高考数学一轮专题复习 第九章 第2讲 排列与组合
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定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列 除法处理 后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反，等价转化的方法
考点二 组合应用题 要从 5 名女生，7 名男生中选出 5 名代表，按下列要
求，分别有多少种不同的选法？ (1)至少有 1 名女生入选； (2)男生甲和女生乙入选； (3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．
若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则 组合
是组合问题，即组Hale Waihona Puke Baidu问题与选取元素顺序无关
[做一做]
3．(2014·高考大纲全国卷)有 6 名男医生、5 名女医生，从
中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同
的选法共有( C )
A．60 种
B．70 种
C．75 种
D．150 种
解析：由题意知，选 2 名男医生、1 名女医生的方法有 C26C51
[解] (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列，有 A57＝2 520(种)排法． (2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A77＝5 040(种) 排法．
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列， 有 A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有 A44种 排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A22种排法，由分 步乘法计数原理知，共有 N＝A33·A44·A22＝288(种)． (4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 A44种排法，男生在 4 个女生隔成的五个空中安排共有 A35种排法，故 N＝A44·A35＝1 440(种)．
[规律方法] 求解排列应用题的主要方法
直接法 优先法
捆绑法
把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排 列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排 列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的 空档中
先整体 后局部 “小集团”排列问题中先整体后局部
个数为( C )
A．8
B．24
C．48
D．120
1．辨明两个易误点 (1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是 否与顺序有关,排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． (2)计算 Amn 时易错算为 n(n－1)(n－2)…(n－m)．
2．排列与组合问题的识别方法 识别方法
若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是 排列 排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关
(3)排列数的性质 ①Ann＝_n_！___；②0！__1____．
2．组合与组合数公式 (1)组合与组合数
从n个不同元 素中取出 m（m≤n）个元素
合―成―一→组
组 合
所―有―不→同
组合的个数
组合数
(2)组合数公式 Cnm＝AAmmnm＝n（n－1）（n－m2！）…（n－m＋1） ＝m！（nn！－m）！. (3)组合数的性质 ①C0n＝___1____；②Cnm＝__C_nn_－_m__；③Cmn ＋Cmn －1＝_C__nm＋_1___．
(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外 的 10 人中任选 3 名即可，共有 C22C310＝120(种)选法． (3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面 是“两人都不入选”，即从其余 10 人中任选 5 人有 C510种 选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法 数为 C512－C510＝540(种)．
考点一 考点二 考点三
排列应用题 组合应用题 排列、组合的综合应用(高频考点)
考点一 排列应用题
3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同 的排队方案的方法种数． (1)选其中 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起； (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．
＝75(种)．
4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2 件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5 件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品 不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有 ____2_4___种．(用数字作答)
解析：将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体，同 1 件建 筑设计展品全排列，再将 2 件不能相邻的绘画作品插空，故 共有 A22A22A23＝24(种)不同的展出方案．
(5)先安排甲，从除去排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A51＝ 5(种)排法；再安排其他人，有 A66＝720(种)排法．所以共有 A15·A66＝3 600(种)排法．
在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数： (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端．
解：(1)先排甲有 4 种，其余有 A66种， 故共有 4·A66＝2 880(种)排法． (2)先排甲、乙，再排其余 5 人， 共有 A22·A55＝240(种)排法．
[做一做]
1．某校一年级有 5 个班，二年级有 7 个班，三年级有 4 个
班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比
赛的场数是( A ) A．C25＋C72＋C24 C．A25＋A72＋A24
B．C52C27C24 D．C216
2．用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的
第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布
第2讲 排列与组合
1．排列与排列数公式 (1)排列与排列数
从n个不同元 素中取出 m（m≤n）个元素
按照―一―定→的顺序
排成一列
排 列
所―有―不→同
排列的个数
排列数
(2)排列数公式
n！
Anm＝__n_(n__－__1_)(_n_－__2_)_…__(n__－__m_＋__1_)____＝_（__n__－__m_）__！___．
[解] (1)法一：至少有 1 名女生入选包括以下几种情况： 1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男，5 女． 由分类加法计数原理知总选法数为 C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)． 法二：“至少有 1 名女生入选”的反面是“全是男代表” 可用间接法求解．从 12 名人中任选 5 人有 C512种选法，其 中全是男代表的选法有 C57种． 所以“至少有 1 名女生入选”的选法有 C512－C57＝771(种)．
间接法 正难则反，等价转化的方法
考点二 组合应用题 要从 5 名女生，7 名男生中选出 5 名代表，按下列要
求，分别有多少种不同的选法？ (1)至少有 1 名女生入选； (2)男生甲和女生乙入选； (3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．
若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则 组合
是组合问题，即组Hale Waihona Puke Baidu问题与选取元素顺序无关
[做一做]
3．(2014·高考大纲全国卷)有 6 名男医生、5 名女医生，从
中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同
的选法共有( C )
A．60 种
B．70 种
C．75 种
D．150 种
解析：由题意知，选 2 名男医生、1 名女医生的方法有 C26C51
[解] (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列，有 A57＝2 520(种)排法． (2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A77＝5 040(种) 排法．
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列， 有 A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有 A44种 排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A22种排法，由分 步乘法计数原理知，共有 N＝A33·A44·A22＝288(种)． (4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 A44种排法，男生在 4 个女生隔成的五个空中安排共有 A35种排法，故 N＝A44·A35＝1 440(种)．
[规律方法] 求解排列应用题的主要方法
直接法 优先法
捆绑法
把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排 列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排 列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的 空档中
先整体 后局部 “小集团”排列问题中先整体后局部
个数为( C )
A．8
B．24
C．48
D．120
1．辨明两个易误点 (1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是 否与顺序有关,排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． (2)计算 Amn 时易错算为 n(n－1)(n－2)…(n－m)．
2．排列与组合问题的识别方法 识别方法
若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是 排列 排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关
(3)排列数的性质 ①Ann＝_n_！___；②0！__1____．
2．组合与组合数公式 (1)组合与组合数
从n个不同元 素中取出 m（m≤n）个元素
合―成―一→组
组 合
所―有―不→同
组合的个数
组合数
(2)组合数公式 Cnm＝AAmmnm＝n（n－1）（n－m2！）…（n－m＋1） ＝m！（nn！－m）！. (3)组合数的性质 ①C0n＝___1____；②Cnm＝__C_nn_－_m__；③Cmn ＋Cmn －1＝_C__nm＋_1___．
(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外 的 10 人中任选 3 名即可，共有 C22C310＝120(种)选法． (3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面 是“两人都不入选”，即从其余 10 人中任选 5 人有 C510种 选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法 数为 C512－C510＝540(种)．
考点一 考点二 考点三
排列应用题 组合应用题 排列、组合的综合应用(高频考点)
考点一 排列应用题
3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同 的排队方案的方法种数． (1)选其中 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体站成一排，男、女各站在一起； (4)全体站成一排，男生不能站在一起； (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．
＝75(种)．
4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2 件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5 件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品 不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有 ____2_4___种．(用数字作答)
解析：将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体，同 1 件建 筑设计展品全排列，再将 2 件不能相邻的绘画作品插空，故 共有 A22A22A23＝24(种)不同的展出方案．
(5)先安排甲，从除去排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A51＝ 5(种)排法；再安排其他人，有 A66＝720(种)排法．所以共有 A15·A66＝3 600(种)排法．
在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数： (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端．
解：(1)先排甲有 4 种，其余有 A66种， 故共有 4·A66＝2 880(种)排法． (2)先排甲、乙，再排其余 5 人， 共有 A22·A55＝240(种)排法．
[做一做]
1．某校一年级有 5 个班，二年级有 7 个班，三年级有 4 个
班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比
赛的场数是( A ) A．C25＋C72＋C24 C．A25＋A72＋A24
B．C52C27C24 D．C216
2．用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的
第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布
第2讲 排列与组合
1．排列与排列数公式 (1)排列与排列数
从n个不同元 素中取出 m（m≤n）个元素
按照―一―定→的顺序
排成一列
排 列
所―有―不→同
排列的个数
排列数
(2)排列数公式
n！
Anm＝__n_(n__－__1_)(_n_－__2_)_…__(n__－__m_＋__1_)____＝_（__n__－__m_）__！___．
[解] (1)法一：至少有 1 名女生入选包括以下几种情况： 1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男，5 女． 由分类加法计数原理知总选法数为 C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)． 法二：“至少有 1 名女生入选”的反面是“全是男代表” 可用间接法求解．从 12 名人中任选 5 人有 C512种选法，其 中全是男代表的选法有 C57种． 所以“至少有 1 名女生入选”的选法有 C512－C57＝771(种)．