2-2动能和动能定理
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o
FT e
v
的轻绳， 的小球, 例3 如图长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球, 时小球位于最低位置， 另一端系于定点 o ， t = 0 时小球位于最低位置，并具 求小球在任意位置的速率及绳的张力. 有水平速度 v0 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力. 而: A = 0 T
A = AT + AW
4
二.动能定理
1.动能定理的表述 动能定理的表述
Q
1 2 1 2 A = ∫ dA = mvQ mvP P 2 2
1 = mv 2 2
Ek
A = EkQ EkP
作用于质点的合力所作的功，等于质点动能的增量:动能定理 作用于质点的合力所作的功，等于质点动能的增量: 2.对动能定理的说明 对动能定理的说明 动能定理由牛顿第二定律导出， 动能定理由牛顿第二定律导出，所以它只能在惯性系中使用 定理将作功过程与受力质点的动能变化联系起来， 定理将作功过程与受力质点的动能变化联系起来， 可以说，功是动能改变的量度。 广义上讲： 可以说，功是动能改变的量度。 广义上讲：功是能量变化的量度 动能定理的微分形式
动能定义：质点的质量与其运动速率平方的乘积的一半， 动能定义：质点的质量与其运动速率平方的乘积的一半， 1 2 表示， 用 表示，即
F = ma
dr vP
Ek
Ek =
关于动能: 关于动能 状态量; 状态量
2
mv
标量,且只有正值 标量 且只有正值; 且只有正值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
具有相对性,与参考系有关 具有相对性 与参考系有关
y
A
N
解：建立如图所示的坐标系， 建立如图所示的坐标系， h 小球在滚动过程中受 两个力的作用。 到 mg和 N 两个力的作用。 合力为： 合力为
B
O
mg
x
F = mg + N
B
1 2 1 2 根据动能定理有： 根据动能定理有： ∫ F d r = mvB mvA A 2 2
1 2 1 2 即 ∫ mg d r + ∫ N d r = mvB mvA A A 2 2
B
B
0
mgh =
1 2
mv B
2
1 2
2
mv A
2
解得末速率为 vB = v A + 2gh
8
例2
一轻弹簧的劲度系数为k 一轻弹簧的劲度系数为 =100N/m，用手推一质量 m =0.1kg ， 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为 1=0.02m处, 如图所示。 处 如图所示。 放手后，物体沿水平面移动到x 而停止。 放手后，物体沿水平面移动到 2=0.1m而停止。 而停止
求 物体与水平面间的滑动摩擦系数。 物体与水平面间的滑动摩擦系数。 解 放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中， 放手后， 处和弹簧分离。在整个过程中，
1 2 kx1 弹簧弹性力作功 2 摩擦力作功 mgx2
根据动能定理有
x1 x2
1 2 kx1 mgx2 = 0 0 2 2 kx1 100×0.022 = = = 0.20 2mgx2 2×0.1×9.8×0.1
9
的轻绳， 的小球, 例3 如图长为 l的轻绳，一端系质量为 m的小球, 另一端系于定点 o ， t = 0 时小球位于最低位置，并具 时小球位于最低位置， 有水平速度 v0 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力. 求小球在任意位置的速率及绳的张力. 解
T mg cos θ = ma n mg sin θ = ma t
11
v ∵ T mg cos θ = m l
2
第二章
机械能守恒定律
§2-1 功和功率 动能和 §2-2 动能和动能定理 势能和 §2-3 势能和势能定理 功能原理， §2-4 功能原理，机械能守恒定律
1
2
一.动能 动能
1.动能的引入 1.动能的引入 研究功和运动状态改变的关系 质点由点P 运动到点Q 质点由点 运动到点 ，合力对质点所作的功?
vQ
Q
1 2 dA = ma dr = d ( mv ) F dA = F dr 2 dv a= = mdv v dr = v dt dt 1 = md (v v ) 2 P Q Q 1 2 1 2 1 2 A = ∫ dA = ∫ d( m ) = mvQ mvP v P P 2 2 2
n T mg cos θ = mv 2 / l et θ dv mg sin θ = m dt v 0 mg d v dv d θ v dv 2 = = v = v0 + 2lg (cos θ 1) dt d θ dt l dθ 2 v θ v0 ∫v0 v d v = gl ∫0 sin θ d θ T = m( l 2g + 3g cosθ )
3
一质量为m的质点，在xoy平面上运动。 一质量为 的质点， 平面上运动。 的质点 平面上运动 其位置矢量为： 其位置矢量为： 其中a,b,ω为正值常数，a > b。 求质点在 (a,0)点和 为正值常数， 其中 。 求质点在A 点和 B(0,b)点时的动能。 点时的动能。 点时的动能 解：
A(a,0)点： cosω t=1，sinω t=0 B(0,b)点： cosω t= 0 ，sinω t=1
B B
7
因 N 始终垂直于 dr ， 所以
B
∫
B
A
N dr = 0
1 2 1 2 于是有 ∫ mg d r = mvB mvA A 2 2 而重力加速度的分量式 g y = - g， g x = 0
所以 即
∫ mg d r = ∫ mg d y = ∫ mg d y = mgh
A A h
1 2 dA == d ( mv ) = dEk 2
P = dA dt
pdt = dE K
5
三.动能定理的应用
A = EkQ EkP
6
例1：小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滚动, 如 小球以初速率 沿光滑曲面向下滚动, 图所示。 的垂直距离为h 图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离为 处时, 的B 处时, 速率为多大 ?
AW = mg (l l cos θ )
o
FT e
θ
v
n
根据动能定理有: 根据动能定理有 1 2 1 2 mg (l l cos θ ) = mv mv0 2 2
2 ∴ v = v0 + 2lg (cos θ 1)
et
v 0 mg
2 v0 T = m( 2 g + 3g cosθ ) l
o
FT e
v
的轻绳， 的小球, 例3 如图长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球, 时小球位于最低位置， 另一端系于定点 o ， t = 0 时小球位于最低位置，并具 求小球在任意位置的速率及绳的张力. 有水平速度 v0 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力. 而: A = 0 T
A = AT + AW
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二.动能定理
1.动能定理的表述 动能定理的表述
Q
1 2 1 2 A = ∫ dA = mvQ mvP P 2 2
1 = mv 2 2
Ek
A = EkQ EkP
作用于质点的合力所作的功，等于质点动能的增量:动能定理 作用于质点的合力所作的功，等于质点动能的增量: 2.对动能定理的说明 对动能定理的说明 动能定理由牛顿第二定律导出， 动能定理由牛顿第二定律导出，所以它只能在惯性系中使用 定理将作功过程与受力质点的动能变化联系起来， 定理将作功过程与受力质点的动能变化联系起来， 可以说，功是动能改变的量度。 广义上讲： 可以说，功是动能改变的量度。 广义上讲：功是能量变化的量度 动能定理的微分形式
动能定义：质点的质量与其运动速率平方的乘积的一半， 动能定义：质点的质量与其运动速率平方的乘积的一半， 1 2 表示， 用 表示，即
F = ma
dr vP
Ek
Ek =
关于动能: 关于动能 状态量; 状态量
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mv
标量,且只有正值 标量 且只有正值; 且只有正值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
具有相对性,与参考系有关 具有相对性 与参考系有关
y
A
N
解：建立如图所示的坐标系， 建立如图所示的坐标系， h 小球在滚动过程中受 两个力的作用。 到 mg和 N 两个力的作用。 合力为： 合力为
B
O
mg
x
F = mg + N
B
1 2 1 2 根据动能定理有： 根据动能定理有： ∫ F d r = mvB mvA A 2 2
1 2 1 2 即 ∫ mg d r + ∫ N d r = mvB mvA A A 2 2
B
B
0
mgh =
1 2
mv B
2
1 2
2
mv A
2
解得末速率为 vB = v A + 2gh
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例2
一轻弹簧的劲度系数为k 一轻弹簧的劲度系数为 =100N/m，用手推一质量 m =0.1kg ， 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为 1=0.02m处, 如图所示。 处 如图所示。 放手后，物体沿水平面移动到x 而停止。 放手后，物体沿水平面移动到 2=0.1m而停止。 而停止
求 物体与水平面间的滑动摩擦系数。 物体与水平面间的滑动摩擦系数。 解 放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中， 放手后， 处和弹簧分离。在整个过程中，
1 2 kx1 弹簧弹性力作功 2 摩擦力作功 mgx2
根据动能定理有
x1 x2
1 2 kx1 mgx2 = 0 0 2 2 kx1 100×0.022 = = = 0.20 2mgx2 2×0.1×9.8×0.1
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的轻绳， 的小球, 例3 如图长为 l的轻绳，一端系质量为 m的小球, 另一端系于定点 o ， t = 0 时小球位于最低位置，并具 时小球位于最低位置， 有水平速度 v0 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力. 求小球在任意位置的速率及绳的张力. 解
T mg cos θ = ma n mg sin θ = ma t
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v ∵ T mg cos θ = m l
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第二章
机械能守恒定律
§2-1 功和功率 动能和 §2-2 动能和动能定理 势能和 §2-3 势能和势能定理 功能原理， §2-4 功能原理，机械能守恒定律
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一.动能 动能
1.动能的引入 1.动能的引入 研究功和运动状态改变的关系 质点由点P 运动到点Q 质点由点 运动到点 ，合力对质点所作的功?
vQ
Q
1 2 dA = ma dr = d ( mv ) F dA = F dr 2 dv a= = mdv v dr = v dt dt 1 = md (v v ) 2 P Q Q 1 2 1 2 1 2 A = ∫ dA = ∫ d( m ) = mvQ mvP v P P 2 2 2
n T mg cos θ = mv 2 / l et θ dv mg sin θ = m dt v 0 mg d v dv d θ v dv 2 = = v = v0 + 2lg (cos θ 1) dt d θ dt l dθ 2 v θ v0 ∫v0 v d v = gl ∫0 sin θ d θ T = m( l 2g + 3g cosθ )
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一质量为m的质点，在xoy平面上运动。 一质量为 的质点， 平面上运动。 的质点 平面上运动 其位置矢量为： 其位置矢量为： 其中a,b,ω为正值常数，a > b。 求质点在 (a,0)点和 为正值常数， 其中 。 求质点在A 点和 B(0,b)点时的动能。 点时的动能。 点时的动能 解：
A(a,0)点： cosω t=1，sinω t=0 B(0,b)点： cosω t= 0 ，sinω t=1
B B
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因 N 始终垂直于 dr ， 所以
B
∫
B
A
N dr = 0
1 2 1 2 于是有 ∫ mg d r = mvB mvA A 2 2 而重力加速度的分量式 g y = - g， g x = 0
所以 即
∫ mg d r = ∫ mg d y = ∫ mg d y = mgh
A A h
1 2 dA == d ( mv ) = dEk 2
P = dA dt
pdt = dE K
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三.动能定理的应用
A = EkQ EkP
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例1：小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滚动, 如 小球以初速率 沿光滑曲面向下滚动, 图所示。 的垂直距离为h 图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离为 处时, 的B 处时, 速率为多大 ?
AW = mg (l l cos θ )
o
FT e
θ
v
n
根据动能定理有: 根据动能定理有 1 2 1 2 mg (l l cos θ ) = mv mv0 2 2
2 ∴ v = v0 + 2lg (cos θ 1)
et
v 0 mg
2 v0 T = m( 2 g + 3g cosθ ) l