lecture10(II) 电多极矩磁多极矩

i, j
Dij
2 xix j
1 R
(2)(x) 1 1
40 6 i, j
V
(3xi
'
x
j
'r
'2
ij
)
(
x'
)dV
'
2 xix
j
1 1 1 R 40 6 i, j
2 D 'ij xixj
1 R
电四极矩： D'ij V (3xi ' xj 'r'2 ij )(x' )dV '
D'11D'22D'33 0
e. ' 与 R 的关系
'(x) Q ( 1 1 ) 40 r r 1 1 (1 l cos ) r R 2R 1 1 (1 l cos ) r R 2R
'
Q
4 0
l cos
R2
Q
4 0
l R3
R cos
Q
4 0
lz R3
Q
4 0
l
z
(
1 R
)
Ql
4 0
z
(1) 1
R
4 0
pz
4.例题
均匀带电长形旋转椭球体半长(短)轴为 a(b) ，
带电量为 Q ，求其电四极矩和远处的电势
解： a.椭球体积 V 4 ab2
3
b.电荷密度
0
3Q
4ab 2
z
x2 y2 b2
z2 a2
1
c.电四极矩 Dij V (3xi xj r2ij )(x)dV
b xydV dz
d b2
电多极矩磁多极矩
电势的多极展开
1.真空中给定电荷密度 (x' ) 激发的电势
(x) (x' ) dV '
V 40r
z
V
P'(x' )
P( x) r
R
xO
y
2.某些问题中
场点离源点足够远 OP' r 或电荷源的线度 l r
z
P( x)
r
P'(x' )
R
y x OV
3. R x2 y2 z2
x'
R R3
dl'
1 2
x'
R R3
dl'
dl'
R R3
x'
e.
A(1) ( x)
I 4
1 2
x'
R R3
dl'
dl'
R R3
x'
I 4
1 2
(
x'dl')
R R3
4
I 2
x'dl'
R R3
R 4 m R3
f.电流线圈磁偶极距：
m
I 2
x'dl'
g.体电流磁距(电流分布的磁距)：
R R3
m
m
R？ 0
R3
m 为小区域内的磁偶极矩，对于场点 x(R)
而言是常量，故
5.电流分布以外的空间中磁标势的一阶形式
B(1)
~
4
m
R R3
B(1) m(1)
(1) m
mR 4πR3
6.小区域内电流在外静磁场中的磁能
W J AedV
W
J
AedV
JdSdl Ae
D'11D'22D'33 0
D'11 D'22 D'33 0
D'12 V x' y'(r' )dV' x' r'sin cos y' r'sin sin
2
D'12 sin 'cos'd' 0
0
同理： D'23 D'31 0
结论：
球对称性电荷分布没有电四极矩！ 电荷分布偏离球对称性即出现电四极矩， 可反映原子核的形变研究提供依据
JdSdl Ae I Ae dl I S ( Ae ) dS
I S Be dS
展开
Be ( x) Be (0) x Be (0)
得 W W (0) W (1)
W (0)
IBe (0)
dS
S
m Be (0)
m I SdS
I 4
x'
1 R
dl '
I 4
x'
R R3
dl '
稳恒电流 闭合性
x' dx' dl'
c.全微分环路积分为零
d
x'
R R3
x'
x'
R R3
dx'
dx'
R R3
x'
0
d.
d
x'
R R3
x'
x'
R R3
dl'
dl'
R R3
x'
0
x'
R R3
dl'
dl'
R R3
x'
(x) 1
4 0
(
x'
)
1
x'
1
1
V
R
R 2! i, j
2 xi ' x j ' xix j
1 R
dV
'
4. (x) (0) (x) (1) (x) (2) (x) 体系电量,
a.
(0) ( x) 1
( x' ) dV ' Q
40 V R
4 0 R
;
Q (x' )dV ' V
电四极矩： Dij V 3xi ' xj '(x' )dV ' (电荷连续分布)
Dij 3 xk i ' xk j 'Qk (电荷离散分布)
k
xk i ' ：第k 个电荷的坐标i 分量
(2) (x)
1
1
D
:
1
40 6
R
;
D 3x' x' (x' )dV '
V
电多极矩
1.电势的零阶展开：
a.体系所带电量集中在一点上所激发的电势
(0)(x) Q
;
4 0 R
Q V (x' )dV '
b.电中性体系的零阶电势为零
2.电势的一阶展开： a.体系电偶所激发的电势
(1) ( x) 1
4 0
p 1 R
pR
4 0 R 3
;
p
( x' ) x' dV '
V
i
xi' qi'
b.电中性体系可以具有电偶，仍可激发电势
b.
(1) ( x) 1 ( x' ) x' dV ' 1 1 p 1
40 V
R 40
R
;
体系电偶极矩： p V (x' )x' dV '
c.(2)(x) 1 1
40 6
i, j
V
3
(
x'
)
xi
'
x
j
'
dV
'
2 xix
j
1 1
R 40
1 6 i, j
Dij
2 xix
j
1 R
D' (3x' x'r'2 I )(x' )dV ' V
f. 球对称性电荷分布 (x' ) (r' ) 与 ( ',') 无关
x'2 (x' )dV ' y'2 (x' )dV ' z'2 (x' )dV ' 1 r'2 (x' )dV '
V
V
V
3V
D'ij V (3xi ' xj 'r'2 ij )(x' )dV '
b. W (1) p e (0) p Ee (0) 体系电偶在外场中能量
c. F W (1) p Ee p( Ee )( p )Ee Ee ( p)(Ee )p
Ee (0) ：外静电场 Ee (0) 0
？ F ( p )Ee Ee ( p)(Ee )p p Ee
d.
6 pl
d.两个反向电偶的电势和
在
l R 条件下，电偶的电势
' 1 4 0
1
pz
z
(
) R
两个反向电偶的电势和：
' 1 p 1 1 p 1 40 z r 40 z r
D33 6 pl
1
4 0
p
z
1 r
1 r
1
4 0
pl
2 z 2
1 R
1
4 0
1 6
D33
2 z 2
1 R
与
(2)(x) 1 40
A( x)
4π
V
J ( x' )dV r
'
I
4π
L
dl ' r
2.电流分布在小区域 V 中，场点距源点较远时，
x' r 矢势 ~ 1 可作多极展开
r
3.矢势的多极展开
1
r
1 x x'
1
11
x'
R
R 2! i, j
2 xi ' x j ' xix j
1 R
A(x)
4
V
J
(
x'
)
e2. 对称张量 D'ij V (3xi ' xj 'r'2 ij )(x' )dV '
6个独立分量 D'11 , D'22 , D'33 , D'12 D'21 , D'13 D'31 , D'23 D'32 D'11D'22D'33 0 5个独立分量
e3. 对称张量 D'ij 的并矢写法
L
W (1)
( pEe
cos )
pEe sin
p
Ee
L p Ee
e.
W (2)
1 6
D : e (0)
1 6
D : Ee
体系电四极矩在外场 中能量
对于均匀外电场： Ee 0
W (2) 0
分子或晶格中的原子核具有电四极矩能量！
磁多极矩 1.给定自由电流密度 J (x' ) 激发的矢势
15
f. D33 0
(3z2 r2)dV 0
(2z2 2x2)dV 2 (a2 b2)Q 5
D11
D22
1 2
D33
1 5
(a2
b2 )Q
g.电四极矩产生的电势
(2) (x)
1
40
1 6
i, j
Dij
2 xix j
1 R
1
240
(D11
2 x2
D22
2 y 2
D33
2 z 2
xi2
i
r x x' (x x')2 (y y')2 (z z')2 z
P( x)
OP' r x' 可视为小量
r
在 x' 0点附近展开 1 1
r x x'
P'(x' )
R
y x OV
1
r
1 x x'
1
11
x'
R
R 2! i, j
2 xi ' x j ' xix j
1 R
பைடு நூலகம்
c.最简单的电偶体系
l
l
p i xi' qi' Q 2 ez (Q)( 2 ez ) Qlez Ql
d.在 l R 条件下
1
1
1 (1 l cos )
r l 2 4 R2 lR cos R 2R
z
Q r P
R
lO
r
1
1
1 (1 l cos )
Q
r l 2 4 R2 lR cos R 2R
m
1 2
x'J
( x'
)dS dl'
1 2
x'J
( x'
)dV
'
h.对于小线圈有：
S
1 2
x'dl'
扇形面积
i.磁偶极矩： m IS
4.磁偶极矩激发的磁场 B A
a. B(1) A(1)
b.
B (1)
A(1)
4
m
R R3
4
R R3
m
4
m
R R3
4
m
R R3
)
1 R
Q
400
(a2
b2)
3z2 R5
R2
h.带电体在远处的电势
(x)
(0) ( x)
(2)
(x)
Q
40
1 R
a2 b2 10
3cos2
R3
1
电荷体系在外场中的能量
1. 电磁场的总能量
W
1 2
E
DdV
1 2
H
BdV
2. 电场能量
W
wedV
1 2
E DdV
3. 静电场能量
W
1 6
i, j
2 Dij xix j
1 R
相应！
e. Dij 的独立性讨论
e1. R 0
2 1 R
i
2 xi2
1 R
0
ij
1 0
(i j) (i j)
i,j
ij
2 xix j
1 R
0
(2)(x) 1 1
40 6 i, j
V
3
(
x'
)
xi
'
x
j
'
dV
'
2 xix
j
1 R
1
40
1 6
1 2
E
DdV
1 2
V
dV
4. 分布在小区域中的电荷在外静电场中能量
W V ( x)e ( x)dV
x :电荷区域坐标
e (x) 可在小区域内任一点(原点)展开：
e ( x) e (0)
i
xi
xi
e (0)
1 2!
i, j
xi x j
2 xix j
e (0)
5. W V ( x)e ( x)dV
b2 a2
z2
3
2
sin cosd 0
V
b 0
0
V xydV V yzdV VzxdV 0
d. D12 D23 D31 0 e.由对称性得
x2 y2 z2 b2 a2 1
x2dV y2dV 1 (x2 y2 )dV 4ab4
V
V
2V
15
z2dV 4a3b2
V
W
( x)e (0)
i
xi
xi
e (0)
1 2!
i, j
xi x j
2 xix j
e (0) dV
Qe (0)
i
pi
xi
e
(0)
1 6
i, j
Dij
2 xix
j
e
(0)
Qe (0)
p e (0)
1 6
D : e (0)
a. W (0) Qe (0) 区域电量集中于原点时在外场中能量
z
(1) R
' 与
(1) ( x) 1 4 0
p 1 R
pR
4 0 R 3
相应
3.电势的二阶展开：
a.对称张量 Dij V 3xi ' xj ' (x' )dV '
6个分量： D11, D22, D33, D12 D21, D13 D31, D23 D32
b.两个电偶极子组合 总电荷：0 总电偶：0
c.电四极矩
Dij 3 xki ' xkj 'Qk
k
xi ' 0,(i 1,2) D33 0
Q z Q
(0,0, b) (0,0, a)
p
r R
P
l (0,0,a) r x
p
(0,0,b)
4
D33 3 xk3' xk3'Qk 6Q(b2 a2 ) 6Q(b a)(b a)
k 1
pl
1 R
x'
1 R
1 2!
i, j
2 xi ' x j ' xix j
1 R
dV
'
？ a. A(0) ( x) J ( x' )dV ' 0
4R V
V J ( x' )dV ' Idl I dl 0
b. A(1) (x) J (x' ) x' 1 dV '
4 V
R
对稳恒电流： A(1) (x)