第七节 函数的图象

第七节函数的图象

会运用函数图象理解和研究函数的性质.

1.描点法作图

方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、最值,甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.

2.图象变换

(1)平移变换:

(2)伸缩变换:

y=f(x)y=⑤f(ωx);

y=f(x)y=⑥Af(x).

(3)对称变换:

y=f(x)y=⑦-f(x);

y=f(x)y=⑧f(-x);

y=f(x)y=⑨-f(-x).

(4)翻折变换:

y=f(x)y

=⑩f(|x|);

y=f(x)y=|f(x)|.

函数图象对称变换的相关结论

(1)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象.

(2)y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象.

(3)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象.

(4)y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).

(1)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(-x-1)的图象.()

(2)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.()

(3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()

(4)函数y=f(|x|)的图象关于y轴对称.()

(5)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.()

答案(1)✕(2)√(3)√(4)√(5)✕

2.函数y=x|x|的图象大致是()

答案A

3.(教材习题改编)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是()

A.y=f(|x|)

B.y=|f(x)|

C.y=f(-|x|)

D.y=-f(-|x|)

答案 C

4.如图,四个容器的高度都相同,将水从容器顶部的一个孔以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系,其中不正确的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4 答案 A

5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)=( ) A.e x+1 B.e x-1 C.e -x+1 D.e -x-1 答案 D

6.(2018课标全国Ⅱ,3,5分)函数f(x)=

e x -e -x x 2

的图象大致为( )

答案 B

作函数的图象

典例1 作出下列函数的图象. (1)y=2-x

x+1; (2)y=(12)

|x+1|;

(3)y=|log 2x-1|; (4)y=x 2-2|x|-1.

解析 (1)易知函数的定义域为{x ∈R|x ≠-1}.y=2-x

x+1=-1+3

x+1,因此由y=3

x 的图象向左平移1个单位长度,向下平移1个单位长度即可得到函数y=2-x x+1的图象,如图①所示.

(2)先作出y=(12)x

,x ∈[0,+∞)的图象,然后作其关于y 轴对称的图象,再将整个图象向左平移1个单位长度,即得到y=(12)

|x+1|

的图象,如图②所示.

(3)先作出y=log 2x 的图象,再将图象向下平移1个单位长度,保留x 轴上方的部分,将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来,即得到y=|log 2x-1|的图象,如图③所示.

(4)y={x 2-2x -1(x ≥0),x 2+2x -1(x <0)

的图象如图④.

规律总结

函数图象的三种画法

1.直接法:当函数解析式(或变形式后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.

2.转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.

3.图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出.

▶提醒 (1)画函数的图象时一定要注意定义域.

(2)利用图象变换法时要注意变换的顺序,对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 1-1 分别画出下列函数的图象.

(1)y=|lg x|;(2)y=2x+2;(3)y=x+2

x -1. 解析 (1)y={

lgx(x ≥1),

-lgx(0

的图象如图①.

(2)将y=2x 的图象向左平移2个单位长度即可得到y=2x+2的图象,如图②.

(3)y=x+2

x -1=1+3

x -1,先作出y=3x 的图象,再将其图象向右平移1个单位长度,向上平移1个单位长度,即得到y=x+2

x -1的图象,如图③.

图③

函数图象的识辨

命题方向一 根据函数解析式识辨函数图象

典例2 (1)函数f(x)=sinx+x

cosx+x 2在[-π,π]上的图象大致为( )

(2)在同一平面直角坐标系中,函数y=1

a x ,y=log a(x+1

2

)(a>0,且a≠1)的图象可能是()

答案(1)D(2)D

解析(1)由f(-x)=sin(-x)+(-x)

cos(-x)+(-x)2=-sinx-x

cosx+x2

=-f(x),且定义域关于原点对称,得f(x)是奇函数,其

图象关于原点对称.又f(π

2)=1+

π

2

(π

2

)

2

=4+2π

π2

>1,f(π)=π

-1+π2

>0,所以应为D选项中的图象.故选D.

命题方向二根据函数图象识辨函数解析式

典例3(1)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()

A.f(x)=ln|x|

x B.f(x)=e

x

x

C.f(x)=1

x2-1D.f(x)=x-1

x

(2)(2018河南洛阳第一次统考)已知f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的大致图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的大致图象是()