第七节 函数的图象

第七节函数的图象会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.描点法作图方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、最值,甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.2.图象变换(1)平移变换:(2)伸缩变换:y=f(x)y=⑤f(ωx);y=f(x)y=⑥Af(x).(3)对称变换:y=f(x)y=⑦-f(x);y=f(x)y=⑧f(-x);y=f(x)y=⑨-f(-x).(4)翻折变换:y=f(x)y=⑩f(|x|);y=f(x)y=|f(x)|.函数图象对称变换的相关结论(1)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象.(2)y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象.(3)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象.(4)y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(-x-1)的图象.()(2)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.()(3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()(4)函数y=f(|x|)的图象关于y轴对称.()(5)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.()答案(1)✕(2)√(3)√(4)√(5)✕2.函数y=x|x|的图象大致是()答案A3.(教材习题改编)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是()A.y=f(|x|)B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|)D.y=-f(-|x|)答案 C4.如图,四个容器的高度都相同,将水从容器顶部的一个孔以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系,其中不正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 A5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)=( ) A.e x+1 B.e x-1 C.e -x+1 D.e -x-1 答案 D6.(2018课标全国Ⅱ,3,5分)函数f(x)=e x -e -x x 2的图象大致为( )答案 B作函数的图象典例1 作出下列函数的图象. (1)y=2-xx+1; (2)y=(12)|x+1|;(3)y=|log 2x-1|; (4)y=x 2-2|x|-1.解析 (1)易知函数的定义域为{x ∈R|x ≠-1}.y=2-xx+1=-1+3x+1,因此由y=3x 的图象向左平移1个单位长度,向下平移1个单位长度即可得到函数y=2-x x+1的图象,如图①所示.(2)先作出y=(12)x,x ∈[0,+∞)的图象,然后作其关于y 轴对称的图象,再将整个图象向左平移1个单位长度,即得到y=(12)|x+1|的图象,如图②所示.(3)先作出y=log 2x 的图象,再将图象向下平移1个单位长度,保留x 轴上方的部分,将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来,即得到y=|log 2x-1|的图象,如图③所示.(4)y={x 2-2x -1(x ≥0),x 2+2x -1(x <0)的图象如图④.规律总结函数图象的三种画法1.直接法:当函数解析式(或变形式后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.3.图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出.▶提醒 (1)画函数的图象时一定要注意定义域.(2)利用图象变换法时要注意变换的顺序,对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 1-1 分别画出下列函数的图象.(1)y=|lg x|;(2)y=2x+2;(3)y=x+2x -1. 解析 (1)y={lgx(x ≥1),-lgx(0<x <1)的图象如图①.(2)将y=2x 的图象向左平移2个单位长度即可得到y=2x+2的图象,如图②.(3)y=x+2x -1=1+3x -1,先作出y=3x 的图象,再将其图象向右平移1个单位长度,向上平移1个单位长度,即得到y=x+2x -1的图象,如图③.图③函数图象的识辨命题方向一 根据函数解析式识辨函数图象典例2 (1)函数f(x)=sinx+xcosx+x 2在[-π,π]上的图象大致为( )(2)在同一平面直角坐标系中,函数y=1a x ,y=log a(x+12)(a>0,且a≠1)的图象可能是()答案(1)D(2)D解析(1)由f(-x)=sin(-x)+(-x)cos(-x)+(-x)2=-sinx-xcosx+x2=-f(x),且定义域关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.又f(π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f(π)=π-1+π2>0,所以应为D选项中的图象.故选D.命题方向二根据函数图象识辨函数解析式典例3(1)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()A.f(x)=ln|x|x B.f(x)=exxC.f(x)=1x2-1D.f(x)=x-1x(2)(2018河南洛阳第一次统考)已知f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的大致图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的大致图象是()答案(1)A(2)A解析(1)由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x-1x,则x→+∞时, f(x)→+∞,排除D,故选A.(2)由函数f(x)的大致图象可知3<a<4,-1<b<0,所以g(x)的图象是由y=a x(3<a<4)的图象向下平移-b(0<-b<1)个单位长度得到的,其大致图象应为选项A中的图象,故选A.命题方向三根据实际背景、图形判断函数图象典例4(2018四川绵阳模拟)如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x(1≤x≤3),线段MN的两个端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致为()答案D解析由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为12的扇形.因为矩形ABCD的周长为8,AB=x,则AD=8-2x2=4-x,所以y=x(4-x)-π4=-(x-2)2+4-π4(1≤x≤3),显然该函数的图象是二次函数图象的一部分,且当x=2时,y=4-π4∈(3,4).故选D.规律总结函数图象的识辨可从以下方面入手1.由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上下位置;2.由函数的单调性判断图象的变化趋势;3.由函数的奇偶性判断图象的对称性;4.由函数的周期性判断图象的循环往复;5.由特殊点排除不符合要求的图象.2-1(1)函数y=2x 32+2在[-6,6]上的图象大致为()(2)如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB 于点E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,l 左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是()答案(1)B(2)C解析(1)设y=f(x)=2x 32x+2-x ,则f(-x)=2(-x)32-x+2x=-2x32x+2-x=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项C.又f(4)=2×4324+2-4>0,排除选项D,f(6)=2×6326+2-6≈7,排除选项A,故选B.函数图象的变换及应用命题方向一研究函数的性质典例5(1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)(2)已知函数f(x)=|x|(x-a),a>0.(i)作出函数f(x)的图象;(ii)写出函数f(x)的单调区间;(iii)当x∈[0,1]时,由图象写出f(x)的最小值.答案(1)C解析(1)f(x)={x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0,画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且递减区间是(-1,1).(2)(i)f(x)={x(x-a),x≥0,-x(x-a),x<0,其图象如图所示.(ii)由图象知,f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(a2,+∞);单调递减区间是(0,a2).(3)由图象知,当a2>1,即a>2时,f(x)min=f(1)=1-a;当0<a2≤1,即0<a≤2时,f(x)min=f(a2)=-a24.综上,f(x)min={-a24,0<a≤2,1-a,a>2.命题方向二解不等式典例6已知奇函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,若f(-2)=0,则xf(x)<0的解集为()A.(-2,0)∪(0,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-1,0)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(0,2)答案B解析由题意得函数f(x)的大致图象如下,因为xf(x)<0,所以函数f(x)的图象应在第二、四象限,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞),故选B.命题方向三求参数的取值范围典例7已知函数f(x)={e x,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)答案C解析令h(x)=-x-a,则g(x)=f(x)-h(x).在同一平面直角坐标系中画出y=f(x),y=h(x)的大致图象,如图所示.若y=g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a过点(0,1)时,两图象有2个交点,此时1=-0-a,a=-1.当直线y=-x-a在直线y=-x+1上方,即a<-1时,两图象仅有1个交点,不符合题意.当直线y=-x-a在直线y=-x+1下方,即a>-1时,两图象有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围是[-1,+∞).故选C.规律总结利用函数图象的直观性求解相关问题,关键在于准确作出函数图象,根据函数解析式的特征和图象的直观性先确定函数的相关性质,特别是函数图象的对称性,然后解决相关问题. 3-1 已知函数f(x)为R 上的偶函数,当x ≥0时, f(x)单调递减,若f(2a)>f(1-a),则a 的取值范围是( )A.(-∞,13)B.(-13,1)C.(-1,13) D.(-13,+∞)答案 C3-2 已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是 .答案 (12,1) 解析 f(x)={x -1,x ≥2,3-x,x <2.作出y=f(x)的图象,如图,其中A(2,1),则k OA =12.要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,12<k<1.A 组 基础题组1.函数y=1-1x-1的图象是()答案B2.图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H),则该函数的大致图象是()答案B3.为了得到函数y=ln x+1e2的图象,只需把函数y=ln x的图象上所有的点()A.向左平移1个单位长度再向下平移e2个单位长度B.向左平移1个单位长度再向下平移2个单位长度C.向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度D.向右平移1个单位长度再向下平移e2个单位长度答案B4.定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时,f(x)=2x-4.若关于x的方程f(x)=k恰有两个实根,则k的取值范围是()A.(-3,0)∪(0,3)B.[-3,0)∪(0,3]C.(-3,3)D.[-3,3]答案A由定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时,f(x)=2x-4,可得f(x)={2x-4,x>0,0,x=0,4-2-x,x<0,作出函数f(x)的图象,如图所示,由图象可得,当k∈(-3,0)∪(0,3)时,直线y=k与y=f(x)的图象有两个交点,即当k∈(-3,0)∪(0,3)时,方程f(x)=k恰有两个实根,故选A.5.下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)答案B函数y=ln x的图象过定点(1,0),(1,0)关于直线x=1对称的点还是(1,0),只有y=ln(2-x)的图象过此点.故选项B正确.6.函数y=2|x|sin2x的图象可能是()答案D令f(x)=2|x|sin2x,因为x∈R,f(-x)=2|-x|sin2(-x)=-2|x|sin2x=-f(x),所以f(x)=2|x|sin2x为奇函数,排除选项A,B;,π)时,因为x∈(π2f(x)<0,所以排除选项C,故选D.7.若函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(2-x)的图象是()答案C y=f(x)的图象先关于y轴对称,得到y=f(-x)的图象,再向右平移两个单位长度,即可得到y=f(-(x-2))=f(2-x)的图象.故选C.8.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在(-1,3)上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)答案C作出函数f(x)的图象如图所示.当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0),当x∈(0,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3).9.若函数y=f(x)的大致图象如图所示,则f(x)的解析式可能是()A.f(x)=xe +e B.f(x)=xe -e C.f(x)=e x +e -xx D.f(x)=e x -e -x x答案 C10.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集是( )A.{x|-1<x ≤0}B.{x|-1≤x ≤1}C.{x|-1<x ≤1}D.{x|-1<x ≤2}答案 C 作出函数y=log 2(x+1)的图象,如图所示:其中函数f(x)与y=log 2(x+1)的图象的交点为D(1,1), 结合图象可知f(x)≥log 2(x+1)的解集为{x|-1<x ≤1}, 故选C.11.已知函数f(x)=2x (x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞,2) B .(-∞,e) C.(2,e) D.(e,+∞)答案 B 函数f(x)=2x(x<0)图象与y 轴对称的图象对应的函数为y=(12)x(x>0),要使得函数f(x)=2x(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则函数y=(12)x(x>0)的图象与函数g(x)=ln(x+a)图象存在交点,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(12)x(x>0)与函数g(x)=ln(x+a)的大致图象如下,由图可得g(0)=ln(0+a)<(12)0, 解得a<e.故选B. 12.若函数f(x)={ax +b,x <-1,ln(x +a),x ≥-1的图象如图所示,则f(-3)等于 .答案 -1解析 由图象可得-2a+b=1,ln(-1+a)=0,得a=2,b=5, ∴f(x)={2x +5,x <-1,ln(x +2),x ≥-1,故f(-3)=2×(-3)+5=-1. 13.已知函数f(x)=2x ,x ∈R.(1)当m 取何值时,方程|f(x)-2|=m 有一个解?有两个解? (2)若不等式[f(x)]2+f(x)-m>0在R 上恒成立,求m 的取值范围. 解析 (1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x -2|,G(x)=m, 画出F(x)的图象如图所示,由图象看出,当m=0或m ≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,即原方程有一个解; 当0<m<2时,函数F(x)与G(x)的图象有两个交点,即原方程有两个解. (2)令f(x)=t(t>0),H(t)=t 2+t,因为H(t)=(t +12)2-14在区间(0,+∞)上是增函数, 所以H(t)>H(0)=0.因此要使t 2+t>m 在区间(0,+∞)上恒成立,应有m ≤0, 即m 的取值范围是(-∞,0].B 组 提升题组1.已知函数f(x)(x ∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1n (x i +y i )=( ) A.0 B.m C.2mD.4m答案 B 易知f(x)+f(-x)=2,y=x+1x=1+1x ,所以函数y=f(x)与y=x+1x的图象都关于点(0,1)对称,所以∑i=1mx i =0,∑i=1my i =m 2×2=m,故选B.2.已知函数y=f(x)的周期为2,当x ∈[-1,1]时, f(x)=x 2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有 ( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.7个答案 A 由函数y=f(x)的周期为2,又当x ∈[-1,1]时, f(x)=x 2,g(x)=|lg x|,在同一坐标系中分别作出这两个函数的图象如图所示,可知交点共有10个.3.已知函数f(x)={13x 3-12x 2,x <0,e x ,x ≥0,则f(3-x 2)>f(2x)的解集为( )A.(-∞,-3)∪(1,+∞)B.(-3,1)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-1,3)答案 B 当x<0时, f(x)=13x 3-12x 2, f '(x)=x 2-x,∴当x<0时, f '(x)>0, f(x)单调递增,且x →0时, f(x)→0,∴f(x)<0; 当x ≥0时, f(x)=e x 单调递增,且f(x)≥f(0)=1,因此f(x)单调递增, ∴f(3-x 2)>f(2x)可转化为3-x 2>2x,解得-3<x<1,故选B.4.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+1)=2f(x),当x ∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m 的取值范围是( ) A.(-∞,94] B .(-∞,73] C.(-∞,52] D .(-∞,83]答案 B ∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1). ∵x ∈(0,1]时, f(x)=x(x-1)∈[-14,0];∴x ∈(1,2]时,x-1∈(0,1], f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)∈[-12,0]; ∴x ∈(2,3]时,x-1∈(1,2], f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3)∈[-1,0], 如图:当x ∈(2,3]时,由4(x-2)(x-3)=-89,解得x 1=73,x 2=83,若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m ≤73,则m 的取值范围是(-∞,73]. 故选B. 5.已知f(x)={|log 4x|,0<x ≤4,x 2-10x +25,x >4,a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是 . 答案 (24,25) 解析 先画出函数 f(x)={|log 4x|,0<x ≤4,x 2-10x +25,x >4的图象,如图所示:因为a,b,c,d 互不相同,不妨设a<b<c<d,又f(a)=f(b)=f(c)=f(d), 而-log 4a=log 4b,则log 4a+log 4b=0,可得ab=1,则abcd=cd, 由c+d=10,且c<d,可得cd<(c+d 2)2=25,且cd=c(10-c)=-(c-5)2+25,当c=4时,d=6,此时cd=24,但此时b,c 相等, 故abcd 的范围是(24,25).。