解析几何竞赛题选

|n|
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(− y + z −1)2 + (x − z −1)2 + (−x + y + 2)2 = 6 ， 所以，所求圆柱面的方程为：
x2 + y2 + z2 − xy − xz − yz − 3x + 3y = 0 .
24. [决赛试题](2 分)设 (a × b)ic = 6 ，则[(a + b) × (b + c)]i(a + c) =___12________.
00b 所以， L 与 L ' 是异面直线当且仅当 a ≠ 1且 b ≠ 0 。
（2）假设 P(x, y, z) 是π 上任一点，于是 P 必定是 L ' 上一点 P '(x ', y ', z ') 绕 L 旋
转所生成的。由于 P ' P 与 L 垂直，所以，
(x − x ') + ( y − y ') + (z − z ') = 0
条直线, 求证: A2 + B2 = C2 + D2 .
2
十二、直线l1过点
(1,1,1)
,与
l2
:
⎧x ⎨⎩ x
+ −
y y
+ −
z=0 3z = 0
相交,交角为
π 3
,求l1
的方程.
十三、 证明球面 (x −1)2 + ( y −1)2 + (z − 2)2 = 4 与球面
(x +1)2 + ( y − 3)2 + z2 = 9
有交点, 并求出交圆的圆心坐标.
十四、已知ΔABC，AB = a, AC = b,外心为P,
求 AP及ΔABC外接圆半径。
C
十五、设ΔLMN的三边长为MN = l, NL = m, LM = na，
证明：外接圆半径为
P
f
R=
lmn
d
.
e
(l + m + n)(l + m − n)(l − m + n)(m + n − l)A
x = 1− y .由对称性得y = 1− z , z = 1− x .解之得x = y = z = 3 − 5 .
2− y
2−z 2−x
2
TR = AR − AT = AB + 1 BF − 1 AE = AB + 1 (BC + yCA) − 1 ( AB + xBC)
22
2
2
= 1− y AB + 1− x − y BC = 1− x AB + 1− 2x BC
点的距离是它到对面重心的距离的3倍.
九、一条直线分别交坐标面yoz,zox,xoy
A
于三点A,B,C. 当直线变动时, 直线上三
定点A,B,C也分别在三个坐标面上变动. 另外, 直线上有第四点P, 它与A,B,C的 距离分别为a,b,c (abc ≠ 0) , 当直线按照这 O 样的规定变动, 试求P 点的轨迹. 十、 在一个仿射坐标系中, 已知直线l1
b
N
证明：设外接圆圆心为C,
令α = ∠MCN, β = ∠NCL,γ = ∠LCM .
α + β + γ = 2π .应用正弦定理于ΔMCN,
l sin α
=
R sin π −α
.
2
l
=
R sinα cos α
=
2R sin
α 2
.同理m
=
2R sin
β 2
,n
=
2R sin
γ. 2
2
所以
n
= sin γ
x ' = t, y ' = at, z ' = t + b ，
④
将④代入①，得
(a + 2)t = x + y + z − b ，
⑤
当 a ≠ −2 ，即 L 与 L ' 不垂直时，解得 t = 1 (x + y + z − b) ，据此，再将④ a+2
代入③，得到 π 的方程：
x2
+
y2
+
z2
−
=
(1 a
, 0, −
1)× c
(0,1, 0)
=
(1 c
, 0,
1 ). a
若π
平行于l2 ,则λ
=
−
1 a
.在直线l2上取点M
(a,
0, 0),则M 到平面π的距离
即为l1与l2的距离2d，即
(2d )2 =
22
,⇒ 1 = 1 + 1 + 1 .
1 a2
+
1 b2
+
1 c2
d 2 a2 b2 c2
解析几何培训试题选
一、在仿射坐标系中, 求过点M0 (0,0,−2)与平面π1 : 3x − y + 2z −1 = 0
平行且与直线
l1
:
x
−1 4
=
y − 3 = z 相交的直线
−2 1
l
的方程.
二、过x 轴和y 轴分别做动平面, 交角α是
常数, 求交线轨迹的方程, 并且证明它是一个锥面.
解：设二直线为：⎧⎨⎩ zy
的方程.
五、
(1)
在直角坐标系中,
一个柱面的准线方程为
⎧xy = 4 ⎨⎩z = 0
.
母线方向
为(1,−1,1,), 求这个柱面的方程.
(2) 在平面直角坐标系Oxy 中, 二次曲线S 的方程为
x2−3xy+y2+10x−10y+21=0,求I1 ,I2 ,I3 ; 指出这是什么二次曲线, 并且
确定其形状.
六、在空间直角坐标系中,
1
l1：x
− 1
a
=
y −2
=
z 3
,
l2：2x
=
y −1 1
=
z −2
是一对相交直线.
(1) 求a .
(2) 求l2 绕l1 旋转出的曲面的方程.
七、求经过x 轴且与单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1 的交线Γ为圆的平面
4
π的方程.
八、 证明四面体的每一个顶点到对面重心的线段共点, 且这点到顶
2
2
2
2
由对称性得RS = 1− x BC + 1− 2x CA = − 1− 2x AB + x BC.
2
2
2
2
SΔRST
=
1 2
TR × RS
= 1− 3x + 3x2 1 42
AB × BC
= 7−3 4
5.
十七、求二球面 x2 + y2 + z2 = 9, (x − 5)2 + y2 + z2 = 1的公切锥面方程。
求所有与向量u(1,1,1) 平行的球面的切线所构成的曲面的方程.
四、在仿射坐标系中, 已知直线l1 ,l2 的方程分别是:
x + 13 = y − 5 = z , x −10 = y + 7 = z
2
3 15
41
(1) 判断直线l1 与l2 的位置关系, 要求写出理由;
(2ห้องสมุดไป่ตู้ 设直线l 的一个方向向量为 v(8,7,1) 并且l与l1和l2都相交, 求直线l
=
sin(π
−
α
+
β
)
=
α sin(
+
β
)
2R 2
2
22
m
L
β Cα γ
n
= sin α cos β + cos α sin β = l
22
2 2 2R
1
−
m2 4R2
+
m 2R
1
−
l2 4R
2
.
n=l
1−
m2 4R2
+m
1
−
l2 4R2
,
两边平方得解之即得证。
c B
l M
十六、ΔABC的面积为1，点E, F,G分别在边 BC,CA, AB上，AE于点R处平分BF, BF于点 S处平分CG，CG于点T 处平分AE, 求ΔRST的面积。
4
的平面π 的方程为： x + y + z = 0 .
π 与三已知直线的交点分别为 O(0, 0, 0), P(1, 0, −1),Q(0, −1,1)
圆柱面的轴 L0 是到这三点等距离的点的轨迹， 即
⎧⎪ x 2
⎨ ⎪⎩
x2
+ +
y2 y2
+ +
z2 z2
= =
(x x2
−1)2 +(y
+ y2 + 1)2
解：（1） L, L ' 的方向向量分别为 n = (1,1,1), n ' = (1, a,1) 。
分别取 L, L ' 上的点 O(0, 0, 0), P(0, 0,b) 。L 与 L ' 是异面直线当且仅当矢量 n, n ',OP 不
共面，即，它们的混合积不为零：
5
111 (n, n ',OP) = 1 a 1 = (a −1)b ≠ 0 ，
a2 + 2 (a + 2)2
(x
+
y
+
z
− b)2
−
2b a+2
(x
+
y
+
z
− b)
− b2
=
0
，
当 a = −2 时，由⑤得， x + y + z = b ，这表明，π 在这个平面上。
同时，将④代入③，有 x2 + y2 + z2 = 6t2 + 2bt + b2 = 6(t + 1 b)2 + 5 b2 。由于 66
t 可以是任意的，所以，这时， π 的方程为：
⎧ x+y+z=b
⎪
⎨ ⎪⎩
x
2
+
y2
+
z2
≥
5 6
b2
，
π 的类型： a = 1 且 b ≠ 0 时， L 与 L ' 平行，π 是一柱面； a ≠ 1且 b = 0 时， L 与 L ' 相交， π 是一锥面（ a = −2 时 π 是平面）；当 a ≠ 1且 b ≠ 0 时，π 是单叶双曲面（ a = −2 时，π 是
①
又由于 P ' 在 L ' 上，所以，
x ' = y ' = z '− b ，
②
1a 1
因为 L 经过坐标原点，所以， P, P ' 到原点的距离相等，故，
x2 + y2 + z2 = x '2 + y '2 + z '2 ，
③
将①，②，③联立，消去其中的 x ', y ', z ' ：
令 x ' = y ' = z '− b = t ，将 x ', y ', z ' 用 t 表示： 1a 1
22、 求单叶双曲面：x2 + y2 − z2 = 1的三个互相垂直的切平面交点的轨迹。
a2 b2 c2
23.[预赛试题]（15 分）求经过三平行直线 L1 : x = y = z ， L2 : x −1 = y = z +1 ， L3 : x = y +1 = z −1的圆柱面的方程.
解： 先求圆柱面的轴 L0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向 是 n = (1,1,1) ， 且圆柱面经过点 O(0, 0, 0) ， 过点 O(0, 0, 0) 且垂直于 n = (1,1,1)
= =
0 0
,
⎧ ⎨ ⎩
x z
= =
0 0
,
过二直线的平面束为
λ1 y + u1z = 0, λ2 x + u2 z = 0.不妨设λ1=λ2 = 1,则cosα =
u1u2
,
1+ u12 1+ u22
代入化简得：(z2 + y2 )(z2 + x2 ) cos2 α = x2 y2为齐次方程。
三、在直角坐标系中, 球面的方程为: (x −1)2 + y2 + (z + 1)2 = 4
6
去掉一个圆盘后的平面）。
2009 解析几何试题
1.设直线l1
:
⎧⎪ ⎨
y b
+
z c
⎪⎩x = 0
=1 , l2
:
⎧⎪ x ⎨a
−
z c
⎪⎩ y = 0
=
1 ,
设l1与l2的距离为2d
,
证明：1 d2
=
1 a2
+
1 b2
+
1 c2
.
证明：过l1的平面束方程为π:λ
x
+
y b
+
z c
−1
=
0.
直线l2的方向向量为v2
2.求椭圆 x2 + y2 = 1的两条垂直相交的切线交点的轨迹方程。 a2 b2
解：因为切椭圆 x2 a2
+
y2 b2
= 1于点(x0 , y0 )的切线为
xx0 + yy0 = 1, a2 b2
a
P' P
Eb
B
F
D
c
C
有一般方程
⎧x − y + z + 7 = 0 ⎨⎩2x − y − 6 = 0
l2 经过点 M = (−1,1, 2) , 平行于向量 u = (1, 2, −3) ，试判别它们的位置
关系.
十一、 平面 Ax+By+Cz+D＝0与单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1 的交线是两
+ +
(z (z
+ 1) 2 −1)2
，
即
⎧x
⎨ ⎩
y
− −
z z
=1 = −1
，
将 L0 的方程改为标准方程
x −1= y +1= z .
圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x −1 = y +1 = z 之间的距离. P0 (1, −1, 0) 为 L0 上的点.
对圆柱面上任意一点 S(x, y, z) ， 有 | n × P0S | = | n × P0O | ， 即
十八、求椭球面 x2 + y2 + z2 = 1被点A(2,1, −1)所平分的弦。
25 16 9
十九、 求椭球面 x2 + y2 + z2 = 1的平行于矢量v(2,1, 2)的弦的中点的轨迹。
9 16 4
二十、 求双曲抛物面x2 − y2 = 2z的互相垂直的两条直母线交点的轨迹。 二十一、 求曲面(x + y + z)(2x + y − z) = 6z上过点M (1,1,1)的直母线方程。
C
F
S
E
T R
B
A
G
3
解：设BE = xBC,CF = yCA, AG = a AB,
AR = AB + BR = AB + 1 BF = AB + 1 (BC + yCA)
2
2
= AB + 1 (BC − y( AB + BC)) = 2 − y AB + 1− y BC
2
2
2
AE = AB + xBC.因AR与AE平行，则
25.[决赛试题]（13 分）已知两直线的方程： L : x = y = z ， L ' : x = y = z − b 。（1）问： 1a 1
参数 a, b 满足什么条件时， L 与 L ' 是异面直线？（2）当 L 与 L ' 不重合时，求 L ' 绕 L 旋转 所生成的旋转面 π 的方程，并指出曲面 π 的类型。