线段上的动点问题 专项练习

线段上的动点问题

名师点金：解决线段上的动点问题一般需注意：(1)找准点的各种可能的位置；(2)通常可用设元法，表示出移动变化后的线段的长(有可能是常数，那就是定值)，再由题意列方程求解．

线段上动点与中点问题的综合

1．(1)如图①，D是线段AB上任意一点，M，N分别是AD，DB的中点，若AB＝16，求MN的长．

(2)如图②，AB＝16，点D是线段AB上一动点，M，N分别是AD，DB的中点，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．

(3)如图③，AB＝16，点D运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．

(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？

(第1题)

线段上动点问题中的存在性问题

2．如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为－2，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x.

(第2题)

(1)PA＝______，PB＝______(用含x的式子表示)．

(2)在数轴上是否存在点P，使PA＋PB＝10？若存在，请求出x的值；若不存在，请说

明理由．

(3)点P 以1个单位长度/s 的速度从点O 向右运动，同时点A 以5个单位长度/s 的速度向左运动，点B 以20个单位长度/s 的速度向右运动，在运动过程中，M ，N 分别是AP ，

OB 的中点，问：AB －OP MN

的值是否发生变化？请说明理由．

线段和差倍分关系中的动点问题

3．如图，线段AB ＝24，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 运动，M 为AP 的中点，设P 的运动时间为x 秒．

(1)当PB ＝2AM 时，求x 的值．

(2)当P 在线段AB 上运动时，试说明2BM －BP 为定值．

(3)当P 在AB 延长线上运动时，N 为BP 的中点，下列两个结论：①MN 长度不变；②MA ＋PN 的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．

(第3题)

线段上的动点的方案问题

4．情景一：如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．

(第4题)

情景二：如图，A，B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由．

你赞同以上哪种做法

答案

1．解：(1)MN ＝DM ＋DN ＝12AD ＋12BD ＝12(AD ＋BD)＝12

AB ＝8. (2)能．MN ＝DM ＋DN ＝12AD ＋12BD ＝12(AD ＋BD)＝12

AB ＝8. (3)能．MN ＝MD －DN ＝12AD －12BD ＝12(AD －BD)＝12

AB ＝8. (4)若点D 在线段AB 所在直线上，点M ，N 分别是AD ，DB 的中点，则MN ＝12

AB. 2．解：(1)|x ＋2|；|x －6|

(2)分三种情况：

①当点P 在A ，B 之间时，PA ＋PB ＝8，故舍去；

②当点P 在B 点右边时，PA ＝x ＋2，PB ＝x －6，

因为(x ＋2)＋(x －6)＝10，所以x ＝7；

③当点P 在A 点左边时，PA ＝－x －2，PB ＝6－x ，

因为(－x －2)＋(6－x)＝10，所以x ＝－3.

综上，当x ＝－3或7时，PA ＋PB ＝10.

(3)AB －OP MN

的值不发生变化．理由如下： 设运动时间为t s ，

则OP ＝t ，OA ＝5t ＋2，OB ＝20t ＋6，AB ＝OA ＋OB ＝25t ＋8，

AB －OP ＝24t ＋8，AP ＝OA ＋OP ＝6t ＋2，AM ＝12

AP ＝3t ＋1， OM ＝OA －AM ＝5t ＋2－(3t ＋1)＝2t ＋1，ON ＝12

OB ＝10t ＋3， 所以MN ＝OM ＋ON ＝12t ＋4.所以AB －OP MN ＝24t ＋812t ＋4

＝2. 3．解：(1)当点P 在点B 左边时，PA ＝2x ，PB ＝24－2x ，AM ＝x ，所以24－2x ＝2x ，即x ＝6；当点P 在点B 右边时，PA ＝2x ，PB ＝2x －24，AM ＝x ，所以2x －24＝2x ，方程无解．综上可得，x 的值为6.

(2)当P 在线段AB 上运动时，BM ＝24－x ，BP ＝24－2x ，所以2BM －BP ＝2(24－x)－(24－2x)＝24，即2BM －BP 为定值．

(3)①正确．当P 在AB 延长线上运动时，PA ＝2x ，AM ＝PM ＝x ，PB ＝2x －24，PN ＝12

PB ＝x －12，

所以①MN ＝PM －PN ＝x －(x －12)＝12.

所以MN 长度不变，为定值12.

②MA ＋PN ＝x ＋x －12＝2x －12，

所以MA＋PN的值是变化的．

4．解：情景一：横穿草坪是为了所走路程最短．因为两点之间的所有连线中，线段最短；

情景二：点P的位置如图．

(第4题)

理由：两点之间的所有连线中，线段最短．

赞同情景二中的做法．