复系数和实系数多项式的因式分解

§8 复系数和实系数多项式的因式分解

一、 复系数多项式因式分解定理

1．代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根.

利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：

每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.

由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的，不可约多项式只有 一次多项式. 于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：

2．复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一 地分解成一次因式的乘积.

因此，复系数多项式具有标准分解式

s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=Λ

其中s ααα,,,21Λ是不同的复数，s l l l ,,,21Λ是正整数.

标准分解式说明：每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.

3结论 ：设 (),()f x g x 是复数域上的两个多项式，如果 ()f x 的根都是 ()g x 的根， 则 ()|()f x g x

例：若)(|1n x f x -，则 )(|1n n x f x -

4、n 次多项式的根与系数的关系.

令

.)(11n n n a x a x x f +++=-Λ (1)

是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n αααΛ因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:

).())(()(21n x x x x f ααα---=Λ

展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.

,

)1(),

()1(),

(),

),

(21323112111124213213131212211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a ααααααααααααααααααααααααααααααΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-=+++-=+++-=+++=+++-=------（

其中第),,2,1(n k k Λ=个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1(-.

若多项式 n n n a x a x a x f +++=-Λ110)(

的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:

.)1(,),(210

1312102210

1n n n n n n a a a a a a ααααααααααααΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-=+++=+++-=-

利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.

例1． 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.

二、实系数多项式因式分解定理

对于实系数多项式有：如果α是实系数多项式)(x f 的复根，那么α的共轭数α也是 )(x f 的根,即实系数多项式的非实的复数根两两成对出现。

实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一 地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.

实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式. 因此，实系数多项式具有标准分解式

r s k r r k l s l l n q x p x q x p x c x c x c x a x f )()()()()()(211221121++++---=ΛΛ

其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111ΛΛΛ全是实数，s l l l ,,,21Λ,r k k ,,1Λ是正整数，

并且),,2,1(2r i q x p x i i Λ=++是不可约的，适合条件r i q p i i ,,2,1,042Λ=<-..

代数基本定理虽然肯定了n 次方程有n 个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法. 高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题， 这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.

三、拉格朗日插值公式

补充题 12，13