第一章 生存模型的概念及生存模型数学(生存模型-中国精算研究院,周渭兵)
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0
t
则
S(t ) e (t )
五、T的矩和方差 一阶矩 E (T ) t f (t )dt e0
0 0
0
e0 也称为出生婴儿未来寿命的完全期望。
二阶矩 E (T )
2
t
t f (t )dt
2
0
由此T的方差 Var(T ) E (T ) E (T )
生存分布函数为：
x
( x) Bc , x 0, B 0, c 1
B S ( x) exp[ ( y )dy] exp[ ln c (1 c x )] 0
• 1.3.4 Makeham分布 • Weibull分布
1.4条件度量和截尾分布
• 1.4.1条件概率和密度 • 如果某人已生存到x岁，他在n年后仍生存的 概率Pr，我们将条件概率用nPx表示，则：
• 一、 假设已知X随机变量的分布，若知 Y=g（x），且知其是单调递增函数。求 随机变量Y的概率分布。 • 解：∵ Y=g（x）； • 可以求得： 1
X g ( y ) h( y )
由于y g ( x)是单调递增函数，有 Pr(Y y ) Pr[x h( y )] 或 Fy ( y ) Fx [h( y )] S y ( y ) S x [h( y )]
t f(t y X y)dt
二阶矩 E(X 2 X y) 所以
y
x 2 f (X X y)dx
Var ( X y X y ) Var ( X X y ) E(X 2 X y) - E 2 (X X y)
• 1.4.4中心死亡率 • 中心死亡率：在年龄（x，x+1】上死 亡率的条件度量。
• 1.1.3生存函数的形式 • 一、参数生存模型：S（t） • 实际运用中，用表格描述生存模型 • 二、多个伴随变量的生存模型 • S（t；x1，x2，…，xm） • 1.1.4研究方法 • 一、横向研究：适用大样本空间 • 1、选择一个独立人群 • 2、选取一个观察期 • 二、纵向研究： • 1、确定一个特殊的人群 • 2、对每个对象进行观察直至死亡
x xn
n
0
S ( y ) dy
x n
S ( x s ) ds
0
n
或
n mx
0
n
S ( x s ) ( x s ) ds S ( x)
0
n
s p x xs ds
0
S ( xs ) ds S ( x)
s p x ds
0
n
• 例１－６：若X服从指数分布，证明：mx=lnpx
例1 7 已知某生存分布为 x 15的双截 5 尾指数分布，参数 0.02， 求该生存分 布随机变量未来寿命中 值。
例 8 假设某建筑物寿命的分 1 布函数为
t 80
0 t 80
t 80 t0
F (x)
1 0
求该建筑物的 m20。 6
1.5 随机变量的变换
• 1.2 T的分布函数
•
• • • • • •
一、S（t）的性质
由T决定的S(t)也称为生存分布函数，有 S（0）=1，S（+∞）=0. 令F（t）=Pr（T≤t）， 有F（t）==1- S（t） 上式有： F（0）= 0，F（ +∞ ）=1 二、对于连续型随机变量T，其概率密度函数：
f (t )
• 1.3参数生存模型举例:
• 1.3.1均匀分布 • 均匀分布的概率密度函数为
f (t )
其性质：
1 ba
t a, b
0
其他
F (t ) S (t )
(t )
E (T ) Var(T )
f(x)
F(x)
1
a
0
b
x
a
b
x
• 1.3.2指数分布 • 其生存分布函数为
0 0
e
0
E ( x)
0
xf ( x)dx
x岁的人的未来寿命的期 望值
e
x
dS (t : x ) dt dt
t
0
t
dS ( t x ) dt
S( x )
dt
0
例1.1 设某随机变量 生存函数S( x) ax b, x
3
0 x k , 若x的数学期望值为 ，则x的方差 90 为多少？
y z
特别地
E(X X y)
y
x f(X X y)dx
y岁人的余命 e y E(X X y) - y
o
由于 所以
y
f (X X y)dx 1
e y E(X X y) - y
o
x - y f(X
y
X y)dx
0
例1.2 设x1和x 2是两个相互独立的随机 变量， 如果 Y min(X1, X 2 ), 证明：Y的生存函数是 X1与X 2生存函数的乘积。
例1.3 某产品的寿命生存函数 S ( x) 1 0.0025x , 为
2
0 x 20, 该产品中位数年龄中值年龄)时的未来期 ( 望寿命是多少？
n
px
S ( xn) S ( x)
相对应的死亡概率为：
n
q x 1 n p x
S ( x )S ( x n ) S ( x)
条件概率n p x与无条件概率S ( n; x)的区别： 相同点：都是求 岁人活到x n岁的概率。 x 不同点： p x由生存概率S ( x)得出； n S ( n; x)由表格直接得出 记为n px 。 ,
S (t ) e t , t 0, 0 其密度函数为：
d f (t ) dt S (t ) et
为常死力。
f(x)
F(x)
1 λ
0
x
0
x
• 例1.4 对于指数分布，证明
1 E (T ) ,Var(T ) 12
• 1.3.3 Gompertz分布 • 特征： x
两边积分得： t dt 0 （y） ln S (t ) 或 t S (t ) exp ( y )dy 0 f (t )与（t）的区别：（t）是以生存到 为条件的 t
；f (t )是无条件的（只是给定 条件t 0是生存）。 四、累积危险函数 (t ) （t） ( y )dy ln S (t )
因此有
d f y ( y ) F y' ( y ) f x h y dy h y dx f x h y dy
而
y y
f y y S y y
dx f x h y dy
dx x h y dy S x h y
d dt
F (t )
d dt
S (t )
（t≥0）
• 从而有
F (t ) f ( y )dy
0 t
S (t )
wenku.baidu.com
t
f ( y )dy
0
f ( y )dy 1
三、危险率（死力）
f (t ) (t ) S (t ) d S (t ) dt d ln S (t ) S (t ) dt
S ( xn) S ( x)
类似地， q x Pr x X x n X x F x n X x n
我们可以证明： F x n X x
S ( x )S ( x n) S ( x)
F ( x n) F ( x ) 1 F ( x )
•
•
• • • • •
通常S0（t）可以表示为S（t）； F0（t）可以 表示为 F（t） 。这是新生婴儿的生存模型和分布函 数。 二、对于一个年龄为x岁的人的的未来生存时间 定义为Tx，随机变量Tx的分布函数记为F（t:x） 。 F（t;x） =P（Tx≤t）（1.1.4） F（t;x）是一个x岁的人不晚于x+t岁死亡的概 率。 一个年龄为x岁的人的未来生存时间超过t年的 概率就是或S(t;x)，就是生存函数： S（t;x）= P（Tx＞t）=1- F（t;x） （1.1.5） S（x+t）= S（x） S（t;x） （1.1.6）
1.6 变换后随机变量的均值和方差
• 如果已知随机变量X，而Y=g（x），如何求 得E（Y）与Var（Y）。 第一种情况： 与X线性关系 Y
若Y aX b 则 E Y aE X b; Var Y a 2Var X
上式中显然有： （）T≥0 （）S（0）=1 （）S（t）是t的非增函数，且
（1.1.1）
lim S (t ) 0
t
•
• • • • • •
•
随机变量T为设备从t=0开始的“未来寿命”。 S（t）为生存函数。 1.1.2精算生存函数 一、对于一个刚刚出生的个体（0岁）的未来 生存时间可作为一个随机变量，我们用T0表示。 定义随机变量T0的分布函数F0（t）为 F0（t） =P（T0≤t）（1.1.2） F0（t）是一个正好0岁的人不晚于t岁死亡的 概率。 未来生存时间超过t年的概率就是S0（t），就 是生存函数或生存分布： S0（t）= P（T0＞t）=1- F0（t） （1.1.3）
•
【例1-5】 根据S（t;x）,求出所选取的x 岁的人活到x+10岁，并在X+20岁前死亡的 概率。
• 1.4.2 x的下截尾分布 • 以生存到x岁为条件的生存函数，既那些超过x 的X服从的分布，这样的分布称为在x处下截尾的 X的分布。
S x n X x
n
p x Pr X x n X x S x n X x
x 1
mx
S ( y ) ( y )dy
x x 1
S ( y ) dy
x
•
中心死亡率：在区间上危险率(x)的加权 平均值。
•
一般地，nmx是在区间（x，x+n】上的 平均危险率或中心死亡率。
xn
n mx
S ( y ) ( y )dy S ( x s ) ( x s )ds
例1 9 设x服从 1的指数分布，令 g（x） y x，求随机变量 的生存分布函数、概率 Y 分 布函数和危险率函数。
二、如果函数y h( x )是单调递减 则 Pr(Y y ) Pr[ X h( y )] 或 SY ( y ) FX h( y ) 1 S X h( y ) 例1 10 设x服从标准指数分布，令 g（x） y 1 ，求Y的生存分布函数、概率 分布函数和 x 危险率函数。
• 二、 生存模型：是一类特殊随机变量的概率分 布；是对生存过程建立的一个数学模型。 • 假设一台设备从时刻t=0开始连续运行直至 报废，用T表示该设备从时刻t=0开始直至报废或 失效的时间，则该设备在任意时刻t（t≥0）仍正 常运行的概率Pr（T＞t）可以记为：
S (t ) Pr(T t )
• 1.4.3双截尾分布
1
y
x
z
• S(x y＜X≤z)=
S ( x) S ( z ) S ( y)S ( z)
• F (x y＜X≤z)= • f(x y＜X≤z)= • λ (x y＜X≤z)=
1.4.4截尾分布的矩 X的双截尾分布的一阶矩 为 E(X y X z) x f(X y X z)dx
2 2
• 六、中位数 • 如果Pr（T＞y）=Pr （T≤y）=1/2，则 称y为随机变量的中位数 • 有 S（y）=F（y）= ½
七、死力 x，也就是危险率函数 ( x)
x
d S ( x) dx
S ( x)
d dx ln S ( x)
八、期望寿命 出生婴儿未来寿命的期 望值：
第一章 生存模型的概念及生存模型
1.1 生存模型
• 1.1.1 生存状态和生存模型 • 一、生存状态 • 从数学的角度来看，生存状态是一个简单的 过程。这个过程具有以下的特征： • 1、存在两种状态：生存与死亡。 • 2、单个生命个体可划分为生存者和死亡者， 也就是说我们可以说出他们的状态。 • 3、生命个体可从“生存”状态到“死亡”状 态，但不能相反。 • 4、任何个体的未来生存时间都是未知的，所 以我们生存或死亡概率的探讨而着手生存状态的 研究。
t
则
S(t ) e (t )
五、T的矩和方差 一阶矩 E (T ) t f (t )dt e0
0 0
0
e0 也称为出生婴儿未来寿命的完全期望。
二阶矩 E (T )
2
t
t f (t )dt
2
0
由此T的方差 Var(T ) E (T ) E (T )
生存分布函数为：
x
( x) Bc , x 0, B 0, c 1
B S ( x) exp[ ( y )dy] exp[ ln c (1 c x )] 0
• 1.3.4 Makeham分布 • Weibull分布
1.4条件度量和截尾分布
• 1.4.1条件概率和密度 • 如果某人已生存到x岁，他在n年后仍生存的 概率Pr，我们将条件概率用nPx表示，则：
• 一、 假设已知X随机变量的分布，若知 Y=g（x），且知其是单调递增函数。求 随机变量Y的概率分布。 • 解：∵ Y=g（x）； • 可以求得： 1
X g ( y ) h( y )
由于y g ( x)是单调递增函数，有 Pr(Y y ) Pr[x h( y )] 或 Fy ( y ) Fx [h( y )] S y ( y ) S x [h( y )]
t f(t y X y)dt
二阶矩 E(X 2 X y) 所以
y
x 2 f (X X y)dx
Var ( X y X y ) Var ( X X y ) E(X 2 X y) - E 2 (X X y)
• 1.4.4中心死亡率 • 中心死亡率：在年龄（x，x+1】上死 亡率的条件度量。
• 1.1.3生存函数的形式 • 一、参数生存模型：S（t） • 实际运用中，用表格描述生存模型 • 二、多个伴随变量的生存模型 • S（t；x1，x2，…，xm） • 1.1.4研究方法 • 一、横向研究：适用大样本空间 • 1、选择一个独立人群 • 2、选取一个观察期 • 二、纵向研究： • 1、确定一个特殊的人群 • 2、对每个对象进行观察直至死亡
x xn
n
0
S ( y ) dy
x n
S ( x s ) ds
0
n
或
n mx
0
n
S ( x s ) ( x s ) ds S ( x)
0
n
s p x xs ds
0
S ( xs ) ds S ( x)
s p x ds
0
n
• 例１－６：若X服从指数分布，证明：mx=lnpx
例1 7 已知某生存分布为 x 15的双截 5 尾指数分布，参数 0.02， 求该生存分 布随机变量未来寿命中 值。
例 8 假设某建筑物寿命的分 1 布函数为
t 80
0 t 80
t 80 t0
F (x)
1 0
求该建筑物的 m20。 6
1.5 随机变量的变换
• 1.2 T的分布函数
•
• • • • • •
一、S（t）的性质
由T决定的S(t)也称为生存分布函数，有 S（0）=1，S（+∞）=0. 令F（t）=Pr（T≤t）， 有F（t）==1- S（t） 上式有： F（0）= 0，F（ +∞ ）=1 二、对于连续型随机变量T，其概率密度函数：
f (t )
• 1.3参数生存模型举例:
• 1.3.1均匀分布 • 均匀分布的概率密度函数为
f (t )
其性质：
1 ba
t a, b
0
其他
F (t ) S (t )
(t )
E (T ) Var(T )
f(x)
F(x)
1
a
0
b
x
a
b
x
• 1.3.2指数分布 • 其生存分布函数为
0 0
e
0
E ( x)
0
xf ( x)dx
x岁的人的未来寿命的期 望值
e
x
dS (t : x ) dt dt
t
0
t
dS ( t x ) dt
S( x )
dt
0
例1.1 设某随机变量 生存函数S( x) ax b, x
3
0 x k , 若x的数学期望值为 ，则x的方差 90 为多少？
y z
特别地
E(X X y)
y
x f(X X y)dx
y岁人的余命 e y E(X X y) - y
o
由于 所以
y
f (X X y)dx 1
e y E(X X y) - y
o
x - y f(X
y
X y)dx
0
例1.2 设x1和x 2是两个相互独立的随机 变量， 如果 Y min(X1, X 2 ), 证明：Y的生存函数是 X1与X 2生存函数的乘积。
例1.3 某产品的寿命生存函数 S ( x) 1 0.0025x , 为
2
0 x 20, 该产品中位数年龄中值年龄)时的未来期 ( 望寿命是多少？
n
px
S ( xn) S ( x)
相对应的死亡概率为：
n
q x 1 n p x
S ( x )S ( x n ) S ( x)
条件概率n p x与无条件概率S ( n; x)的区别： 相同点：都是求 岁人活到x n岁的概率。 x 不同点： p x由生存概率S ( x)得出； n S ( n; x)由表格直接得出 记为n px 。 ,
S (t ) e t , t 0, 0 其密度函数为：
d f (t ) dt S (t ) et
为常死力。
f(x)
F(x)
1 λ
0
x
0
x
• 例1.4 对于指数分布，证明
1 E (T ) ,Var(T ) 12
• 1.3.3 Gompertz分布 • 特征： x
两边积分得： t dt 0 （y） ln S (t ) 或 t S (t ) exp ( y )dy 0 f (t )与（t）的区别：（t）是以生存到 为条件的 t
；f (t )是无条件的（只是给定 条件t 0是生存）。 四、累积危险函数 (t ) （t） ( y )dy ln S (t )
因此有
d f y ( y ) F y' ( y ) f x h y dy h y dx f x h y dy
而
y y
f y y S y y
dx f x h y dy
dx x h y dy S x h y
d dt
F (t )
d dt
S (t )
（t≥0）
• 从而有
F (t ) f ( y )dy
0 t
S (t )
wenku.baidu.com
t
f ( y )dy
0
f ( y )dy 1
三、危险率（死力）
f (t ) (t ) S (t ) d S (t ) dt d ln S (t ) S (t ) dt
S ( xn) S ( x)
类似地， q x Pr x X x n X x F x n X x n
我们可以证明： F x n X x
S ( x )S ( x n) S ( x)
F ( x n) F ( x ) 1 F ( x )
•
•
• • • • •
通常S0（t）可以表示为S（t）； F0（t）可以 表示为 F（t） 。这是新生婴儿的生存模型和分布函 数。 二、对于一个年龄为x岁的人的的未来生存时间 定义为Tx，随机变量Tx的分布函数记为F（t:x） 。 F（t;x） =P（Tx≤t）（1.1.4） F（t;x）是一个x岁的人不晚于x+t岁死亡的概 率。 一个年龄为x岁的人的未来生存时间超过t年的 概率就是或S(t;x)，就是生存函数： S（t;x）= P（Tx＞t）=1- F（t;x） （1.1.5） S（x+t）= S（x） S（t;x） （1.1.6）
1.6 变换后随机变量的均值和方差
• 如果已知随机变量X，而Y=g（x），如何求 得E（Y）与Var（Y）。 第一种情况： 与X线性关系 Y
若Y aX b 则 E Y aE X b; Var Y a 2Var X
上式中显然有： （）T≥0 （）S（0）=1 （）S（t）是t的非增函数，且
（1.1.1）
lim S (t ) 0
t
•
• • • • • •
•
随机变量T为设备从t=0开始的“未来寿命”。 S（t）为生存函数。 1.1.2精算生存函数 一、对于一个刚刚出生的个体（0岁）的未来 生存时间可作为一个随机变量，我们用T0表示。 定义随机变量T0的分布函数F0（t）为 F0（t） =P（T0≤t）（1.1.2） F0（t）是一个正好0岁的人不晚于t岁死亡的 概率。 未来生存时间超过t年的概率就是S0（t），就 是生存函数或生存分布： S0（t）= P（T0＞t）=1- F0（t） （1.1.3）
•
【例1-5】 根据S（t;x）,求出所选取的x 岁的人活到x+10岁，并在X+20岁前死亡的 概率。
• 1.4.2 x的下截尾分布 • 以生存到x岁为条件的生存函数，既那些超过x 的X服从的分布，这样的分布称为在x处下截尾的 X的分布。
S x n X x
n
p x Pr X x n X x S x n X x
x 1
mx
S ( y ) ( y )dy
x x 1
S ( y ) dy
x
•
中心死亡率：在区间上危险率(x)的加权 平均值。
•
一般地，nmx是在区间（x，x+n】上的 平均危险率或中心死亡率。
xn
n mx
S ( y ) ( y )dy S ( x s ) ( x s )ds
例1 9 设x服从 1的指数分布，令 g（x） y x，求随机变量 的生存分布函数、概率 Y 分 布函数和危险率函数。
二、如果函数y h( x )是单调递减 则 Pr(Y y ) Pr[ X h( y )] 或 SY ( y ) FX h( y ) 1 S X h( y ) 例1 10 设x服从标准指数分布，令 g（x） y 1 ，求Y的生存分布函数、概率 分布函数和 x 危险率函数。
• 二、 生存模型：是一类特殊随机变量的概率分 布；是对生存过程建立的一个数学模型。 • 假设一台设备从时刻t=0开始连续运行直至 报废，用T表示该设备从时刻t=0开始直至报废或 失效的时间，则该设备在任意时刻t（t≥0）仍正 常运行的概率Pr（T＞t）可以记为：
S (t ) Pr(T t )
• 1.4.3双截尾分布
1
y
x
z
• S(x y＜X≤z)=
S ( x) S ( z ) S ( y)S ( z)
• F (x y＜X≤z)= • f(x y＜X≤z)= • λ (x y＜X≤z)=
1.4.4截尾分布的矩 X的双截尾分布的一阶矩 为 E(X y X z) x f(X y X z)dx
2 2
• 六、中位数 • 如果Pr（T＞y）=Pr （T≤y）=1/2，则 称y为随机变量的中位数 • 有 S（y）=F（y）= ½
七、死力 x，也就是危险率函数 ( x)
x
d S ( x) dx
S ( x)
d dx ln S ( x)
八、期望寿命 出生婴儿未来寿命的期 望值：
第一章 生存模型的概念及生存模型
1.1 生存模型
• 1.1.1 生存状态和生存模型 • 一、生存状态 • 从数学的角度来看，生存状态是一个简单的 过程。这个过程具有以下的特征： • 1、存在两种状态：生存与死亡。 • 2、单个生命个体可划分为生存者和死亡者， 也就是说我们可以说出他们的状态。 • 3、生命个体可从“生存”状态到“死亡”状 态，但不能相反。 • 4、任何个体的未来生存时间都是未知的，所 以我们生存或死亡概率的探讨而着手生存状态的 研究。