几何量子相位探析
量子相位估计
量子相位估计
量子相位估计是一种量子算法，用于估计一个未知的相位角度。
该算
法有很多实际应用，例如在化学反应中估计分子间的奇异耦合相位（Singular Coupling）。
该算法的基本思想是通过重复应用一个相位旋转门，来逐渐逼近未知
相位的值。
在量子系统中，相位旋转门是一种单量子比特门，该门作用于
一个量子比特的相位，并将该相位旋转一定角度。
在量子相位估计算法中，该门作用于多个量子比特，从而产生更复杂的相位变换。
在算法执行过程中，需要准备一个特殊的量子态，该态包含一个辅助
量子比特和多个目标量子比特。
该辅助量子比特用于保存到目标量子比特
的状态中编码的相位信息，可以通过应用Hadamard门转换为等权重的叠
加态。
接着，在每次应用相位旋转门后，运用逆量子傅里叶变换来从辅助
比特中提取出相位角度的部分位数。
重复应用相位旋转门和逆量子傅里叶
变换，直至得到满足所需精度的相位估计值。
量子相位估计算法的时间复杂度是O(NlogN)，其中N是需要估计的
相位的位数。
该算法在量子计算机中可以实现指数加速，因此具有重要的
实际应用前景。
量子力学中的几何相位与拓扑性质
量子力学中的几何相位与拓扑性质量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，而几何相位和拓扑性质是量子力学中的重要概念。
本文将介绍量子力学中的几何相位和拓扑性质，并探讨它们在实际应用中的意义。
首先，我们来了解一下几何相位。
几何相位是由于量子系统的演化路径而产生的相位差异。
在量子力学中，波函数描述了粒子的状态，而几何相位则是描述波函数演化路径的一种方法。
几何相位的计算依赖于波函数的闭合性，即波函数在演化过程中回到原始状态。
几何相位的计算公式为：$$\gamma = \oint_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r}$$其中，$\gamma$表示几何相位，$C$表示波函数的演化路径，$\mathbf{A}$表示矢量势，$d\mathbf{r}$表示路径元素。
几何相位的计算与路径的选择有关，不同的路径可能会导致不同的几何相位。
几何相位在量子力学中有广泛的应用。
例如，在量子力学中，存在一种称为Berry相位的几何相位。
Berry相位是描述自旋轨道耦合的一种几何相位，它与粒子的自旋和外部磁场的方向有关。
Berry相位的存在使得量子系统具有一些特殊的性质，例如自旋霍尔效应和拓扑绝缘体等。
接下来，我们来了解一下拓扑性质。
拓扑性质是描述空间结构的一种性质，它与空间的连续性和变形无关。
在量子力学中，拓扑性质用于描述量子态的性质。
拓扑性质的一个重要概念是拓扑不变量，它是一种在拓扑变化下保持不变的量。
拓扑不变量可以用于分类不同的量子态，并研究它们的性质。
拓扑性质在量子力学中有许多重要应用。
例如，在拓扑绝缘体中，电子的传导行为与拓扑不变量有关。
拓扑绝缘体是一种特殊的绝缘体，其表面存在导电态，而体内是绝缘的。
这种特殊的性质使得拓扑绝缘体在量子计算和量子通信等领域有着广泛的应用。
几何相位和拓扑性质在实际应用中有着重要的意义。
例如，在量子计算中，几何相位和拓扑性质可以用于实现量子比特的操作和控制。
通过利用几何相位和拓扑性质，可以实现量子比特之间的相互作用和量子门操作，从而实现量子计算的高效性能。
【国家自然科学基金】_几何相位分析_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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二元相位板 mimo雷达 curvelet变换 champ
1 1 1 1
2011年 科研热词 推荐指数 光学测量 2 高分辨距离像:锥形弹头 1 非球面镜 1 非球面法线 1 透射电镜 1 误差分析 1 许可相位 1 表面等离激元 1 衍射 1 薄掩模模型 1 立体匹配 1 相位测量偏折术 1 相位共振 1 白光相移干涉 1 瑞利反常 1 特征提取 1 标准台阶 1 极紫外投影光刻 1 条纹分析 1 时域有限差分算法 1 微机电系统(mems) 1 微动 1 应变 1 广义hough变换 1 左转车道 1 存储段长度 1 同步相位探测技术 1 单演信号分析 1 几何相位分析 1 信号交叉口 1 交通工程 1 三维视觉测量 1 一维金属光栅 1 ronchi检测 1 gp区 1 carré相移算法 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
量子力学中的几何相位理论解析
量子力学中的几何相位理论解析量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。
而在量子力学中，除了波函数和概率幅之外，还有一个重要的概念，即相位。
量子力学中的相位非常特殊，它与粒子的运动状态息息相关，并对粒子的行为产生重要影响。
在相位的研究中，几何相位理论是一种非常重要的方法，它揭示了粒子运动中的一些基本规律。
几何相位理论最早由英国物理学家迈克尔贝瑞斯（Michael Berry）在20世纪80年代提出，并在量子力学中得到广泛应用。
它的核心思想是，粒子在路径或演化过程中并非只受到动力学相位的影响，还受到一种独特的几何相关相位的作用。
这种相位与粒子运动的轨迹和磁场等有关。
通过研究几何相位，我们可以更深入地理解粒子行为的规律。
为了理解几何相位的具体含义，我们可以从一个简单的实例入手。
考虑一个自旋1/2的粒子被放置在一个均匀磁场中的情况。
根据常规的动力学相位的计算方法，我们可以算出粒子受磁场作用旋转的角度，而几何相位则围绕着磁场的拓扑特性展开。
当粒子沿着一个闭合路径在磁场中运动时，几何相位与路径的拓扑关系密切相关。
除了自旋，光的传播也是几何相位研究的重要对象。
在几何光学中，我们知道光在传播过程中会经历反射、折射等现象。
而在量子力学中，我们可以通过几何相位理论来深入理解这些现象。
例如，当光穿过一个较弯曲的光学元件时，会产生一种相位变化。
而如果我们采用常规的动力学相位的计算方法，往往无法彻底解释光的行为。
而几何相位理论则可以从一个几何的角度给出更准确的描述。
通过对光路的分析，我们可以计算出光线经过弯曲路径后所引入的相位变化，从而更好地解释光在不同介质中传播的特性。
几何相位理论不仅仅局限于经典情形，对于量子力学中复杂系统的研究也有重要意义。
例如，在量子力学的多粒子系统中，粒子之间的相互作用会导致相位的变化。
几何相位理论可以帮助我们理解这种相位变化背后的物理规律，并为多粒子系统的研究提供指导。
通过对系统的几何结构进行分析，我们可以揭示粒子之间相互作用的本质，并研究它们对粒子行为的影响。
量子力学的Berry相位
量子力学的Berry相位在量子力学中，Berry相位是一种重要的概念。
它是由英国物理学家Michael Berry于1984年提出的，用于描述量子系统在参数空间中绕闭合路径演化时所累积的额外相位。
Berry相位不仅具有深刻的理论意义，而且在实际应用中也起着重要的作用。
本文将介绍量子力学的Berry相位的概念、性质和应用。
一、概念在量子力学中，Berry相位是描述纯态量子系统的一个重要量。
当一个量子系统被带有时间演化参数的哈密顿量控制时，系统的波函数将在参数空间内演化。
如果在参数空间内画出一个闭合路径，那么系统的波函数将绕着该闭合路径进行演化。
根据量子力学的数学理论，当量子系统沿着相位空间变化时，除了动力学相位外，还会出现一个附加的相位，即Berry相位。
Berry相位的大小与路径选择无关，只与路径的几何形状和参数空间的拓扑结构有关。
二、性质Berry相位有一些重要的性质。
首先，Berry相位是一个纯几何相位，与动力学演化无关，只由参数空间的几何结构决定。
其次，Berry相位在演化过程中是累积的，即沿着闭合路径演化所得到的总相位等于逐点累积的每一段Berry相位之和。
最后，Berry相位在量子系统存在演化过程中不依赖于绝对的能级，而只与能级之间的相对相位有关。
这些性质使得Berry相位成为研究量子系统的重要工具。
三、应用Berry相位在现代物理研究中有着广泛的应用。
首先，Berry相位的概念为理解许多量子现象提供了新的视角。
例如，它可以用来解释电子在周期势场中受到的附加相位，从而揭示了物质的电子性质。
其次，Berry相位在拓扑绝缘体和拓扑超导体等新型材料中起着重要作用。
这些材料表现出奇特的拓扑性质，可以通过Berry相位来描述它们的拓扑信息。
此外，Berry相位还在量子信息科学中有广泛应用，例如量子计算和量子通信等领域。
总结起来，量子力学的Berry相位是一个非常重要的概念，它描述了量子系统在参数空间中绕闭合路径演化所累积的额外相位。
粒子物理学中的几何相位研究
粒子物理学中的几何相位研究粒子物理学是一门研究宇宙组成和微观粒子行为的学科，其中的几何相位研究是重要的一部分。
在这篇文章中，我们将探讨几何相位的概念、应用以及最新的研究成果。
几何相位指的是一种与粒子运动路径的几何形状相关的相位。
相位是描述波动过程的一个重要概念，它包含有关波的位置和运动状态的信息。
传统的相位理论主要研究波函数的演化，而几何相位则关注于波函数演化过程中的几何结构变化。
几何相位最初由英国物理学家Michael Berry在20世纪80年代提出，并在此后得到广泛的研究和应用。
它的研究领域涉及广泛，包括量子力学、光学、量子信息和拓扑物态等。
几何相位的研究不仅对理论物理学有着重要意义，而且在实验中也有着重要的应用。
在量子力学中，几何相位可以解释物质波在路径上所受到的相位变化，这种变化与路径的几何结构有关。
最常见的几何相位是Berry相位，它描述了在快速变化外场的作用下，粒子所获得的相位。
Berry相位不仅在物理学中有重要应用，而且在化学反应、拓扑物态以及量子计算等领域也有广泛的应用。
最近，关于几何相位的研究有了新的突破。
科学家们发现，几何相位在拓扑物态中具有重要作用。
拓扑物态是固体中的一种特殊状态，它的性质在拓扑不变下保持不变。
而几何相位则是在路径上的传播中保持不变的量子系统固有的物理量。
利用几何相位的概念，科学家们在研究拓扑物态时能够预测和发现新的材料。
例如，通过分析材料的拓扑结构和电子能带的几何相位，科学家们预测了一种新型的拓扑绝缘体材料，并成功合成了这种材料。
这一发现引起了科学界的广泛关注，并为新材料的研究提供了新的思路。
除了在拓扑物态中的应用，几何相位在量子计算和量子通信领域也有重要的应用。
量子计算是一种利用量子力学的特性进行计算的理论模型。
几何相位在量子计算中被应用于量子门的实现以及量子比特的存储和操控。
通过精确地调控几何相位，科学家们能够实现更为高效的量子计算和通信。
综上所述，粒子物理学中的几何相位研究是一门重要而有意义的学科。
量子系统的几何相位
- gn(t)
Berry phase:
n(R )R R 0 in *(R ) R n(R )dR 6
几何相位的产生 是指在空间曲面上, 矢量沿一曲线上的运 动, 在运动过程中,矢 量在切平面上没有没 有几何转动，在切面 上的法线方向，转动 角速度为零。 平行移动 (parallel transport)
添加标题
非绝热演化低 退相干几何相位
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总结
基本概念
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地 阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂， 需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读 压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们 只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半 功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅 读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定 注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实 非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使 逻辑框架相对清晰。
B BF
几何相位的方差yxB动力学相位的方差
B0
方差反映的是随机变量的取值对于其数学期望的离散程度,因
此对于绝热演化 T→∞ 方差趋于零，说明随机涨落分量对几何
相位的影响很小，甚至可以被忽略。
12
量子场驱动非线性 J-C 模型系统的几何相位
哈密顿量 本征态
几何相位 讨论
• n=0, 几何相位不等于零 • n的大小 • 失谐量等于零 ,几何相位与k
几何相位与庞加莱球上的解释、
一、引言在物理学和工程领域中，我们经常会遇到几何相位和庞加莱球这两个概念。
几何相位是指在光学或量子力学中，在波函数从某一点传播到另一点时因为波函数的相位变化而产生的相位。
而庞加莱球则是指在微分几何中用于描述超几何空间的一个重要概念。
它的理论与实际应用涉及的范围非常广泛。
二、几何相位的概念几何相位最早由英国物理学家迈克尔·贝瑞在20世纪60年代提出。
他指出，在一个闭合的量子力学系统中，如果波函数在参数空间中绕着一个闭合曲线进行演化，那么当波函数演化完成后，除了动力学相位（即薛定谔方程中的相位因子）之外，还会出现一个额外的相位，即几何相位。
这个额外的相位是由系统的几何结构所决定的，而与系统的动力学过程无关。
三、几何相位的应用1. 光学中的应用在光学领域，几何相位常常在分析光学系统和设计光学元件时发挥重要作用。
在光学干涉仪、共焦显微镜和光栅等实验中，几何相位的概念和计算方法被广泛应用。
通过几何相位的分析，可以更清晰地理解光学现象的本质，并且为光学器件的设计和优化提供重要的理论指导。
2. 量子力学中的应用在量子力学中，几何相位也具有重要的物理意义。
它在描述自旋系统、量子干涉和拓扑量子计算等研究领域中起着关键作用。
特别是在拓扑量子计算中，几何相位被认为是实现量子比特的稳定操作所必需的要素之一。
四、庞加莱球的概念庞加莱球是法国数学家亨利·庞加莱在19世纪末提出的一个几何概念。
它是对于超几何空间的一种抽象描述，通常被用于描述相对论和宇宙学中的空间结构。
庞加莱球在微分几何、广义相对论和宇宙学模型等领域都有着重要的应用。
五、庞加莱球及其解释1. 庞加莱球的性质庞加莱球是一个具有固定曲率的超几何空间。
它是一个具有有限直径但没有边界的空间结构，类似于三维球面。
然而，与普通的三维球面不同的是，庞加莱球是一个四维空间的抽象描述，其几何性质需要通过数学方法进行描述和分析。
2. 庞加莱球在相对论和宇宙学中的应用在相对论中，庞加莱球被用来描述引力场中的时空曲率和引力波的传播。
变形Jaynes-Cummings模型中的Pancharatnam相位
变形Jaynes-Cummings模型中的Pancharatnam相位王发强;梁瑞生【摘要】关系.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(000)003【总页数】4页(P39-42)【关键词】变形;Pancharatnam相位;几何相位【作者】王发强;梁瑞生【作者单位】华南师范大学信息光电子科技学院,广东广州,510631;华南师范大学信息光电子科技学院,广东广州,510631【正文语种】中文【中图分类】O431.2自从Berry几何相位于1984年被发现以来[1]，量子力学几何相位得到了深入且广泛的研究[2-4]，并在实验系统中观测到了相关现象[5-6]，其中文献[6]观测到了单光子水平上的几何相位. 另外，Berry关于几何相位的概念已经被推广，如Bhandari 和Samuel 将Pancharatnam 定义的非绝热非回复光路中光波相位的比较推广到量子力学中[5,7]，其比Berry相位更普遍. 在应用方面，几何相位可以用来实现量子门和量子计算[8]，Pancharatnam-Berry相位可以被用来控制光场波前形状[9].另一方面，变形的Jaynes-Cummings(J-C)模型得到了相当广泛的研究[10-12]，因为其在量子场论、量子引力、自旋链、核物理以及分子光谱等方面具有潜在的应用前景. 在变形J-C模型中，通常谐振子算符变为单参数或双参数变形谐振子算符. 众所周知，通常谐振子算符是满足Bose型对易关系的，当变形谐振子参数偏离1时，则变形场光子的统计特性将偏离传统的Bose统计，这将产生许多新的效应.另外，变形J-C模型中还包含了光场与原子耦合系数与光场强度相关的非线性效应，而Pancharatnam相位可以通过Mach-Zehnder干涉仪测量. 因此，本文将研究不同参数条件下变形J-C模型中的Pancharatnam相位随时间的演化规律.本文第1部分给出系统的微观模型及Pancharatnam相位的理论推导，第2部分是数值计算和结果分析，最后给出结论.当一两能级原子与单模变形量子光场作用时，系统Hamiltonian在旋波近似下，可写为[10-12]：其中，ω为原子基态1〉之间的跃迁频率，σZ、σ+和σ-是原子的赝自旋算符，g 是原子与光场的耦合参数，A†(A)是频率为ν变形光场的产生(湮灭)算符，N为变形光场的粒子数算符. 光场算符满足如下的变形谐振子对易关系：其中，结构函数Φ(x)与具体的变形方案有关，具体形式将在后面给出. 一般来讲，结构函数Φ(x)是满足Φ(0)=0的解析函数，且A†A=Φ(N)≡[N]，AA†=Φ(N+1)≡[N+1].假设系统的初态如下：其中，|n〉表示光场处于变形谐振子Fock态.则系统t时刻的态矢量为：).为简化计算，本文假定原子与光场处于共振状态，即ω=ν. 通过计算，可以得到：bn(t)=bCncos(gt)-iaCn+1sin(gt).当光场初始处于变形相干态时，上式中的系数Cn为[11-12]：其中，α为复数，变形的e指数定义为由此，可得到系统的Pancharatnam相位为[13]：φt=arg〈ψ(0)|ψ(t)〉=其中，X(t)、Y(t)为：Y(t)=(a*bα*+ab*α)×,X(t)=+下面讨论当系统为通常J-C模型以及变形J-C模型时，系统Pancharatnam相位随时间的演化.首先，讨论系统为通常的J-C模型时，Pancharatnam相位随时间的演化. 当光场产生和湮灭算符对易关系中的结构函数为Φ(N)=N时，系统即为通常J-C模型. 由图1的(a)和(b)可以看出，当光场的平均光子数为25和9时，系统Pancharatnam相位随归一化时间gt的演化出现坍塌与回复，即相位随时间振荡——消失——振荡. 众所周知，当光场处于相干态时，与其作用的原子布居数反转随时间也出现坍塌与反转，这是因为，光场的相干态可以看作是不同粒子数态(Fock态)的相干叠加，而不同粒子数态演化产生的相位是不同的，其相干叠加，导致了坍塌与回复的出现. 以上结果表明，系统的Pancharatnam相位反映了与光场、原子量子特性相关的信息. 另外，由图1(c)可以看出，当平均光子数较小时，系统的Pancharatnam相位将不出现坍塌与回复，而是一直作某种有规律的振荡. 这与原子的布居数反转随时间的演化规律是一致的.其次，讨论系统为q变形J-C模型时，Pancharatnam相位随时间的演化. 当光场产生和湮灭算符对易关系中的结构函数取Φ(N)≡[N]=(qN-q-N)/(q-q-1)(0lt;qlt;1)时，系统通常被称为q变形的J-C模型. 当q→1时，结构函数[N]=N, 系统将变为前面的通常J-C模型[10-12]. 当然，系统还存在其他的单参数变形，如[N]Q=(QN-1)/(Q-1). 但其与前面的q变形是相关联的，即当Q=q2时，[N]=q1-N[N]Q，所以，此处，我们只考虑q变形就可以了. 由图2可以发现，变形的J-C模型Pancharatnam相位演化，与前面通常的J-C模型一样，同样存在坍塌与回复. 对比图1与图2，可以看出，当平均光子数较大时，即|α|=25，变形J-C模型的Pancharatnam相位演化与通常的J-C模型的Pancharatnam相位演化存在较大差别，即振荡的时间、坍塌与回复的时间周期皆不同. 但当平均光子数减小时，这种差别也逐渐减小. 对比图3与图1、图2，可以发现，当q偏离1，进一步减小时，系统的Pancharatnam相位演化也将出现较大的变化，但这种差别在平均光子数为1时，变得非常细微.最后，我们将讨论双参数(p,q)变形J-C模型中的Pancharatnam相位演化. 当光场产生和湮灭算符对易关系中的结构函数取[N]=(qN-p-N)/(q-p-1) (0lt;qlt;1, pgt;1, pqlt;1)时，系统便被称为(p,q)变形的J-C模型. 当p→q时，系统即是前面的q变形J-C模型. 由图4可以发现，当平均光子数较大时，系统的Pancharatnam相位作周期性振荡，且当平均光子数减小时，其振荡波形将出现分裂，与q变形情况下的演化规律有较大差异，这是因为，在(p,q)变形模型中，结构函数[N]并不总是随N的增加而增加，当N大于某一确定值时，[N]将随N的增加而减小，这将导致系统的部分本征能谱变负或存在简并[12]. 当平均光子数为1时，其演化趋势与前面模型相对应的情况下的趋势一致. 研究发现，系统的Pancharatnam相位同样也反映了与光场、原子量子特性相关的信息.由上面的结果可以看出，当平均光子数较大时，变形J-C模型的Pancharatnam相位演化规律与通常J-C模型的Pancharatnam相位演化规律差异较大. 而当平均光子数较小时，此差异则较小. 这是由于光场算符的结构函数是光子数算符的函数，即系统具有非线性, 所导致的.本文首先解析计算了变形J-C模型的Pancharatnam相位，然后，具体计算和讨论了变形J-C模型的Pancharatnam相位随归一化时间的演化规律，并与通常J-C模型的Pancharatnam相位演化规律作了比较. 结果表明，Pancharatnam相位反映了与原子布居数反转以及光场量子特性相关的信息，且平均光子数较大时，变形J-C模型的Pancharatnam相位演化规律与通常J-C模型的Pancharatnam相位演化规律差异较大. 这些结论表明，系统的Pancharatnam相位演化与系统所蕴涵的量子代数结构密切相关. 研究结果对量子信息的测量、编码、存储以及量子门的设计都具有指导意义.Key words： deformed； Pancharatnam phase； geometric phase【相关文献】[1] BERRY M V. 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量子力学中的几何相位
量子力学中的几何相位量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它在20世纪初由一些杰出的科学家如普朗克、爱因斯坦、玻尔等人共同奠定了基础。
在量子力学中，几何相位是一个重要的概念，它揭示了粒子在量子态演化过程中的几何性质。
本文将介绍量子力学中的几何相位的概念、起源、性质以及实际应用。
首先，我们来了解一下几何相位的概念。
在量子力学中，波函数是描述粒子状态的数学工具。
当一个量子系统处于一个本征态时，它的波函数会随时间演化。
几何相位就是描述这种演化过程中与波函数的几何性质相关的相位。
与几何相位相对的是动力学相位，它与波函数的动力学性质相关。
几何相位的引入，丰富了量子力学中对粒子态演化的理解，揭示了波函数的全貌。
几何相位的起源可以追溯到20世纪80年代，由英国物理学家迈克尔·贝瑞和英国数学家西蒙·西蒙斯提出。
他们发现，在一个闭合的量子系统中，当波函数绕着一个闭合曲线回到原点时，波函数会获得一个附加的相位，这个相位就是几何相位。
这个发现引起了广泛的兴趣，并被后来的研究者进一步发展和应用。
几何相位具有一些重要的性质。
首先，几何相位是与路径相关的，即它依赖于波函数演化的具体路径。
这与动力学相位不同，动力学相位只与波函数的初始态和末态有关。
其次，几何相位是一个全局性质，它不仅仅取决于局部的波函数形状，还取决于整个波函数的演化过程。
最后，几何相位是一个纯粹的量子效应，它在经典物理中是不存在的。
几何相位在实际应用中有着广泛的用途。
首先，几何相位在量子计算和量子通信中扮演着重要的角色。
量子计算是利用量子力学的特性进行计算的一种新型计算方式，而几何相位则是量子计算中的关键要素之一。
其次，几何相位在量子力学中的其他领域也有重要的应用。
例如，它在拓扑物态学中的应用引起了广泛的关注。
拓扑物态学是一门研究材料中拓扑性质的学科，几何相位在拓扑物态学中被用来描述材料的拓扑性质。
此外，几何相位还在量子力学中的其他领域如量子力学中的量子行走、量子力学中的相干态等方面有着重要的应用。
平庸自旋体系的几何相位
平庸自旋体系的几何相位刘凤敏;乔元新;于肇贤【摘要】利用不变量理论,研究了平庸自旋体系的几何相位.特别是在考虑到周期性变化的情况下,得到了的Aharonov-Anandan相位.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2016(032)003【总页数】3页(P22-23,28)【关键词】相位;自旋体系;不变量理论【作者】刘凤敏;乔元新;于肇贤【作者单位】北京信息科技大学;北京信息科技大学;北京信息科技大学【正文语种】中文【中图分类】O413众所周知，量子不变量理论是由 Lewis和 Riesenfeld在1969年首次提出的，它是处理与时间有关的哈密顿量系统的有力工具.通过引用基础不变量的概念和对于几何相(1984年Berry提出和1987年Aharonov等人提出)的研究，量子不变量理论在1991年被Gao等人广泛的参考，并且用于精确求解与时间有关的Schrödinger方程.Berry相位的提出不仅是对旧的量子绝热近似理论的突破，同时在更多的物理现象的研究中也提供了新的视角.Berry相位的概念已经发展到了很多物理方向.该文利用不变量理论，将研究平庸自旋体系的动力学相位和几何相位.为了前后的相关性，首先简要地介绍Lewis- Riesenfeld不变量理论(简称L-R理论).对于一维系统，当哈密顿量(t)与时间有关，存在不变量算符(t)如果满足方程(ħ=1)不变量|λn,n〉与时间有关的本征值方程为当，一维体系下的含时Schrödinger方程如下根据L-R不变量理论，方程(3)式的特解|λn,t〉s与关于的特征函数|λn,t〉不同，仅相差一个相因子exp[iδn(t)]，即|λn,t〉s=exp[iδn(t)]|λn,t〉这表明，|λn,t〉s(n=1,2,…)是方程(3)式的一组完整的解.Schrödinger方程(3)的通解可以写为此时Cn=〈λn,t|ψ(0)〉s.考虑随时间变化的平庸自旋体系，它的哈密顿量形式如下为了得到方程(3)的精确解，可以定义算符-和K0其对易关系为容易证明，算符-和0与哈密顿量一起构成准代数关系.令本量子体系的L-R不变量为这里的θ和φ由方程(1)式决定，并且满足关系Bzsinθcosθ=0φφBzsinθsinφ=0其中，字母上方的点表示该字母对时间的导数.可以构造幺正变换其中和φ=φ(t)容易得到它满足特征值方程0|k,m〉=m|k,m〉.根据(t)的幺正变化和贝克 - 坎贝尔 - 豪斯多夫公式有：当时，有当k=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ),且满足k2=1.很容易发现，与的不同之处在于仅相差一个随时间变化的c-数因子.因此，很容易得到含时Schrödinger方程(3)的通解.系数Cm=〈k,m,t=0|Ψ(0)〉s.相位包含动力学相位和几何学相位.动力学相位为：几何学相位为：特别地，在考虑周期性变化的情况下，几何学相位变成如下形式：这就是几何学Aharonov-Anandan相位.综上，通过L-R不变量理论研究了平庸自旋体系的几何相位，分别表示出了动力学相位和几何学相位.特别地，当考虑周期性变化的情况下，给出了几何意义上的Aharonov-Anandan相位.【相关文献】[1] Aharonov Y, Anandan J. Phase change during a cyclic quantum evolution[J]. Phys Rev Lett, 1987, 58(16):1953-1956.[2] Berry M V. Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes[J]. Proc R Soc A, 1984, 392(1802):45-47.[3] Gao X C, Xu J B, Qian T Z. Geometric phase and the generalized invariant formulation[J]. Phys Rev A, 1992, 44(11):7016-7021.[4] Lewis H R, Riesenfeld W B. An Exact quantum theory of the time dependent harmonic oscillator and of a charged particle time dependent electromagnetic field[J]. Math Phys, 1969, 10(8):1458-1473.[5] Moody J, Shapere A, Wilczek F. Realizations of magnetic-monopole gauge fields:Diatoms and spin precession[J]. Phys Rev Lett, 1986, 56(9):893-896.[6] Richardson D J, Kilvington A I, Green K, et al. Demonstration of Berry’s phase using stored ultra-cold neutrons[J]. Phys Rev Lett, 1988, 61(18):2030-2033.[7] Sun C P, Ge M L. Generalizing Born-Oppenheimer approximations and observable effects of an induced gauge field[J]. Phys Rev D, 1990, 41(4):1349-1352.[8] Sun C P. Quantum dynamical model for wave-function reduction in classical and macroscopic limits[J]. Phys Rev A, 1993, 48(2):898-906.[9] Sun C P. Analytic treatment of high-order adiabatic approximations of twoneutrino oscillations in matter[J]. Phys Rev D, 1988, 38(9):2908-2910.[10] Sun C P, et al. High-order quantum adiabatic approximation and Berry’s phase factor[J]. Phys A, 1988, 21(7):1595-1599.[11] Wilczek F, Zee A. Appearance of Gauge Structure in Simple Dynamical Systems[J]. Phys Rev Lett, 1984, 52(24):2111-2114.[12] Wei J, Norman E. Lie Algebraic Solution of Linear Differential Equations[J]. Math Phys, 1963, 4(4):575-581.Geometric Phase of Mediocre Spin System。
相位的原理-概述说明以及解释
相位的原理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分内容：相位是一个在物理学、工程和科学研究中非常重要的概念。
它在波动理论、量子力学、光学、天文学等领域具有广泛的应用。
文章将从相位的基本概念入手，探讨相位在物理学中的应用以及相位的测量方法，旨在帮助读者更清晰地理解相位的原理以及其在科学研究和工程中的重要性。
通过本文的阐述，读者将进一步认识到相位在不同领域中的重要作用，以及其对现代科技和工程领域的深远影响。
"1.2 文章结构"部分的内容如下：本文将分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述相位的基本概念，介绍文章的结构以及阐明撰写本文的目的。
正文部分将详细讨论相位的概念、在物理学中的应用以及相位的测量方法。
最后，在结论部分将对整篇文章进行总结，强调相位在科学研究和工程中的重要性，并展望未来相位技术的发展方向。
通过对文章结构的描述，读者能够清晰地了解本文的内容安排，从而更好地理解相位的原理。
1.3 目的目的部分的内容相位是物理学和工程学中一个重要的概念，本文旨在深入探讨相位的原理及其在科学研究和工程中的应用。
通过对相位概念的介绍以及其在物理学和工程学中的具体应用进行分析，旨在让读者对相位有一个更深入的理解，并认识到相位在科学研究和工程中的重要性。
同时，本文还将介绍相位测量方法，帮助读者更好地掌握相位的测量技术，从而在实际应用中更加灵活地运用相位概念。
最终目的是让读者对相位有一个全面的了解，并认识到相位在科学研究和工程实践中的价值和作用。
2.正文2.1 相位的概念相位是描述波动周期性变化状态的物理量，它是指在波动过程中某一时刻的状态。
在波动理论中，相位是描述波动传播状态的重要参数，它反映了波动在空间和时间上的变化规律。
在简单周期性波动中，相位通常用角度来表示，可以用弧度或者角度来衡量。
相位的变化可以描述波的角位置或者时间位置，它与波的振幅和频率一起完整描述了波的特性。
在复数表示法中，相位通常用复数的辐角来表示，它是复数的实部和虚部的比值，描述了复数的方向和相对大小。
基于庞加莱球的pancharatnam-berry相位原理-概述说明以及解释
基于庞加莱球的pancharatnam-berry相位原理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:Pancharatnam-Berry相位是一种量子力学中的相位概念，它描述的是一种光学器件中光线的相位旋转。
庞加莱球则是用来描述相干光的极化状态的一种数学工具。
本文主要关注基于庞加莱球的Pancharatnam-Berry相位原理，探讨其在光学器件中的应用。
通过深入分析庞加莱球的基本概念以及Pancharatnam-Berry相位的理论基础，我们可以更好地理解这一光学现象，并为光学器件设计和调控提供新的思路和方法。
通过对庞加莱球在Pancharatnam-Berry相位中的应用进行详细讨论，我们可以看到其在量子光学和量子信息处理领域的重要性和潜在应用价值。
本文旨在深入挖掘庞加莱球和Pancharatnam-Berry相位的关系，为读者提供对这一现象的新认识和理解。
"1.2 文章结构"部分的内容如下：本文将分为三个主要部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，将首先概述研究的背景和重要性，介绍庞加莱球和Pancharatnam-Berry相位的基本概念，并阐述本文的目的和意义。
正文部分将主要涵盖庞加莱球的基本概念、Pancharatnam-Berry相位的理论基础以及庞加莱球在Pancharatnam-Berry相位中的应用。
本部分将深入探讨这些主题的关键概念、原理和应用，并结合相关的理论和实例进行详细阐述。
结论部分将对整个文章进行总结，回顾主要内容和观点，并提出未来的研究方向和展望。
最后，通过一些简洁的结束语，引发读者对本文内容的思考和探讨。
1.3 目的本文旨在探讨基于庞加莱球的Pancharatnam-Berry相位原理，并对其在光学、量子计算以及其他领域的潜在应用进行深入的探讨和分析。
通过对庞加莱球和Pancharatnam-Berry相位的理论基础进行详细阐述，并结合实际案例展示其在科学研究和技术应用中的重要性和价值。
量子力学相位因子
( x 为空间任一点 ,可在 abcd 之内或外 ; r 处可以有磁通穿过)
1)
一的标准模型将面临严重的挑战 , 弱电理论将会大 大地深化 , 突破现有的框架 . 磁单极也是类似的道 理. 需要注意 ,上述的电磁描述 ,本来是经典电磁场 的描述 . 现在如果引入不可积的相位因子描述 ,自然 就引入了电子与电磁场的相互作用 , 即引入了电磁 规范场 ; 这种描述一开始就从电子的量子力学波函 数开始 ,从这个角度看 ,电子与电磁场的相互作用从 根本上说是量子理论 , 只有量子理论才能完整而惟 一地确定电子与电磁场相互作用 . iγ 电子波函数 Ψ ( x ) = Ψ0 ( x ) e ,我们上面讲过 , 时空某点的相位没有物理意义 ,不是可观察量 ,一般 来说 ,我们感兴趣的是相位差 , 严格地说 , 相位差有 π 2n i 的不定因子也不是可观察量 , 只有相位因子才 是可观察量 . 暂撇开严格的说法 , 仍然视相位差 ( 除 π 的不定因子) 为可观察的物理量 . 通常一道 去2n 波列在空间传播 , 在空间有限距离两点的相位差可 π 因子 , 以下同 以是有确定值的可观察量 ( 除去 2 n 此) ,它导致通常的干涉绕射等现象 . 如果有限距离 两点间的相位差有一定值是可观察量 , 则这时的相 位差只依赖于两端点 . 但狄拉克指出还存在一种可 能性 ,即这一有限距离的相位差仍然是不定的 ,没有 确定值 . 它的值依赖于连接两点的 “路径” ,这时只有 相邻两点的相位差才有确定值. 这种相位因子称为 “不可积的” . 狄拉克论证引入不可积相位因子不会 导致量子力学任何含糊或需要的修正. 量子力学并
3 香港中山大学高等学术研究中心基金资助项目
2001 - 05 - 14 收到初稿 ,2001 - 06 - 29 修回
几何相位_聚焦_反偏振_发散_概述及解释说明
几何相位聚焦反偏振发散概述及解释说明1. 引言1.1 概述引言部分旨在向读者引入本文的主要内容和讨论的几何相位、聚焦、反偏振和发散现象。
几何相位是一种光学中的重要概念，可以用于描述光波传播时的相位变化。
聚焦现象则涉及到光束在传播过程中被集中到一个点或区域的现象，其在光学成像和激光技术中具有广泛应用。
反偏振现象则研究了材料对于不同方向入射光的吸收、反射和透射特性随角度的变化情况，该现象在光学传输和显示等领域具有重要意义。
而发散现象指的是光束传播过程中由于光场强度分布不均匀导致的扩散效应，它对于光学传输和激光器性能都有重要影响。
1.2 文章结构本文共分为6个主要部分进行讨论。
首先，在第2部分我们将介绍几何相位的定义和原理，并探讨它在光学中的应用以及与波前调制技术之间的关系。
紧接着，在第3部分我们将讨论光束聚焦的基本原理，以及聚焦技术在光学成像和激光器中的应用，并分析聚焦效果对于光学实验和应用的影响。
第4部分将重点介绍反偏振现象的原理、特点和研究进展，并讨论不同材料与结构对反偏振性能的影响评估以及优化方法。
接下来，在第5部分中我们将概述发散现象，并讨论光束发散机制与参数的关系研究，同时探讨发散现象对于光学传输和激光器性能的影响以及相应的应对策略。
最后，在第6部分中我们将总结各章节要点，并对几何相位、聚焦、反偏振和发散现象的整体认识进行回顾并展望未来发展前景。
1.3 目的本文旨在提供有关几何相位、聚焦、反偏振和发散现象的综合概述，包括其定义、原理、在光学中的应用以及与其他相关技术之间的关系等方面内容。
通过深入剖析这些现象，我们将探索它们在光学传输、成像和激光器性能中的重要作用，并讨论对其进行优化和提高的方法和策略。
最终，本文旨在帮助读者全面了解几何相位、聚焦、反偏振和发散现象，并为相关领域的研究和应用提供参考依据。
2. 几何相位：2.1 定义和原理：几何相位是光波传输过程中的一种相位形式，它与波的传播路径相关。
量子系统的几何相位
东南大学：杨文星博士 浙江大学：吴 婧博士 重庆大学：魏 华博士
西北大学：谢小涛博士
湖北师范学院：刘堂昆教授、李宏教授、单传家博士等
1
主要内容
几何效应简介 我们的工作
小结
2
动力学系统中的绝热演化 考虑某个依赖于某些外界参数 R 的哈密顿系统，当 绝热演化。
H (R)
绝热条件:
时 R 0 ,
这个系统的动力学演化被称作
1 (R), 2 (R), ..., n (R)
( R ) R i
3
量子绝热定理
n
n (t )
t 1 0
E (R( ))d
n
n (t )
1
t
0
E n ( R ( )) d g n (t )
Berry phase:
g n ( R)
R
R0
* in (R)Rn (R) dR
5
几何相位的产生
平行移动 (parallel transport) 是指在空间曲面上, 矢量沿一曲线上的 运动, 在运动过程 中,矢量在切平面上 没有没有几何转动， 在切面上的法线方 向，转动角速度为 零。
6
7
几何相位的探测
平面镜
M1
B1
4
6
BS 2
输出
7 5
3
解
输入 1
BS1
B2
2
M2
其 中
代入薛定谔方程
50/50 BS
量子力学中的几何相位理论研究
量子力学中的几何相位理论研究量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而几何相位理论则是量子力学中的一个重要分支。
几何相位理论研究的是量子系统在演化过程中由于几何结构的变化而产生的相位变化。
本文将介绍几何相位理论的基本概念、研究方法以及其在实际应用中的意义。
首先，我们来了解一下几何相位的概念。
在量子力学中，相位是描述波函数演化的重要参数，它决定了波函数在空间中的分布和幅度。
而几何相位则是由于系统的几何结构变化而产生的相位变化，与系统的动力学无关。
几何相位的计算可以通过路径积分方法来实现，其中最著名的是贝利相位。
贝利相位是描述量子系统在闭合路径上演化时产生的相位变化。
它的计算方法是通过将路径分割成无限小的小段，并在每个小段上计算相位的变化，然后将这些小段的相位变化相加得到整个路径的相位变化。
贝利相位的计算需要考虑到系统的哈密顿量和路径的几何结构，因此它是一个纯几何效应。
几何相位理论的研究方法主要包括数值计算和实验观测两种。
数值计算是通过计算机模拟的方式来研究几何相位的性质和行为。
研究者可以通过构建合适的模型和算法，来模拟量子系统在不同几何结构下的相位变化。
这种方法可以帮助我们理解几何相位的物理意义，并为实验观测提供指导。
实验观测是通过实际测量来验证几何相位的存在和性质。
研究者可以设计实验装置，通过对量子系统的控制和测量，来观测几何相位的变化。
例如，可以利用光学干涉实验来测量光子的几何相位，或者利用超导量子比特实验来测量量子比特的几何相位。
实验观测的结果可以与数值计算进行比较，从而验证几何相位理论的正确性。
几何相位理论在实际应用中具有广泛的意义。
首先，它可以用于解释和预测量子系统的行为。
通过研究几何相位，我们可以更好地理解量子系统在不同几何结构下的演化规律，从而提供对量子系统行为的深入认识。
其次，几何相位理论还可以用于设计和优化量子器件。
通过控制和调节几何结构，我们可以改变量子系统的几何相位，从而实现对量子态的操控和操作。
量子Berry相因子与相位教学
量子Berry相因子与相位教学第26卷第3期2007年3月大学物理C0LLEGEPHYSICSV o1.26NO.3Mar.2007量子Berry相因子与相位教学易学华,余晓光,付凤兰(1.井冈山学院物理系,江西吉安343009;2.湖南大学应用物理系,湖南长沙410082;3.井冈山学院医务所,江西吉安343009)摘要:回顾了经典物理和量子力学中的相位问题,着重讨论了量子几何Berry相位及在量子力学中如何进行量子相位教学的问题.关键词:量子力学;Berry相因子;量子Hail效应;相位教学中图分类号:0413.1文献标识码:A文章编号:1000—0712(2007)03—0012—04众所周知,相位(phase)无论是在经典物理还是在量子物理中都占有很重要的地位.比如,在经典物理中,研究周期运动时,常常需要比较两个简谐振动的步调是否一致,位移是否同时到达极大,是否同时为零;或比较同一振动中位移,速度,加速度随时间周期性变化的步调上的关系.研究波动或振动的相位差在分析光波或声波的干涉现象,确定其强度分布时是极为重要的.对相位的研究在宏观物理中占有很重要的地位,在微观物理中具有更为深刻的物理意义,对非动力学相位的研究揭示了相位更深一层的物理本质.可以说,相位对应了物理学上的一切相互作用.杨振宁先生在1954年提出的规范场实质上就是相位场,这一理论揭开了物理学新的一幕;大统一宇宙学也是以相位为出发点进行研究的.总之,离开了相位,要想完全揭示微观体系的行为是十分困难的.几何Berry相位的发现,促使人们重新审视许多根本的物理问题,如电磁势的物理效应,介观环中的持续电流的几何效应,约瑟夫森效应以及量子Hall效应等,有力地推动了物理学的基础研究和量子力学的相位教学.1量子力学中的相位及其作用1)量子力学中的虚数单位i在经典物理或电工学中,引入虚数单位i是为了运算的方便,但是在量子力学中引入虚数单位i, 就不是为了方便了,而是本质上的需要.如果去掉i,那么薛定谔方程就将变为一个与描写热传导或扩散现象差不多的经典方程,完全不可能用来描写微观粒子的运动.在量子力学中最重要的或最微妙的是波函数的相位,而波函数的相位必须靠虚数单位i 来表示….2)量子物理中的相位在量子物理中,物质具有波粒二象性,粒子状态用物质波即波函数来描述.例如,具有一定动量p和一定能量E的粒子,满足一维Schr6dinger方程: i矗一()其解为=,tboexpi)(2)这是一种单色波,其中垒就是量子物理中的相位,譬为空间相位,一和粒子的能量有关,具有动力学性质,称为动力学相位.3)量子理论中相位的作用粒子波函数是由振幅和相位组成的.量子力学告诉我们:有观测意义的不是波函数本身,而是它的模的平方JJ,JJ是我们能够观测到的概率.但除此以外还有相位因子,它是模为1的数,它的变化不影响模的平方.这个相位是极其重要的,因为它是所有干涉现象的根源,而它的物理意义收稿日期:2006—03—06基金项目:江西省科技厅工业攻关资助项目[赣科发计字(2003)218,工业攻关计划32];江西省教育厅教改课题资助项目(赣教高字[2005]95号);吉安市2005年度指导性重点科技计划资助项目(吉市科计字[2005325号);井冈山学院自然科学基金资助项目.作者简介:易学华(1965一),男,江西宜春人,井冈山学院物理系讲师,湖南大学应用物理系博士生,主要从事量子相位和金属材料模拟研究及理论物理教学工作.第3期易学华等:量子Berry相因子与相位教学13是隐含难解的.对量子力学的建立和发展作出卓越贡献的狄拉克在1970年4月的一次演讲中说过:"相位这个物理量巧妙地隐藏在大自然中,正因为它隐藏得如此巧妙,人们才没能更早地建立量子力学".2Berry几何相位的提出及其计算公式自从Berry于1984年提出在量子Hamiltonian系统作周期性绝热演化过程中存在几何相位以来,就引起了人们的广泛注意.人们已经在原子分子物理,核物理,量子信息,量子光学,凝聚态物理以及规范场论等各个领域对几何相位做了许多实验验证和理论分析引.这些工作为从物理上解释几何相位提供了丰富的材料,并由此建立了几何相位的数学基础.量子力学中的绝热定理告诉我们:量子系统在缓慢变化的环境中将保持定态.因此,在绝热变化过程中,系统波函数在演化过程中将保持不变,与定态时完全一样,即由f))=exp{一÷jH(z,)dz(0))来描述?这里指数因子exP{一亡j.H(￡)dt}为动力学因子,由系统的哈密顿量决定.但Berry却发现,对于一非简并量子系统,如果其哈密顿量在某参数空间中作绝热演化而形成一条闭合曲线(即该量子系统作周期性绝热演化),则当系统完成一周演化其哈密顿量回到原值时[即H(T)=H(O)],其波函数为l(T))=expER(洲d}.exp[iy(c)]l(0))与上述过程比较,这里出现了一个新的相因子exp [iy(C)],这个新的相因子由哈密顿量在参数空间中的演化路径的几何结构决定,称作几何相因子,也叫Berry相因子.其计算式为y(C)=y(T)一y(0)=i寸)<,(R)l(R))?dR(3)其中l(R))为系统处于该瞬时的哈密顿量H[R(t)]所对应的本征态.此式在计算Berry相位时要求l(R))具有单值性,这有两方面的原因:第一,只有在l(R))为单值的情况下才能比较绝热过程中的初态(t=0)和终态(t:T)的态矢,从而定义几何相位y;第二,只有在l(R))为单值的情况下态矢梯度(R)才有意义,如l)一exp[i(R)]J,2>,则<l)=i+<l)即<l)依赖于单值本征态l(R))的相位选择.运用stocks定理还可求得y(c)=一llds?V(R)(4)其中m尝×,,1((R)lH(R)l(R))}.'J式(4)并不要求l(R))本征函数是单值的.因为式(4)与Vn无关,但计算很繁杂.3相位教学到目前为止,已有不少量子力学教科书¨以专题的形式比较详细地讲述了量子Berry相位.但当前面临课时减少,而相关的知识和内容又日益增多的情况,要想详细地讲述Berry几何相位并非一件易事.鉴于量子力学中最重要的或最微妙的是波函数中的相位n],那么在量子力学教学过程中就很有必要强调相位的重要性,并把Berry相位及其在许多物理领域中的应用作一些介绍.学生在学习量子力学时,了解近20多年来引起物理学界普遍关注的Berry相因子及其几何拓扑背景无疑是大有裨益的.但要严格系统地阐述Berry相因子的几何拓扑背景将涉及到拓扑,现代微分几何等方面的许多知识,而这些知识又超出了当前本科学生的数学基础. 如何在有限课时的前提下,让学生理解并掌握量子力学中的Berry几何相位,是值得我们这些从事量子力学教学的工作者们一起探讨的问题.我们在教学过程中引入量子几何相位的一种思路是:在引入量子相位时,首先可从SchrSdinger方程出发,求出其解,提出量子相位的概念,并说明量子相位的作用,指出量子力学中引入虚数单位i并不是为了数学上的方便,而是客观本质上的需要;接着根据绝热定理简捷而清楚地推导出Berry相因子及Berry相14大学物理第26卷位的计算公式;最后指出量子相位的广泛应用,并举一两个实例来进一步说明Berry相因子的意义及其实际应用.下面举两个例子,它们有助于学生对Berry相位的理解和掌握.例1自旋为的粒子在二能级体系中的几何相位.由于任何二能级体系的哈密顿量都可以化成一个类似于自旋为的粒子在磁场中的哈密顿量,二能级量子系统不仅较能体现量子力学的特色,而且比较简单.在量子力学范畴里,自旋S=的粒子在磁场中的旋度,极化,共振等现象,以及在粒子物理中正,反粒子的振荡等都属于二能级体系,因此对于自旋为的粒子在二能级体系中的几何相位颇具代表性.自旋为的粒子在磁场中的哈密顿量为H=～.O-=一百1/2B.(..i.in0一exp(-sin0expicos0i)c5,●JjJ\(i)一/,'这里/1是粒子磁矩;仃为Pauli矩阵;0,是球坐标系中的方位角,是时间￡的函数;B是磁场,在球坐标中可表为B=B(sin0cos,sin0sin,COS0)讨论本征方程白『)=一B『)(6)l/1)(口=±1)是自旋波函数,口=+1表示自旋向上,口=一1表示自旋向下.该哈密顿量的本征函数可统一表示为n:cos(旦)唧(一i号)cos唧(i詈)当=+1当=一1(7)可以用式(3)来计算Berry相位.对于本征函数式(7)可求得:(+』未:一丢cos(一一):丢cos所以y+(i+』d0JjuIiJ0一j未u1l即y(f)=干In(f)(9)其中(c)=一27rcos0是二能级参数空间的立体角.也可用式(4)来计算Berry相位.厂=e++v//=il—_一expP口十expLPexp(一i础～+'exp(一i础1sinl_口J(+l白l一)=(c.s(导)exp(i詈),sin(导)exp(一i号))'VHsinexp(一i号)cos唧(i詈)1I1一e)(10)同理(一l奇l+)=吾B(+ie)(--)这样有m同理有(8)',一=Iml奇)×(+lV白l————r——一,-●,●,9,一2Lc-,|,,,I_',,,,,I_',,ppXXee,-●f/,-●,/～2～2,,J●_l\,,J●_,\nnSS=.●一r十l—r×,,●●,,ll一厂一.一P×l—r,,,I_'l,一)mm第3期易学华等:量子Berry相因子与相位教学15 一(13)代入式(8)得y+(c)=一dS.v+(R)=一』『ds?一10(c)=7cc.s(14)同理有y一(c)=一dS.v一(R)=lo(c)=一7cc.s即y(c)=干1(c)(15)与利用式(3)计算的结果相一致.例2量子Hall效应与Berry相位的关系.1980年,物理学家冯?克利青因从金属一氧化物一半导体场效应晶体管(MOSFET)中发现量子Hall效应而获得1985年诺贝尔物理学奖.在计算Hall电导率时,采用公式i[一oJ1]wil一Jb其中J:(I.I).当系统处于基态非简并时w_i.J=(.I)])我们知道,上式右边方括号内的积分实际上就是Berry相位y(C.),于是上式又可写成H=ey(c.)(18)HlI对于基态简并有wiezJ?d=(.I)](19)同理,上式右边方括号中的积分正是Berry相位y(C),即有wey(cz)(20)其中k为有限整数.从以上两种情况可知,量子Hall 电导率实质上是一种特殊的Berry相位,因而它具有Berry相位的几何特性.4结束语近年来,几何相位及其引起的量子效应已被公认,并得到实验的验证和广泛支持,随着材料科学与技术的发展,已能制备出许多宏观量子器件,使得量子几何效应已从实验研究进入初步应用阶段.在超导量子干涉,量子Hall效应,量子信息,光纤通信, Hubbard模型,声子极化,核磁共振,跃迁和散射过程,粒子物理等方面几何相位引起了一系列新奇的现象n.几何相位乃至整个相位物理将在各个领域中得到广泛的发展和应用.可见,相位物理在整个物理学特别是量子力学中有着广阔的发展前景. 因此,希望广大从事物理教学的工作者在量子力学教学中重视量子几何相位的教学.参考文献:[1]倪光炯.朝花夕赏:量子力学妙在何处[J].科学, 1998,50(2):38—42.[2]杨振宁.负一的平方根,复相位与薛定谔[J].自然杂志,1988,11(1):58—61.[3]BerryMV.Quantalphasefactorsaccompanyingadiabat—icchanges[J].ProcRoySoc,1984,A392:45—57.[4]ShapereA,WilczekF.QuantumGeometricalPhasein Physics[M].Singapore:WorldScientific,1989:187.[5]ZhuSL,WangZD.Unconventionalgeometricquantum computation[J].PhysRevLett,2003,91(18):187902.[6]李华钟.介观物理的粒子自旋轨道耦合和量子几何相位[J].物理学进展,1999,19(4):386—408.[7]WangZD,ZhuSL.Nonadiabaticnoncyclicgeometric phaseandpersistentcurrentinone—dimensionalrings[J]. PhysRevB,1999,6o(15):10668—10671.[8]YiXX,WangLC,ZhengTY.Berryphaseinacorn—positesystem[J].PhysRevLett,2004,92(15):150406.[9]曾谨言.量子力学:卷Ⅱ[M].3版.北京:科学出版社,2000:227—233.[10]苏汝坚.量子力学[M].2版.北京:高等教育出版社,2002:283'287.[11]熊钰庆,何宝鹏.量子力学导论[M].广州:广东高等教育出版社,2000:282—285.[12]ZhuSL,WangZD.Universalquantumgatesbasedon apairoforthogonalcyclicstates:ApplicationtONMR systems[J].PhysRevA,2003,67:022319.[13]李华钟.简单物理系统的整体性——贝里相位及其他[M].上海:上海科技出版社,1998.(下转2O页)20大学物理第26卷增加,当>1.1R时,增加迅速,特别是当d>1.18R(即接近距离极限)时,增加得非常快.不过此时线圈的尺寸和电流都很大,如当d=1.18R时,中间线圈半径大约是主线圈的11倍,而电流是主线圈电流的652倍.3)从轴向上看,在主线圈之间磁场均匀性较好,但在接近主线圈时突然变差.数值计算发现,当>1.1R时,在主线圈以外,还有一段均匀性超过0.95的区域.4)均匀性最好的三线圈磁场的参数为:距离d介于1.18至1.188之间,中间线圈电流和大小同时符合式(5)和式(6),此时中间线圈的电流远大于主线圈,不过在技术上可简单地通过多匝密绕线圈实现.例如,d=1.183R时,J:1841J,只需密绕1841匝,然后与主线圈串联通电即可.5)均匀性最好的三线圈磁场的空间分布很理想,特别是两主线圈之间是一几乎标准的圆柱体.例如,对d/R=1.18的三线圈,均匀度为0.95以上的空间可以分成三个部分:一个是直径约为6R,高约为2R的圆柱体;一个是两主线圈所在处的直径约1.8R,高约0.28R的两个圆柱体;一个是底面直径约5.7R,高约0.72R的两个圆锥体.参考文献:[1]张引科,等.共轴三线圈磁场的均匀性[J].大学物理,2004,23(6):11—14.[2]张引科,等.3个共轴线圈形成的匀强磁场[J].物理实验,2003,23(10):43.47.[3]曾晓英.平行共轴三线圈产生均匀磁场的原理和计算[J].广东工业大学,200219(1):5—7.[4]晷会萍,等.平行共轴三线圈磁场均匀性分析[J].陕西师范大学(自然科学版),2002,30(2):41—44.[5]向裕民.圆环电流磁场的普遍分布[J].大学物理,1999,18(1):14—17.[6]张伟,等.同轴等大线圈互感系数及相互作用力.的近似解析公式[J].大学物理,2004,23(8):36.37. ThefurtherstudyaboutthehomogeneityofmagneticfieldofthreecoaxialcoilsCHENJun—bin,ZHUXia,ZHANGFu—zhi(DepartmentofPhysics,LogisticsEngineeringUniversity,Chongqing400016,China) Abstract:Accordingtoanalysisandnumeralcalculation,thehomogeneityofvectorfieldwit hanevencentreisdefined.Alsotheequalhomogeneitysurfaceofthreecoaxialcoilsareworkedondifferentpa rametersandthebestparameterwhichhadn'tbeenobtainedinotherrelativearticlesaregiven. Keywords:homogeneity;threecoaxialcoils;bestparameter(上接15页)ThequantumBerry'SphasefactoranditsteachingYIXue.hua一,YUXiao—guang,FUFeng.1an(1.DepartmentofPhysics,JinggangshanUniversity,Ji'an,Jiangxi343009,China;2.Depart mentofPhysics,HunanUniversity,Changsha410082,China;3.OfficeofHospital,JinggangshanUniversity, Ji'an,Jiangxi343009,China)Abstract:Thephaseproblemofclassicalphysicsandquantummechanicsarereviewed,theng eometricalBerry'Sphaseandhowtoperformitsteachinginquantumphysicsarediscussed. Keywords:quantummechanics;Berryphasefactor;quantumHalleffect;phaseteaching。
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几 何 量 子
江 燕 燕
（ 安 庆 师
摘 要： 波 恩 关 于 波 函 数 的 概 率 解释 奠 定 了量 子 力 学 的 理论 基 础 概 率 仅 仅依 赖 于 波 函数 的振 幅 而与 相 位 无 关 。在 相 当 长 的一 段 时 间 内 ． 人
到，如果使偏振光的极化方向做周期性的改 变， 偏振光在满足相位匹配的条件下， 会得到
在量子理论中，物理状态是由 波函数来 空间中归一化矢量的一一对应的关系
的几何相因 子。 在此之后的近三十年里， 人们 描述的． 波函数的相位可分为动力学相位和 不可能在Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间找到一个归一 陆续发现了各种各样具有确定物理意义的相 几何相位。从薛定谔方程得出的波函数是概 去描述混合态的演化。 基于上面的考 因子。 遗憾的是， 这些现象均未引起人们广泛 率波， 概率仅仅依赖于波函数振幅而与相位 学家 Ｕ ｈ ｌ ｍ ａ ｎ ｎ 通过引入一个辅助系
对量子力学相位概念认识的突破 。并极大 的话，那么整个体系 仍然可以看作是若干不 Ｍ ａ ｃ ｈ ｚ ａ ｎ ｅ ｒ 干涉测量仪的原理． 通过对 地刺激了物理学家们的研究热情。紧随其 同纯态间的非相干混合。而通常采用密度矩 态几何相位的研究， 得到整个系统的 后． Ｆ ． Ｗｉ ｌ ｃ ｚ ｅ ｋ 和Ａ ． Ｚ ｅ ｅ 将Ｂ ｅ ｒ ｒ ｙ 相推广到了 阵来描述一系列纯态的非 相干迭加。对于确 位，引入物理意义明确的混合态几伺 非Ａ ｂ ｅ ｌ 的情况［ ５ １ ：Ａ ｈ ａ ｒ ｏ ｎ ｏ ｖ 和Ａ ｎ ａ ｎ ｄ ａ ｎ 的 定混合态体系的密度矩阵，我们可以有不同 定义旧 。 应该承认， 关于混合态几何相 工作也指出： 绝热演化并不是能够得到几何 分解， 他们都具有相同的物理性质， 物理上是 现在仍然是一个有争议的问题 一
名的Ｂ ｅ ｒ ｒ ｙ 几何相位。 Ｂ ｅ ｒ ｒ ｙ 相位具有几何拓 以得到～个几何相位 Ｕ ｈ ｌ ｍ ａ ｎ ｎ 证明 种方法得到的相位具有确定的几何隶 将其定义为混合态的几何相位
在真实的物理世界中。 量子系统同周 Ｕ ｈ ｌ ｍ ａ ｎ ｎ 关于混合态几何相位的定义
扑特征．深刻地反映了量子系统中复Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ａ 围环境的作用将不可避免导致系统信息 可避免地引入系 统与辅助系统的纠缠 空间的几何性质： 仅依赖于系统演化中 在复 的损失， 引起退相干。 退相干是最重要的 几何相位依赖于选择什么 样的辅助系
一
个额外的相位差。这个相位差具有明确的
几何意义．并且可以通过干涉实验测量出其 大小。 遗愿 的是， 他的工作在当时并未引起人
பைடு நூலகம்
们足够的重视。
１ ９ ５ ８ 年， Ｙ ． Ａ ｈ ａ ｒ ｏ ｎ ｏ ｖ 和Ｄ ． Ｂ ｏ ｈ ｍ在研究
们的主要兴趣都集 中在如何 得到振幅 ． ． 相位 是所有干 涉现 象的根 源， 与振 幅一样有 着深刻的物理 意义和特 别的几何意义． ． 本 文介 绍
考虑到 Ｕ ｋ ｌ ｍ ａ ｎ ｎ 关于混合态几
Ｂ ｅ ｒ ｒ ｙ 几何量子相位的物理意义在于揭 相位 的行为成为物理学最为关心的热点 尝 试。
示了 量子力学中最普适的物理量．是量子 问题之－ －［ １ ０ ， １ １ ］ 力学基本原理的必然结果。其标志着人们
如果把所有与体系相关联的环境都考虑 定义物理上不具有可操作性， Ｓ ｊ ｔ ｉ ｑ ｖ ｉ
的共识， 其背后的物理机制仍不得而知ｐ ＿ ｑ 。
无关。 但是， 量子系统的演化是由几何量子相 法，将混合态进行纯化并定义了混合
１ ９ ８ ４ 年． Ｍ ． Ｖ ． Ｂ ｅ ｒ ｒ ｙ 在研究绝热量子系统 位因子保持记忆的。 该相位因子可以由未通 何相位 。 这样整个体系就可以 用一个 的周期性过程中又发现了几何相位。描述体 过演化的相干波函数对量子系统的演化波函 加以描述。 引入对该波函数的演化， 我 系运动的Ｈ ａ ｍ ｉ ｈ ｏ ｎ ｉ ａ ｎ的本征态除了得到由 数的干涉来进行测量 彻。 其动力学演化决定的相位以 外． 还存在一个 三、 混合 态的 几何 量子相 位 与演化过程无关的 额外相位因子．这就是著
Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间投影的面积而不依赖于系统演化 限制量子计算的因素之一． 特别影响量子 点己经被Ｅ ｉ ｒ ｃ ｓ ｓ ｏ ｎ 所证 从物理上ｔ 进行的 具体过程， 因 而叫几 ． 何量子相位。 二、 Ｂ ｅ ｒ ｒ ｙ几何 量子 相位 的意 义 门的速度和误差率。 所以． 环境诱发的退 的 定义不是唯一的， 因而不是一个好自 相干是影响量子计算机实际应用的主要 实际应用中比较难于操作： 但Ｕ ｈ ｌ ｍ ａ ｒ 障碍， 研究开放体系（ 或称混合态） 中几何 义从数学上讲是严谨的．不失为一个
几何 相 位 的 发 现 和 在 开放 系统 中 即混 合 态下 的 几何 量 子相 位 关键 词 ： 几 何 相位 几何 量 子 相 位 Ｂ ｅ ｔ ｒ ｙ相位
电 磁势场中运动的自由电子时。 发现描述自 由电子运动的 波函 数在绕磁通管做圆周运动
外的相因子， 这就是著名的
后， 电子的干涉条纹会受到影响． 出现一个额 Ｓ ａ ｍ ｕ ｅ ｌ 和Ｂ ｈ ａ ｎ ｄ ａ ｉ的工作１ ｒ ７ １ 进一步指出： 对
…
Ａ Ｎ Ｈ Ｕ …
一 ｌ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ Ｔ ＆ Ｅ Ｃ Ｈ Ｎ Ｏ Ｌ Ｏ Ｇ Ｙ Ｉ Ｉ
至 ｝ ｌ 交流与探讨
’ 。 。 ０ ’
一
、
几何 相位 的发 现
几何相位的概念最早是印度物理学家
Ｐ ａ ｎ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｔ ｎ ａ ｍ提 出来的…。１ ９ ５ ６年． Ｐ ａ ｎ — ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｔ ｎ ａ ｍ在研究偏振光的极化现象时注意
量子力学混合态是用来描述量子１ “ 经典” 特征． 不同 于纯态波函数与复 ．
相因子［ ２ １ 。 Ａ — 于物理非周期演化，也可以定义一个几何 态的一种特殊的波函 数，由于混合态
Ｂ 相具有明确的物理意义： 电子运动的闭合路 相位， 具有与Ｂ ｅ ｒ ｒ ｙ 相相同的几何含义。
径所包围曲 面的磁通。 Ａ － Ｂ 相也是一种特殊