BN =k BQ =√3)√32k−0=2k ．联立{y =kx −√3,x 24+y 23=1,消去y ，得(3+4k 2)x 2−8√3kx =0，解得x M =8√3k3+4k 2．用2k 代k ，得x N =16√3k3+16k 2．又DN →=2NM →，所以x N =2(x M −x N )，得2x M =3x N ，故2×8√3k 3+4k 2=3×16√3k3+16k 2，又k >0，解得k =√62．所以直线BM 的方程为y =√62x −√3.【考点】圆锥曲线的综合问题向量的线性运算性质及几何意义椭圆的标准方程【解析】（1）先求出直线NQ 的方程，可得B 的坐标，以及N 点的坐标，即可求出a 的值，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线BM 的斜率为k(k >0)，则直线BM 的方程为y =x −√3，分别求出点P ，Q 的横坐标，根据斜率公式可得k BN =k BQ =2k ，再联立方程组，求出点M ，N 的横坐标，根据DN →=2NM →，即可求出k 的值【解答】解：(1)由N(√3,√32)，点Q 的坐标为(2√33,0)，得直线NQ 的方程为y =32x −√3，令x =0，得点B 的坐标为(0, −√3)．所以椭圆的方程为x 2a 2+y 23=1，将点N 的坐标(√3, √32)代入，得3a2+343=1，解得a 2=4．所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)设直线BM 的斜率为k(k >0)，则直线BM 的方程为y =kx −√3．在y =kx −√3中，令y =0，得x P =√3k ，而点Q 是线段OP 的中点，所以x Q =√32k ．所以直线BN 的斜率k BN =k BQ =√3)√32k−0=2k ．联立{y =kx −√3,x 24+y 23=1, 消去y ，得(3+4k 2)x 2−8√3kx =0，解得x M =8√3k3+4k 2．用2k 代k ，得x N =16√3k3+16k 2．又DN →=2NM →，所以x N =2(x M −x N )，得2x M =3x N ，故2×8√3k 3+4k 2=3×16√3k3+16k 2，又k >0，解得k =√62．所以直线BM 的方程为y =√62x −√3.设数列{a n }满足a n 2=a n+1a n−1+λ(a 2−a 1)2，其中n ≥2，且n ∈N ，λ为常数．(1)若{a n }是等差数列，且公差d ≠0，求λ的值；(2)若a 1=1，a 2=2，a 3=4，且存在r ∈[3, 7]，使得m ⋅a n ≥n −r 对任意的n ∈N ∗都成立，求m 的最小值；(3)若λ≠0，且数列{a n }不是常数列，如果存在正整数T ，使得a n+T =a n 对任意的n ∈N ∗均成立，求所有满足条件的数列{a n }中T 的最小值．【答案】解：(1)由题意，可得a n 2=(a n +d)(a n −d)+λd 2，化简得(λ−1)d 2=0，又d ≠0，所以λ=1； (2)将a 1=1，a 2=2，a 3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以a n 2=a n+1a n−1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1．欲存在r ∈[3, 7]，使得m ⋅2n−1≥n −r ，即r ≥n −m ⋅2n−1对任意n ∈N ∗都成立，则7≥n −m ⋅2n−1，所以m ≥n−72n−1对任意n ∈N ∗都成立．令b n =n−72n−1，则b n+1−b n =n−62n−n−72n−1=8−n 2n，所以当n >8时，b n+1b n ．所以b n 的最大值为b 9=b 8=1128，所以m 的最小值为1128；(3)因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2， ①若T =2，则a n+2=a n 恒成立，从而a 3=a 1，a 4=a 2，所以{a 22=a 12+λ(a 2−a 1)2a 12=a 22+λ(a 2−a 1)2，所以λ(a 2−a 1)2=0，又λ≠0，所以a 2=a 1，可得{a n }是常数列，矛盾．所以T =2不合题意．②若T =3，取a n ={1,n =3k −2,2,n =3k −1,−3,n =3k, (k ∈N ∗)，①满足a n+3=a n 恒成立．由a 22=a 1a 3+λ(a 2−a 1)2，得λ=7．则条件式变为a n 2=a n+1a n−1+7．由22=1×(−3)+7，知a 3k−12=a 3k−2a 3k +λ(a 2−a 1)2；由(−3)2=2×1+7，知a 3k 2=a 3k−1a 3k+1+λ(a 2−a 1)2；由12=2×(−3)+7，知a 3k+12=a 3k a 3k+2+λ(a 2−a 1)2；所以，①式适合题意．所以T 的最小值为3．【考点】函数恒成立问题数列递推式等差数列的性质【解析】（1）由等差数列的通项公式，化简可得(λ−1)d 2=0，又d ≠0，可得所求值；（2）求得λ=0，数列{a n }是首项为1，公比q =2的等比数列，运用等比数列的通项公式，可得存在r ∈[3, 7]，使得m ⋅2n−1≥n −r ，即r ≥n −m ⋅2n−1对任意n ∈N ∗都成立，由参数分离可得m 的最小值；（3）由题意可得T ≥2，讨论T =2，T =3，根据条件，推理得到结论．【解答】解：(1)由题意，可得a n 2=(a n +d)(a n −d)+λd 2，化简得(λ−1)d 2=0，又d ≠0，所以λ=1； (2)将a 1=1，a 2=2，a 3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以a n 2=a n+1a n−1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1．欲存在r ∈[3, 7]，使得m ⋅2n−1≥n −r ，即r ≥n −m ⋅2n−1对任意n ∈N ∗都成立，则7≥n −m ⋅2n−1，所以m ≥n−72对任意n ∈N ∗都成立．令b n =n−72n−1，则b n+1−b n =n−62n−n−72n−1=8−n 2n，所以当n >8时，b n+1b n ．所以b n 的最大值为b 9=b 8=1128，所以m 的最小值为1128；(3)因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2， ①若T =2，则a n+2=a n 恒成立，从而a 3=a 1，a 4=a 2，所以{a 22=a 12+λ(a 2−a 1)2a 12=a 22+λ(a 2−a 1)2，所以λ(a 2−a 1)2=0，又λ≠0，所以a 2=a 1，可得{a n }是常数列，矛盾．所以T =2不合题意．②若T =3，取a n ={1,n =3k −2,2,n =3k −1,−3,n =3k, (k ∈N ∗)，①满足a n+3=a n 恒成立．由a 22=a 1a 3+λ(a 2−a 1)2，得λ=7．则条件式变为a n 2=a n+1a n−1+7．由22=1×(−3)+7，知a 3k−12=a 3k−2a 3k +λ(a 2−a 1)2；由(−3)2=2×1+7，知a 3k 2=a 3k−1a 3k+1+λ(a 2−a 1)2；由12=2×(−3)+7，知a 3k+12=a 3k a 3k+2+λ(a 2−a 1)2；所以，①式适合题意．所以T 的最小值为3．设函数f(x)=lnx ，g(x)=ax +bx −c(a, b, c ∈R)．(1)当c =0时，若函数f(x)与g(x)的图象在x =1处有相同的切线，求a ，b 的值；(2)当b =3−a 时，若对任意x 0∈(1, +∞)和任意a ∈(0, 3)，总存在不相等的正实数x 1，x 2，使得g(x 1)=g(x 2)=f(x 0)，求c 的最小值；(3)当a =1时，设函数y =f(x)与y =g(x)的图象交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)(x 1<x 2)两点．求证：x 1x 2−x 2<b <x 1x 2−x 1．【答案】(1)解：由f(x)=lnx ，得f(1)=0，又f′(x)=1x ，所以f′(1)=1，当c =0时，g(x)=ax +bx ，得g(1)=a +b ，又g′(x)=a −bx 2，所以g′(1)=a −b ，因为函数f(x)与g(x)的图象在x =1处有相同的切线，所以{f ′(1)=g ′(1)f(1)=g(1) ，即{a −b =1a +b =0 ，解得a =12，b =−12；(2)解：当x 0>1时，则f(x 0)>0，又b =3−a ，设t =f(x 0)，则题意可转化为方程ax +3−a x−c =t(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．即关于x 的方程ax 2−(c +t)x +(3−a)=0(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．所以{0<a <3,Δ=(c +t)2−4a(3−a)>0,x 1+x 2=c+t a >0,x 1x 2=3−a a >0, 得{0<a <3,(c +t)2>4a(3−a),c +t >0.所以c >2√a(3−a)−t 对t ∈(0, +∞)，a ∈(0, 3)恒成立．因为0<a <3，所以2√a(3−a)≤2⋅a+3−a 2=3（当且仅当a =32时取等号），又−t <0，所以2√a(3−a)−t 的取值范围是(−∞, 3)，所以c ≥3．故c 的最小值为3；(3)证明：当a =1时，因为函数f(x)与g(x)的图象交于A ，B 两点，所以{lnx 1=x 1+bx 1−c,lnx 2=x 2+bx 2−c,两式相减，得b =x 1x 2(1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1)，要证明x 1x 2−x 21，此时即证1−1t <lnt <t −1．令φ(t)=lnt +1t −1，所以φ′(t)=1t −1t 2=t−1t 2>0，所以当t >1时，函数φ(t)单调递增．又φ(1)=0，所以φ(t)=lnt +1t −1>0，即1−1t <lnt 成立；再令m(t)=lnt −t +1，所以m′(t)=1t −1=1−t t<0，所以当t >1时，函数m(t)单调递减，又m(1)=0，所以m(t)=lnt −t +1<0，即lnt <t −1也成立．综上所述，实数x 1，x 2满足x 1x 2−x 21时，则f(x 0)>0，又b =3−a ，设t =f(x 0)，则题意可转化为方程ax +3−a x−c =t(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．即关于x 的方程ax 2−(c +t)x +(3−a)=0(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．运用二次方程实根分布，结合韦达定理可得c 的不等式，运用基本不等式，可得c 的范围和最小值；（3）得b =x 1x 2(1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1)，要证明x 1x 2−x 21，此时即证1−1t<lnt <t −1．令φ(t)=lnt +1t−1，求得导数和单调区间，结合m(t)=lnt −t +1的单调性，即可得证．【解答】(1)解：由f(x)=lnx ，得f(1)=0，又f′(x)=1x ，所以f′(1)=1，当c =0时，g(x)=ax +bx ，得g(1)=a +b ，又g′(x)=a −bx 2，所以g′(1)=a −b ，因为函数f(x)与g(x)的图象在x =1处有相同的切线，所以{f ′(1)=g ′(1)f(1)=g(1) ，即{a −b =1a +b =0 ，解得a =12，b =−12；(2)解：当x 0>1时，则f(x 0)>0，又b =3−a ，设t =f(x 0)，则题意可转化为方程ax +3−a x−c =t(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．即关于x 的方程ax 2−(c +t)x +(3−a)=0(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．所以{0<a <3,Δ=(c +t)2−4a(3−a)>0,x 1+x 2=c+t a >0,x 1x 2=3−a a >0, 得{0<a <3,(c +t)2>4a(3−a),c +t >0.所以c >2√a(3−a)−t 对t ∈(0, +∞)，a ∈(0, 3)恒成立．因为0<a <3，所以2√a(3−a)≤2⋅a+3−a 2=3（当且仅当a =32时取等号），又−t <0，所以2√a(3−a)−t 的取值范围是(−∞, 3)，所以c ≥3．故c 的最小值为3；(3)证明：当a =1时，因为函数f(x)与g(x)的图象交于A ，B 两点，所以{lnx 1=x 1+bx 1−c,lnx 2=x 2+bx 2−c,两式相减，得b =x 1x 2(1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1)，要证明x 1x 2−x 21，此时即证1−1t<lnt<t−1．令φ(t)=lnt+1t −1，所以φ′(t)=1t−1t2=t−1t2>0，所以当t>1时，函数φ(t)单调递增．又φ(1)=0，所以φ(t)=lnt+1t −1>0，即1−1t<lnt成立；再令m(t)=lnt−t+1，所以m′(t)=1t −1=1−tt<0，所以当t>1时，函数m(t)单调递减，又m(1)=0，所以m(t)=lnt−t+1<0，即lnt<t−1也成立．综上所述，实数x1，x2满足x1x2−x2<b<x1x2−x1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE= 4，求切点E到直径AB的距离EF．【答案】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，又因为AD⊥DE于D，所以AD // OE，所以∠DAE=∠OEA，①在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，AE=AE，所以△ADE≅△AFE，所以DE=FE，又DE=4，所以FE=4，即E到直径AB的距离为4．【考点】圆的切线的性质定理的证明点、线、面间的距离计算【解析】连接AE，OE，则DE⊥OE，推导出AD // OE，从而∠DAE=∠OEA，求出∠OEA=∠OAE，从而∠DAE=∠FAE，进而△ADE≅△AFE，由此能求出E到直径AB的距离．【解答】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE ⊥OE ，又因为AD ⊥DE 于D ，所以AD // OE ，所以∠DAE =∠OEA ，① 在⊙O 中，OE =OA ，所以∠OEA =∠OAE ，② 由①②得∠DAE =∠OAE ，即∠DAE =∠FAE ，又∠ADE =∠AFE ，AE =AE ，所以△ADE ≅△AFE ，所以DE =FE ，又DE =4，所以FE =4，即E 到直径AB 的距离为4． [选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵M =[2001]，求圆x 2+y 2=1在矩阵M 的变换下所得的曲线方程．【答案】解：设P(x 0, y 0)是圆x 2+y 2=1上任意一点，则x 02+y 02=1，设点P(x 0, y 0)在矩阵M 对应的变换下所得的点为Q(x, y)，则[x y ]=[2001][x 0y 0]，即{x =2x 0,y =y 0, 解得{x 0=12x,y 0=y.代入x 02+y 02=1，得x 24+y 2=1，∴ 圆x 2+y 2=1在矩阵M 的变换下所得的曲线方程为x 24+y 2=1．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义【解析】设P(x 0, y 0)是圆x 2+y 2=1上任意一点，则x 02+y 02=1，设点P(x 0, y 0)在矩阵M 对应的变换下所得的点为Q(x, y)，推导出{x 0=12xy 0=y，由此能求出圆x 2+y 2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．【解答】解：设P(x 0, y 0)是圆x 2+y 2=1上任意一点，则x 02+y 02=1，设点P(x 0, y 0)在矩阵M 对应的变换下所得的点为Q(x, y)，则[x y ]=[2001][x 0y 0]，即{x =2x 0,y =y 0, 解得{x 0=12x,y 0=y.代入x 02+y 02=1，得x 24+y 2=1，∴ 圆x 2+y 2=1在矩阵M 的变换下所得的曲线方程为x 24+y 2=1．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线ρcos(θ+π3)=1与曲线ρ=r(r >0)相切，求r 的值．【答案】解：直线ρcos(θ+π3)=1，转化为：x −√3y −2=0，曲线ρ=r(r >0)转化为：x 2+y 2=r 2，由于直线和圆相切，则圆心到直线的距离d =√1+3=r =1．所以r =1．【考点】直线的极坐标方程圆的极坐标方程直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】首先对方程进行转化，进一步利用直线和圆的相切求出r 的值．【解答】解：直线ρcos(θ+π3)=1，转化为：x −√3y −2=0，曲线ρ=r(r >0)转化为：x 2+y 2=r 2，由于直线和圆相切，则圆心到直线的距离d =√1+3=r =1．所以r =1．[选修4-5：不等式选讲]已知实数x ，y 满足x 2+3y 2=1，求当x +y 取最大值时x 的值．【答案】解：由柯西不等式，得[x 2+(√3y)2][12+(√33)2]≥(x ⋅1+√3y ⋅√33)2，即43(x 2+3y 2)≥(x +y)2．而x 2+3y 2=1，所以(x +y)2≤43，所以−2√33≤x +y ≤2√33，由{x1=√3y√33x +y =2√33,得{x =√32,y =√36. 所以当且仅当x =√32，y =√36时，(x +y)max =2√33，所以当x +y 取最大值时x 的值为√32．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式，得[x 2+(√3y)2][12+(√33)2]≥(x ⋅1+√3y ∗√33)2，即43(x 2+3y 2)≥(x +y)2．即可求解．【解答】解：由柯西不等式，得[x 2+(√3y)2][12+(√33)2]≥(x ⋅1+√3y ⋅√33)2，即43(x 2+3y 2)≥(x +y)2．而x 2+3y 2=1，所以(x +y)2≤43，所以−2√33≤x +y ≤2√33，由{x1=√3y√33x +y =2√33,得{x =√32,y =√36. 所以当且仅当x =√32，y =√36时，(x +y)max =2√33，所以当x +y 取最大值时x 的值为√32．如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，AC =4，BD =2，OP =4． (1)求直线AP 与BM 所成角的余弦值；(2)求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．【答案】解：(1)因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A(2, 0, 0)，B(0, 1, 0)，P(0, 0, 4)，C(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)． AP →=(−2, 0, 4)，BM →=(−1, −1, 2)， cos <AP →，BM →>=AP →⋅BM →|AP →|⋅|BM →|=2√5⋅√6=√306．故直线AP 与BM 所成角的余弦值为√306； (2)AB →=(−2, 1, 0)，BM →=(−1, −1, 2)．设平面ABM 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅AB →=−2x +y =0,n →⋅BM →=−x −y +2z =0, 令x =2，得n →=(2, 4, 3)．又平面PAC 的一个法向量为OB →=(0, 1, 0)， ∴ cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=√29=4√2929．故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为4√2929．【考点】二面角的平面角及求法用空间向量求平面间的夹角用空间向量求直线间的夹角、距离异面直线及其所成的角【解析】（1）以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP 与BM 所成角的余弦值．（2）求出平面ABM 的一个法向量和平面PAC 的一个法向量，利用向量法能求出平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：(1)因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A(2, 0, 0)，B(0, 1, 0)，P(0, 0, 4)，C(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)． AP →=(−2, 0, 4)，BM →=(−1, −1, 2)， cos <AP →，BM →>=AP →⋅BM →|AP →|⋅|BM →|=2√5⋅√6=√306．故直线AP 与BM 所成角的余弦值为√306； (2)AB →=(−2, 1, 0)，BM →=(−1, −1, 2)．设平面ABM 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅AB →=−2x +y =0,n →⋅BM →=−x −y +2z =0, 令x =2，得n →=(2, 4, 3)．又平面PAC 的一个法向量为OB →=(0, 1, 0)， ∴ cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=√29=4√2929．故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为4√2929．已知n ∈N ∗，nf(n)=C n 0C n 1+2C n 1C n 2+...+nC n n−1C n n ．(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．【答案】解：(1)由条件，nf(n)=C n 0C n 1+2C n 1C n 2+...+nC n n−1C n n ①，在①中令n =1，得f(1)=1．在①中令n =2，得2f(2)=6，得f(2)=3．在①中令n =3，得3f(3)=30，故f(3)=10；(2)猜想：f(n)=C 2n−1n．要证猜想成立，只要证等式nC 2n−1n =C n 0⋅C n 1+2C n 1⋅C n 2+...+nC n n−1⋅C n n 成立．由(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+...+C n n x n ①，两边同时对x 求导数，可得n(1+x)n−1=C n 1+2C n 2x +3C n 3x 2+...+nC n n x n−1②，把等式①和②相乘，可得n(1+x)2n−1=(C n 0+C n 1x +C n 2x 2+...+C n n x n )⋅(C n 1+2C n 2x +3C n 3x 2+...+nC n n x n−1 ) ③．等式左边x n 的系数为nC 2n−1n，等式右边x n 的系数为C n 1⋅C n n +2C n 2⋅C n n−1+3C n 3⋅C n n−2+...+nC n n ⋅C n1 =C n 1⋅C n 0+2C n 2⋅C n 1+3C n 3⋅C n 2+...+nC n n ⋅C n n−1 =C n 0C n 1+2C n 1C n 2+⋯+nC n n−1C n n ，根据等式③恒成立，可得nC 2n−1n =C n 0C n 1+2C n 1C n 2+⋯+nC n n−1C n n ．故f(n)=C 2n−1n成立．【考点】二项式定理的应用【解析】（1）在条件中，分别令n 取1，2，3，求得f(1)，f(2)，f(3)的值．（2）猜想f(n)=C 2n−1n ．要证猜想成立，只要证等式nC 2n−1n =C n 0⋅C n 1+2C n 1⋅C n 2+...+nC n n−1⋅C n n 成立．由(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+...+C n n x n ①，两边同时对x求导数，可得n(1+x)n−1=C n 1+2C n 2x +3C n 3x 2+nC n n x n−1②，把①、②相乘，根据等式左右两边x n 的系数相等，可得结论．【解答】解：(1)由条件，nf(n)=C n 0C n 1+2C n 1C n 2+...+nC n n−1C n n ①，在①中令n =1，得f(1)=1．在①中令n =2，得2f(2)=6，得f(2)=3．在①中令n =3，得3f(3)=30，故f(3)=10；(2)猜想：f(n)=C 2n−1n．要证猜想成立，只要证等式nC 2n−1n =C n 0⋅C n 1+2C n 1⋅C n 2+...+nC n n−1⋅C n n 成立．由(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+...+C n n x n ①，两边同时对x 求导数，可得n(1+x)n−1=C n 1+2C n 2x +3C n 3x 2+...+nC n n x n−1②，把等式①和②相乘，可得n(1+x)2n−1=(C n 0+C n 1x +C n 2x 2+...+C n n x n )⋅(C n 1+2C n 2x +3C n 3x 2+...+nC n n x n−1 ) ③．等式左边x n 的系数为nC 2n−1n，等式右边x n 的系数为C n 1⋅C n n +2C n 2⋅C n n−1+3C n 3⋅C n n−2+...+nC n n ⋅C n1 =C n 1⋅C n 0+2C n 2⋅C n 1+3C n 3⋅C n 2+...+nC n n ⋅C n n−1 =C n 0C n 1+2C n 1C n 2+⋯+nC n n−1C n n ，根据等式③恒成立，可得nC 2n−1n =C n 0C n 1+2C n 1C n 2+⋯+nC n n−1C n n ．故f(n)=C 2n−1n成立．。

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(理)

（2）试猜想 f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．
南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 1 ． 1 7． ( , 2] 8． 2．1 3 ． 1200 4．1 5．
2 3
6．6
0.035 a 0.020 0.010 0.005
y ln x
Else
y ex
End If Print y
50 60 70 80 90 100 时间(单位:分钟)
第 3 题图 4．执行如图所示的伪代码，若 x 0 ，则输出的 y 的值为 ▲
第 4 题图．
5．口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球，球的编号分别为 1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为 ▲ ． 6．若抛物线 y 2 px 的焦点与双曲线
高三数学试题第 6页（共 4 页）
所又
以
四
边
形
A1 NBM
是
平
行
四
边
形
，
从
而
A1M / / BN ． A1MC ．
……………6 分
……………4 分 ∥ 面
BN 平面 A1MC ， A1M 平面 A1MC ，所以 BN
（2）因为 ABC A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1 底面 ABC ，而 AA1 侧面 ABB1 A1 ，所以侧面 ABB1 A1 底面 ABC ．又 CA CB ，且 M 是 AB 的中点，所以 CM AB ．则由侧面 ABB1 A1 底面 ABC ，侧面 ABB1 A1 底面 ABC AB ，

江苏省南京市2018届高三上学期迎一模模拟考试数学试题(含答案)

（第6题）2017-2018高三数学迎一模模拟卷第I 卷（共160分）一．填空题（每题5分，共70分） 1．已知集合{|||2}A x x =≤，{|321}B x x =-≥，则AB= ▲ ．【答案】[1,2]2．复数ii a 212+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】 4 3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是_______.【答案】]1,(-∞4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 . 【答案】125．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5）上的数据的频数为__________．【答案】 30．6．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x的值为 ▲ ．【答案】 47．在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则F 到双曲线错误！未找到引用源。

的渐近线的距离为 ▲ ．【答案】错误！未找到引用源。

8．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a <0，则a ▲ 2b -ab2。

(填“>”、“<”或“=”)【答案】错误！未找到引用源。

9．A B C∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边B C的中点，14A M AB m A C=+⋅，向量A M 的终点M 在A C D ∆的内部（不含边界），则A MB M⋅的取值范围是．【答案】 ()2,6-10．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比q 的取值集合是．【答案】22⎪⎪⎩⎭；11．已知棱长为1的正方体1111A B C D A B C D -，F 是棱B C 的中点，M 是线段1AF上的动点，则△1M D D 与△1M C C 的面积和的最小值是．【答案】10;12．已知函数2()(,)f x x a x b a b R =-++∈的值域为(,0]-∞，若关于x 的不等式()1f x c >-的解集为(4,1)m m-+，则实数c 的值为．【答案】214-13. 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )＝(k －1)x －1，g (x )＝0，h (x )＝(x ＋1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值集合为________．【答案】{2}14．若实数x , y 满足x －4y ＝2x －y ，则x 的取值范围是．【答案】{0} [4，20] .二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）如图，在xo y 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，A O B θ∠=（0θπ<<）（1）若点34(,)55B -，求tan ()4πθ+的值；（2）若O A O B O C+=，1813O B O C⋅=，求c o s()3πθ-.A ED C B15. （1）由于34(,55B -，A O B θ∠=，所以3c o s 5θ=-，4sin 5θ=，所以4ta n 3θ=-，所以1tan 1tan ()41tan 7πθθθ++==-- ；（2）由于(1,0)O A =,(c o s ,s in )O B θθ=,所以(1c o s ,s in )O CO AO B θθ=+=+,22218co s (1co s )sin co s co s sin 13O C O B θθθθθθ⋅=⨯++=++=.所以5co s 13θ=，所以12sin 13θ=，所以c o s()c o s c o s sinsin 33326πππθθθ-=+=.16．（本小题满分14分）如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ．（1）求证：AE //面DBC ；（2）若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．16．（1）过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC∩面ABC＝BC ，DO ⊂面DBC ，所以DO ⊥面ABC ．又AE ⊥面ABC ，则AE//DO ．又AE ⊄面DBC ，DO ⊂面DBC ，故AE //面DBC ．（2）由（1）知DO ⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以DO ⊥AB ．又AB ⊥BC ，且DO∩BC ＝O ，DO ，BC ⊂平面DBC ，则AB ⊥面DBC ．因为DC ⊂面DBC ，所以AB ⊥DC ．又BD ⊥CD ，AB∩DB ＝B ，AB ，DB ⊂面ABD ，则DC ⊥面ABD ．又AD ⊂面ABD ，故可得AD ⊥DC ．17．（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方A O 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的O B ．位于该市的某大学M 与市中心O 的距离O M m =，且AOM β∠=．现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在A B 部分为直线段，且经过大学M ．其中tan 2α=，3c o s β=15A Okm=．（1）求大学M 与站A 的距离AM ；（2）求铁路A B 段的长A B ．17. （1）在A O M ∆中，15A O=，A O Mβ∠=且c o s β=O M=，由余弦定理得，2222co s A MO A O MO A O M A O M=+-⋅⋅∠2215215=+-⨯⨯13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=A M ∴=M 与站A 的距离AM为m；（2）c o s β=，且β为锐角，sin β∴=在A O M ∆中，由正弦定理得，sin sin A M O M M A Oβ=∠,s in M A O=∠，sin 2M A O ∴∠=4M A Oπ∴∠=，4A B O πα∴∠=-，tan 2α=，sin α∴=，c o s α=又A O Bπα∠=-，sin sin ()A O Bπα∴∠=-=，在A O B ∆中，15A O =，由正弦定理得，sin sin A B A O A O BA B O=∠∠，即15A B =，3A B ∴=A B 段的长A B为3m．18．（本小题满分16分）设椭圆:C22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2e=yx =+与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线12x=与椭圆C 交于不同的两点,M N ，以线段M N 为直径作圆D ．若圆D与y 轴相交于不同的两点,A B ，求A B D ∆的面积；（3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P 交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P于点E ．设2AP的斜率为k ，E F 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．18. （1）圆O 的方程为222xyb+=，直线yx =+O 相切，b∴=，即1b =，又32e =，2∴=，2a ∴=， ∴椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）由题意，可得11((,2424MN -，∴圆D的半径4r=，2A B ∴=∴A B D∆的面积为112228S=⋅=；（3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，2A P 的斜率为k ，∴直线2A P 的方程为(2)y k x =-，由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640kx k x k+-+-=，其中2Ax=，228214Pkxk-∴=+，222824(,)1414kk P k k--∴++，则直线2B P的方程为211221)k yx k +=-+-（，令0y=，则2(21)21k x k -=+，即2(21)(,0)21k F k -+，直线12A B 的方程为220x y -+=，由220(2)x y y k x -+=⎧⎨=-⎩，解得4221421k x k ky k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，424(,)2121k kE k k +∴--，∴E F的斜率421212(21)4242121kkkmk kk k-+-==-+-+-，∴2112242km k k+-=⋅-=（定值）．19．(本小题满分16分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＋n＝2a n(n∈N*)．(1)证明：数列{a n＋1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，数列{b n}的前n项和为T n.求满足不等式T n－22n－1>2 010的n的最小值．19．(1)因为S n＋n＝2a n，所以S n－1＝2a n－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两式相减，得a n＝2a n－1＋1.所以a n＋1＝2(a n－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{a n＋1}为等比数列．因为S n＋n＝2a n，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2，所以a n＋1＝2n，所以a n＝2n－1.(2)因为b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，所以b n＝(2n＋1)·2n.所以T n＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①2T n＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②①－②，得－T n＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1＝6＋2×22－2n＋11－2－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1. 若Tn －22n －1>2 010，则122)12(1-⋅-+n n n >2 010，即2n ＋1>2 010.由于210＝1 024,211＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10. 所以满足不等式Tn －22n －1>2 010的n 的最小值是10.20.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x a x x =+，()g x b x=-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在2x=处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数h (x )的单调区间；（2）若0a=时函数h (x )有两个不同的零点x 1,x 2.①求b 的取值范围；②求证：1221x x e>.20. (1)因为1()f x a x x'=+，所以(1)1f a '=+,由(1)(1)2f g '=--可得a =b -3.又因为()f x 在2x=处取得极值，所以22f '=+，所以a = -2,b =1 . 所以2()ln h x xx x=-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x xxx-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12xx =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. （2）当0a=时，()ln h x x b x =+，其定义域为（0，+∞）.①由()0h x =得ln -x b x=，记ln ()x x xϕ=-，则2ln 1()x x xϕ-'=,所以ln ()x x xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增，所以当xe=时ln ()x x xϕ=-取得最小值1e-.又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ<, 所以b 的取值范围是（1e -，0）.②由题意得1122ln 0,ln 0x b x x b x +=+=,所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=,所以12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x 1<x 2,要证212xx e> , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x xx x x x x +=->-.即证2121212()ln ln x x xx x x -->+，设21(1)x tt x =>,则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++, 所以22214(1)()0(1)(1)t F t tt t t -'=-=>++,所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =，所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+,所以212x x e> .第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知点P (a ，b )，先对它作矩阵M 122122⎡-⎢=⎥⎥⎥⎣⎦对应的变换，再作N 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a ，b 的值．B ．依题意，NM 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1212⎡-⎢⎥⎥⎥⎦11⎡=⎥⎦，由逆矩阵公式得， (NM )1-144144⎡⎢=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣-⎢⎥⎣⎦，即有5a=，b=C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为s in ()4πρθ-=(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (2)已知P 为椭圆22:139xyC+=上一点,求P 到直线l 的距离的最小值.C.(1)直线l的极坐标方程s in 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin c o s 22θθ-=即sin co s 4ρθρθ-=,所以直线l 的直角坐标方程为40x y -+=;(2)P 为椭圆22139xy C +=:上一点,设o s 3s in )P αα,,其中[02)α∈π,,则P 到直线l的距离d==,所以当0c o s(60)1α+=-时,d的最小值为【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y为整数，则0ξ=；若x y为小于1的分数，则1ξ=-；若xy为大于1的分数，则1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．22．（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以81(0)162P ξ===；（2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），故63(1)168P ξ=-==；1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3），故21(1)P ξ===；所以ξ的分布列为：3111()1018284E ξ=-⨯+⨯+⨯=-，答：ξ的数学期望为14-．23．（本小题满分10分）已知2012(2)(1)(1)+(1)(*)n nn x a a x a x a x n N +=+-+--∈．⑴求0a 及1nnii Sa ==∑；⑵试比较nS 与2(2)32nn n-+的大小，并说明理由．23．⑴令1x =，则03na =，令2x =，则04nni i a ==∑，所以143nn ni i a ==-∑．⑵要比较nS 与2(2)32n n n -+的大小，只要比较4n 与2(1)32n n n -+的大小．当1n =时，24(1)32n n n n >-+，当2n =或3时，24(1)32n n n n <-+，当n=4或5时，24(1)32n n n n >-+ 猜想：当n ≥4时，24(1)32n n n n >-+．下面用数学归纳法证明： ①由上述过程可知，当4n =时，结论成立．②假设当*(,)n k k k =∈N ≥4时结论成立，即24(1)32k k k k >-+，两边同乘以4，得1212244(1)3232(1)[(4)342]k k k k k k k k k kk ⎡⎤>-=---⎣⎦+++++++6，而22(4)342(4)3(2)kkkkk k k k ---=---+6+6+2k +10(4)3(2)(1)0k k k k =-->+6++2k +10，所以1124[(1)1]32(1)k k k k>-+++++，即1n k =+时结论也成立．由①②可知，当4n ≥时，24(1)32n n n n >-+成立．综上所述，当1n =时，2(2)32n n S n n >-+；当2n =或3时，2(2)32n nS n n>-+；当4n ≥时，2(2)32n n S n n >-+．。

2018南京盐城高三一模数学答案

2018届南京、盐城高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. {1}2. 13. 1 2004. 15. 23 6. 67. (－∞，2] 8.3π49. ⎝⎛⎦⎤0，14 10. 4 034 11. ⎣⎡⎭⎫1，94 12. －3 13. 24 14. 100 15. 解析：(1) 因为ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以AB ∥A 1B 1，且AB ＝A 1B 1.又M ，N 分别是AB ，A 1B 1的中点，所以MB ＝A 1N ，且MB ∥A 1N ，所以四边形A 1NBM 是平行四边形，从而A 1M ∥BN.(4分)又BN ⊄平面A 1MC ，A 1M ⊂平面A 1MC ，所以BN ∥平面A 1MC.(6分)(2) 因为ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥底面ABC ，而AA 1⊂侧面ABB 1A 1，所以侧面ABB 1A 1⊥底面ABC.又CA ＝CB ，且M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB.因为由侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，侧面ABB 1A 1∩底面ABC ＝AB ，CM ⊥AB ，且CM ⊂底面ABC ，所以CM ⊥侧面ABB 1A 1.(8分)又AB 1⊂侧面ABB 1A 1，所以AB 1⊥CM.(10分)又AB 1⊥A 1M ，A 1M ，MC ⊂平面A 1MC ，且A 1M ∩MC ＝M ，所以AB 1⊥平面A 1MC.(12分)又A 1C ⊂平面A 1MC ，所以AB 1⊥A 1C.(14分)16. 解析：(1) 因为c ＝52b ，所以由正弦定理得sin C ＝52sin B.(2分) 又C ＝2B ，所以sin 2B ＝52sin B ，即4sin B cos B ＝5sin B.(4分) 又B 是△ABC 的内角，所以sin B>0，故cos B ＝54.(6分) (2) 因为AB →·AC →＝CA →·CB →，所以cb cos A ＝ba cos C ，由余弦定理得b 2＋c 2－a 2＝b 2＋a 2－c 2，得a ＝c ，(10分) 从而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝c 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫25c 22c 2＝35.(12分)又0<B<π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45，从而cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝cos B cos π4－sin B sin π4＝35×22－45×22＝－210.(14分)17. 解析：(1) 在图1中，连结MO 交EF 于点T.设OE ＝OF ＝OM ＝R.在Rt △OET 中，因为∠EOT ＝12∠EOF ＝60°，所以OT ＝R 2，则MT ＝OM －OT ＝R2，从而BE ＝MT ＝R2，即R ＝2BE ＝2.(2分)故所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF ＝13πR 2－12R 2sin 120°＝4π3－ 3.(4分)因为所得柱体的高EG ＝6－1×2＝4，所以V ＝S·EG ＝16π3－4 3.故当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为⎝⎛⎭⎫16π3－43立方分米．(6分)(2) 设BE ＝x ，则R ＝2x ，所以所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF ＝13πR 2－12R 2sin 120°＝⎝⎛⎭⎫4π3－3x 2.因为所得柱体的高EG ＝6－2x ，所以V ＝S·EG ＝⎝⎛⎭⎫8π3－23(－x 3＋3x 2)，其中0<x<3.(10分) 令f(x)＝－x 3＋3x 2，x ∈(0，3)，则由f′(x)＝－3x 2＋6x ＝－3x(x －2)＝0，解得x ＝2.(12分)当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：所以当x ＝2时，f(x)取得最大值．故当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．(14分)18. 解析：(1) 由N ⎝⎛⎭⎫3，32，Q ⎝⎛⎭⎫233，0得直线NQ 的方程为y ＝32x － 3.(2分) 令x ＝0，得点B 的坐标为(0，－3)．所以椭圆的方程为x 2a 2＋y 23＝1.(4分)将点N 的坐标⎝⎛⎭⎫3，32代入，得（3）2a 2＋⎝⎛⎭⎫3223＝1，解得a 2＝4. 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(8分)(2) 设直线BM 的斜率为k(k>0)，则直线BM 的方程为y ＝kx － 3. 在y ＝kx －3中，令y ＝0，得x P ＝3k，而Q 是线段OP 的中点，所以x Q ＝32k. 所以直线BN 的斜率k BN ＝k BQ ＝0－（－3）32k－0＝2k.(10分)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－83kx ＝0，解得x M ＝83k 3＋4k2. 用2k 代k ，得x N ＝163k3＋16k 2.(12分)又DN →＝2NM →，所以x N ＝2(x M －x N )，所以2x M ＝3x N .(14分) 故2×83k 3＋4k 2＝3×163k3＋16k 2.又k>0，解得k ＝62，所以直线BM 的方程为y ＝62x － 3.(16分) 19. 解析：(1) 由题意，可得a 2n ＝(a n ＋d)(a n －d)＋λd 2，化简得(λ－1)d 2＝0，又d ≠0，所以λ＝1.(4分)(2) 将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1×4＋λ，解得λ＝0，所以a 2n ＝a n ＋1a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n －1. (6分)欲存在r ∈[3，7]，使得m·2n －1≥n －r 恒成立，即r ≥n －m ·2n －1对任意n ∈N *都成立，则7≥n －m ·2n －1，所以m ≥n －72n －1对任意n ∈N *都成立．(8分) 令b n ＝n －72n －1，则b n ＋1－b n ＝n －62n －n －72n －1＝8－n2n ，所以当n >8时，b n ＋1b n .所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1128，所以m 的最小值为1128.(10分)(3) 因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2.①若T ＝2，则a n ＋2＝a n 恒成立，从而a 3＝a 1，a 4＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝a 21＋λ（a 2－a 1）2，a 21＝a 22＋λ（a 2－a 1）2，所以λ(a 2－a 1)2＝0.又λ≠0，所以a 2＝a 1，可得{a n }是常数列，与题干矛盾．所以T ＝2不合题意．(12分)②若T ＝3，取a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝3k －2，2， n ＝3k －1，－3， n ＝3k(k ∈N *)(*)，满足a n ＋3＝a n 恒成立．(14分)由a 22＝a 1a 3＋λ(a 2－a 1)2得λ＝7. 则条件式变为a 2n ＝a n ＋1a n －1＋7.由22＝1×(－3)＋7，知a 23k －1＝a 3k －2a 3k ＋λ(a 2－a 1)2；由(－3)2＝2×1＋7，知a 23k ＝a 3k －1a 3k ＋1＋λ(a 2－a 1)2；由12＝(－3)×2＋7，知a 23k ＋1＝a 3k a 3k ＋2＋λ(a 2－a 1)2. 所以数列(*)适合题意．所以T 的最小值为3.(16分)20. 解析：(1) 由f(x)＝ln x 得f(1)＝0.又f′(x)＝1x，所以f′(1)＝1.当c ＝0时，g(x)＝ax ＋b x ，所以g′(x)＝a －bx 2，所以g′(1)＝a －b.(2分)因为函数f(x)与g(x)的图象在x ＝1处有相同的切线，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝g′（1），f （1）＝g （1），即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－12.(4分)(2) 当x 0>1时，f(x 0)>0. 又b ＝3－a ，设t ＝f(x 0)，则题意可转化为方程ax ＋3－ax －c ＝t(t>0)在(0，＋∞)上有两相异实根x 1，x 2，(6分)即关于x 的方程ax 2－(c ＋t)x ＋(3－a)＝0(t>0)在(0，＋∞)上有两相异实根x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a<3，Δ＝（c ＋t ）2－4a （3－a ）>0，x 1＋x 2＝c ＋ta >0，x 1x 2＝3－a a >0，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a<3，（c ＋t ）2>4a （3－a ），c ＋t>0，所以c>2a （3－a ）－t 对t ∈(0，＋∞)，a ∈(0，3)恒成立．(8分) 因为0<a<3，所以2a （3－a ）≤2×⎝⎛⎭⎫a ＋（3－a ）22＝3，当且仅当a ＝32时取等号．又－t<0，所以2a （3－a ）－t 的取值范围是(－∞，3)，所以c ≥3.故c 的最小值为3.(10分)(3) 当a ＝1时，因为函数f(x)与g(x)的图象交于A ，B 两点，所以⎩⎨⎧ln x 1＝x 1＋bx 1－c ，ln x 2＝x 2＋bx 2－c ，两式相减，得b ＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1.(12分)要证明x 1x 2－x 2<b<x 1x 2－x 1，即证x 1x 2－x 2<x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1)<x 1x 2－x 1，即证1x 2<ln x 2－ln x 1x 2－x 1<1x 1，即证1－x 1x 2<ln x 2x 1<x 2x 1－1.(14分)令x 2x 1＝t ，则t>1，此时即证1－1t<ln t<t －1. 令φ(t)＝ln t ＋1t －1，所以φ′(t)＝1t －1t 2＝t －1t 2>0，所以当t>1时，函数φ(t)单调递增．又φ(1)＝0，所以φ(t)＝ln t ＋1t －1>0，即1－1t<ln t 成立；再令m(t)＝ln t －t ＋1，所以m′(t)＝1t －1＝1－t t <0，所以当t>1时，函数m(t)单调递减，又m(1)＝0，所以m(t)＝ln t －t ＋1<0，即ln t<t －1也成立．综上所述，实数x 1，x 2满足x 1x 2－x 2<b<x 1x 2－x 1.(16分) 21. A. 解析：如图，连结AE ，OE .因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE ⊥OE . 因为AD ⊥DE ，所以AD ∥OE ，所以∠DAE ＝∠OEA .① 在⊙O 中，因为OE ＝OA ，所以∠OEA ＝∠OAE ，②(5分)由①②得∠DAE ＝∠OAE ，即∠DAE ＝∠F AE . 因为∠ADE ＝∠AFE ，AE ＝AE ，所以△ADE ≌△AFE ，所以DE ＝FE . 又因为DE ＝4，所以FE ＝4，即点E 到直径AB 的距离为4.(10分)B. 解析：设P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，则x 20＋y 20＝1.设点P (x 0，y 0)在矩阵M 对应的变换下所得的点为Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x ，y 0＝y ，(5分) 代入x 20＋y 20＝1，得x 24＋y 2＝1，即为所求的曲线方程．(10分)C. 解析：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，得ρ(cos θcos π3－sin θsin π3)＝1，所以直线的直角坐标方程为x －3y －2＝0. (5分)因为曲线ρ＝r 转化成直角坐标方程为圆x 2＋y 2＝r 2，所以圆心到直线的距离d ＝|0－3×0－2|1＋3＝1.因为直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1与曲线ρ＝r (r >0)相切，所以r ＝d ，即r ＝1.(10分)D. 解析：由柯西不等式，得[x 2＋(3y )2][12＋⎝⎛⎭⎫332]≥⎝⎛⎭⎫x ×1＋3y ×332，即43(x 2＋3y 2)≥(x ＋y )2. 又x 2＋3y 2＝1，所以(x ＋y )2≤43，所以－233≤x ＋y ≤233，(5分)由⎩⎨⎧x 1＝3y 33，x ＋y ＝233，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝36，所以当且仅当x ＝32，y ＝36时，(x ＋y )max ＝233. 所以当x ＋y 取最大值时x 的值为x ＝32. (10分) 22. 解析：(1) 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.因为OP ⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，4)，C(－2，0，0)，M(－1，0，2)，所以AP →＝(－2，0，4)，BM →＝(－1，－1，2)，AP →·BM →＝10，所以|AP →|＝25，|BM →|＝6，所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝1025×6＝306.故直线AP与BM 所成角的余弦值为306. (5分)(2) AB →＝(－2，1，0)，BM →＝(－1，－1，2)．设平面ABM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·AB →＝0，n·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，－x －y ＋2z ＝0.令x ＝2，则y ＝4，z ＝3，所以平面ABM 的一个法向量为n ＝(2，4，3)．因为平面P AC 的一个法向量为OB →＝(0，1，0)，所以n·OB →＝4，|n|＝29，|OB →|＝1，所以cos 〈n ，OB →〉＝n·OB →|n||OB →|＝429＝42929，故平面ABM 与平面P AC 所成锐二面角的余弦值为42929. (10分)23. 解析：(1) 由条件nf(n)＝C 0n C 1n ＋2C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C nn ，①在①中令n ＝1，即f(1)＝C 01C 11＝1.(1分)在①中令n ＝2，得2f(2)＝C 02C 12＋2C 12C 22＝6，即f(2)＝3.(2分)在①中令n ＝3，得3f(3)＝C 03C 13＋2C 13C 23＋3C 23C 33＝30，即f(3)＝10. (3分)(2) 猜想：f(n)＝C n 2n －1(或f(n)＝C n －12n －1)．(5分)欲证猜想成立，只要证等式n C n 2n －1＝C 0n C 1n ＋2C 1n C 2n ＋…＋r C r －1n C r n ＋…＋n C n －1n C nn 成立．当n ＝1时，等式显然成立；当n ≥2时，因为r Cr n＝r ×（n ！）r ！（n －r ）！＝n ！（r －1）！（n －r ）！＝n ×（n －1）！（r －1）！（n －r ）！＝n C r －1n －1，故r C r －1n C r n ＝(r C r n )C r －1n ＝n C r －1n －1C r －1n .故只需证明n C n 2n －1＝n C 0n －1C 0n ＋n C 1n －1C 1n ＋…＋n C r －1n －1C r －1n ＋…＋n C n －1n －1C n －1n，即证C n 2n －1＝C 0n －1C 0n ＋C 1n －1C 1n ＋…＋C r －1n －1C r －1n ＋…＋C n －1n －1C n －1n .而C r －1n ＝C n －r ＋1n ，故即证C n 2n －1＝C 0n －1C n n ＋C 1n －1·C n －1n ＋…＋C r －1n －1C n －r ＋1n ＋…＋C n －1n －1C 1n .②由等式(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n 可得左边x n 的系数为C n 2n －1.而右边(1＋x)n －1(1＋x)n ＝(C 0n －1＋C 1n －1x ＋C 2n －1·x 2＋…＋C n －1n －1x n －1)(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )，所以x n 的系数为C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C r －1n －1·C n －r ＋1n ＋…＋C n －1n －1C 1n .由(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n 恒成立可得②成立．综上，f(n)＝C n 2n －1成立．(10分)。

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题（总分160分，考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷.2 •本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3•答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.参考公式：柱体体积公式：V =Sh，其中S为底面积，h为高•一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分•不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1 .已知集合A = x（x -4）：：0?，B = 10,1,5?，则Al B = ▲______ .2.设复数z = a • i（a • R,i为虚数单位），若（1 i） z为纯虚数，则a的值为▲.3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80）（单位：分钟）内的学生人数为▲.频率4•执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为▲.5•口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球, 则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲.2 22 x y6•若抛物线y =2px的焦点与双曲线1的右焦点重合，则实数p的值为▲.4 517•设函数y =e x—-a的值域为A，若A [0,=），则实数a的取值范围是_________________ ▲ _____e&已知锐角〉，1满足tan : -1 tan 1 -1：严2」一：的值为▲.9•若函数y =sin「x在区间[0,2二]上单调递增，则实数-■的取值范围是▲.10.设S n为等差数列唧的前n项和，若fa,的前2017项中的奇数项和为2018，则S20仃的值为 ____ ▲ _____[x(3 —x),11.设函数f (x)是偶函数，当x 》0寸，f (x) =31,xQ <x < 3,，若函数y= f(x)_m 有四个不同x>3的零点，则实数m12.在平面直角坐标系 T T满足 OP 二▲ ___ .xOy 中，若直线y=k(x-3、. 3)上存在一点P ，圆则实数k 的最小值为 ▲的取值范围是2 2X (y-1)=1上存在一点Q ,13•如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1,正六边形的顶点”若代B,C, D 四点均位于图中的晶格点”处，且A,B 的位置所AB CD 的最大值为14.若不等式 ksin B sin AsinC 19sin BsinC 对任意 L ABC 都成立，小值为 ▲二、解答题(本大题共6小题，计90分•解答应写出必要的文字说明，算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，CA =CB ，点M ,N 分别是AB,入日的中点. (1) 求证：BN //平面 A 1MC ;(2) 若 RM _ AB 1，求证：AB 1 _ A ,C .证明过程或演16.(本小题满分14分)75在.ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ，b,c,已知“亍(1)若 C =2B ，求 cosB 的值；T T T TJIAB AC =CA CB ，求 cos(B -)的值.(2)若C i则实数k 的最点称为"晶格图所示，则CB第15题图17.（本小题满分14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长•现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好..能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以0为圆心、.EOF =120的扇形,且弧E F ,G H 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N . （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？BM N” 1FJ I厂7* I18.（本小题满分16分）（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点M , N 均在y 轴右侧，且DN =2NM 时，求直线BM 的方程.第17题-图甲第17题-图乙如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 2C ：^_ 丄2 . 2a b x 轴交于点P,Q ，且点Q 是线段0P 的中点.当点 N 运动到 = 1（a b 0）的下顶点为B ，点M , N 是椭圆上异于点B 的动点，直线点（、一3, —°）处时，点Q 的坐标为 2（1）求椭圆C 的标准方程； .T —BM , BN 分别与 ,0)-MHN19.(本小题满分16分)设数列-a n i a n j (a ? - aj ，其中 n …2，且 n N ,，.为常数.(1) 若是等差数列，且公差 d -- 0 ,求【的值；(2) 若a^1,a^2,a^4，且存在r [3,7]，使得m -a n P n - r 对任意的N *都成立，最小值； (3) 若■ -0，且数列：a n /不是常数列，如果存在正整数T ,使得a na n 对任意的n ・N 求所有满足条件的数列fa n?中T 的最小值.20.(本小题满分16分)K设函数 f(x) =1 nx , g(x)二ax ----------- c ( a,b,c R ).x(1) 当c =0时，若函数f (x)与g(x)的图象在x =1处有相同的切线，求 a,b 的值；(2)当b =3-a 时，若对任意(1「：)和任意a (0, 3)，总存在不相等的正实数治宀g(x ,) = g(x 2)= f(xJ ,求 c 的最小值； (3) 当 a =1 时，设函数 y 二 f (x)与 y = g(x)的图象交于 A(X 1,yJ, B(x 2, y 2)(x 1 :: x 2)两点. XM 2 - x 2 :: b ::x-ix 2 - x,.求m 的*均成立.，使得求证：南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21. ［选做题］（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做 2题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修4-1 :几何证明选讲）如图，已知 AB 为O O 的直径，直线 DE 与O O 相切于点E , AD 垂直DE 于点D .若DE =4，求切点E 到直径AB 的距离EF .B （选修4-2 :矩阵与变换）C .（选修4-4:坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线 ?cos （）=1与曲线】-r （ r 0）相切，求r 的值.D .（选修4-5 :不等式选讲）已知实数x, y 满足x 2 3y 2 = 1,求当x y 取最大值时x 的值.EDB第21(A)图已知矩阵MM 的变换下所得的曲线方程［必做题］(第22、23题，每小题10分，计20分•请把答案写在答题纸的指定区域内) 22.(本小题满分10分)如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点0 , 0P _底面ABCD , 中点，AC 4, BD 2, OP =4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值；(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.23.(本小题满分10分)已知n E N*, nf (n ) = C0C；+2C：C n2+ …+ rC n」C n r+ …+ nC：」C；；.(1)求f 1 , f 2 , f 3 的值；(2)试猜想f n的表达式(用一个组合数表示)，并证明你的猜想.M为PC14分2南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题: :本大题共14小题，每小题 5分，计 70分.1•⑴2 • 1 3•1200 4. 12 5.—36. 6 7•(」：，2]3 二8./c 1. 9. (0,—]10 • 403411.[1,9) 12. -、, 313. 2414. 100444二、解答题：本大题共 6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.J 5又C6，所以弘込亍证，即.3 ^24 ^2)=cosBcos sin Bsin4 4 45 2 5 2 17•解：(1)在图甲中，连接 MO 交EF 于点T •设OE =OF =OM 1R在 Rt OET 中，因为 EOT EOF -60，所以 OT ,22又B 是 ABC 的内角，所以sinB 0，故cos^-5 •4T T T T(2)因为AB AC 二CA CB ,所以cbcosA 二bacosC ，则由余弦定理, 得 b 2 c 2 _a 2 =b 2 a 2 -c 2，得 a = c •c 2 c 210分2 2 2a c -b 从而cosB2acc)22c 2=3 5，12分又 0 ：： B ：：二，所以 sin B二 1 -cos 2 B =—515•证明：(1)因为ABC -ABQ 1是直三棱柱，所以 AB//AB 1，且AB = AB , 又点M , N 分别是AB,A 1B 1的中点，所以 MB = AN ，且MB / /AN • 所以四边形 ANBM 是平行四边形，从而 A 1M //BN .又BN 二平面A ,MC , A 1M 平面AMC ，所以BN //面A ,MC .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以 AA _底面ABC ，而AA 二侧面ABB 1A 1 所以侧面ABBA _底面ABC .又CA =CB ，且M 是AB 的中点，所以CM _ AB .则由侧面ABBA _底面ABC ，侧面AB3A 门底面ABC = AB ,CM _ AB ，且 CM 底面 ABC ，得 CM 又 AB 1 侧面 ABB 1A 1，所以 AB _CM .又 AB 1 _ AM , AM , MC 平面 AMC , 所以AB 1 _平面AMC .又AC 平面AMC ，所以AB 1 _ AC .4516•解：(1)因为b ，则由正弦定理，得—侧面ABBd . 且 AM P1MC =M ,Si 心于sinB .分 10分 12分 14分10 二R ,Tt从而cos(B ■-2kR从而 BE =MT ，即 R =2BE =2.2 故所得柱体的底面积 S = S 扇形OEF - S OEF 1 2 1 2 4：';,R 2 R 2sin120 3 . 3 2 3 又所得柱体的高EG = 4 , 16 二所以 V 二S EG 4、3. 3 答：当BE 长为1分米时」、r 16二为 43立方分米. 3 (2)设 BE 二x ，则 R =2x , _ 1 S = S 扇形 OEF _ S OEF - - 3 又所得柱体的高EG=6-2x , 所以 V =S EG =(82；3)( -x 3 3x 2)，其中 0 ： x 3.3令 f (x)二-x 33x 2,x (0,3)，则由 f (x)二-3x 26x = -3x(x - 2) = 0 , 解得x =2.列表如下：折卷成的包装盒的容积 2分所以所得柱体的底面积 2 1 24f 'R 2 R 2 si n120 =( —2 3 1(分12所以当答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大 .一/QC ”一Q18.解：(1)由 N(J 3, ¥2),Q(2J 3,0),得直线 NQ 的方程为 y = 3x -3. 2 3214令x = 0 ,得点B 的坐标为(0^ ,3). 2 2 所以椭圆的方程为y 1. a 2 3 将点N 的坐标 c-3, 2 a 2 2 所以椭圆C 的标准方程为 — y 1 . 4 3 (2)方法一：设直线 BM 的斜率为k(k 0), 在 y = kx - 3 中，令 y = 0 ,得 x P -k31，解得 a 2 = 4 .则直线BM 的方程为y 二kx -3 ，而点Q 是线段0P 的中点，所以所以直线BN 的斜率k BN 二k BQ = °一(「3) =2k .晅一02k10•6分l y = kx _ 3联立x 2y 21.43同理，得「:笃■2』型 3 -1，即一3%2 2% -、3丄 0,9 27.=：：；3 4、2 \3解得y^j = - - 3 (舍)或 y .又x 1 0，所以点M 的坐标为M (,) .•… 3 33 故直线BM 的方程为y 6x …3 ...........219.解：(1)由题意，可得 a n 2 =(a n • d)(a n -d) •，d 2 ,化简得(■ -1)d 2 =0，又d = 0，所以’=1. •……(2)将印=1,a 2 =2, a 3 = 4代入条件，可得 4=1 4,解得，=0 ,所以a .2 =a n 何」，所以数列也［是首项为1，公比q = 2的等比数列，所以a^2nJ 欲存在r ［3,7］，使得m 仝心…n -r ，即r …n -m 2n4对任意n ，N 都成立，16、、3k2・ 3 16k 用2k 代k ，得x N T —又 DN = 2NM ，所以 X N = 2(X M -X N )，得 2X M = 3X N ・ ... 83k 16.3k 6故2 2=3 2，又k > 0，解得k = 3+4k 3 + 16k 2所以直线BM 的方程为y 6 x - 3・ …… 2 方法二：设点 M , N 的坐标分别为他，yj,( x 2, y 2). 由 B(0, —•、, 3)，得直线 BN 的方程为 y 二 _y _丄3 x —、3，令 y = 0，得 x P 二 3x \y^V3y i X i12分 14分16分,消去 y ，得(3 亠4k )x -8, 3kx = 0，解得 x M8 3k 23 4k而点Q 是线段OP 的中点，所以x P =2X Q ，故 3x ^ -_2 3X 2 y 2 +V 3又吧2忒所以x —)，得x ^f x1 °，从而143/3，解得y 2 = 4 y -3 3r _2X ?x 〔3 4 左10分12分2 X i 代入到椭圆C 的方程中，得 — -(4^13^ =1 .9 2714分16分2又g 号，所以120•解：(1)由 f(x) =1 n x ，得 f(1)=0,又 f (x)二丄，所以 f ⑴刊,.x当 c =0时，g(x)二 ax • —，所以 g (x)二 a -巧，所以 g (1) = a - b •x x因为函数f (x)与g(x)的图象在x =1处有相同的切线， -22(2)当 x 0 畀时，则 f (^)) 0 ,又 b =3「a ，设 t = f(x °),A _a则题意可转化为方程 ax c =t(t 0)在(0, •二)上有相异两实根 x 1,x 2.•x即关于x 的方程ax -(c t)x (^a^0(t 0)在(0,=)上有相异两实根 “x ?.1n —7 *则7…n _m -2n_，所以m …一育对任意n 三N 都成立.2令 b n -7 b b n -6 n-7 8-n 令 b n 2^，贝V b n 1 —5 班尹，所以当n . 8时，b n .1 < bn ；当n = 8时，b 9 bs ;当1所以b n 的最大值为b 9 =b 8 ：128(3)因为数列Ca n ［不是常数列，所以，所以m 的最小值为n ：：：8 时，b n !b n .1 1281(分①若T =2，则a n 2 = a n 恒成立, 所以’心2 -3!)2 = 0,又所以T I a ? — a^Z"(a^ - a 1) 从而a 3 = q , a^ a 2，所以22]a 〔 a^Z'■(a^ _ a 1)所以a^a1，可得faj 是常数列•矛盾.②若T =2不合题意.2, ,-312分由a 2n =3k -2n =3k —1(k^N *) (*)，满足 a n ^=a n 恒成立. n = 3k2=3，取 a n =14分= aia^ ■ (a 2 -a 1)，得农=7.则条件式变为a n 2二a n 1a n J 7 .2 2 2由 2 =1 (-3) ■ 7，知 a 3k Ja3k _2a3k ■' (a 2 - a1)；222由(-3)2 1 7，知 a 3k a 3k 二a 3k 1 ■ ' (a 2 - a1)；由 1 - ( -3) 2 ■ 7 ,知 a 3k 1 a 3k a 3k 2' (a 2 - aj .所以，数列(*)适合题意.16所以「⑴弋⑴l f(1) = g(1)，即a "二1，解得ab = 0b =_3第21(A)图0 c a <32沁.=(c t) — 4a(3-a) 0 c +tx 1 + x 2= > 0a3—a x-|X 2= >0 a所以 c - 2、a(3 -a) -t 对 t 三(0「3), a 三(0,3)恒成立.a (3 — a) 23(' ；)=3 (当且仅当a时取等号)，2 2 又-t :: 0，所以2 a(3_a)_t 的取值范围是(-：：,3)，所以c-3. 故c 的最小值为3. .....(3)当a =1时，因为函数f(x)与g(x)的图象交于 A,B 两点， bIn x^ x 1c为，两式相减，得匕=乂必2(1_——). ..........B-c X 2 7X 2因为 0 : a ：：：3，所以 2・、a(3—a)? 2 所以 10分12分要证明 XM 2 -x 2 :: b ：： XM 2 -论，即证为冷一x 2 ：：为冷(1 - — ) :: x-ix^x-i ,x 2 _ x 1 即证±;::阮2小「丄，即证1 汕乞：：竺一1.x-1 x ? x-1 x-114分x 2 x^x 1x 1令—=t ，则t 1，此时即证1 In t ：：：t -1 .x-i t11 1 t —1令“t)=l nt1，所以:(t)2 20,所以当t 1时，函数:(t)单调递增.1 1又「(1)=0，所以：(t) =l nt 1 0，即 1 In t 成立； 1 -t0 ,所以当t 1时，函数 t1 再令 m(t) =1 n t -t 1，所以 m (t) = _ _1 tm(t)单调递减,又 m(1) =0，所以 m(t) = In t -t 1 ：： 0，即 Int :: t -1 也成立. 综上所述，实数x ,, x 2满足x ,x 2 -x 2 ::: b x 1x^x 1.16分附加题答案21. (A )解：如图，连接 AE , OE , 因为直线DE 与O O 相切于点E ，所以DE _ OE , 又因为AD 垂直DE 于D ，所以AD//OE ，所以• DAE =/OEA , 在O O 中 OE =OA ，所以 OEA 二 OAE ，② .......... 5 由①②得 DAE OAE ，即 DAE =/FAE , 又 ADE =<AFE , AE 二 AE ,所以：AD^ AFE ，所以 DE =FE ，又 DE =4，所以 FE =4, 即E 到直径AB 的距离为4. ....... (B )解：设 P x ),y 0 是圆 x 2 y 2 =1上任意一点，则 x ： y 2 =1,10分 ED BAF O9 c a c 32，得」(c+t) >4a(3—a),所以设点p X g ,y o 在矩阵M 对应的变换下所得的点为 Q x, y ， I _2 0][】=I,[y 」]0 j 一即x=2x 0,解得x °冷X , “来z y 2 代入x 2 y 2 =1,得— y^1，即为所求的曲线方程. 4 (C )解：以极点O 为原点，极轴 Ox 为x 轴建立平面直角坐标系, 由「cos( —)=1，得「(cosvcos sin v sin ) = 1, 3 3 3得直线的直角坐标方程为 x 一3y - 2 = 0. 曲线『=r ,即圆x 2 y 2 = r 2, 0_屁0_210分所以圆心到直线的距离为 d 二 .13 因为直线「cos(——)=1与曲线：—r ( r 0)相切，所以 310分(D )解：由柯西不等式，得[x 2(3y)2][12 V )2]_(x 1丘 ^4 2 2 2即一(x 3y ) _(x y). 3 而 x 2 3y 2 =1 , 所以 (x y)2 /，所以-2込 3 3 x罷申 1 _暑由/ Tx + y = 2 V 3 J 3，得所以当且仅当 x 公,y 上时，(x y)2 6max3 . 2 22.解：(1)因为ABCD 是菱形，所以AC_BD .又OP_底面ABCD , 别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则 A (空,0) ,B(0,1,0) ,P(0,0,4) ,C(-2,0,0) , M(-1,0,2). T —4 t所以AP =(-2,0, 4) , BM =(一1,一1,2) , AP BM =10, |AP| = 2 5 , | BM |=骑•— AP BM 则 COS ：：AP,BM A P所以当x y 取最大值时x 的值为以0为原点, 10分直线OA,OB,OP 分10 | AP||BM | 2丁5 江 J 6 V 3Q故直线AP 与BM 所成角的余弦值为 6 (2) AB =( -2,1,0) , BM =(-1,-1,2).设平面ABM 的一个法向量为 n = (x, y,z), 30 _ 6 P第22题图n AB =0 则n BM得平面ABM 的一个法向量为n =(2,4,3) • 又平面PAC 的一个法向量为 OB =(0,1,0)，所以则 cos c n,OB x £= ^_ = —,^29 .|n| |0B| V29 29-1个是编号为含有r 个黑球( 从袋中任意摸出另一方面，从袋中2n-1个小球中任意摸出故 C 2n 4 = Cn d Cn方法三：由二项式定理，得 (1+x)n =C ：4,29. 29由条件，nf (n FC ：C n +2c n c ： + …+rc n 叱n + …+nc ：」c n n =1，得 f (1)=C ；C ； =1.n=2，得 2f (2)=C ；C ； +2C 2C ； =6，得 f (2) = 3 • n =3,得 3f 3=C 0C 3 2C 3C | 3C ；C | =30，得 f 3 =10•故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为23•解:(1)在①中令在①中令在①中令 ①, 10分 (2)猜想f (n 尸C ；n 丄(或f (n 产；池)• 欲证猜想成立，只要证等式 n 。

18届江苏南京盐城高三第一次模拟考试数学试题及答案

南京市、盐城市2018届高三第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为▲．7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是▲．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为▲．时间(单位:分钟)频率组距50607080901000.035a 0.0200.0100.005第3题图Read xIf 0x >Thenln y x←Elsexy e ←End If Print y第4题图9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是▲．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为▲．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m=-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为▲．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =.（1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅ ，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个AB第13题图ACA 1B 1C 1MN第15题图底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点)2处时，点Q的坐标为(,0)3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.xy O BN M PQ D第18题图ADCB EG FOM N H第17题-图甲NEFG第17题-图乙（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅- m 对任意的*n N ∈都成立，求m m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）.（1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D .若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）ABEDF O ·第21(A)图如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.MABCDOP第22题图1．{}12．13．12004．15．236．67．(,2]-∞8．34π9．1(0,]410．403411．9[1,)412．13．2414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ．……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ．…………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ．……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥．……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M = ，所以1AB ⊥平面1A MC ．……………12分又1A C ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥．……………14分16．解：（1）因为52c b =，则由正弦定理，得5sin sin 2C B=．……………2分又2C B =，所以sin 2sin 2B B=，即4sin cos B B B =．……………4分又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故5cos 4B =．……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =．……………10分从而2223cos 25a c b B ac +-===，……………12分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-．……14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==.……………2分故所得柱体的底面积OEFOEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=-.……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-.…………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<.………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =.…………………12分列表如下：x (0,2)2(2,3)()f x '＋0－()f x 增极大值减所以当2x =时，()f x 取得最大值.答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由32N Q，得直线NQ 的方程为32y x =-．………2分令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=．…………………4分将点N 的坐标2代入，得222((3)213a+=，解得24a =．ADCB EG FO MNHT所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P xk =，而点Q 是线段OP的中点，所以2Q x k =．所以直线BN 的斜率22BN BQk k k k===．………………10分联立22143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)0k x +-=，解得234M x k =+．用2k 代k ，得2316N x k =+．………………12分又2DN NM =，所以2()N M N xx x =-，得23M N x x =．………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =．所以直线BM 的方程为62y x =．………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)xy x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =-，令0y =，得P x =同理，得Qx =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==．………10分又2DN NM = ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>43=，解得21433y y =+．………12分将212123433x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C 的方程中，得2211(41927x y ++=．又22114(1)3yx=-，所以21214(1)(431927yy-+=21120y+=，解得1y=（舍）或13y=．又1x>，所以点M的坐标为(,33M．……………14分故直线BM的方程为2y x=．…………………16分19．解：（1）由题意，可得22()()n n na a d a d dλ=+-+，化简得2(1)0dλ-=，又0d≠，所以1λ=.………………4分（2）将1231,2,4a a a===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n na a a+-=，所以数列{}n a是首项为1，公比2q=的等比数列，所以12nna-=…6分欲存在[3,7]r∈，使得12nm n r-⋅-，即12nr n m--⋅对任意*n N∈都成立，则172nn m--⋅，所以172nnm--对任意*n N∈都成立.………………8分令172n nnb--=，则11678222n n n n nn n nb b+-----=-=，所以当8n>时，1n nb b+<；当8n=时，98b b=；当8n<时，1n nb b+>．所以n b的最大值为981128b b==，所以m的最小值为1128.………………10分（3）因为数列{}n a不是常数列，所以2T ．①若2T=，则2n na a+=恒成立，从而31a a=，42a a=，所以22221212221221()()a a a aa a a aλλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a aλ-=，又0λ≠，所以21a a=，可得{}n a是常数列．矛盾．所以2T=不合题意.………………12分②若3T=，取*1,322,31()3,3nn ka n k k Nn k=-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n na a+=恒成立．……14分由2221321()a a a a aλ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n na a a+-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k ka a a a aλ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k ka a a a aλ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k ka a a a aλ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3.………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x '=，所以(1)1f '=，.当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-.…2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x -+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立．………………8分因为03a <<，所以3=2（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3.………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--.……………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-.………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t -<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t -<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，①在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4.………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程.………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos(13πρθ+=，得(cos cos sin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=．………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．ABE DF O ·第21(A)图因为直线cos(13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =.10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](133x x ++≥⨯+⨯，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤，………5分由133x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当,26x y ==时，max ()x y +=．所以当x y +取最大值时x的值为2x =.………………10分22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =- ，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||AP =，||BM =．则cos ,6||||AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM所成角的余弦值为6.………5分（2）(2,1,0)AB =- ，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，所以n 4OB ⋅=，||n = ||1OB = ．则cos ,||||n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC……………10分23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+①，MABCDOP第22题图xyz在①中令1n =，得()011111f C C ==．………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =．…………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =．……3分（2）猜想()f n =21n n C -（或()f n =121n n C --）．………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n n n n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++ ，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立.………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n r n n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++ ．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n n C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++ ，即②成立.余下同方法一.…………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x+=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++ ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立.………………10分。

2018年江苏省盐城市、南京市高考高三数学一模试卷及解析

2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.(5分)已知集合A＝{x|x(x﹣4)＜0},B＝{0,1,5},则A∩B＝.2.(5分)设复数z＝a＋i(a∈R,i为虚数单位),若(1＋i)•z为纯虚数,则a的值为.3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为.4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x＝0,则输出的y的值为.5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.6.(5分)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为.7.(5分)设函数y＝e x﹣a的值域为A,若A⊆[0,＋∞),则实数a的取值范围是.8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,则α＋β的值为.9.(5分)若函数y＝sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是.10.(5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为.11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)＝,若函数y＝f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是.12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝k(x﹣3)上存在一点P,圆x2＋(y﹣1)2＝1上存在一点Q,满足＝3,则实数k的最小值为.13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为.14.(5分)若不等式ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为.二、解答题(共6小题,满分90分)15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA＝CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证：BN∥平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1,求证：AB1⊥A1C.16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c＝.(1)若C＝2B,求cosB的值；(2)若＝,求cos(B)的值.17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF 是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大？18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(a＞b＞0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点()处时,点Q的坐标为().(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且＝2时,求直线BM的方程.19.(16分)设数列{a n}满足a＝a n＋1a n﹣1＋λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.(1)若{a n}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值；(2)若a1＝1,a2＝2,a3＝4,且存在r∈[3,7],使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值；(3)若λ≠0,且数列{a n}不是常数列,如果存在正整数T,使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值.20.(16分)设函数f(x)＝lnx,g(x)＝ax＋(a,b,c∈R).(1)当c＝0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,求a,b的值；(2)当b＝3﹣a时,若对任意x0∈(1,＋∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0),求c的最小值；(3)当a＝1时,设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1＜x2)两点.求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1：几何证明选讲]图21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE＝4,求切点E到直径AB的距离EF.[选修4-2：矩阵与变换]22.(10分)已知矩阵M＝,求圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中,直线ρcos(θ＋)＝1与曲线ρ＝r(r＞0)相切,求r的值.[选修4-5：不等式选讲]24.已知实数x,y满足x2＋3y2＝1,求当x＋y取最大值时x的值.25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC＝4,BD＝2,OP＝4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值；(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.26.(10分)已知n∈N*,nf(n)＝C n0C n1＋2C n1C n2＋…＋nC n n﹣1C n n.(1)求f(1),f(2),f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.(5分)已知集合A＝{x|x(x﹣4)＜0},B＝{0,1,5},则A∩B＝{1} .【试题解答】解：∵集合A＝{x|x(x﹣4)＜0}＝{x|0＜x＜4},B＝{0,1,5},∴A∩B＝{1}.故答案为：{1}.2.(5分)设复数z＝a＋i(a∈R,i为虚数单位),若(1＋i)•z为纯虚数,则a的值为1.【试题解答】解：∵z＝a＋i,∴(1＋i)•z＝(1＋i)(a＋i)＝a﹣1＋(a＋1)i,又(1＋i)•z为为纯虚数,∴a﹣1＝0即a＝1.故答案为：1.3.(5分)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为1200.【试题解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的频率为：1﹣(0.005＋0.035＋0.020＋0.010)×10＝0.3,∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为：4000×0.3＝1200.故答案为：1200.4.(5分)执行如图所示的伪代码,若x＝0,则输出的y的值为1.【试题解答】解：根据题意知,执行程序后,输出函数y＝,当x＝0时,y＝e0＝1.故答案为：1.5.(5分)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.【试题解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,从袋中一次随机摸出2个球,基本事件总数n＝＝6,摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p＝.故答案为：.6.(5分)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数p的值为6.【试题解答】解：∵双曲线的方程,∴a2＝4,b2＝5,可得c＝＝3,因此双曲线的右焦点为F(3,0),∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线的右焦点重合,∴＝3,解之得p＝6.故答案为：6.7.(5分)设函数y＝e x﹣a的值域为A,若A⊆[0,＋∞),则实数a的取值范围是(﹣∞,2] .【试题解答】解：函数y＝e x﹣a的值域为A∵e x＝2,∴值域为A＝[2﹣a,＋∞).又∵A⊆[0,＋∞),∴2﹣a≥0,即a≤2.故答案为：(﹣∞,2].8.(5分)已知锐角α,β满足(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,则α＋β的值为.【试题解答】解：∵(tanα﹣1)(tanβ﹣1)＝2,可得：tanα＋tanβ＋1＝tanαtanβ,∴tan(α＋β)＝═﹣1,∵锐角α,β,可得：α＋β∈(0,π),∴α＋β＝.故答案为：.9.(5分)若函数y＝sinωx在区间[0,2π]上单调递增,则实数ω的取值范围是(0,] .【试题解答】解：由函数y＝sinωx,图象过原点,可得ω＞0在区间[0,2π]上单调递增,∴,即.故答案为：(0,]10.(5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,则S2017的值为4034.【试题解答】解：因为S n为等差数列{a n}的前n项和,且{a n}的前2017项中的奇数项和为2018,所以S＝a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝1009×(a1＋a2017)×＝1009×a1009＝2018,得奇a1009＝2.＝a2＋a4＋a6＋…＋a2016＝1008×(a2＋a2016)×＝1008×a1009＝1008×2＝则S偶2016则S2017＝S奇＋S偶＝2018＋2016＝4034.故答案为：4034.11.(5分)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)＝,若函数y＝f(x)﹣m 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是[1,).【试题解答】解：由0≤x≤3可得f(x)∈[0,],x＞3时,f(x)∈(0,1).画出函数y＝f(x)与y＝m的图象,如图所示,∵函数y＝f(x)﹣m有四个不同的零点,∴函数y＝f(x)与y＝m的图象有4个交点,由图象可得m的取值范围为[1,),故答案为：[1,).12.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝k(x﹣3)上存在一点P,圆x2＋(y﹣1)2＝1上存在一点Q,满足＝3,则实数k的最小值为﹣.【试题解答】解：设P(x1,y1),Q(x2,y2)；则y1＝k(x1﹣3)①,＋(y2﹣1)2＝1②；由＝3,得,即,代入②得＋＝9；此方程表示的圆心(0,3)到直线kx﹣y﹣3k＝0的距离为d≤r；即≤3,解得﹣≤k≤0.∴实数k的最小值为﹣.故答案为：﹣.13.(5分)如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点”处,且A,B的位置所图所示,则的最大值为24.【试题解答】解：建立如图的直角坐标系,则A(,),B(0,0),那么容易得到C(0,5)时,D的位置可以有三个位置,其中D1(﹣,),D2(﹣,0),D3(﹣,),此时＝(﹣,﹣),＝(﹣,﹣),＝(﹣,﹣5),＝(﹣,﹣),则•＝21,•＝24,•＝22.5,则的最大值为24,故答案为：24.14.(5分)若不等式ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立,则实数k的最小值为100.【试题解答】解：∵ksin2B＋sinAsinC＞19sinBsinC,由正弦定理可得：kb2＋ac＞19bc,∴k＞,只需k大于右侧表达式的最大值即可,显然c＞b时,表达式才能取得最大值,又∵c﹣b＜a＜b＋c,∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c,∴＜19＋()＝20﹣()2＝100﹣(﹣10)2,当＝10时,20﹣()2取得最大值20×10﹣102＝100.∴k≥100,即实数k的最小值为100.故答案为：100二、解答题(共6小题,满分90分)15.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA＝CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.(1)求证：BN∥平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1,求证：AB1⊥A1C.【试题解答】证明：(1)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB＝A1B1,又点M,N分别是AB、A1B1的中点,所以MB＝A1N,且MB∥A1N.所以四边形A1NBM是平行四边形,从而A1M∥BN.又BN⊄平面A1MC,A1M⊂平面A1MC,所以BN∥平面A1MC；(2)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1⊂侧面ABB1A1,所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.又CA＝CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC＝AB,CM⊥AB,且CM⊂底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.又AB1⊂侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM.又AB1⊥A1M,A1M、MC平面A1MC,且A1M∩MC＝M,所以AB1⊥平面A1MC.又A1C⊂平面A1MC,所以AB⊥A1C.16.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c 已知c＝.(1)若C＝2B,求cosB的值；(2)若＝,求cos(B)的值.【试题解答】解：(1)因为c＝,则由正弦定理,得sinC＝sinB. …(2分)又C＝2B,所以sin2B＝sinB,即2sinBcosB＝sinB. …(4分)又B是△ABC的内角,所以sinB＞0,故cosB＝. …(6分) (2)因为＝,所以cbcosA＝bacosC,则由余弦定理,得b2＋c2﹣a2＝b2＋a2﹣c2,得a＝c. …(10分)从而cosB＝＝,…(12分)又0＜B＜π,所以sinB＝＝.从而cos(B＋)＝cosBcos﹣sinBsin＝. …(14分)17.(14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF 是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形,且弧,分别与边BC,AD相切于点M,N.(1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大？【试题解答】解：(1)在图甲中,连接MO交EF于点T.设OE＝OF＝OM＝R,在Rt△OET中,因为∠EOT＝∠EOF＝60°,所以OT＝,则MT＝0M﹣OT＝.从而BE＝MT＝,即R＝2BE＝2.故所得柱体的底面积S＝S扇形OEF ﹣S△OEF＝πR2﹣R2sin120°＝﹣,又所得柱体的高EG＝4,所以V＝S×EG＝﹣4.答：当BE长为1(分米)时,折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米.(2)设BE＝x,则R＝2x,所以所得柱体的底面积S＝S扇形OEF﹣S△OEF＝πR2﹣R2sin120°＝(﹣)x2,又所得柱体的高EG＝6﹣2x,所以V＝S×EG＝(﹣2)(﹣x3＋3x2),其中0＜x＜3.令f(x)＝﹣x3＋3x2,0＜x＜3,则由f′(x)＝﹣3x2＋6x＝﹣3x(x﹣2)＝0,解得x＝2.列表如下：x(0,2)2(2,3)f′(x)＋0﹣f(x)增极大值减所以当x＝2时,f(x)取得最大值.答：当BE的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大.18.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C：(a＞b＞0)的下顶点为B,点M,N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点()处时,点Q的坐标为().(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且＝2时,求直线BM的方程.【试题解答】解：(1)由N(),点Q的坐标为(),得直线NQ的方程为y＝x﹣,令x＝0,得点B的坐标为(0,﹣).所以椭圆的方程为＋＝1.将点N的坐标(,)代入,得＋＝1,解得a2＝4.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)：设直线BM的斜率为k(k＞0),则直线BM的方程为y＝x﹣.在y＝kx﹣中,令y＝0,得x P＝,而点Q是线段OP的中点,所以x Q＝.所以直线BN的斜率k BN＝k BQ＝＝2k.联立,消去y,得(3＋4k2)x2﹣8kx＝0,解得x M＝.用2k代k,得x N＝.又＝2,所以x N＝2(x M﹣x N),得2x M＝3x N,故2×＝＝3×,又k＞0,解得k＝.所以直线BM的方程为y＝x﹣19.(16分)设数列{a n}满足a＝a n＋1a n﹣1＋λ(a2﹣a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.(1)若{a n}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值；(2)若a1＝1,a2＝2,a3＝4,且存在r∈[3,7],使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值；(3)若λ≠0,且数列{a n}不是常数列,如果存在正整数T,使得a n＋T＝a n对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值.【试题解答】解：(1)由题意,可得a＝(a n＋d)(a n﹣d)＋λd2,化简得(λ﹣1)d2＝0,又d≠0,所以λ＝1.(2)将a1＝1,a2＝2,a3＝4,代入条件,可得4＝1×4＋λ,解得λ＝0,所以a＝a na n﹣1,所以数列{a n}是首项为1,公比q＝2的等比数列,＋1所以a n＝2n﹣1.欲存在r∈[3,7],使得m•2n﹣1≥n﹣r,即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立,则7≥n﹣m•2n﹣1,所以m≥对任意n∈N*都成立.令b n＝,则b n＋1﹣b n＝﹣＝,所以当n＞8时,b n＋1＜b n；当n＝8时,b9＝b8；当n＜8时,b n＋1＞b n.所以b n的最大值为b9＝b8＝,所以m的最小值为；(3)因为数列{a n}不是常数列,所以T≥2,①若T＝2,则a n＋2＝a n恒成立,从而a3＝a1,a4＝a2,所以,所以λ(a2﹣a1)2＝0,又λ≠0,所以a2＝a1,可得{a n}是常数列,矛盾.所以T＝2不合题意.②若T＝3,取a n＝(*),满足a n＋3＝a n恒成立.由a22＝a1a3＋λ(a2﹣a1)2,得λ＝7.则条件式变为a n2＝a n＋1a n﹣1＋7.由22＝1×(﹣3)＋7,知a3k﹣12＝a3k﹣2a3k＋λ(a2﹣a1)2；由(﹣3)2＝2×1＋7,知a3k2＝a3k﹣1a3k＋1＋λ(a2﹣a1)2；由12＝2×(﹣3)＋7,知a3k＋12＝a3k a3k＋2＋λ(a2﹣a1)2；所以,数列(*)适合题意.所以T的最小值为3.20.(16分)设函数f(x)＝lnx,g(x)＝ax＋(a,b,c∈R).(1)当c＝0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,求a,b的值；(2)当b＝3﹣a时,若对任意x0∈(1,＋∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0),求c的最小值；(3)当a＝1时,设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1＜x2)两点.求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.【试题解答】解：(1)由f(x)＝lnx,得f(1)＝0,又f′(x)＝,所以f′(1)＝1,当c＝0时,g(x)＝ax＋,所以g′(x)＝a﹣,所以g′(1)＝a﹣b,因为函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线,所以,即,解得a＝,b＝﹣；(2)当x0＞1时,则f(x0)＞0,又b＝3﹣a,设t＝f(x0),则题意可转化为方程ax＋﹣c＝t(t＞0)在(0,＋∞)上有相异两实根x1,x2. 即关于x的方程ax2﹣(c＋t)x＋(3﹣a)＝0(t＞0)在(0,＋∞)上有相异两实根x1,x2.所以,得,所以c＞2﹣t对t∈(0,＋∞),a∈(0,3)恒成立.因为0＜a＜3,所以2≥2•＝3(当且仅当a＝时取等号),又﹣t＜0,所以2﹣t的取值范围是(﹣∞,3),所以c≥3.故c的最小值为3.(3)当a＝1时,因为函数f(x)与g(x)的图象交于A,B两点,所以,两式相减,得b＝x1x2(1﹣),要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1,即证x1x2﹣x2＜x1x2(1﹣)＜x1x2﹣x1,即证＜＜,即证1﹣＜ln＜﹣1令＝t,则t＞1,此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1.令φ(t)＝lnt＋﹣1,所以φ′(t)＝﹣＝＞0,所以当t＞1时,函数φ(t)单调递增.又φ(1)＝0,所以φ(t)＝lnt＋﹣1＞0,即1﹣＜lnt成立；再令m(t)＝lnt﹣t＋1,所以m′(t)＝﹣1＝＜0,所以当t＞1时,函数m(t)单调递减,又m(1)＝0,所以m(t)＝lnt﹣t＋1＜0,即lnt＜t﹣1也成立.综上所述,实数x1,x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1.[选做题](在21.22.23.24四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)[选修4-1：几何证明选讲]图21.(10分)如图,已知AB为⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点E,AD垂直DE于点D.若DE＝4,求切点E到直径AB的距离EF.【试题解答】解：如图,连接AE,OE,因为直线DE与⊙O相切于点E,所以DE⊥OE,又因为AD⊥DE于D,所以AD∥OE,所以∠DAE＝∠OEA,①在⊙O中,OE＝OA,所以∠OEA＝∠OAE,②…(5分)由①②得∠DAE＝∠OAE,即∠DAE＝∠FAE,又∠ADE＝∠AFE,AE＝AE,所以△ADE≌△AFE,所以DE＝FE,又DE＝4,所以FE＝4,即E到直径AB的距离为4.…(10分)[选修4-2：矩阵与变换]22.(10分)已知矩阵M＝,求圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.【试题解答】解：设P(x0,y0)是圆x2＋y2＝1上任意一点,则＝1,设点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下所得的点为Q(x,y),则＝,即,解得,…(5分)代入＝1,得＝1,∴圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为＝1.…(10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中,直线ρcos(θ＋)＝1与曲线ρ＝r(r＞0)相切,求r的值.【试题解答】解：直线ρcos(θ＋)＝1,转化为：,曲线ρ＝r(r＞0)转化为：x2＋y2＝r2,由于直线和圆相切,则：圆心到直线的距离d＝.所以r＝1.[选修4-5：不等式选讲]24.已知实数x,y满足x2＋3y2＝1,求当x＋y取最大值时x的值.【试题解答】解：由柯西不等式,得[x2＋()2][12＋()2]≥(x•1＋)2,即≥(x＋y)2.而x2＋3y2＝1,所以(x＋y)2,所以﹣,…(5分)由,得,所以当且仅当x＝,y＝时,(x＋y)max＝.所以当x＋y取最大值时x值为.…(10分)25.(10分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC中点,AC＝4,BD＝2,OP＝4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值；(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.【试题解答】解：(1)因为ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,以O为原点,直线OA,OB,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系.则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(﹣2,0,0),M(﹣1,0,2).＝(﹣2,0,4),＝(01,﹣1,2),cos＜,＞＝＝＝.故直线AP与BM所成角的余弦值为.…(5分)(2)＝(﹣2,1,0),＝(﹣1,﹣1,2).设平面ABM的一个法向量为＝(x,y,z),则,令x＝2,得＝(2,4,3).又平面PAC的一个法向量为＝(0,1,0),∴cos＜＞＝＝＝.故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为.…(10分)26.(10分)已知n∈N*,nf(n)＝C n0C n1＋2C n1C n2＋…＋nC n n﹣1C n n.(1)求f(1),f(2),f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.【试题解答】解：(1)由条件,nf(n)＝C C C C①,在①中令n＝1,得f(1)＝1.在①中令n＝2,得2f(2)＝6,得f(2)＝3.在①中令n＝3,得3f(3)＝30,故f(3)＝10.(2)猜想f(n)＝.要证猜想成立,只要证等式n＝•＋2•＋…＋n•成立.由(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋x n①,两边同时对x求导数,可得n(1＋x)n﹣1＝＋2x＋3x2＋n x n﹣1②,把等式①和②相乘,可得n(1＋x)2n﹣1＝(＋x＋x2＋…＋x n)•(＋2x＋3x2＋n x n﹣1 ) ③.等式左边x n的系数为n,等式右边x n的系数为•＋•2＋•3＋…＋n•n＝•＋2•＋3•＋…＋n•＝C C C C,根据等式③恒成立,可得n＝C C C C.故f(n)＝成立.。

江苏南京市届高三第一次考数学试卷精编版

江苏南京市届高三第一次考数学试卷精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】南京市2018届高三数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}1,6,9A =，{}1,2B =，则A B =▲．2．复数(1i +2)a bi =+（,a b 是实数，i 是虚数单位），则a b +的值为▲． 3．函数2log (3)y x =-的定义域为▲．4．为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学，初中，高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800，则从初中抽取的学生人数为▲．5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S 的值是▲．6．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．则点数相同的概率是▲． 7．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点．若14AA =，2AB =，则四棱锥1B ACC D -的体积为▲．8. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5=5，S 9=27，则S 7=▲．9. 设α为锐角，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭▲.10. 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c =t a ?（1?t ）b ．若b ·c =0，则实数t 的值为▲．11. 已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是▲．12. 在直角坐标系xOy 中，已知A （?1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P 的个数为▲．13. 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x ?y 的最小值为▲．第5题开是输出S 否 n ←1，S ←n ≤3 S ←2S +1n ←n +1结14. 若2101m x mx -<+（m ?0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是▲．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=．（1）求角A 的大小；（2）若15a =，4b =，求边c 的大小．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ?ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）PA ∥平面MDB ；（2）PD ⊥BC ． 17.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.18.（本题满分16分）如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2MON π∠=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN . （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ；（2）设AOB θ∠=，求A 在MN 上何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？ 19．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x轴交于A 、B 两点．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．20．（本小题满分16分）已知数列{a n}的首项a1＝a，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：（1）若数列{a n}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{a n}是递增数列．南京市2018届高三数学试卷参考答案1.{1}∞（3,+）1610（-1，2）. 14.1-2∞（，-）17.解：（1）由题意知，直线l 的方程为2()y x a =-，即220x y a --=，∴右焦点F 到直线l5=，1a c ∴-=，……………………2分又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以24a c =，将此代入上式解得2,1a c ==，23b ∴=， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；……………………6分（2）由（1）知B ，(1,0)F ，……………………8分∴直线BF的方程为1)y x =-，……………………10分联立方程组221)143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得85x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩8(,55P -，…………12分 ∴直线l的斜率0(5825k --==-……………………14分方法二:由（1）知B ，(1,0)F ，∴直线BF的方程为1)y x =-，由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组1)(2)y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆解得：k =或k =，又由题意知，0y =<得0k >或k <，所以2k =.方法三：由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222431616120k x k x k +-+-=，221643A P k x x k +=+，所以2222168624343P k k x k k -=-=++,21243P k y k -=+，当,,B F P 三点共线时有，BP BF k k =，即222124386143kk k k -+=-+，解得k =或k =，又由题意知，0y =<得0k >或k <k =18.解：（1）如图，作OH AB ⊥于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，6AOB π∴∠=，…………2分2sin ,cos1212AB R OH R ππ∴==，1sin 212OE DE AB R π===cos sin 1212EH OH OE R ππ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭…………4分221sin cos 1662R R ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭…………6分（2）设02AOB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭…………7分则2sin ,cos 22AB R OH R θθ∴==，1sin 22OE AB R θ==cos sin 22EH OH OE R θθ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭…………9分()22sin cos 114R R πθθθ⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎥⎝⎭⎦…………12分0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭42ππθ∴+=即4πθ=时，)2max 1S R =，此时A 在弧MN 的四等分点处…………15分答：当A 在弧MN 的四等分点处时，)2max 1S R =…………16分19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞或x ＜0时，f ′(x )＞0，所以(－∞，0)和(，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；当0＜x ＜时，f ′(x )＜0，所以(0，)为函数f (x )的单调减区间．………………4分（2）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－恒成立，所以2t ≤3x 0＋恒成立，…………………6分因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋≥2＝，即3x 0＋≥，当且仅当x 0＝时取等号．所以2t ≤，即t 的最大值为．…………………8分（3）由（1）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝处取得极小值－．因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，所以直线l 的方程为y ＝－．…………………10分令f (x )＝－，所以x 2(x －t )＝－，解得x ＝或x ＝－．所以C （，－），D （－，－）．…………………12分因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形． AD ＝，且AD ＝AB ＝t ，所以＝t，解得：t＝．…………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）在S＝3n2a n＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，因为a n≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．…………………2分因为数列{a n}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3． (4)分经检验a＝3时，a n＝3n，S n＝，S n－1＝满足S＝3n2a n＋S．（2）由S＝3n2a n＋S，得S－S＝3n2a n，即(S n＋S n－1)(S n－S n－1)＝3n2a n，即(S n＋S n－1)a n＝3n2a n，因为a n≠0，所以S n＋S n－1＝3n2，(n≥2)，①……………6分所以S n＋1＋S n＝3(n＋1)2，②②－①，得a n＋1＋a n＝6n＋3，(n≥2)．③………………8分所以a n＋2＋a n＋1＝6n＋9，④④－③，得a n＋2－a n＝6，(n≥2)即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，………10分因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．所以a n＝…………………12分要使数列{a n}是递增数列，须有a＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，a n＜a n＋1，且当n为偶数时，a n＜a n＋1，1即a＜12－2a，3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，解得＜a＜．所以M＝(，)，当aM时，数列{a n}是递增数列．………………16分。

高考最新-2018年南京市高三第一次质量检测数学精品

2018年南京市高三第一次质量检测数学班级学号姓名成绩 18. 3. 4一．选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分) 1. 函数)2x (2x 1y ≠-=的反函数是 ( ) A. )0x (2x 1y ≠+= B. )R x (2x y ∈-=C. )0x (2x1y ≠-= D. )R x (2x y ∈+=2. 直线l 1, l 2互相平行的一个充分条件是 ( )A. l 1, l 2 都平行于同一个平面B. l 1, l 2与同一个平面所成的角相等C. l 1平行于 l 2 所在的平面D. l 1, l 2都垂直于同一个平面3. 若点)y ,x (A 是300°角终边上异于原点的一点, 则xy的值为 ( ) A.3 B. －3 C. 33 D. －334. 32)x2x (-的展开式的常数项为 ( )A. 6B. －6C. 12D. －12 5. 与直线05y 4x 3=++的方向向量共线的一个单位向量是 ( ) A. )4,3( B. )3,4(- C. )54,53( D. )53,54(- 6. 已知函数f (x)＝x 3x 3-, 则函数f (x)在区间]2,2[ -上的最大值是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在等比数列}a {n 中, 前n 项和为S n . 若,63S ,7S 63== 则公比q 的值是 ( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. －38. 若)1,2(P - 为圆⎩⎨⎧θ=θ+=sin 5y cos 51x )20(π<θ≤的弦的中点,则该弦所在直线的方程是( )A. 03y x =--B. 0y 2x =+C. 01y x =-+D. 05y x 2=--9. 已知双曲线的中心在坐标原点,离心率2e =,且它的一个顶点与抛物线x 8y 2-=的焦点重合,则此双曲线的方程为 ( )A.14y 12x 22=- B. 112y 4x 22=- C. 13y x 22=- D. 1y 3x 22=- 10. 5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数 ( )A. 18B. 24C. 36D. 48 11. 设正数x , y 满足,y log x log )3y x (log 222+=++则y x +的取值范围是 ( ) A. ]6,0( B. ),6[∞+C. ),71[∞++D. ]71,0(+12. 如图, 设点A 是单位圆上的一定点, 动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点P 所旋转过的弧的长为l , 弦AP 的长为d, 则函数的图象大致是 ( )二．填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13. 函数x cos x sin x cos y 2+=的最小正周期是 . 14. 如图, 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, ∠ABC ＝90°,AB ＝BC ＝AA 1＝2, 点D 是A 1C 1的中点, 则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为 . 15. 函数)1a 0()2x (log y a <<-=的定义域是.16. 已知)1,0(B ),0,3(A 坐标原点O 在直线AB 上的射影为点C, 则=⋅ .三．解答题(本大题6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)已知53sin ,21)tan(=β=α-π, ),2(ππ∈β . 求)2tan(β-α的值.18. (本小题满分12分)一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下:试根据以上统计数据估算:(1) 该选手一次射击射中8环以上(含8环)的概率;(2) 该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)的成绩的概率.19. (本小题满分12分)如图, 在矩形ABCD中, AB＝2BC, P, Q分别为线段AB, CD的中点,EP⊥平面ABCD.(1) 求证: AQ∥平面CEP;(2) 求证:平面AEQ⊥平面DEP;(3) 若EP＝AP, 求二面角Q—AE—P的大小.20. (本小题满分12分)已知数列}a {n 的前n 项和为).R a (n )1a (n S 2n ∈-+= 设集合}N n |)nS ,a {(A n n +∈= ,}.R y ,x ,1y x 41|)y ,x {(B 22∈=-=(1) 求数列}a {n 的通项公式;(2) 若以集合A 中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上? 并说明理由; (3) “B A 至多只有一个元素”是否正确? 如果正确, 请给予证明; 如果不正确, 请举例说明.21. (本小题满分12分) 已知函数)0x (1x x x3)x (f 2>++=.(1) 试确定函数)x (f 的单调区间,并证明你的结论; (2) 若1x ≥1, 2x ≥1, 证明: 1|)x (f )x (f |21<-22. (本小题满分14分)已知点P 与定点F )0,1( 的距离和它到定直线l: 4x 的距离之比是1 : 2.(1) 求点P 的轨迹C 方程;(2) 过点F 的直线交曲线C 于A, B 两点, A, B 在l 上的射影分别为M, N. 求证AN 与BM 的公共点在x 轴上.2018南京市高三第一次质量检测数学(答卷纸)班级学号姓名得分（每小题4分，共16分）13. ; 14. ; 15.;16.;三. 解答题（共74分）17．（本小题满分12分）解:18．（本小题满分12分）解:19．（本小题满分12分）解:20．（本小题满分12分）解:21．（本小题满分12分）解:22．（本小题满分14分）解：数学参考答案 2018－3－4（每小题4分，共16分）13. π ; 14. 30° ; 15. ]3,2(; 16. 43;三. 解答题（共74分） 17．（本小题满分12分）解: 21tan 21)tan(-=α⇒=α-π…………(2分) 34tan 1tan 22tan 2-=α-α=α⇒…………(4分) ),2(ππ∈β ,54sin 1cos 2-=β--=β∴,43tan -=β∴…………(8分)247)43)(34(1)43(34tan 2tan 1tan 2tan )2tan(-=--+---=β⋅α+β-α=β-α∴…………(12分) 18．（本小题满分12分）解: (1)用射中8环以上的频率作为概率的近似值,得射中8环以上的概率约为 8.0100253520p =++=…………(5分)(2)记一次射击击中10, 9环的概率粉身分别约为35.0p ,2.0p 21== ” …………(5分) “2发击中19环以上”可分别为以下两种互斥的事件…………(7分)记“两次均为10环”的事件为A, 则P =)A (0.18…………(9分) 记“一次10环,一次9环”的事件为B,则P =)B (14.035.02.02p p C 2112=⨯⨯=…………(11分) ∴P =+)B A (18.014.004.0=+…………(12分)19．（本小题满分12分）证明: (1)在矩形ABCD 中,∵AP ＝PB, DQ ＝QC, ∴AP CQ.∴AQCP 为平行四边形. ∴CP ∥AQ. …………(2分) ∵CP ⊂平面CEP, AQ ⊄平面CEP,∴AQ ∥平面CEP. …………(4分) (2) ∵EP ⊥平面ABCD, AQ ⊂平面ABCD,∴AQ ⊥EP. …………(5分)∵AB ＝2BC, P 为AB 中点, ∴AP ＝AD. 连PQ, ADQP 为正方形. ∴AQ ⊥DP. 又EP ∩DP ＝P, …………(6分) ∴AQ ⊥平面DEP. …………(7分)∵AQ ⊂平面AEQ. ∴平面AEQ ⊥平面DEP. …………(8分)(3)过P 作PO ⊥AE, 垂足为O, 连OQ. ∵QP ⊥AB, QP ⊥EP, ∴QP ⊥平面AEP. 则OQ ⊥AE.∴∠QOP 为二面角Q —AE —P 的平面角. …………(10分)∵EP ＝AP ＝AD AB 21=, ∴OP ＝22EP ＝22AP ＝22PQ.∴tan ∠POQ ＝arctan 2.即二面角Q —AE —P 的大小为arctan 2.…………(12分) 20．（本小题满分12分）解: (1)当1n =时, a 1a 1S a 11=-+==…………(1分)当2n ≥时, )]1n )(1a ()1n [(]n )1a (n [S S a 221n n n --+---+=-=- ＝2a n 2-+…………(3分) 可见, 当1n =时, 满足上式.所以, 数列}a {n 的通项公式是)N n (2a n 2a n +∈-+= …………(4分) (2)由数列}a {n 的通项公式是,2a n 2a n -+= 可知数列}a {n 是等差数列.∴=+=2)a a (n S n 1n 2)a a (n n +, ∴).a a (21n S n n +=…………(6分) ∴点)nS ,a (n n 的坐标满足方程),a x (21y +=∴点)nS ,a (n n 在直线)a x (21y +=上.所以, 以集合A 中的元素为坐标的点)nS ,a (n n 均在直线)a x (21y +=上. …………(8分)(3)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=4y 4x )a x (21y 22, 消去y, 得4a ax 22--=…………①…………(9分) 当0a =时, 方程①无解, 此时, ;B A ∅= …………(10分)当0a ≠时, 方程①只有一个解,a24a x 2+-= 此时方程组也只有一个解, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=a 44a y a2a 4x 22故上述方程组至多．．有一解, 所以B A 至多有一个元素…………(12分)21．（本小题满分12分）解: (1) 函数)x (f 在区间]1,0( 上是增函数, 函数)x (f 在区间),1[∞+ 上是减函数.………(1分) 下面证明: 设21x x 0<<, 则)x (f )x (f 21-)1x x )(1x x ()1x x (x 3)1x x (x 31x x x 31x x x 32221211212222122221211++++++-++=++-++= )1x x )(1x x ()]x x x x x ()x x x x x [(3222121221221121221++++++-++= )1x x )(1x x ()]x x ()x x x x [(322212121221221++++-+-=)1x x )(1x x ()]x x ()x x (x x [(3222121121221++++---= )1x x )(1x x ()1x x )(x x (32221212112++++--=,…………(3分) ∵43)21x (1x x 21121++=++,∴01x x 121>++, 同理01x x 222>++. 又21x x <, ∴0x x 12>-.…………(4分) ① 当1x x 021≤<<时, 1x x 21<, 01x x 21<-. ∴,0)x (f )x (f 21<-∴)x (f )x (f 21<. ∴函数)x (f 在区间]1,0( 上是增函数.②当21x x 1<≤时, 1x x 21>, ∴01x x 21>-. ∴,0)x (f )x (f 21>-∴)x (f )x (f 21>. ∴函数)x (f 在区间),1[∞+ 上是减函数. 综上所述: 函数)x (f 在区间]1,0( 上是增函数, 在区间),1[∞+ 上是减函数. …………(6分)(2) 由可知,函数在区间上减函数,∵,1x 1≥,1x 2≥∴1)1(f )x (f ,1)1(f )x (f 21=≤=≤…………(8分)又在函数1x x x 3)x (f 2++=中, ∵30x >, ,01x x 2>++ ∴0)x (f >.∴0)x (f 1>, 0)x (f 2>, ∴,1)x (f 01≤<1)x (f 02≤<…………(10分) ∴,1)x (f 01≤<0)x (f 12<≤-, ∴1)x (f )x (f 121<-<-. ∴1|)x (f )x (f |21<-.…………(12分)22．（本小题满分14分）解： (1) 如图(1) 设P 点的坐标为)y ,x ( ,则由题设得:21|4x |y )1x (22=-+-, 化简得: 222)4x (]y )1x [(4-=+-,即,12y 4x 322=+即13y 4x 22=+. ∴点P 的轨迹C 的方程是13y 4x 22=+.…………(5分) (2) ①当AB 轴时, AB 的坐标分别为)23,1( , )23,1( -,AN 与BM 的交点为)0,25( 在x 轴上. …………(6分)②当AB 不垂直于x 轴时,设直线AB 的方程为)1x (k y -=,代入椭圆13y 4x 22=+,得0)12k 4(x k 8x )3k 4(2222=-+-+…………(7分) 设)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 则)y ,4(M 1 , )y ,4(N 2 ,且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+3k 412k 4x x 3k 4k 8x x 22212221…………(8分) ∵直线AN 方程是121121x x x x y y y y --=--, 直线BM 方程是4x 4x y y y y 2121--=--. 联列, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=----=--4x 4x y y y y x 4x x y y y y 212111121, 消去y, 得: 4x 4x 4x 4x 22--=--. 即,16x x x )8x x (2121-=-+ 即258x x 16x x x 2121=-+-=, …………(10分)把25x =代入直线AN 的方程11121x 4x x y y y y --=-- 得1212111121x 4y x y 25y 23)x 25(x 4y y y y --+=---+= 0x 4]4x x )x x (25[k 12121=---+=…………(13分)∴AN 与BM 交于点)0,25( 是x 轴上一定点. …………(14分)(2) 解法二: 如图(2) 当AB 不垂直于x 轴时,设AF ＝n, 则AM ＝2n, 设BF ＝m, 则BN ＝2m, 在△ABN 和△BAM 中, FH ∥AM, FH 1∥BN, ∴△ABN ∽△AFH 和△BAM ∽△BFH 1∴m2FHm n n BN FH AB AF =+⇒= mn mn2FH +=⇒,…………(10分)同理可推, ∴n 2FH n m mAM FH BA BF 11=+⇒= mn mn2FH 1+=⇒, …………(12分)∴1FH FH =,∴H 与H 1重合∴AN 与BM 交点是x 轴上一定点. …………(14分)。

南京、盐城2018年高三一模数学试题与答案解析

市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的、号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则AB = ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值围是 ▲ ．时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图第4题图8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ． 9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB AC ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截A第13题图 ABC A 1B 1C 1 MN第15题图取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．第17题-图甲 F 第17题-图乙19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412． 13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC，所以11AB A C ⊥． ……………14分16．解：（1）因为52c b =，则由正弦定理，得5sin C B =． ……………2分又2C B=，所以5sin 2B B =，即4sin cos 5B B B =． ……………4分又B是ABC ∆的角，所以sin 0B >，故5cos B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而2223cos 25a cb B ac+-===， (12)分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而34cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-． (14)分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=．从而2R BE MT ==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18．解：（1）由N Q，得直线NQ的方程为32y x=…………………2分令0x=，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x ya+=．…………………4分将点N的坐标)22(213+=，解得24a=．所以椭圆C的标准方程为22143x y+=． (8)分（2）方法一：设直线BM的斜率为(0)k k>，则直线BM的方程为y kx=在y kx=0y=，得Pxk=，而点Q是线段OP的中点，所以2Qxk=．所以直线BN的斜率2BN BQk k k===．………………10分联立22143y kxx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x+-=，解得234Mxk=+．用2k代k，得Nx=．………………12分又2DN NM=，所以2()N M Nxx x=-，得23M Nx x=．………………14分故23=0k>，解得k=．所以直线BM的方程为2y x =-． ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP的中点，所以2P Qx x =，故=…………………10分又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得2143y y =+ …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2211(41927x y ++=．又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -+=21120y +=，解得1y =（舍）或1y =．又10x >，所以点M 的坐标为M ．……………14分故直线BM 的方程为y x =-． …………………16分19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-，即12n r n m --⋅对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅，所以172n n m --对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n n nn n n n nb b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T ．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当c =时，()bg x ax x=+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t>对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以)2(3a +⨯=（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t tϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入22001x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，ABE DF O · 第21(A)图由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当26x y ==时，max ()x y += 所以当x y+取最大值时x 的值为2x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM . ………5分（2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．C第22题图设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则4cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n nnn n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n n n n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21nn f n C -=成立. ………………10分。

苏教版江苏省南京市高考数学一模试卷(理科)押题卷解析版

2018-2019年苏教版江苏省南京市高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B=．2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（5分）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是．5．（5分）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．6．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值是．7．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．8．（5分）设{an}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=．9．（5分）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．10．（5分）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是．11．（5分）在△ABC中，已知，，则的最大值为．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f （x）的最大值为．14．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T=a n对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．2018-2019年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）（2017•盐城一模）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B={﹣1}．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017•盐城一模）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2017•盐城一模）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．（5分）（2017•盐城一模）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）（2017•盐城一模）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．（5分）（2017•盐城一模）已知实数x，y满足，则的最小值是．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．【点评】本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7．（5分）（2017•盐城一模）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）（2017•盐城一模）设{an}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=63．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{an}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2017•盐城一模）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10．（5分）（2017•盐城一模）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是4．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，（S△EFG）max=，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值Vmax==．故答案为：4．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2017•盐城一模）在△ABC中，已知，，则的最大值为．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab 的运用．12．（5分）（2017•盐城一模）如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是512．【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣1，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=1，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．【点评】本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13．（5分）（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2017•盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣（c2﹣）2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣=﹣+c2=﹣（c2﹣）2，当且仅当a=b时等号成立，∴当c2=时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．【解答】证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．【解答】解：（1）因为c=，则由正弦定理，得sinC= sinB．…（2分）又C=2B，所以sin2B=sinB，即2sinBcosB=sinB．…（4分）又B是△ABC的内角，所以sinB＞0，故cosB=．…（6分）（2）因为=，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c．…（10分）从而cosB==，…（12分）又0＜B＜π，所以sinB==．从而cos（B+）=cosBcos﹣sinBsin=．…（14分）17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？【解答】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE=OF=OM=R，在Rt△OET中，因为∠EOT=∠EOF=60°，所以OT=，则MT=0M﹣OT=．从而BE=MT=，即R=2BE=2．故所得柱体的底面积S=S扇形OEF ﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=﹣，又所得柱体的高EG=4，所以V=S×EG=﹣4．答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米．（2）设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=（﹣）x2，又所得柱体的高EG=6﹣2x，所以V=S×EG=（﹣2）（﹣x3+3x2），其中0＜x＜3．令f（x）=﹣x3+3x2，0＜x＜3，则由f′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2）=0，解得x=2．列表如下：x（0，2）2（2，3）f′（x）+0﹣f（x）增极大值减所以当x=2时，f（x）取得最大值．答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．【解答】解：（1）由N（），点Q的坐标为（），得直线NQ的方程为y=x﹣，令x=0，得点B的坐标为（0，﹣）．所以椭圆的方程为+=1．将点N的坐标（，）代入，得+=1，解得a2=4．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）：设直线BM的斜率为k（k＞0），则直线BM的方程为y=x﹣．在y=kx﹣中，令y=0，得x P=，而点Q是线段OP的中点，所以x Q=．所以直线BN的斜率k BN=k BQ==2k．联立，消去y，得（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=．用2k代k，得x N=．又=2，所以x N=2（x M﹣x N），得2x M=3x N，故2×==3×，又k＞0，解得k=．所以直线BM的方程为y=x﹣19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T=a n对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．【解答】解：（1）由题意，可得a=（a n+d）（a n﹣d）+λd2，化简得（λ﹣1）d2=0，又d≠0，所以λ=1．（2）将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，a n﹣1，所以数列{a n}是首项为1，公比q=2的等比数列，所以a=a n+1所以a n=2n﹣1．欲存在r∈[3，7]，使得m•2n﹣1≥n﹣r，即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立，则7≥n﹣m•2n﹣1，所以m≥对任意n∈N*都成立．令b n=，则b n+1﹣b n=﹣=，＜b n；当n=8时，b9=b8；当n＜8时，b n+1＞b n．所以当n＞8时，b n+1所以b n的最大值为b9=b8=，所以m的最小值为；（3）因为数列{a n}不是常数列，所以T≥2，①若T=2，则a n=a n恒成立，从而a3=a1，a4=a2，+2所以，所以λ（a2﹣a1）2=0，又λ≠0，所以a2=a1，可得{a n}是常数列，矛盾．所以T=2不合题意．②若T=3，取a n=（*），满足a n+3=a n恒成立．由a22=a1a3+λ（a2﹣a1）2，得λ=7．则条件式变为a n2=a n+1a n﹣1+7．由22=1×（﹣3）+7，知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ（a2﹣a1）2；由（﹣3）2=2×1+7，知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ（a2﹣a1）2；由12=2×（﹣3）+7，知a3k+12=a3k a3k+2+λ（a2﹣a1）2；所以，数列（*）适合题意．20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．【解答】解：（1）由f（x）=lnx，得f（1）=0，又f′（x）=，所以f′（1）=1，当c=0时，g（x）=ax+，所以g′（x）=a﹣，所以g′（1）=a﹣b，因为函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，所以，即，解得a=，b=﹣；（2）当x0＞1时，则f（x0）＞0，又b=3﹣a，设t=f（x0），则题意可转化为方程ax+﹣c=t（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．即关于x的方程ax2﹣（c+t）x+（3﹣a）=0（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．所以，得，所以c＞2﹣t对t∈（0，+∞），a∈（0，3）恒成立．因为0＜a＜3，所以2≥2•=3（当且仅当a=时取等号），又﹣t＜0，所以2﹣t的取值范围是（﹣∞，3），所以c≥3．（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，所以，两式相减，得b=x1x2（1﹣），要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1，即证x1x2﹣x2＜x1x2（1﹣）＜x1x2﹣x1，即证＜＜，即证1﹣＜ln＜﹣1令=t，则t＞1，此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1．令φ（t）=lnt+﹣1，所以φ′（t）=﹣=＞0，所以当t＞1时，函数φ（t）单调递增．又φ（1）=0，所以φ（t）=lnt+﹣1＞0，即1﹣＜lnt成立；再令m（t）=lnt﹣t+1，所以m′（t）=﹣1=＜0，所以当t＞1时，函数m（t）单调递减，又m（1）=0，所以m（t）=lnt﹣t+1＜0，即lnt＜t﹣1也成立．综上所述，实数x1，x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．【解答】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，又因为AD⊥DE于D，所以AD∥OE，所以∠DAE=∠OEA，①在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②…（5分）由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，AE=AE，所以△ADE≌△AFE，所以DE=FE，又DE=4，所以FE=4，即E到直径AB的距离为4．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．【解答】解：设P（x0，y0）是圆x2+y2=1上任意一点，则=1，设点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y），则=，即，解得，…（5分）代入=1，得=1，∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为=1．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．【解答】解：直线ρcos（θ+）=1，转化为：，曲线ρ=r（r＞0）转化为：x2+y2=r2，由于直线和圆相切，则：圆心到直线的距离d=．所以r=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．【解答】解：由柯西不等式，得[x2+（）2][12+（）2]≥（x•1+）2，即≥（x+y）2．而x2+3y2=1，所以（x+y）2，所以﹣，…（5分）由，得，所以当且仅当x=，y=时，（x+y）max=．所以当x+y取最大值时x值为．…（10分）25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）．=（﹣2，0，4），=（01，﹣1，2），cos＜，＞===．故直线AP与BM所成角的余弦值为．…（5分）（2）=（﹣2，1，0），=（﹣1，﹣1，2）．设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=2，得=（2，4，3）．又平面PAC的一个法向量为=（0，1，0），∴cos＜＞===．故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为．…（10分）26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．【解答】解：（1）由条件，nf（n）=C C C C①，在①中令n=1，得f（1）=1．在①中令n=2，得2f（2）=6，得f（2）=3．在①中令n=3，得3f（3）=30，故f（3）=10．（2）猜想f（n）=．要证猜想成立，只要证等式n=•+2•+…+n•成立．由（1+x）n=+x+x2+…+x n①，两边同时对x求导数，可得n（1+x）n﹣1=+2x+3x2+n x n﹣1②，把等式①和②相乘，可得n（1+x）2n﹣1=（+x+x2+…+x n）•（+2x+3x2+n x n﹣1）③．等式左边x n的系数为n，等式右边x n的系数为•+•2+•3 +…+n•n=•+2•+3•+…+n•=C C C C，根据等式③恒成立，可得n=C C C C．故f（n）=成立．。

2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷及答案

2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B=．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p 的值为．7．（5分）设函数y=e x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是．8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是．10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为．11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=，若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3）上存在一点P，圆x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为．13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为．14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q 的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；=a n对任意（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B={1} ．【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，B={0，1，5}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为1．【解答】解：∵z=a+i，∴（1+i）•z=（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，又（1+i）•z为为纯虚数，∴a﹣1=0即a=1．故答案为：1．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为1200．【解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的频率为：1﹣（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.3，∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：4000×0.3=1200．故答案为：1200．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为1．【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数y=，当x=0时，y=e0=1．故答案为：1．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=．故答案为：．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p 的值为6．【解答】解：∵双曲线的方程，∴a2=4，b2=5，可得c==3，因此双曲线的右焦点为F（3，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=3，解之得p=6．故答案为：6．7．（5分）设函数y=e x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：函数y=e x﹣a的值域为A∵e x=2，∴值域为A=[2﹣a，+∞）．又∵A⊆[0，+∞），∴2﹣a≥0，即a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．【解答】解：∵（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，可得：tanα+tanβ+1=tanαtanβ，∴tan（α+β）=═﹣1，∵锐角α，β，可得：α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案为：．9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是（0，] ．【解答】解：由函数y=sinωx，图象过原点，若ω＜0，图象在x轴下方单调递减，∴ω＞0，因为y=Sinωx在[0，2π]单调递增，说明其至少在[0，2π]单调递增，则其周期至少8π，∴，即．故答案为：（0，]10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为4034．【解答】解：因为S n为等差数列{a n}的前n项和，且{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，所以S=a1+a3+a5+…+a2017=1009×（a1+a2017）×=2018，得a1+a2017═4．奇则S2017=（a1+a2017）=2017×2=4034故答案为：4034．11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=，若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是[1，）．【解答】解：由0≤x≤3可得f（x）∈[0，]，x＞3时，f（x）∈（0，1）．画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，∵函数y=f（x）﹣m有四个不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有4个交点，由图象可得m的取值范围为[1，），故答案为：[1，）．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3）上存在一点P，圆x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为﹣．【解答】解：【解法一】设P（x1，y1），Q（x2，y2）；则y1=k（x1﹣3）①，+（y2﹣1）2=1②；由=3，得，即，代入②得+=9；此方程表示的圆心（0，3）到直线kx﹣y﹣3k=0的距离为d≤r；即≤3，解得﹣≤k≤0．∴实数k的最小值为﹣．【解法二】设P（x，y），Q（x0，y0）；则+（y0﹣1）2=1①；由=3，得，即，代入①化简得x2+（y﹣3）2=9；∴点P的轨迹是圆心为（0，3），半径为3的圆的方程，又点P在直线kx﹣y﹣3k=0上，如图所示；则直线与该圆有公共点，即圆心到直线的距离为d≤r；∴≤3，解得﹣≤k≤0；∴实数k的最小值为﹣．故答案为：﹣．13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为24．【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A（，），B（0，0），那么容易得到C（0，5）时，D的位置可以有三个位置，其中D1（﹣，），D2（﹣，0），D3（﹣，），此时=（﹣，﹣），=（﹣，﹣），=（﹣，﹣5），=（﹣，﹣），则•=21，•=24，•=22.5，则的最大值为24，故答案为：24．14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为100．【解答】解：∵ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC，由正弦定理可得：kb2+ac＞19bc，∴k＞，又∵c﹣b＜a＜b+c，∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c，∴＜19+（）=20﹣（）2=100﹣（﹣10）2，当=10时，20﹣（）2取得最大值20×10﹣102=100．∴k≥100，即实数k的最小值为100．故答案为：100二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．【解答】证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．【解答】解：（1）因为c=，则由正弦定理，得sinC=sinB．…（2分）又C=2B，所以sin2B=sinB，即2sinBcosB=sinB．…（4分）又B是△ABC的内角，所以sinB＞0，故cosB=．…（6分）（2）因为=，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c．…（10分）从而cosB==，…（12分）又0＜B＜π，所以sinB==．从而cos（B+）=cosBcos﹣sinBsin=．…（14分）17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？【解答】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE=OF=OM=R，在Rt△OET中，因为∠EOT=∠EOF=60°，所以OT=，则MT=0M﹣OT=．从而BE=MT=，即R=2BE=2．故所得柱体的底面积S=S扇形OEF ﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=﹣，又所得柱体的高EG=4，所以V=S×EG=﹣4．答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米．（2）设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=（﹣）x2，又所得柱体的高EG=6﹣2x，所以V=S×EG=（﹣2）（﹣x3+3x2），其中0＜x＜3．令f（x）=﹣x3+3x2，0＜x＜3，则由f′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2）=0，解得x=2．列表如下：所以当x=2时，f（x）取得最大值．答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q 的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．【解答】解：（1）由N（），点Q的坐标为（），得直线NQ的方程为y=x﹣，令x=0，得点B的坐标为（0，﹣）．所以椭圆的方程为+=1．将点N的坐标（，）代入，得+=1，解得a2=4．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）：设直线BM的斜率为k（k＞0），则直线BM的方程为y=x﹣．在y=kx﹣中，令y=0，得x P=，而点Q是线段OP的中点，所以x Q=．所以直线BN的斜率k BN=k BQ==2k．联立，消去y，得（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=．用2k代k，得x N=．又=2，所以x N=2（x M﹣x N），得2x M=3x N，故2×==3×，又k＞0，解得k=．所以直线BM的方程为y=x﹣19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n=a n对任意+T的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．【解答】解：（1）由题意，可得a=（a n+d）（a n﹣d）+λd2，化简得（λ﹣1）d2=0，又d≠0，所以λ=1．（2）将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以a=a na n﹣1，所以数列{a n}是首项为1，公比q=2的等比数列，+1所以a n=2n﹣1．欲存在r∈[3，7]，使得m•2n﹣1≥n﹣r，即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立，则7≥n﹣m•2n﹣1，所以m≥对任意n∈N*都成立．令b n=，则b n+1﹣b n=﹣=，＜b n；当n=8时，b9=b8；当n＜8时，b n+1＞b n．所以当n＞8时，b n+1所以b n的最大值为b9=b8=，所以m的最小值为；（3）因为数列{a n}不是常数列，所以T≥2，=a n恒成立，从而a3=a1，a4=a2，①若T=2，则a n+2所以，所以λ（a2﹣a1）2=0，又λ≠0，所以a2=a1，可得{a n}是常数列，矛盾．所以T=2不合题意．②若T=3，取a n=（*），满足a n+3=a n恒成立．由a22=a1a3+λ（a2﹣a1）2，得λ=7．则条件式变为a n2=a n+1a n﹣1+7．由22=1×（﹣3）+7，知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ（a2﹣a1）2；由（﹣3）2=2×1+7，知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ（a2﹣a1）2；由12=2×（﹣3）+7，知a3k+12=a3k a3k+2+λ（a2﹣a1）2；所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3．20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．【解答】解：（1）由f（x）=lnx，得f（1）=0，又f′（x）=，所以f′（1）=1，当c=0时，g（x）=ax+，所以g′（x）=a﹣，所以g′（1）=a﹣b，因为函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，所以，即，解得a=，b=﹣；（2）当x0＞1时，则f（x0）＞0，又b=3﹣a，设t=f（x0），则题意可转化为方程ax+﹣c=t（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．即关于x的方程ax2﹣（c+t）x+（3﹣a）=0（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．所以，得，所以c＞2﹣t对t∈（0，+∞），a∈（0，3）恒成立．因为0＜a＜3，所以2≤2•=3（当且仅当a=时取等号），又﹣t＜0，所以2﹣t的取值范围是（﹣∞，3），所以c≥3．故c的最小值为3．（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，所以，两式相减，得b=x1x2（1﹣），要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1，即证x1x2﹣x2＜x1x2（1﹣）＜x1x2﹣x1，即证＜＜，即证＜ln＜，即证1﹣＜ln＜﹣1，令=t，则t＞1，此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1．令φ（t）=lnt+﹣1，所以φ′（t）=﹣=＞0，所以当t＞1时，函数φ（t）单调递增．又φ（1）=0，所以φ（t）=lnt+﹣1＞0，即1﹣＜lnt成立；再令m（t）=lnt﹣t+1，所以m′（t）=﹣1=＜0，所以当t＞1时，函数m（t）单调递减，又m（1）=0，所以m（t）=lnt﹣t+1＜0，即lnt＜t﹣1也成立．综上所述，实数x1，x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．【解答】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，又因为AD⊥DE于D，所以AD∥OE，所以∠DAE=∠OEA，①在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②…（5分）由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，AE=AE，所以△ADE≌△AFE，所以DE=FE，又DE=4，所以FE=4，即E到直径AB的距离为4．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．【解答】解：设P（x0，y0）是圆x2+y2=1上任意一点，则=1，设点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y），则=，即，解得，…（5分）代入=1，得=1，∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为=1．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．【解答】解：直线ρcos（θ+）=1，转化为：，曲线ρ=r（r＞0）转化为：x2+y2=r2，由于直线和圆相切，则：圆心到直线的距离d=．所以r=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．【解答】解：由柯西不等式，得[x2+（）2][12+（）2]≥（x•1+）2，即≥（x+y）2．而x2+3y2=1，所以（x+y）2，所以﹣，…（5分）由，得，所以当且仅当x=，y=时，（x+y）max=．所以当x+y取最大值时x值为．…（10分）25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）．=（﹣2，0，4），=（01，﹣1，2），cos＜，＞===．故直线AP与BM所成角的余弦值为．…（5分）（2）=（﹣2，1，0），=（﹣1，﹣1，2）．设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=2，得=（2，4，3）．又平面PAC的一个法向量为=（0，1，0），∴cos＜＞===．故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为．…（10分）26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．【解答】解：（1）由条件，nf（n）=C C C C①，在①中令n=1，得f（1）=1．在①中令n=2，得2f（2）=6，得f（2）=3．在①中令n=3，得3f（3）=30，故f（3）=10．（2）猜想f（n）=．要证猜想成立，只要证等式n=•+2•+…+n•成立．由（1+x）n=+x+x2+…+x n①，两边同时对x求导数，可得n（1+x）n﹣1=+2x+3x2+n x n﹣1②，把等式①和②相乘，可得n（1+x）2n﹣1=（+x+x2+…+x n）•（+2x+3x2+n x n﹣1）③．等式左边x n的系数为n，等式右边x n的系数为•+•2+•3+…+n•n=•+2•+3•+…+n•=C C C C，根据等式③恒成立，可得n=C C C C．故f（n）=成立．。

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(理)(含答案)

» , GH ¼ 分别与边 BC , AD 相切于点 M , N ．且弧 EF （1）当 BE 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当 BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ N M B C M
E O F E F
G A N
H D 第 17 题-图甲
G
N
H
第 17 题-图乙
23．（本小题满分 10 分）
0 1 1 2 r 1 r n 1 n 已知 n N ， nf n Cn Cn 2Cn Cn rCn Cn nCn Cn ．
（1）求 f 1 , f 2 , f 3 的值；
（2）试猜想 f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．
3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级 4000 名学生中随机抽取 100 名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在 [70,80) (单位：分钟)内的学生人数为频率组距
0.035 a 0.020 0.010 0.005 50 60 70 80 90 100 时间(单位:分钟)
▲
．
Read x If x 0 Then
y ln x
Else
y ex
End If Print y 第 3 题图第 4 题图 ▲ ．
4．执行如图所示的伪代码，若 x 0 ，则输出的 y 的值为
5．口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球，球的编号分别为 1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为 ▲ ．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2018年江苏省南京市高考数学一模试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B=．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）?z为纯虚数，则a的值为．
3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学
六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅
读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为．
4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为．
5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．
6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p 的值为．。

2018年江苏省南京市高考数学一模试卷

高三数学-2018年南京市高三第一次质量检测 精品

高三数学-2018年南京市高三数学第一次模拟考试(含解答

南京市高考数学一模试卷(理科)(I)卷

江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试 数学 Word版

2018年江苏省南京市高考数学一模试卷

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(理)

江苏省南京市2018届高三上学期迎一模模拟考试数学试题(含答案)

2018南京盐城高三一模数学答案

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案

18届江苏南京盐城高三第一次模拟考试数学试题及答案

2018年江苏省盐城市、南京市高考高三数学一模试卷及解析

江苏南京市届高三第一次考数学试卷精编版

高考最新-2018年南京市高三第一次质量检测数学 精品

南京、盐城2018年高三一模数学试题与答案解析

苏教版江苏省南京市高考数学一模试卷(理科)押题卷解析版

2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷及答案

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(理)(含答案)

高三数学-2018年南京市高三第一次质量检测精品

江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学 Word版

高考最新-2018年南京市高三第一次质量检测数学精品