收益率曲线拟合技术(1)

多项式样条函数（二）
满足以上条件，约掉部分参数，样条函数形式为

B0(s) 1 c0s b0s2 a0s3
其中 s0,5

B5(s) 1 c0s b0s2 a0[s3 (s 5)3] 其中 s5,10
B(s)



a1(s

5)3

B10

TT1MeTT1Mb3TT2MeTT2M
积分后我们得到即期利率的参数模型：
s(TTM)t
b0
b11TTeMTT1M

b2

1eTT1M

TTM
TTM
e 1 b3

1eTT2M

s(t,T) xt
,
T t
B(t,T) es(t,T)(Tt)
如果假设当前市场远期利率可用某种参数函数表达,如f(t,T,b) ,则即期 利率可以表达为s(t,T,b)，贴现函数同样也可以表达为B(t,T,b)
收益率曲线参数模型的一般方法
一、符号定义 贴现函数
B(t,T, b)
表示在时间T支付的现金流F T 在时间t的贴现系数
1、将参数向量 bˆ * 固定在一个合理的初值上 2、以 f (0,) 来计算 3、运用牛顿迭代法取完所有 f (0,) 的值来对 bˆ * 进行最优化，求
出其最小二乘估计量
样条分段数的最优取值
样条分段数越大，曲线拟合度越高，但平滑值越差 样条分段数越小，则曲线越平滑，但拟合度差
样条分段数确定方法一： 样条分段数= 参考债券集合包含的债券数 n的平方根
其中 其中
s0,5 s5,10
B10 (s)d2c2eusb2e2usa2e3us其中 s1,020
上式中，u的经济含义为起息日为未来无限远时的瞬间远期利率
亦即 u lim f (0,t,T) tT T
指数样条函数（二）
应用指数样条函数的最优决策过程 （广义最小二乘无解析解，必须通过迭代优化）
（样条法中，即为分段的样条函数）
求 bˆ * 使
(Pt j
Pˆj t
)2
最小
我们表示为
b min( tj Ptˆj P)2 bˆ* arg
由此 bˆ * 向量，我们即可得知 B(t,T,b) 从而得出瞬时远期利
率期限结构
收益率曲线参数模型步骤（1） 确定约束条件
对贴现函数
B(t,T, b)
参数向量
贴现函数 B(t,T;b1,b2,...,bi)
bb b 即期利率s ( t,T ) B 1 /s( t,T ;1 ,2 ,...,i)
bˆ*(b1,b2,..b.i),
n
目标函数 min (Pi Pˆi*(B))2 i1
重复优化过程
残差方差权重
j

Dj (t)Pt j 1 rj (t)

...


P1
P2

...

1
2

...
Pˆn(b1,
b2,...,bi
)
Pn

n

Nelson-Siegel-Svenson模型
Svenson模型的瞬间远期利率
f
(TTM)t
b0
TTM
b1e 1 b2
(j j')
收益率曲线参数模型步骤（2）：确定误差
残差的方差-协方差矩阵为（与广义最小二乘法对应）
12 2 2
22


...

n2

简化方法为假设各种债券的方差相等，即权重
2 j

1
收益率曲线参数模型步骤（2)：确定误差权重
显然，到期期限长的债券估价较难，因此，权重 虑期限因素
在Fisher的方法中，
arg mi
RS(S) n(Nep())2
其中，N为集合中的债券数量，RSS()为理论价格和实际价格的残
差方差， ep() 为有效参数的数目， 为参数调整的成本，在
Fisher的方法中一般取为2
TTM
TTM e 2

1 1
2

多项式样条函数（一）
我们一般使用三阶的多项式样条函数形式
B(s)BB05((ss))dd01cc01ss bb10ss22aa10ss33 B10(s)d2c2sb2s2a2s3
2 j
应考
Vasicek和Fong的方法
2 j
1/ddrP j(ttj)2
(1rj(t))2 D2j (t)(Ptj)2
即
j

1 rj (t) D j (t ) Pt j
其中久，期rj (t ) 和 D j (t)分别表示债券j在时间t的到期收益率和
收益率曲线参数模型步骤（2）：目标函数及其优化
(s)

1
c0s

b0s2

a0[s3

(s

5)3
]
其中 s1,020
a1[(s 5)3 (s 10)3] a2(s 10)3
指数样条函数（一）
一般应用三阶的指数形式样条函数，形式如下
B(s) B B05((ss)) dd01 cc0 1ee u uss b b10ee22uuss a a10ee 33uuss
目标函数的确定
一般形式
n
min (Pi Pˆi*(f))2 i1
f 为由（三阶）样条函数得出的远期瞬时利率 构成的收益率曲线
目标函数的修正
扩展的形式：为避免收益率曲线摆动而加入惩罚函数，目标函数为
n
min (P iP ˆi*(f)2 )
k[f''(s)2]ds
0
i 1
其中， 为惩罚函数常量
其中 s0,5 其中 s5,10 其中 s1,020
百度文库
且为上述多项式样条函数连续可导，须满足
BB5(i0)(i()1(50))

B(i) 5
B(i) 10
(5) (10)

B0 (0) 1
其中 B(i) (x) 是函数 B(x) 的第i 阶导数(i= 0, 1, 2)
约束条件 B(t,t) 1
债券现金流矩阵
债券1CF1,1 债券2CF2,1
... ... 债券n ...
CF1,2 ... ... ...
... CF1,m
...
...

... ...
... CFn,m
由贴现函数导 出定价误差
PPˆˆ12((bb11,,bb22,,......,,bbii))
样条分段数确定方法二： Priaulet的平均差距直观法，标准差表示的误差 <= 0.15%
样条分界点的最优选择
原则：分界点选择应能够反映出市场的自然形成的，针对不同期限 债券的分隔特征
例：Priaulet（1997）对法国债券市场分割的四个样条 短期债券样条（1天~~1年） 中期债券样条（1年~~7年） 长期债券样条（7年~~10年） 超长期债券样条（10年~~30年）
有
B(t,t,b)1 始终成立
上式作为目标函数的约束条件
收益率曲线参数模型步骤（2）：确定误差
债券的理论价格与实际价格
对于债券 j，有 Pt Pˆt
对于 (j,j') {1,..n} ., 满足
1、 E(j) 0
2、方差 var(j)2j2 3、协方差 covj,(j')0
令
b为我们要估计的贴现函数系数向量 bˆ 为无约束条件下的 b 的估计值 bˆ *为约束条件下 b 的估计值
n
由目标函数
min
b
(Pt j Pˆt j)2
j1
及约束条件 B(t,t,b)1
我们即可用广义最小二乘法求得参数的解析解。但一般Matlab软件可 以通过迭代优化完成这个过程。
优化过程——获得最优的参数向量
收益率曲线拟合技术
收益率曲线参数模型的一般方法
一、符号定义：远期利率与即期利率关系
f (t,,T) (T t) s(t,T) ( t) s(t,) T
f (t,T) lim f (t,,T) s(t,T) (T t) s(t,T)
T
t
T
f (t,T)dx
其中，b 为函数的参数向量 债券理论价格
P ˆtj FTjB(t,T,b)
T
Pˆt j 表示债券j的理论价格
F T j 表示该债券现金流向量
收益率曲线参数模型的一般方法
二、一般方法
假设 我们可以获得一组现金流向量 在时间t的市场价格为 Pt j 的债券
F
T
j
已知，无违约风险，
同时，我们构造假想的 B(t,T,b) 函数形式