计算方法引论课后答案
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3.141587725... 这个去掉 的无穷乘积公式中第 9 项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.
2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236
2a 200
8. 用观测恒星的方法求得某地维度为 45 02 (读到秒),试问:计算 sin 将有多大误差?
解:
d sin cos d cos
45 0 2
1 2
.
9 . 真空中自由落体运动距离 s 与时间的关系由公式 s 1 gt2 确定,g 是重力加速度.现在假 2
设 g 是准确的,而对 t 的测量有 0.1s 的误差,证明 t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差
00 000 11 11 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1/ 2 1/ 4
则可构造 Hermite 插值函数满足题设条件:
H4 x 0 0 x 0 1 x 0 x 0 1 x 0 x 0 x 1 1 x 0 x 0 x 1 x 1
4 1 x4 3 x3 9 x2.
3
R
dr V dV dlnV d ln R3 3 d ln R 3 d ln R 3dr R 3a 1% ,则 a 1 1% .
V
3
第二章 插值法与数值微分
1. 设 y x ,在 x 100,121,144 三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立 y x 的
二次插值多项式,并用此多项式计算 115 的近似值,且给出误差估计.用其中的任意两点,构
Rx
max x0 x x1
f
x
x1
x0 8
2
,
x0
x
x1
Rx
f
2!
x
x0
x
x1
,
x0
x1
当 x0 x Biblioteka Baidu1 时,
f
max x0 x x1
f
x
,
max
x0 xx1
x
x0
x
x1
1 4
x1
x0
2
所以
Rx
max x0 x x1
f
x
x1
x0 8
2
,
x0
x
x1
3. 若 xj 0,1,..., n 为互异节点,且有
L2
x
x 144 100 144
10
x 100 144 100
12
所以 115 L1 115 10.6818 .
与 115 的真实值比较,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值
效果好.此说明,二次插值比线性插值效果好,内插比外插效果好.
2. 利用(2.9)式证明 证明: 由(2.9)式
马上有
n
x
k j
l
j
x
xk
,k
0,1,..., n
.
j0
4. 设给出 sin x 在 , 上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于105 ,问函
数 表 的 步长最大能取 多少? 解: 记插值函数为 p(x),则
sin
x
p
x
sin
3!
x
xi1
x
xi
x
xi1
所以
max
x
sin x p
第一章 误差
1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.
解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式 A 4 r 2 计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生
的误差即为模型误差.
在计算过程中,要用到 ,我们利用无穷乘积公式计算 的值:
2 2 2 ... q1 q2
其中
q1 2, qn1 2 qn , n 2,3,... 我们取前 9 项的乘积作为 的近似值,得
10
x 121
100 100
x 144 121 144
11
x 121 x 100 144 121144 10012
所以 115 L2 115 10.7228 .
误差 R2 x
f
3!
x
x0
x
x1
x
x2
,
x0
,
x1,
x2
,
,所以
0.0006555 R2 115 0.001631
利用前两个节点建立线性插值函数可得:
造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,计算 115 的近似值,并分析其结果不同的原
因.
解: 已知 x0 100, x1 121, x2 144; y0 10, y1 11, y2 12 ,
建立二次 Lagrange 插值函数可得:
L2
x
x 100
121 121
x 144 100 144
424
7. 寻找过 n 1个点 x0,x1,..., xn 的 2n 1 次多项式 H2n1 x ,满足条件:
H2n1 x0 f x0 , H2n1 x1 f x1 ,..., H2n1 xn f xn , H 2n1 x0 f x0 , H 2n1 x1 f x1 ,.., H 2n1 xn f xn .
却减小.
证明:
因为:
ds
d
1 2
gt
2
gtdt; ds s
gtdt s
gtdt 1 gt2
2 dt . t
ds 与 t 成正比,
ds
与 t 成反比,
s
2
所以当 dt 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.
10. 设 x 0 , x 的相对误差为 ,求 ln x 的绝对误差.
max sin x p 0.3849 h3 105
x
6
所以
h 0 . 0 5 3.8
5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点 3, 1,0, 2,3, 2,6,10 的三次插值公式.
解: Lagrange 插值函数:
L3
x
x x1 x x2 x x3 x0 x1 x0 x2 x0 x3
y0
x x0 x x2 x x3 x1 x0 x1 x2 x1 x3
y1
x x0 x x1 x x3 x2 x0 x2 x1 x2 x3
y2
x x0 x x1 x x2 x3 x0 x3 x1 x3 x2
y3
x x 3 x 10 x 3 x 3 x 10
则可由已知条件,可得
所以可得
hn,i
x
1
2ln,i
xi
x
xi
l2
n,i
x
;
hn,i
x
x
xi
l2
n,i
x
.
n
H2n1 x
1
2ln,i
xi
x
xi
l2
n,i
x
yi
x
xi
l2 n,i
x
yi
i0
8. 过 0,1 两点构造一个三次 Hermite 插值多项式,满足条件:
f 0 1, f 0 1 , f 1 2, f 1 1
cos
3!
x xi1 x xi x xi1
cos 1;令 g x x xi1 x xi x xi1 ,设 x xi1 th ,得
g xi1 th h3t t 1t 2,t 0, 2
又
t
t
t
1
t
2
,
t
0,
2
的最大值为
1
3 3
0.3849
,所以有
(2) 取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.
80 3.153
(3) 用两种插值函数分别计算 x 75.5, x 78.3的函数值.
解: (1)做分段线性插值函数可得:
I5 x 2.768l0 x 2.833l1 x 2.903l2 x 2.979l3 x 3.062l4 x 3.153l5 x
L1
x
x 121 100 121
10
x 100 121 100
11
所以 115 L1 115 10.7143 .
利用后两个节点建立线性插值可得:
L1
x
x 144 121 144
11
x 121 144 121
12
所以 115 L1 115 10.7391.
利用前后两个节点建立线性插值可得:
x 7 5 x 7 5 ,7 6
其中,
l0
x
7 0
6
x
x x
7
5 ,7 75
6;
,l17
x 6
.
2
2
解: 计算重节点的差商
01
0 1 1/2
1 2 1 1/ 2
1 2 1/ 2 -1/2 1
马上可得
H
3
x
1
1 2
x
0
1 2
x
0
x
0
1
x
0
x
0
x
1
x3 3 x2 1 x 1 22
9. 过给定数组
x 75
76
77
78
79
y 2.768 2.833 2.903 2.979 3.062
(1) 作一分段线性插值函数.
2
2
2
所以 a b 有三位有效数字.
6.
设 y1
0.9863, y2
0.0062 ,是经过舍入后作为 x1, x2 的近似值.求
1, y1
1 y2
的 计算值 与真
值的相对误差限及 y1 y2 与真值的相对误差限.
解:
已知 x1
y1 dx1, x2
y2
dx2
,
dx1 =
1 2
10-4
,dx2
3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位
4. 若 1/4 用 0.25 表示,问有多少位有效数字? 解: 两位
5. 若 a 1.1062, b 0.947 ,是经过舍入后得到的近似值,问: a b, a b 各有几位有效数字?
解: 已知 dx ,所以 ln x 的绝对误差 d ln x dx .
x
x
11. 设 x 的相对误差为 % ,求 xn 的相对误差.
解:
dxn xn
nxn1dx xn
nd x x
n % .
12. 计算球的体积,为了使相对误差限为 1%,问度量半径 R 时允许的相对误差限如何?
解: 已知V 4 R3 ,设 dr R dR a ,则要使得
162
27
x 3 x x 10 x 3 x x 3
.
27
81/ 5
牛顿插值: 首先计算差商
3 1 02 1 3 2 1.333 6 10 4
0.3889 0.8889 0.1420
N3 x 1 x 3 0.3889 x 3 x 1.1420 x 3 x x 3.
也可以利用等距节点构造,首先计算差分
1 10-4 , 2
dr
1 x1
dr
x1
dx1 x1
dx1 y1
1 104 2 0.9863
0.50104 ;
dr
1 x2
dr
x2
dx2 x2
dx2 y2
1 104 2
0.0062
0.81102 ;
dr x1 x2 dr x1 dr x2 0.50104 0.81102 0.82102 .
lj x
x x0 ... x xj1
x j x0 ... x j x j1
x xj1 ... x xn
x j x j1 ... x j xn
证明
证明: 由于
n
x
k j
l
j
x
xk
,
k
0,1,...,
n
j0
lj
xi
ij
1 0
i j; i j.
n
且 xkj l j x 和 xk 都为 k 次多项式,而且在 k+1 个不同的节点处的函数值都相同 k 0,1,..., n , 所以 j0
可得前插公式 和后插公式
3 1 02 3 3 2 4 7 6 10 12 16 23
N3
x0
th
1
3t
7 2
t
t
1
23 6
t
t
1
t
2
;
N3
x3
th
10
12t
16 2
t
t
1
23 6
t
t
1
t
2
.
6. 确定一次数不高于 4 的多项式 x ,使 0 0,0 0, 1 1 1, 2 1.
解: 利用重节点计算差商
解: 已知 da 1 104 , db 1 103 ,
2
2
又 a b 0.2053210 ,
d a b da db da db 1 104 1 103 0.55103 1 102 ,
2
2
2
所以 a b 有三位有效数字;
因为 a b 0.1047571410 ,
d a b b da a db 0.947 1 104 1.1062 1 103 0.60045103 1 102
解: 和 Lagrange 插值函数的构造类似,可将插值函数写成
其中,基函数满足条件
n
H2n1 x hn,i x yi hn,i x yi
i0
(1) hn,i x, hn,i x P 2n 1;
(2) hn,i x j ij , hn,i x j 0; hn,i x j ij , hn,i x j 0
7. 正方形的边长约为 100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过 1cm2.
解 : 设 正 方 形 面 积 为 S, 边 长 为 a, 则 S=a2. 所 以 要 使 : ds da2 2ada 1 , 则 要 求 da 1 1 0.5102 .所以边长的误差不能超过 0.5102 cm.
2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236
2a 200
8. 用观测恒星的方法求得某地维度为 45 02 (读到秒),试问:计算 sin 将有多大误差?
解:
d sin cos d cos
45 0 2
1 2
.
9 . 真空中自由落体运动距离 s 与时间的关系由公式 s 1 gt2 确定,g 是重力加速度.现在假 2
设 g 是准确的,而对 t 的测量有 0.1s 的误差,证明 t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差
00 000 11 11 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1/ 2 1/ 4
则可构造 Hermite 插值函数满足题设条件:
H4 x 0 0 x 0 1 x 0 x 0 1 x 0 x 0 x 1 1 x 0 x 0 x 1 x 1
4 1 x4 3 x3 9 x2.
3
R
dr V dV dlnV d ln R3 3 d ln R 3 d ln R 3dr R 3a 1% ,则 a 1 1% .
V
3
第二章 插值法与数值微分
1. 设 y x ,在 x 100,121,144 三处的值是很容易求得的,试以这三个点建立 y x 的
二次插值多项式,并用此多项式计算 115 的近似值,且给出误差估计.用其中的任意两点,构
Rx
max x0 x x1
f
x
x1
x0 8
2
,
x0
x
x1
Rx
f
2!
x
x0
x
x1
,
x0
x1
当 x0 x Biblioteka Baidu1 时,
f
max x0 x x1
f
x
,
max
x0 xx1
x
x0
x
x1
1 4
x1
x0
2
所以
Rx
max x0 x x1
f
x
x1
x0 8
2
,
x0
x
x1
3. 若 xj 0,1,..., n 为互异节点,且有
L2
x
x 144 100 144
10
x 100 144 100
12
所以 115 L1 115 10.6818 .
与 115 的真实值比较,二次插值比线性插值效果好,利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值
效果好.此说明,二次插值比线性插值效果好,内插比外插效果好.
2. 利用(2.9)式证明 证明: 由(2.9)式
马上有
n
x
k j
l
j
x
xk
,k
0,1,..., n
.
j0
4. 设给出 sin x 在 , 上的数值表,用二次插值进行计算,若希望截断误差小于105 ,问函
数 表 的 步长最大能取 多少? 解: 记插值函数为 p(x),则
sin
x
p
x
sin
3!
x
xi1
x
xi
x
xi1
所以
max
x
sin x p
第一章 误差
1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.
解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式 A 4 r 2 计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生
的误差即为模型误差.
在计算过程中,要用到 ,我们利用无穷乘积公式计算 的值:
2 2 2 ... q1 q2
其中
q1 2, qn1 2 qn , n 2,3,... 我们取前 9 项的乘积作为 的近似值,得
10
x 121
100 100
x 144 121 144
11
x 121 x 100 144 121144 10012
所以 115 L2 115 10.7228 .
误差 R2 x
f
3!
x
x0
x
x1
x
x2
,
x0
,
x1,
x2
,
,所以
0.0006555 R2 115 0.001631
利用前两个节点建立线性插值函数可得:
造线性插值函数,用得到的三个线性插值函数,计算 115 的近似值,并分析其结果不同的原
因.
解: 已知 x0 100, x1 121, x2 144; y0 10, y1 11, y2 12 ,
建立二次 Lagrange 插值函数可得:
L2
x
x 100
121 121
x 144 100 144
424
7. 寻找过 n 1个点 x0,x1,..., xn 的 2n 1 次多项式 H2n1 x ,满足条件:
H2n1 x0 f x0 , H2n1 x1 f x1 ,..., H2n1 xn f xn , H 2n1 x0 f x0 , H 2n1 x1 f x1 ,.., H 2n1 xn f xn .
却减小.
证明:
因为:
ds
d
1 2
gt
2
gtdt; ds s
gtdt s
gtdt 1 gt2
2 dt . t
ds 与 t 成正比,
ds
与 t 成反比,
s
2
所以当 dt 固定的时候, t 增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.
10. 设 x 0 , x 的相对误差为 ,求 ln x 的绝对误差.
max sin x p 0.3849 h3 105
x
6
所以
h 0 . 0 5 3.8
5. 用拉格朗日插值和牛顿插值找经过点 3, 1,0, 2,3, 2,6,10 的三次插值公式.
解: Lagrange 插值函数:
L3
x
x x1 x x2 x x3 x0 x1 x0 x2 x0 x3
y0
x x0 x x2 x x3 x1 x0 x1 x2 x1 x3
y1
x x0 x x1 x x3 x2 x0 x2 x1 x2 x3
y2
x x0 x x1 x x2 x3 x0 x3 x1 x3 x2
y3
x x 3 x 10 x 3 x 3 x 10
则可由已知条件,可得
所以可得
hn,i
x
1
2ln,i
xi
x
xi
l2
n,i
x
;
hn,i
x
x
xi
l2
n,i
x
.
n
H2n1 x
1
2ln,i
xi
x
xi
l2
n,i
x
yi
x
xi
l2 n,i
x
yi
i0
8. 过 0,1 两点构造一个三次 Hermite 插值多项式,满足条件:
f 0 1, f 0 1 , f 1 2, f 1 1
cos
3!
x xi1 x xi x xi1
cos 1;令 g x x xi1 x xi x xi1 ,设 x xi1 th ,得
g xi1 th h3t t 1t 2,t 0, 2
又
t
t
t
1
t
2
,
t
0,
2
的最大值为
1
3 3
0.3849
,所以有
(2) 取第二类边界条件,作三次样条插值多项式.
80 3.153
(3) 用两种插值函数分别计算 x 75.5, x 78.3的函数值.
解: (1)做分段线性插值函数可得:
I5 x 2.768l0 x 2.833l1 x 2.903l2 x 2.979l3 x 3.062l4 x 3.153l5 x
L1
x
x 121 100 121
10
x 100 121 100
11
所以 115 L1 115 10.7143 .
利用后两个节点建立线性插值可得:
L1
x
x 144 121 144
11
x 121 144 121
12
所以 115 L1 115 10.7391.
利用前后两个节点建立线性插值可得:
x 7 5 x 7 5 ,7 6
其中,
l0
x
7 0
6
x
x x
7
5 ,7 75
6;
,l17
x 6
.
2
2
解: 计算重节点的差商
01
0 1 1/2
1 2 1 1/ 2
1 2 1/ 2 -1/2 1
马上可得
H
3
x
1
1 2
x
0
1 2
x
0
x
0
1
x
0
x
0
x
1
x3 3 x2 1 x 1 22
9. 过给定数组
x 75
76
77
78
79
y 2.768 2.833 2.903 2.979 3.062
(1) 作一分段线性插值函数.
2
2
2
所以 a b 有三位有效数字.
6.
设 y1
0.9863, y2
0.0062 ,是经过舍入后作为 x1, x2 的近似值.求
1, y1
1 y2
的 计算值 与真
值的相对误差限及 y1 y2 与真值的相对误差限.
解:
已知 x1
y1 dx1, x2
y2
dx2
,
dx1 =
1 2
10-4
,dx2
3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位
4. 若 1/4 用 0.25 表示,问有多少位有效数字? 解: 两位
5. 若 a 1.1062, b 0.947 ,是经过舍入后得到的近似值,问: a b, a b 各有几位有效数字?
解: 已知 dx ,所以 ln x 的绝对误差 d ln x dx .
x
x
11. 设 x 的相对误差为 % ,求 xn 的相对误差.
解:
dxn xn
nxn1dx xn
nd x x
n % .
12. 计算球的体积,为了使相对误差限为 1%,问度量半径 R 时允许的相对误差限如何?
解: 已知V 4 R3 ,设 dr R dR a ,则要使得
162
27
x 3 x x 10 x 3 x x 3
.
27
81/ 5
牛顿插值: 首先计算差商
3 1 02 1 3 2 1.333 6 10 4
0.3889 0.8889 0.1420
N3 x 1 x 3 0.3889 x 3 x 1.1420 x 3 x x 3.
也可以利用等距节点构造,首先计算差分
1 10-4 , 2
dr
1 x1
dr
x1
dx1 x1
dx1 y1
1 104 2 0.9863
0.50104 ;
dr
1 x2
dr
x2
dx2 x2
dx2 y2
1 104 2
0.0062
0.81102 ;
dr x1 x2 dr x1 dr x2 0.50104 0.81102 0.82102 .
lj x
x x0 ... x xj1
x j x0 ... x j x j1
x xj1 ... x xn
x j x j1 ... x j xn
证明
证明: 由于
n
x
k j
l
j
x
xk
,
k
0,1,...,
n
j0
lj
xi
ij
1 0
i j; i j.
n
且 xkj l j x 和 xk 都为 k 次多项式,而且在 k+1 个不同的节点处的函数值都相同 k 0,1,..., n , 所以 j0
可得前插公式 和后插公式
3 1 02 3 3 2 4 7 6 10 12 16 23
N3
x0
th
1
3t
7 2
t
t
1
23 6
t
t
1
t
2
;
N3
x3
th
10
12t
16 2
t
t
1
23 6
t
t
1
t
2
.
6. 确定一次数不高于 4 的多项式 x ,使 0 0,0 0, 1 1 1, 2 1.
解: 利用重节点计算差商
解: 已知 da 1 104 , db 1 103 ,
2
2
又 a b 0.2053210 ,
d a b da db da db 1 104 1 103 0.55103 1 102 ,
2
2
2
所以 a b 有三位有效数字;
因为 a b 0.1047571410 ,
d a b b da a db 0.947 1 104 1.1062 1 103 0.60045103 1 102
解: 和 Lagrange 插值函数的构造类似,可将插值函数写成
其中,基函数满足条件
n
H2n1 x hn,i x yi hn,i x yi
i0
(1) hn,i x, hn,i x P 2n 1;
(2) hn,i x j ij , hn,i x j 0; hn,i x j ij , hn,i x j 0
7. 正方形的边长约为 100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过 1cm2.
解 : 设 正 方 形 面 积 为 S, 边 长 为 a, 则 S=a2. 所 以 要 使 : ds da2 2ada 1 , 则 要 求 da 1 1 0.5102 .所以边长的误差不能超过 0.5102 cm.