复系数和实系数多项式的因式分解
exall[1]高等代数习题集
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如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式（ k ≥ 1 ），那么它是 f '(x) 的 k −1重因式.
7.推论
(1) 如 果 不 可 约 多 项 式 p(x) 是 f (x) 的 k 重 因 式 （ k ≥ 1 ） , 那 么 p(x) 是
f (x), f '(x), , f (k−1) (x) 的因式，但不是 f (k) (x) 的因式.
其 中 c1, cs , p1, pr , q1, qr 全 是 实 数 ， l1, , ls , k1, , kr 是 正 整 数 ， 并 且
x2 + pi x + qi (i = 1, 2, , r) 在实数域上是不可约的.
§1.8 有理系数多项式
1．本原多项式的定义 如果一个非零整系数多项式
g(x) = bn xn + bn−1xn−1 + + b0
d (x) ，且 d (x) 可以表示成 f (x), g(x) 的一个组合，即有 F[x] 中多项式 u(x), v(x) 使
d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) .
4． 互素定义
设 f (x), g(x) ∈ F[x]，若 ( f (x), g(x)) = 1，则称 f (x) 与 g(x) 互素.
设 f (x), g(x) 是整系数多项式，且 g(x) 是本原的. 如果 f (x) = g(x)h(x) ，其中 h(x)
是有理系数多项式，那么 h(x) 一定是整系数的.
■
5. 定理 设
f (x) = an xn + an−1xn−1 + + a0
-6-
高等代数习题集
实系数多项式因式分解定理
实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理是高中数学中的基础知识点之一，也是数学学习的重要环节。
它是指给定一个实系数多项式，可以通过分解成若干个单项式之积的形式来表示。
本文将通过分步骤阐述，来简单介绍实系数多项式因式分解定理。
一、根据多项式的次数选择合适的方法在进行实系数多项式因式分解时，首先需要确定多项式的次数。
如果是1次多项式，则可以直接进行一次式的分解；如果是2次多项式，则考虑二次方程求根的方法来分解；如果是3次或3次以上的多项式，则可应用求有理根和非有理根的方法来进行分解。
二、确定多项式的所有根求出多项式的所有根是进行因式分解的前提。
对于n次多项式，根据代数学基本定理可知，其最多有n个根。
可以利用有理根定理、因式定理、综合除法等方法，求出多项式的所有根。
三、利用多项式各个根的特点进行分解将多项式的根全部求出后，就需要利用这些根的特点，进行分解。
比如一次多项式可以表示为(x-a)，二次多项式可以分解为(x-a)(x-b)，三次多项式则可分解为(x-a)(x-b)(x-c)等等。
对于没有有理根的多项式，可以进行辗转相除法，将这个多项式化为一个低一次多项式与一个高一次的多项式之积的形式，再进行分解。
四、检验分解是否正确分解完多项式后，需要检查分解是否正确。
可以通过将每个单项式展开相加，来比较与原多项式的系数是否一致。
如果展开后得到的式子，与原多项式相同，则说明该分解是正确的。
综上所述，通过利用以上的步骤，我们就可以较为简便地进行实系数多项式因式分解了。
多项式的因式分解是数学学习的重要环节，对于熟练掌握多项式的因式分解方法的人来说，不仅可以简化计算，而且可以在考试中快速地得出正确答案。
因此，我们要认真学习多项式的因式分解这一知识点，提高自己的数学水平。
高等代数课程教学大纲.总结
精品文档高等代数（ 1）课程教学大纲第一部分前言一、课程基本信息1.课程类别：专业基础课2.开课单位：数学与财经系3.适用专业：数学与应用数学专业4. 备选教材：《高等代数（第三版）》，北京大学数学系几何与代数教研室前代数组编.高等教育出版社，2003.二、课程性质和目标高等代数是数学与应用数学专业的一门重要基础课程。
本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论。
通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。
本课程的教学目的是使学生获得一元多项式，行列式，线性方程组，矩阵等方面的系统知识 , 为进一步学习近世代数，复变函数、等后续课程打下坚实的基础，也为深入理解初等数学、指导中学数学教学提供了高等的专业知识与重要的方法论。
通过本门课程系统的学习与严格的训练，全面掌握高等代数的基本理论知识；培养抽象的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用代数学的理论知识解决实际应用问题的能力。
三、课程学时与学分教学时数：96 学时，其中理论教学81 学时，实践教学15 学时学分数： 6 学分教学时数具体分配：教学内容理论教学实践教学合计（学时）（学时）（学时）第一章多项式26632第二章行列式16319第三章线性方程组22325第四章矩阵17320合计811596第二部分教学内容及其要求第一章多项式1.教学目标：要求学生理解数域的概念；掌握一元多项式的概念、运算及基本性质；掌握带余除法与整除性的关系，会进行相关运算；会求多项式的最大公因式；理解不可约多项式的概念，掌握求重因式的方法；理解多项式在不同的数域的因式分解形式；掌握Eisenstein判别法，会求有理系数多项式的根。
2.教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k 重因式与 k 重根的关系。
复数域与实数域上多项式的因式分解
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设 f ( x) C[x], 并且( f ( x)) 1, 则存在 C, 使得f ( x) ( x ) f1( x),其中( f1( x)) 0.
2
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推论1 设 p( x) C[x], 则p( x)是C上的不可约多 项式 ( p( x)) 1.
即:在复数域C上所有次数大于1的多项式全是 可约的.
an n
a n1 n1
a1 a0 0
即 f ( ) 0, 所以也是 f ( x)的根.
7
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因此 f ( x)能被
g( x) ( x )( x ) x2 -( )x
整除.
因 和 都是实数,所以g( x)是实系数多
项式, 故有
f ( x) g( x)h(x),
证 对f ( x)的次数用数学归纳法. 因一次多项式本身不可约,定理成立. 假设定理对次数 n的多项式来说成立.
设f ( x)是n次多项式,由代数基本定理, f ( x)有一复根.
如果是实数, 那么
f ( x) ( x ) f1( x)
其中f1 ( x)是n 1次实系数多项式.
如果不是实数, 那么也是f ( x)的根,于是
次式与二次不可约多项式的乘积. 故f ( x)也可以分解成实系数的一次式与二次不
可约多项式的乘积.
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线性代数：第一章多项式2
线性代数：第⼀章多项式2§6 重因式⼀、重因式的定义定义9 不可约多项式称为多项式的重因式,如果,但.如果，那么根本不是的因式；如果，那么称为的单因式；如果，那么称为的重因式.注意. 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然，如果的标准分解式为,那么分别是的重，重，… ,重因式.指数的那些不可约因式是单因式；指数的那些不可约因式是重因式.不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是存在多项式,使得,且.⼆、重因式的判别设有多项式,规定它的微商（也称导数或⼀阶导数）是.通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:同样可以定义⾼阶微商的概念.微商称为的⼀阶微商；的微商称为的⼆阶微商；等等. 的阶微商记为.⼀个次多项式的微商是⼀个次多项式；它的阶微商是⼀个常数；它的阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式是多项式的⼀个重因式,那么是微商的重因式.分析: 要证是微商的重因式,须证,但.注意:定理6的逆定理不成⽴.如, ,是的2重因式,但根本不是是因式.当然更不是三重因式.推论1 如果不可约多项式是多项式的⼀个重因式,那么是，,…,的因式,但不是的因式.推论2 不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是是与的公因式.推论3 多项式没有重因式这个推论表明，判别⼀个多项式有⽆重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个⽅法甚⾄是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域过渡到含的数域时都⽆改变,所以由定理6有以下结论:若多项式在中没有重因式,那么把看成含的某⼀数域上的多项式时, 也没有重因式.例1 判断多项式有⽆重因式三、去掉重因式的⽅法设有重因式,其标准分解式为.那么由定理5此处不能被任何整除.于是⽤去除所得的商为这样得到⼀个没有重因式的多项式.且若不计重数, 与含有完全相同的不可约因式.把由找的⽅法叫做去掉重因式⽅法.例2 求多项式的标准分解式.§7 多项式函数到⽬前为⽌，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这⼀节，将从另⼀个观点，即函数的观点来考察多项式.⼀、多项式函数设(1)是中的多项式，是中的数，在(1)中⽤代所得的数称为当时的值,记为.这样，多项式就定义了⼀个数域上的函数.可以由⼀个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为在与数域中的数进⾏运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果那么定理7(余数定理)⽤⼀次多项式去除多项式，所得的余式是⼀个常数，这个常数等于函数值.如果在时函数值，那么就称为的⼀个根或零点.由余数定理得到根与⼀次因式的关系.推论是的根的充要条件是.由这个关系，可以定义重根的概念. 称为的重根，如果是的重因式.当时，称为单根；当时，称为重根.定理8 中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.⼆、多项式相等与多项式函数相等的关系在上⾯看到，每个多项式函数都可以由⼀个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有,⽽对于中所有的数都有由定理8不难对这个问题给出⼀个否定的回答.定理9 如果多项式,的次数都不超过,⽽它们对n+1个不同的数有相同的值即,,那么=.因为数域中有⽆穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上⾯结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是⼀致的.换句话说，数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应⽤与推⼴，多项式看成形式表达式要⽅便些.三、综合除法根据余数定理,要求当时的值,只需⽤带余除法求出⽤除所得的余式.但是还有⼀个更简便的⽅法,叫做综合除法.设并且设. (2)其中⽐较等式(2)中两端同次项的系数.得到这样,欲求系数,只要把前⼀系数乘以再加上对应系数,⽽余式也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:表中的加号通常略去不写.例1 ⽤除.例2 求使能被整除注意 :若缺少某⼀项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗⽇插值公式已知次数的多项式在的值.设依次令代⼊,得这个公式叫做拉格朗⽇(Lagrange)插值公式.例3 求次数⼩于3的多项式,使.下⾯介绍将⼀个多项式表成⼀次多项式的⽅幂和的⽅法.所谓次多项式表成的⽅幂和，就是把表⽰成的形式.如何求系数，把上式改写成,就可看出就是被除所得的余数，⽽就是被除所得的商式.⼜因为.⼜可看出是商式被除所得的余式，⽽.就是被除所得商式.这样逐次⽤除所得的商式，那么所得的余数就是.例4 将展开成的多项式.解令，则.于是.问题变为把多项式表成（即）的⽅幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14--------------------------------------------------------2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2-------------------------------------------------------2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8------------------------------------------------2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以.注意：将表成的⽅幂和，把写在综合除法的左边，将的⽅幂和展开成的多项式，那么相当于将表成的⽅幂和，要把写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解⼀、复系数多项式因式分解定理代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域中有⼀个根.利⽤根与⼀次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数的复系数多项式在复数域上⼀定有⼀个⼀次因式.由此可知，在复数域上所有次数⼤于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有⼀次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯⼀地分解成⼀次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式其中是不同的复数，是正整数.标准分解式说明了每个次复系数多项式恰有个复根（重根按重数计算）.⼆、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果是实系数多项式的复根，那么的共轭数也是的根,并且与有同⼀重数.即实系数多项式的⾮实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯⼀地分解成⼀次因式与含⼀对⾮实共轭复数根的⼆次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除⼀次多项式外,只有含⾮实共轭复数根的⼆次多项式.因此，实系数多项式具有标准分解式其中全是实数，,是正整数，并且是不可约的，也就是适合条件..代数基本定理虽然肯定了次⽅程有个复根，但是并没有给出根的⼀个具体的求法.⾼次⽅程求根的问题还远远没有解决.特别是应⽤⽅⾯，⽅程求根是⼀个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的⼀个分⽀.三、次多项式的根与系数的关系.令(1)是⼀个(>0)次多项式,那么在复数域中有个根因⽽在中完全分解为⼀次因式的乘积:展开这⼀等式右端的括号,合并同次项,然后⽐较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.其中第个等式的右端是⼀切可能的个根的乘积之和,乘以.若多项式的⾸项系数那么应⽤根与系数的关系时须先⽤除所有的系数,这样做多项式的根并⽆改变.这时根与系数的关系取以下形式:利⽤根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有⼆重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的⼀个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何⼀个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是⼀个很复杂的问题，即使要判别⼀个有理系数多项式是否可约也不是⼀个容易解决的问题，这⼀点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这⼀节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第⼀，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进⽽解决求有理系数多项式的有理根的问题.第⼆，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.⼀、有理系数多项式的有理根设是⼀个有理系数多项式.选取适当的整数乘，总可以使是⼀个整系数多项式.如果的各项系数有公因⼦，就可以提出来，得到,也就是其中是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因⼦.如果⼀个⾮零的整系数多项式的系数没有异于±1的公因⼦,也就是说它们是互素的,它就称为⼀个本原多项式.上⾯的分析表明，任何⼀个⾮零的有理系数多项式都可以表⽰成⼀个有理数与⼀个本原多项式的乘积，即.可以证明，这种表⽰法除了差⼀个正负号是唯⼀的.亦即，如果,其中都是本原多项式，那么必有因为与只差⼀个常数倍，所以的因式分解问题，可以归结为本原多项式的因式分解问题.下⾯进⼀步指出，⼀个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是⼀致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果⼀⾮零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它⼀定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论设，是整系数多项式，且是本原多项式，如果，其中是有理系数多项式，那么⼀定是整系数多项式.这个推论提供了⼀个求整系数多项式的全部有理根的⽅法.定理12 设是⼀个整系数多项式.⽽是它的⼀个有理根,其中互素,那么(1) ;特别如果的⾸项系数，那么的有理根都是整根，⽽且是的因⼦.(2)其中是⼀个整系数多项式.给了⼀个整系数多项式,设它的最⾼次项系数的因数是,常数项的因数是那么根据定理12,欲求的有理根,只需对有限个有理数⽤综合除法来进⾏试验.当有理数的个数很多时,对它们逐个进⾏试验还是⽐较⿇烦的.下⾯的讨论能够简化计算.⾸先,1和-1永远在有理数中出现,⽽计算与并不困难.另⼀⽅⾯,若有理数是的根,那么由定理12,⽽也是⼀个整系数多项式.因此商都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进⾏试验.(我们可以假定与都不等于零.否则可以⽤或除⽽考虑所得的商.)例1 求多项式的有理根.例2 证明在有理数域上不可约.⼆、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设是⼀个整系数多项式.若有⼀个素数,使得1. ;2. ;3. .则多项式在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如.,其中是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是⼀个充分条件.有时对于某⼀个多项式,艾森斯坦判断法不能直接应⽤,但把适当变形后,就可以应⽤这个判断法.例3 设是⼀个素数,多项式叫做⼀个分圆多项式,证明在中不可约.证明：令，则由于,,令，于是,由艾森斯坦判断法，在有理数域上不可约，也在有理数域上不可约.第⼀章多项式(⼩结)⼀元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最⼤公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核⼼.⼀、基本概念.1.⼀元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,⼀元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满⾜⼀些运算规律.(2)(3) 多项式乘积的常数项(最⾼次项系数)等于因⼦的常数项(最⾼次项系数)的乘积.⼆、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法.(1) 带余除法定理.(2) 设.因此多项式的整除性不因数域的扩⼤⽽改变.3. 最⼤公因式和互素.(1) 最⼤公因式,互素的概念.(2) 最⼤公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设是与的最⼤公因式,则.反之不然.(4) .(5)三、因式分解理论1.不可约多项式(1) 不可约多项式的概念.(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:(3) 整系数多项式在有理数域上可约它在整数环上可约.(4) 艾森斯坦判断法.2.因式分解的有关结果:(1) 因式分解及唯⼀性定理.(2) 次数⼤于零的复系数多项式都可以分解成⼀次因式的乘积.(3) 次数⼤于零的实系数多项式都可以分解成⼀次因式和⼆次不可约因式的乘积.3.重因式(1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式是的重因式,则是的重因式.(3) 没有重因式.(4) 消去重因式的⽅法:是⼀个没有重因式的多项式,它与具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.去除所得的余式为,则3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个次复系数多项式在复数域中⾄少有⼀个根.因⽽次复系数多项式恰有个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.7.根的个数定理.F[x]中次多项式在数域F中⾄多有个根.8.多项式函数相等与多项式相等是⼀致的.重点:⼀元多项式的因式分解理论.难点:最⼤公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.本章主要内容之间的内在联系可⽤下列图表表⽰:。
实系数多项式
55
第一章 多项式
若 不为实数，则 也是 f ( x) 的复根，于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) x2 ( )x f2( x)
设 a bi ，则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式．
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic University
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推论1
第一章 多项式
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)l1
一、复系数多项式
第一章 多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根．
推论1（代数基本定理的等价叙述） f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数，r1,r2, ,rs Z+
推论2 f ( x) C[x]，若 ( f ( x)) n ，则 f ( x) 有n个 复根（重根按重数计算）．
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic Un多项式
高等代数实系数和复系数多项式的因式分解
−
n−2
(ε 2
+
ε
n+2 2
)x
+
1].
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
例题选讲
例 设 f(x), g(x) 是两多项式，且 f(x3) + xg(x3) 可被 x2 + x + 1 整除， 则 f(1) = g(1) = 0.
两边取共轭数，有
f(α¯) = anα¯n + an−1α¯n−1 + · · · + a0 = 0,
这就是说，f(α¯) = 0，α¯ 也是 f(x) 的根.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
实系数多项式因式分解定理
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用. 据说，关于 代数学基本定理的证明，现有 200 多种证法. 迄今为止，该定理 尚无纯代数方法的证明. 大数学家 J.P. 塞尔曾经指出：代数基本 定理的所有证明本质上都是拓扑的. 美国数学家 John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直 观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的 sard 定理. 复变 函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很 多经典的复变函数的理论结果.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
高斯与代数基本定理
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完 整. 接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于 1772 年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严 格的. 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的 (1799 年在哥廷根大学的博士论文)，高斯后来又给出了另外三个 证法，其中第四个证法是他 71 岁公布的，并且在这个证明中他 允许多项式的系数是复数.
《高等代数课后答案》(邱著)
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可作为高校数学与应用数学、信息与计算科学专业的教材，也可作为相关专业的教师、学生和自学者的参考。
以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。
希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。
《高等代数》考研2021年考研考点归纳与典型题
《高等代数》考研2021年考研考点归纳与典型题第1章多项式1.1 考点归纳一、一元多项式1．数环与数域（1）数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a－b，a·b∈S，则称S是一个数环．整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．（2）数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域．有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．2．一元多项式设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，a n全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．3．一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．二、整除的概念1．带余除法定义对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f （x）的余式．2．整除定义如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f （x）则用“g（x）f（x）”表示．当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3．整除性的判别对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．4．整除性的常用性质（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c为非零常数；（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；（3）如果f（x）丨g i（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）g l（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋u r（x）g r（x）），其中u i（x）是常数域P上任意的多项式．三、最大公因式1．公因式定义如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．2．最大公因式（1）定义设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g（x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．（2）引理如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．（2）定理对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）可用辗转相除法来求最大公因式．3．多项式互素（1）定义P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g （x）互素（也称互质）．（2）性质①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）；④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．四、因式分解定理1．不可约多项式（1）定义数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．（2）性质①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p （x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，f s（x）的乘积f1（x），f2（x），…，f s（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．2．因式分解及惟一性定理（1）惟一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…p s（x）＝q1（x）q2（x）…q t（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有p i（x）＝c i q i（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．（2）因式分解在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，p s（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，r s是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．五、重因式与多项式的根1．重因式定义如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝1，那么p（x）称为f（x）的单因式．如果k ＝0，那么p（x）根本不是f（x）的因式．2．重因式的判别（1）如果不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），那么它是微商f＇（x）的k-1重因式，也是f（x），f＇（x），…，f（k-1）（x）的因式，但不是f（k）（x）的因式．（2）不可约多项式p（x）是f（x）的重因式的充分必要条件为p（x）是f（x）与f＇（x）的公因式．（3）多项式f（x）没有重因式的充分必要条件是f（x）与f＇（x）互素．3．余数定理用一次多项式x－α去除多项式f（x），所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f（α）．4．多项式的根α是f（x）的根的充分必要条件是（x－α）丨f（x）．若（x-α）是f（x）的k重因式，称α为f（x）的k重根，当k＝1时，α是单根；当k＞1是，α称为重根．六、复系数与实系数多项式的因式分解1．代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根，等价于：每个次数≥1的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式．由此可以推出，P[x]中n次多项式（n≥0）在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算．2．复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以惟一地分解成一次因式的乘积．复系数多项式具有标准分解式其中α1，α2，…，αs是不同的复数，l1，l2，…，l s是正整数．标准分解式说明了每个n次复系数多项式恰有n个复根（重根按重数计算）．3．实系数多项式因式分解定理每个次数≥l的实系数多项式在实数域上都可以惟一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．。
多项式理论
注：
①
f1 ( x ), f 2 ( x ), , f s ( x ) 的最大公因式一定存在．
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其中 a0 , a1 , an P , 称为数域P上的一元多项式．
常用 f ( x ), g( x ), h( x ) 等表示．
注： 多项式 f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 中，
ai x i 称为i次项，a i 称为i次项系数． ① an x n 为 f ( x )的首项， n 为首项 a ② 若 an 0, 则称
f ( x ) g( x ) m n, ai bi , i 0,1,2, , n .
3．多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式．
2) f ( x ), g( x ) P[ x ]
二、整除
1．定义
设 f ( x ), g( x ) P[ x ], 若存在 h( x ) P[ x ] 使
f ( x ) g( x )h( x )
则称 g( x ) 整除 f ( x ), 记作 g( x ) | f ( x ). ① g( x ) | f ( x ) 时， 称 g( x )为 f ( x )的因式， f ( x ) 为 g( x ) 的倍式．
② g( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g( x ) | f ( x ).
③ 允许 g( x ) 0，此时有 0 0h( x ), h( x ) P[ x ]
即 0 0.
区别：
复系数和实系数多项式的因式分解
§8 复系数与实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理1．代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根. 利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式. 由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的，不可约多项式只有一次多项式. 于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：2．复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式其中s ααα,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明：每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）. 3结论 ：设(),()f x g x 是复数域上的两个多项式，如果 ()f x 的根都是()g x 的根， 则 ()|()f x g x例：若)(|1n x f x -，则 )(|1n n x f x - 4、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积: 展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之与,乘以k )1(-.若多项式的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1． 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式有：如果α是实系数多项式)(x f 的复根，那么α的共轭数α也是)(x f 的根,即实系数多项式的非实的复数根两两成对出现。
一复系数多项式
求 x n 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 在复数范围内 x n 1 有n个复根，
解： 1)
1, , ,
2
,
n1
这里
k
2 2 cos i sin , n 1 n n k 1,2, , n
2 n1
2k 2k cos i sin , n n
k1 , , ks , l1 , , l s Z ,
且 p 4q 0, i 1,2 r ，即 x pi x qi 为
2
2
R上的不可约多项式.
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例1
x n 1 ( x 1)[ x 2 ( n1 ) x n1 ]
[ x 2 (
2
)x
]
2 n1 2 ( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
当n为偶数时
x 1 ( x 1)( x 1)[ x (
n 2 n1
) x
]
n1
]
[ x 2 (
n 2 2
2
n 2 2
)x
n 2 2
n 2 2
2 n2 2 ( x 1)( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
∴ 2)
∵
x 1 ( x 1)( x )( x ) ( x
n
)
在实数域范围内
k
§8复系数与实系数多项式的因式分解
解： 1)
1, ε , ε 2 , L , ε n−1
这里
2π 2π ε = cos , εn =1 + i sin n n 2kπ 2kπ k ε = cos , k = 1,2, ⋅ ⋅ ⋅, n + i sin n n
x n − 1 = ( x − 1)( x − ε )( x − ε 2 )L ( x − ε n−1 )
若 α 不为实数，则 α 也是 f ( x ) 的复根，于是 不为实数， 的复根，
f ( x ) = ( x − α )( x − α ) f 2 ( x ) = ( x 2 − (α − α ) x + αα ) f 2 ( x )
设 α = a + bi ，则
α = a − bi ,
α + α = 2a ∈ R , αα = a 2 + b 2 ∈ R
x 2 − (α + α ) x + αα 是 一个二次不可约多项式． 即在R上 一个二次不可约多项式． 即在 上
从而 ∂ ( f 2 ) = n − 2. 由归纳假设 f1 ( x ) 、 f 2 ( x )可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证． 不可约多项式的乘积． 由归纳原理，定理得证．
在实数域范围内
∴ 2)
∵
ε =ε
k
n− k
2kπ , , ε + ε = 2cos n
k k
ε ε =1
k k
k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅, n
∴
当n为奇数时 为奇数时
n −1 2 n+1 2 n −1 2 n +1 2
x n − 1 = ( x − 1)[ x 2 − (ε + ε n−1 ) x + εε n−1 ]LL
复系数多项式.
R上的不可约多项式.
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数 3的多项式皆可约.
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
附：单位根、单位原根
定义1 多项式 x n 1 在复数域上的任一根都称为
n 次单位根.
n x 1 的n个复根为 事实上,在复数范围内
复根（重根按重数计算）．
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
二、实系数多项式
命题：若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
n n1 f ( x ) a x a x a0 , ai R 证：设 n n1
1, , , ,
2
n1
这里
2 2 cos i sin , n 1 n n 2k 2k k cos i sin , k 0,1, , n 1. n n
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
定义2 若1, , , ,
若 为根，则
f ( ) an n an1 n1 a0 0
两边取共轭有
f ( ) an an1
n
n1
a0 0
∴ 也是为 f ( x ) 复根．
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
实系数多项式因式分解定理
f ( x ) R[ x ]，若 ( f ( x )) 1， 则 f ( x ) 可唯一
5 2 3 4
x 1 ( x 1)( x )( x )( x )( x )( x )
高等代数§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
推论5 设f ( x ) [ x ], 则 f ( x ) 在 上具有标准分解式
f ( x ) an ( x c1 )k1 ( x c2 )k2 ( x c s )ks ( x 2 p1 x q1 )k1
( x 2 pr x qr )kr
若 ( p( x )) 1, 下证 ( p( x )) 2 即可. 由代数基本定理, p( x )存在复根
则 也是 p( x )的根,即 x | p( x ), x | p( x ).
注意到( x , x ) 1 (否则, ,则 p( x )在 上 存在一次因式,这与 p( x )实不可约相矛盾.) 所以, ( x )( x ) | p( x ).
推论2 复数域上不可约多项式只有一次多项式. 即 f ( x ) [ x ], 若 ( f ( x )) 1, 则 f ( x ) 可约.
2、复系数多项式因式分解定理
定理2 f ( x ) [ x ], 若 ( f ( x )) 1, 则 f ( x ) 在 复数域上可唯一分解成一次因式的乘积.
[ x 2 (
n 2 2 n 2 2 n 2 2 n 2 2
)x
]
2 n2 2 ( x 1)( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
2
不可约多项式.
例
求 x n 1 在 上与在 上的标准分解式.
在复数范围内 x n 1 有n个复根，
2 n 1
解： 1)
1, , , , 2 2 i sin , 这里 cos n n 2k 2k k cos i sin , n n
高等代数第1章.
例1 求方程2x4-x3+2x-3=0的有理根。 解： 由定理12，方程的有理根为r/s 则必有s⎪an=2，r⎪a0=-3 从而方程的可能有理根为±1,±3,±1/2,±3/2 用综合除法可知，只有1为方程的根。 例2 证明：f(x)=x3-5x+1在Q上不可约。 证明： 若f(x)可约 则f(x)至少有一个一次因式，即有一个有理根 但f(x)的有理根只可能是±1 而f(1)=-3，f(-1)=5 矛盾！ 所以f(x)不可约
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
代数基本定理：对于任意的f(x)∈C[x]，若 ∂(f(x))≥1，则f(x)在复数域C上必有一根。 利用根与一次因式的关系，代数基本定理 可以等价地叙述为： 推论1 对于任意的f(x)∈C[x]，若∂(f(x))≥1， 则存在x-a∈C[x]，使得(x-a)⎪f(x)，即f(x)在 复数域上必有一个一次因式。 推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项 式，即对于任意的f(x)∈C[x]，若∂(f(x))>1， 则f(x)可约。
+ε
n+1 2
)x + ε
n −1 2
ε
n +1 2
]
当n为偶数时 x n − 1 = ( x − 1)( x + 1)[ x 2 − (ε + ε n+1 ) x + εε n+1 ] ⋅ ⋅ ⋅
n− 2 2 n+ 2 2 n− 2 2
[ x 2 − (ε + ε )x + ε ε ] 2π n−2 2 2 = ( x − 1)( x + 1)( x − 2 x cos + 1) ⋅ ⋅ ⋅ [ x − 2 x cos π + 1] n n
数分高代定理大全
数分高代定理大全《高等代数》第一章带余除法 对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式(),()q x r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的(),()q x r x 是唯一决定的.定理 1 对于数域P 上的任意两个多项式(),()f x g x ，其中()0,()|()g x g x f x ≠的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零.定理 2 对于[]P x 中任意两个多项式()f x ，()g x ，在[]P x 中存在一个最大公因式()d x ，且()d x 可以表示成()f x ，()g x 的一个组合，即有[]P x 中多项式(),()u x v x 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.定理 3 []P x 中两个多项式()f x ，()g x 互素的充分必要条件是有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=.定理 4 如果((),())1f x g x =，且()|()()f x g x h x ，那么()|()f x h x .定理 5 如果()p x 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式(),()f x g x ，由()|()()p x f x g x 一定推出()|()p x f x 或者()|()p x g x .因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式1212()()()()()()(),s t f x p x p x p x q x q x q x ==那么必有s t =，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,,i i i p x c q x i s ==其中(1,2,,)i c i s =是一些非零常数.定理 6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，那么它是微商()f x '的1k -重因式.定理 7（余数定理） 用一次多项式x α-去除多项式()f x ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()f α.定理 8 []P x 中n 次多项式(0)n ≥在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算. 定理 9 如果多项式()f x ，()g x 的次数都不超过n ，而它们对1n +个不同的数121,,n ααα+有相同的值，即()(),1,2,1,i i f g i n αα==+那么()()f x g x =.代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理 10（高斯（Gauss ）引理） 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 定理 12 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是一个整系数多项式，而rs是它的有理根，其中,r s 互素，那么必有0|,|n s a r a .特别地，如果()f x 的首项系数1n a =，那么()f x 的有理根是整根，而且是0a 的因子.定理 13 （艾森斯坦（Eisenstein ）判别法） 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是一个整系数多项式，如果有一个素数p ，使得 1.|n p a /； 2.120|,,,n n p a a a --；3.20|p a /那么()f x 在有理数域上是不可约的.第二章 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 定理 2 任意一个n 级排列与排列12n 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.定理 3 设111212122212n n n n nna a a a a a d a a a =，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成立：1122,,0,.k i k i kn in d k i a A a A a A k i =⎧+++=⎨≠⎩当当 1122,,0,.l j l j nl nj d j a A a A a A j =⎧+++=⎨≠⎩当l 当l 定理 4 （克拉默法则） 如果线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式0d A =≠，那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为1212,,,,nn d d d x x x d dd===其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项12,,,nb b b 所成的行列式，即1,11,111112,12,12122,1,11,1,2,,.j j n j j n j n j n j n n nna a ab a a a a b a d j n a a a b a -+-+-+==定理 5 如果齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵的行列式0A ≠，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有0A =.定理 6 （拉普拉斯定理） 设在行列式D 中任意取定了(11)k k n ≤≤-个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .定理 7 两个n 级行列式1112121222112n n n n nna a a a a a D a a a =和1112121222212n n n n nnb b b b b b D b b b =的乘积等于一个n 级行列式111212122212n n n n nnc c c c c c C c c c =，其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++.第三章定理 1 在齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩中，如果s n ，那么它必有非零解.定理 2 设12,,r 与1,,,r 2是两个向量组，如果1）向量组12,,r 可以经1,,,r 2线性表出，2）rs ，那么向量组12,,r 必线性相关.定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 定理 4 矩阵的行秩与列秩相等. 定理 5 n n 矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .定理 6 一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有1r 级子式全为零.定理 7 （线性方程组有解判别定理） 线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解的充分必要条件为它的系数矩阵111212122212n n s s sn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵11121121222212n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有相同的秩。
1.8 C,R上多项式的因式分解
实系数多项式的标准分解式：
f ( x) a( x c1 )l1 ( x c2 )l2 ( x 2 p1 x q1 ) k1 ( x 2 pr x qr ) kr
c1 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr R； l1 , , ls , k1 , , kr N . pi2 4qi < 0, i 1, 2, , r.
评论： 代数基本定理是本节讨论的理论基础，在此 基础上肯定了n次方程有n个复根. 但这里并没有给出 求根的具体方法，高次方程求根问题还远远没有解决， 其内容构成数学的其它分支，已不是高等代数所要讨 论的问题.
作业： P48 补充题9.10.11.
一 复数域上多项式的因式分解
1. (代数基本定理) 对任意的f(x)(∈C[x],∂f≥1)在C 上至少有一个根（或：至少有一个一次因式）. 由该定理可以推出： C上次数大于1的多项式全是可约多项式 事实上，据该定理, 当∂f ＞1时, 应有根α 1, 使得 f(x) = (x－ α 1) f1(x), 若∂f1 ＞1 , 又据该定理有根 α 1,使 f(x) = (x－ α 1) (x－ α 2) f2(x), ·· ·，如此讨论下 去, 至多 ∂fn = 1,即fn(x) = x－ α n, 故重根按重数计, 有 下 式成立: f(x) = a(x－ α 1) (x－ α 2) … (x－ α n )
二 实数域上多项式的因式分解
1 复习共轭复数性质： 设 a bi, a bi ，则
1) ； 3) R ； 5) R. 2) ； 4) R；
2
也是 f ( x) 的根 R 上 f ( x) 有一非实复根 与 有相同重数
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§8 复系数和实系数多项式的因式分解
一、 复系数多项式因式分解定理
1．代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根.
利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：
每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.
由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的，不可约多项式只有 一次多项式. 于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：
2．复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一 地分解成一次因式的乘积.
因此，复系数多项式具有标准分解式
s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=Λ
其中s ααα,,,21Λ是不同的复数，s l l l ,,,21Λ是正整数.
标准分解式说明：每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.
3结论 ：设 (),()f x g x 是复数域上的两个多项式，如果 ()f x 的根都是 ()g x 的根， 则 ()|()f x g x
例：若)(|1n x f x -，则 )(|1n n x f x -
4、n 次多项式的根与系数的关系.
令
.)(11n n n a x a x x f +++=-Λ (1)
是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n αααΛ因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:
).())(()(21n x x x x f ααα---=Λ
展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.
,
)1(),
()1(),
(),
),
(21323112111124213213131212211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a ααααααααααααααααααααααααααααααΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-=+++-=+++-=+++=+++-=------（
其中第),,2,1(n k k Λ=个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1(-.
若多项式 n n n a x a x a x f +++=-Λ110)(
的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:
.)1(,),(210
1312102210
1n n n n n n a a a a a a ααααααααααααΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-=+++=+++-=-
利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.
例1． 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.
二、实系数多项式因式分解定理
对于实系数多项式有：如果α是实系数多项式)(x f 的复根，那么α的共轭数α也是 )(x f 的根,即实系数多项式的非实的复数根两两成对出现。
实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一 地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.
实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式. 因此，实系数多项式具有标准分解式
r s k r r k l s l l n q x p x q x p x c x c x c x a x f )()()()()()(211221121++++---=ΛΛ
其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111ΛΛΛ全是实数，s l l l ,,,21Λ,r k k ,,1Λ是正整数，
并且),,2,1(2r i q x p x i i Λ=++是不可约的，适合条件r i q p i i ,,2,1,042Λ=<-..
代数基本定理虽然肯定了n 次方程有n 个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法. 高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题， 这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.
三、拉格朗日插值公式
补充题 12，13。