第13讲 非线性规划.ppt
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非线性规划无约束问题.pptx
器在单位时间内的经济效益是最好的？
4
非线性规划
目标函数或约束条件中有非线性函 数的规划问题
5
非线性规划的最优解可能在其可行域中的任 意一点达到
不一定是全局最优解
6
背景 理论计算 相对于计算要求，计算能力仍十分有限
7
8
背景 为加快计算速度，必须明确各种方法的特点，
以针对不同问题选择最合适的方法
f(x2)＞f(x1)，去掉[a0,x2]，此时x*[x2,b0]
f(x)
o a0 x2 x1 x*
b0 x
x1,x2 在x*的左侧
39
f(x2)＝f(x1)： a.去掉[x1,b0]，此时x*[a0,x1] b.去掉[a0,x2]，此时x*[x2,b0]
f(x)
o a0 x2 x* x1 b x x1,x2 在x*的两侧0
2
f
(1.941,
3.854)
31.794 9.764
9.764 4
H
(
x2
)
2
f
(1.053,1.028)
11.194 2.212
2.212 4
H
(
x3
)
2
f
(0.6117,1.4929)
0.519 4.447
4.447
4
31
求得各点的H特征值和稳定点类型如下：
32
33
一维搜索法 多项式近似
斐波那契（Fibonacci）法（分数法） 0.618法 无需求导，根据函数值判断搜索方向 适用于求解已知极值区间的单峰函数
37
一维搜索法（消去法）
f(x2)＜f(x1)，去掉[x1,b0]，此时x*[a0,x1]
4
非线性规划
目标函数或约束条件中有非线性函 数的规划问题
5
非线性规划的最优解可能在其可行域中的任 意一点达到
不一定是全局最优解
6
背景 理论计算 相对于计算要求，计算能力仍十分有限
7
8
背景 为加快计算速度，必须明确各种方法的特点，
以针对不同问题选择最合适的方法
f(x2)＞f(x1)，去掉[a0,x2]，此时x*[x2,b0]
f(x)
o a0 x2 x1 x*
b0 x
x1,x2 在x*的左侧
39
f(x2)＝f(x1)： a.去掉[x1,b0]，此时x*[a0,x1] b.去掉[a0,x2]，此时x*[x2,b0]
f(x)
o a0 x2 x* x1 b x x1,x2 在x*的两侧0
2
f
(1.941,
3.854)
31.794 9.764
9.764 4
H
(
x2
)
2
f
(1.053,1.028)
11.194 2.212
2.212 4
H
(
x3
)
2
f
(0.6117,1.4929)
0.519 4.447
4.447
4
31
求得各点的H特征值和稳定点类型如下：
32
33
一维搜索法 多项式近似
斐波那契（Fibonacci）法（分数法） 0.618法 无需求导，根据函数值判断搜索方向 适用于求解已知极值区间的单峰函数
37
一维搜索法（消去法）
f(x2)＜f(x1)，去掉[x1,b0]，此时x*[a0,x1]
非线性规划ppt课件
g3(x) x1 x2 x3 0
;
20
一维搜索方法
目标函数为单变量的非线性
规划问题称为一维搜索问题
min t0 (0ttmax )
其中 t R 。
(t)
➢精确一维搜索方法 0.618法 Newton法
➢非精确一维搜索方法 Goldstein法 Armijo法
;
21
0.618法（近似黄金分割法）
定义 4.1.2 对于非线性规划(MP)，若 x* X ，并且存在 x* 的一个
领域 N ( x* ) x Rn x x* ( 0, R) ，使
f (x* ) f (x), x N (x* ) X ，
则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小点，称 f ( x* ) 是(MP)的局部
函数(t) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个 t * [a, b] ，使得(t) 在[a, t * ]上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为(t) 的单 谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ;
第 2 步 计算最初两个探索点
t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a)
;
22
0.618法例题
• 例4.3.1 用0.618法求解
min(t) t3 2t 1 t0
(t) 的单谷区间为[0,3]， 0.5
解答
例4.3.1解答 • 迭换换代tbtb 过程0311..62..∧✓18可0036145436481由-00下101.2.∧...0✓871110650431表48611 给0-0100.2.∨...0✓1470出2064308168821 --000100...∨...00✓4178376340791868681 01..7140486 a2112a
数学建摸优秀讲座之非线性规划
D X | gi X 0,hj X 0,X En
问题(1)可简记为 min f X ． X D
定义2 对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切
X D，且 X X * ，都有 f X * f X ，则称X*是f(X)在D上的
局部极小值点（局部最优解）．特别地当 X X*时，若 f X * f X ，
函数，简记：
f : E n E l ,gi : E n E l ,hj : E n E l
其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( En )称为可行解（或可行
点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）．
定义3 对于问题(1),设 X * D ,对任意的X D ,都有 f X * f X
则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当
X X* 时，若f X * f X ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点
(1) x=fmincon(@fun,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,lb,ub)
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
.hgji((XX
) )
0 0
i j
1,2,...,m; 1,2,...,l.
非线性规划基础.pptx
部最优解。
定理13.10 若目标函数f(x)是Rn上的连续可微凸函数，
则 f (x的) 充0分必要条件 为无x 约束优化问题
（13.4）的全局最优点和局部最优点。
第19页/共35页
• 例13.5 求函数f(x)的最优值点，即。
m in
xR n
f
(
x
)
(
x12
1)2
x12
x22
2x1
解： f (x) 0 x (1,0)T
凹函数
第8页/共35页
非凸非凹函数
凸函数具有如下性质
第9页/共35页
二、凸函数的判断
• 一元函数凸性的判断
f (x) 0 f (x1) f (x2 ) f (x2 )(x1 x2 )
第10页/共35页
• 多元函数凸性的判断
梯度：
f (x) ( f (x) ,, f (x) )T
x1
xn
H(
x1,x2
)
6x1 3
23
• 判定正定的方法：当一个n×n矩阵A的任意k阶顺
序主子式大于0时，则该矩阵为正定的。
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
x12
x1x2
x1xk
2 f (x)
H
(
k
x)
x2x1
2 f (x) x22
2 f (x) x2xk
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
第13页/共35页
• 例13.4 判别下列函数的凸凹性
1） f (x1, x2 ) 2x12 x22 2x1x2 x1 1
2） f (x1, x2 ) x12 x22
解： 1）
H(
x1,x2
定理13.10 若目标函数f(x)是Rn上的连续可微凸函数，
则 f (x的) 充0分必要条件 为无x 约束优化问题
（13.4）的全局最优点和局部最优点。
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• 例13.5 求函数f(x)的最优值点，即。
m in
xR n
f
(
x
)
(
x12
1)2
x12
x22
2x1
解： f (x) 0 x (1,0)T
凹函数
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非凸非凹函数
凸函数具有如下性质
第9页/共35页
二、凸函数的判断
• 一元函数凸性的判断
f (x) 0 f (x1) f (x2 ) f (x2 )(x1 x2 )
第10页/共35页
• 多元函数凸性的判断
梯度：
f (x) ( f (x) ,, f (x) )T
x1
xn
H(
x1,x2
)
6x1 3
23
• 判定正定的方法：当一个n×n矩阵A的任意k阶顺
序主子式大于0时，则该矩阵为正定的。
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
x12
x1x2
x1xk
2 f (x)
H
(
k
x)
x2x1
2 f (x) x22
2 f (x) x2xk
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
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• 例13.4 判别下列函数的凸凹性
1） f (x1, x2 ) 2x12 x22 2x1x2 x1 1
2） f (x1, x2 ) x12 x22
解： 1）
H(
x1,x2
(汇总)非线性规划问题的求解方法.ppt
..........
5
3、问题：
..........
6
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
..........
7
外点法框图： k k1
初始x(0) , 1 0, 1 0, k 1
以x(k)为初始点, 解
min f (x) k p(x)
得到 x(k 1)
No
k1 k
k p( x(k1) )
..........
yes
停
x(k1) opt
8
4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法： （1） 给定初始内点 x(0) S ，允许误差 e>0，
障碍参数 (1) ，缩小系数b (0,1) ，置 k=1；
（2） 以 x(k1) 为初始点，求解下列规划问题： min f (x) (k) B(x) ，令x(k) 为所求极小点 s.t. x S
else
m(k+1)=c*m(k);
..........
12
end end
结果：
•
ans =
•
• 1.0000
•
•
• ans =
•
• -7.1594e-004
•
•
• k=
•
• 14
..........
13
小结
讲解了两个求解有约束非线性规划问题的特点. 易于实现，方法简单. 没有用到目标函数的导数.
s.t. x S0 从x(k )出 发, 求 得 x(k1)
No
k1 k
kq( x(k1) )
yes
停
x(k1) opt
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
《非线性规划》课件
非线性规划的优化目标是找到使目标函数达到最大值或最小值的最优解。这些目标可以是经济、社会或 科学领域中的实际问题。
非线性规划的约束条件
非线性规划的约束条件是指限制问题解的一组方程或不等式。这些约束条件可以包括物理限制、资源约 束和行为限制等。
非线性规划的求解方法
线性化方法
将非线性问题转化为等价的 线性问题，然后使用线性规 划方法求解。
牛顿法
使用牛顿迭代法逐步逼近最 优解。
拟牛顿法
使用近似Hessian矩阵的方法 优化牛顿法。
变尺度法、全局优化方法
1
变尺度法
通过改变尺度，将问题转化为更易求解的形式。
2
全局优化方法
使用启发式算法寻找全局最优解。
非线性规划的应用领域
生产计划问题
优化生产计划，提高效率和利润。
交通运输问题
优化交通网络和运输流程。
优化电力系统
使电力系统运行更加高效和可靠。
决策支持系统
为决策者提供优化建议和决策支持。
医资源分配和治疗方案。
非线性规划的挑战
复杂的问题结构和求解困难。
未来的研究方向
未来的研究方向包括改进算法性能、适用于大规模问题的方法和考虑不确定性的优化模型等。
《非线性规划》PPT课件
在这个《非线性规划》PPT课件中，我们将深入探讨非线性规划的各个方面， 并介绍其在不同领域的应用。让我们一起开启这个激动人心的学习之旅！
什么是非线性规划？
非线性规划是一种在优化问题中寻找最优解的数学方法。它处理的是有非线 性约束条件和目标函数的优化问题。
非线性规划的优化目标
非线性规划的约束条件
非线性规划的约束条件是指限制问题解的一组方程或不等式。这些约束条件可以包括物理限制、资源约 束和行为限制等。
非线性规划的求解方法
线性化方法
将非线性问题转化为等价的 线性问题，然后使用线性规 划方法求解。
牛顿法
使用牛顿迭代法逐步逼近最 优解。
拟牛顿法
使用近似Hessian矩阵的方法 优化牛顿法。
变尺度法、全局优化方法
1
变尺度法
通过改变尺度，将问题转化为更易求解的形式。
2
全局优化方法
使用启发式算法寻找全局最优解。
非线性规划的应用领域
生产计划问题
优化生产计划，提高效率和利润。
交通运输问题
优化交通网络和运输流程。
优化电力系统
使电力系统运行更加高效和可靠。
决策支持系统
为决策者提供优化建议和决策支持。
医资源分配和治疗方案。
非线性规划的挑战
复杂的问题结构和求解困难。
未来的研究方向
未来的研究方向包括改进算法性能、适用于大规模问题的方法和考虑不确定性的优化模型等。
《非线性规划》PPT课件
在这个《非线性规划》PPT课件中，我们将深入探讨非线性规划的各个方面， 并介绍其在不同领域的应用。让我们一起开启这个激动人心的学习之旅！
什么是非线性规划？
非线性规划是一种在优化问题中寻找最优解的数学方法。它处理的是有非线 性约束条件和目标函数的优化问题。
非线性规划的优化目标
非线性规划模型PPT课件
且提供数据如表5所示：
第12页/共45页
表5 数据表
石油的
种类
ai
1
9
bi
hi
ti
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间
T 24
第13页/共45页
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
27 x1
0.25x1
20 x2
0.10x2
s.t. 2x1 4x2 24
第23页/共45页
变的问题 P1：
min f1( x) f1 s.t. gi ( x) 0,i 1, 2, , m
的最优解 x(1)及最优值 f1，再求问题 P2：
min
f2(1
的最优解 x(2)及最优值
f
2
，即
min xR
第6页/共45页
① 适当选取初始点 x0，令k 0. ② 检验 xk 是否满足停止迭代的条件，如是，则停 止迭代，用 xk 来近似问题的最优解，否则转至③. ③ 按某种规则确定 xk 处的搜索方向.
④ 从 xk 出发，沿方向dk ，按某种方法确定步长k ，
使得：
f (xk kdk ) f (xk ) ⑤ 令 xk1 xk kdk ，然后置k k 1，返回②.
h( x) i fi ( x)作为新的目标函数，成为评价（目标） i 1
函数，再求解问题
p
min h( x) i fi ( x) i 1
s.t. gi ( x) 0,i 1,2, , m
得最优解 x(0)，取 x x(0)作为多目标规划问题的解.
第27页/共45页
在一定条件下，用线性加权求和法求得的最 优解必是原多目标规划问题的有效解或弱有效 解.
非线性规划课件
得 X(1)=(x₁ (0),x₂ (1))T,S(1)=f(X(1))
②再固定x₂=x₂ (1): 求以x₁为单变量的目标函数的极值点，
得 X(2)=(x,(2),x₂ (1))T ,S(2)=f(X(2))
此时S(2)优于S(1), 且搜索区间缩短为x₁*∈[x,(2),b,],x₂*∈[x₂ (1),b₂] 第二步：如此交替搜索，直至满足给定精度ε为止
否则，继续缩短区间，
直至满足给定的精度为
①f(x₂)≥f(xq), 取[aq=ao,b,=x,]
X₁ =X2
x'2=b₁-λ(b₁-aq) ②f(x₂)<f(x₁), 取[a=x2,b,=b,]
x=aq+λ(b₁-aq)
10
x₂ =x₁
例 求 解 f(x)=-18x²+72x+28 的极大值点，δ≤0.1,起始搜索区间为[0,3] 解：①用间接法：令 f'(x)=-36x+72=0, 得驻点 x=2
xq*∈[aq,b,],x²*∈[a₂ ,b₂ ],.,x*∈[an,b,]
1、原理： ①从起点 X(0) 出发，沿平行于 x, 轴的方向P(1)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(1)上近似极值点 X(1);
②从点 X(1) 出发，沿平行于 x₂ 轴的方向P(2)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(2)上近似极值点 X(2); ③从点 X(2) 出发，照此交替进行下去，直至满足给定的精度ε为止
六、 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类
① 无约束条件的NLP问题。 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法
① 间接法(解析法):适应于目标函数有简单明确的数学表达式。
②再固定x₂=x₂ (1): 求以x₁为单变量的目标函数的极值点，
得 X(2)=(x,(2),x₂ (1))T ,S(2)=f(X(2))
此时S(2)优于S(1), 且搜索区间缩短为x₁*∈[x,(2),b,],x₂*∈[x₂ (1),b₂] 第二步：如此交替搜索，直至满足给定精度ε为止
否则，继续缩短区间，
直至满足给定的精度为
①f(x₂)≥f(xq), 取[aq=ao,b,=x,]
X₁ =X2
x'2=b₁-λ(b₁-aq) ②f(x₂)<f(x₁), 取[a=x2,b,=b,]
x=aq+λ(b₁-aq)
10
x₂ =x₁
例 求 解 f(x)=-18x²+72x+28 的极大值点，δ≤0.1,起始搜索区间为[0,3] 解：①用间接法：令 f'(x)=-36x+72=0, 得驻点 x=2
xq*∈[aq,b,],x²*∈[a₂ ,b₂ ],.,x*∈[an,b,]
1、原理： ①从起点 X(0) 出发，沿平行于 x, 轴的方向P(1)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(1)上近似极值点 X(1);
②从点 X(1) 出发，沿平行于 x₂ 轴的方向P(2)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(2)上近似极值点 X(2); ③从点 X(2) 出发，照此交替进行下去，直至满足给定的精度ε为止
六、 寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类
① 无约束条件的NLP问题。 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法
① 间接法(解析法):适应于目标函数有简单明确的数学表达式。
非线性规划的基本概念和基本原理优秀课件
解： a1150
5 2 260
2 6
5 2 2
A 2 6 0 800 A负定
2 0 4
17
❖ 例：判定正定性
5 2 2
A
2
6
0
2 0 4
0 1 1 B 1 0 3
1 3 0
解： b11 0
01 1 0
B不 定
10
18
❖ 作业： ❖ P200 4.4（1）
19
7.2 无约束问题的极值条件
gj(X) 0 (j=1,2….l) X En f(X) hi(X) gj(X) 为En上的实函数。 或
mifn(x) 1)( 目标函数 gj(x)0 ,j1,2,,l 2) (约束条件
6
二、基本概念
1、全局极值和局部极值来自f ( X )为目标函数，S 为可行域。若存在 X* S ，XS，都 有 f(X) f(X*)，则称 X * 为该问题的全局极小点，
则称X En 为（P）的一个可行解。 记（P）的所有可行解的集合为D， D称为（P）可行域。
9
定义 X*称为（P）的一个（整体）最优解，如 果X* D，满足
f(X) f(X*)， X D。
定义 X*称为（P）的一个（局部）最优解，如 果X* D，且存在一个X*的邻域 N(X* ,)= X En X- X* < , >0 满足
负定：特征值<0； Ai <0(i为奇）, Ai >0(i为偶）
半负定：特征值≤0； detA=0，Ai ≤0(i为奇）, Ai ≥0(i为偶）
不定：特征值有> 0及< 0；除了上述情况外即为不 定。
16
❖ 例：判定正定性
5 2 2
非线性规划PPT演示文稿
正是由于局部最优解的存在，使得非线性规划问 题的求解要比线性规划问题的求解复杂得多。当求 得一个最优解时，常常无法确定该解是否为全局最 优解。但是在某些情况下，可以保证所求得的解就 是全局最优解。下面7.2节、7.3节所介绍的边际收 益递减的二次规划和可分离规划就属于这种情况。
RUC, Information School, Ye Xiang
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求总风险（方差）的一种简便方法
第7章 非线性规划
由于目标函数“总风险（方差）”的公式是非线性的，也 复杂，希望找到一种不容易出错且简便的办法
构造协方差矩阵（方差、协方差）
总风险（方差）=
❖
SUMPRODUCT（MMULT（投资组合,协方差矩阵）,投资
第7章 非线性规划
这种方法是将3.2节的成本收益平衡问题非 线性化。在这种情况下，成本是与投资有关 的风险，收益是投资组合的预期回报。
因此，该模型的一般表达形式为：
最小化 风险
约束条件 预期回报≥最低可接受水平
这个模型关注投资组合的风险和预期收益 之间的平衡。
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例7.1 给定一根长度为400米
的绳子，用来围成一块矩形菜 地，问长和宽各为多少，使菜 地的面积最大？ 解：这是一个小学数学问题， 现在把它当作一个规划问题来 求解。
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7.1 非线性规划基本概念 第7章 非线性规划
(1) 决策变量
7.2.2 运用非线性规划优化 有价证券投资组合
第7章 非线性规划
投资组合优化，就是确定投资项目中的一 组最优投资比例。这里所说的“最优”，可 以是在一定风险水平下使得投资回报最大， 也可以是在一定的投资回报水平下使得风险 最小。
RUC, Information School, Ye Xiang
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求总风险（方差）的一种简便方法
第7章 非线性规划
由于目标函数“总风险（方差）”的公式是非线性的，也 复杂，希望找到一种不容易出错且简便的办法
构造协方差矩阵（方差、协方差）
总风险（方差）=
❖
SUMPRODUCT（MMULT（投资组合,协方差矩阵）,投资
第7章 非线性规划
这种方法是将3.2节的成本收益平衡问题非 线性化。在这种情况下，成本是与投资有关 的风险，收益是投资组合的预期回报。
因此，该模型的一般表达形式为：
最小化 风险
约束条件 预期回报≥最低可接受水平
这个模型关注投资组合的风险和预期收益 之间的平衡。
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例7.1 给定一根长度为400米
的绳子，用来围成一块矩形菜 地，问长和宽各为多少，使菜 地的面积最大？ 解：这是一个小学数学问题， 现在把它当作一个规划问题来 求解。
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7.1 非线性规划基本概念 第7章 非线性规划
(1) 决策变量
7.2.2 运用非线性规划优化 有价证券投资组合
第7章 非线性规划
投资组合优化，就是确定投资项目中的一 组最优投资比例。这里所说的“最优”，可 以是在一定风险水平下使得投资回报最大， 也可以是在一定的投资回报水平下使得风险 最小。
运筹学―第六章非线性规划精品PPT课件
F1 1 Fn1 Fn2
, n 2,3,
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
23 3
…
Fn1
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Fn
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
… 233
hj (x) 0, j 1,...q
(NLP)
X
x
Rn
gi (x) hj (x)
0, i 1,..., p 0, j 1,..., q
约束集
如果(NLP)的约束集X是凸集，目标函数f是 X上的凸函数，则(NLP)叫做非线性凸规划， 或简称为凸规划。
凸规划的性质
定理 6.3 对于非线性规划(NLP)，若 gi ( x), i 1,..., p 皆为 Rn 上的凸函数， h j ( x), j 1,..., q 皆为线性函数， 并且 f 是 X 上的凸函数，则 NLP 是凸规划。
性质 6.2 设 S Rn 是非空凸集， f : Rn R 是凸函数， c R ，则集合
H S ( f , c) x S f ( x) c
是凸集。
凸函数的判 定
定理 6.1 设 S Rn 是非空开凸集， f : S R 可微，则
（1） f 是 S 上的凸函数的充要条件是
f ( x1 )T ( x 2 x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 ) ， x1 , x 2 S
试获得 n 组 与 t 之间的实验数据 (ti , i ) ，
i=1，2，…,n。试确定参数 c1 ， c 2 ， c 3 ，
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信息与计算科学系
数学 建模
在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大 值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这 类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式
min f ( x)，
s.t. hj ( x) 0, j 1, , q, （3.1） gi ( x) 0, i 1, , p.
其中 x [x1, , xn]T 称为模型（3.1）的决策变量， f 称 为目标函数， gi (i 1, , p)和hj ( j 1, ,q)称为约束函 数。另外，gi ( x) 0 (i 1, , p)称为等式约束，hj ( x) 0
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信息与计算科学系
数学 建模
例 3.1 （投资决策问题）某企业有n个项目可供选择
投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有
总资金 A元，投资于第i(i 1, ,n)个项目需花资金ai 元， 并预计可收益bi 元。试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为
xi
1, 决定投资第i个项目 ，i 1, , n，
x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2;
x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束
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信息与计算科学系
数学 建模
（3）编写主程序文件如下 [x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fu n2')
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信息与计)是极小值点，对应的极小值 f (1,0) 5； 点(1,2)，( 3,0)不是极值点； 点( 3,2)是极大值点，对应的极大值 f ( 3,2) 31。
数学建模算法与应用
第3章 非线性规划
信息与计算科学系
数学
建模 3.1 非线性规划模型 3.1.1 非线性规划的实例与定义
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就 称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线 性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不像线 性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没 有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的 适用范围。
( j 1, ,q)称为不等式约束。
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信息与计算科学系
数学
建模 3.1.2 非线性规划的Matlab解法
Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式 min f ( x)， A x b, Aeq x beq,
s.t. c( x) 0, ceq( x) 0, lb x ub.
其中 f ( x)是标量函数， A,b, Aeq,beq,lb,ub是相应维数的 矩阵和向量，c( x),ceq( x)是非线性向量函数。
求得当 x1 0.5522, x2 1.2033, x3 0.9478时，最小 值 y 10.6511。
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信息与计算科学系
数学
建模 3.2 无约束问题的 Matlab 解法 3.2.1 无约束极值问题的符号解
例 3.3 求多元函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x
的极值。
解 先解方程组 fx(x, y) 3x2 6x 9 0 fy(x, y) 3 y2 6 y 0
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数学 建模
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，
所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量
（取 0 或 1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。
因此，其数学模型为
max Q
n
bi xi
i1
，
n
ai xi
i1
n
s.t.
0
ai xi
i1
A,
xi (1 xi ) 0, i 1, , n.
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数学
建模 Matlab 中的命令是 [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlco
n,options)
x 的返回值是决策向量 x的取值，fval 返回的是目标函 数的取值，其中 fun 是用 M 文件定义的函数 f ( x)；x0 是 x的 初始值；A,b,Aeq,beq 定义了线性约束 Ax b, Aeq x beq， 如果没有线性约束，则 A=[],b=[],Aeq=[],beq=[]；lb 和 ub 是变量 x的下界和上界，如果上界和下界没有约束，即 x无 下界也无上界，则 lb=[]，ub=[]，也可以写成 lb 的各分量 都为-inf，ub 的各分量都为 inf；nonlcon 是用 M 文件定义 的非线性向量函数c( x),ceq( x)；options 定义了优化参数， 可以使用 Matlab 缺省的参数设置。
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数学 建模
min f ( x) x12 x22 x32 8，
s.t. x12 x2 x32 0，
x1 x22 x33 20，
x1 x22 2 0，
x2 2x32 3，
x1, x2 , x3 0.
（2）编写M函数fun2.m定义非线性约束条件
function [g,h]=fun2(x); g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2；
求得驻点为(1,0)，(1,2)，( 3,0)，( 3, 2)。
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数学
建模 再求出 Hessian 阵
2f
2f
x2
x y 6 6x
0，
2f
2f
0 6 6y
x y y2
如果在驻点处 Hessian 阵为正定阵，则在该点取极 小值；如果在驻点处 Hessian 阵为负定阵，则在该点取 极大值；如果在驻点处 Hessian 阵为不定阵，则该驻点 不是极值点。
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数学
建模
例 3.2 求下列非线性规划
min f ( x) x12 x22 x32 8， s.t. x12 x2 x32 0，
x1 x22 x33 20， x1 x22 2 0，
x2 2x32 3， x1, x2 , x3 0.
解 （1）编写 M 函数 fun1.m 定义目标函数
function f=fun1(x); f=sum(x.^2)+8;
0， 决定不投资第i个项目
n
n
则投资总额为 ai xi ，投资总收益为 bi xi 。
i1
i1
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信息与计算科学系
数学 建模
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投
资金额不能超过总资金 A，故有限制条件
n
0
ai xi A，
i1
另外，由于 xi (i 1, , n)只取值 0 或 1，所以还有 xi (1 xi ) 0, i 1, , n.