激波中基本概念

从近似意义上讲,这意味着
gv 1 d = U
dt L
上式可作为判断流动是否为不可压缩流动的定量标准.
选取热力学压强p和比熵s作为独立的热力学变量，则有
1
d
dt
1
p
s
dp dt
1
s
p
ds dt
=
1
c2
dp dt
/ T
1
p
s / T
p
ds dt
1 dp Tds
= c2
dt
通过p的两支特征线所含的上游区域为 P点的依赖区，下游区为P点的影响区
d
du
p
s
dp du
u
c2
0
dp u 0
du
2.声速随流速增加而减少，马赫数随流速增加而增加。
dc 1 dc2 1 c2 d u 2 p
du
2c
du
2c
s
du
2c3
2
s
0
dM du
d du
u c
1 c
M 2 2 p
2c3
2
s
0
3.亚声速流中，质量通量密度随速度增加而增加 超声速流中，质量通量
马赫数
➢ Mach number是可压流体中最重要的相似参数，它控制可压缩流动的
特性，所有无量纲物理量都依赖于它。一条流线中的完全气体在等熵
运动过程中有：
T T0
1
2
1
M
2
1
p p0
0
T T0
1
1
1 2
M
2
1
即给定初始热力学参量后，在等熵过程中，任意时刻的热力学参量完 全由马赫书确定。
小扰动波与有限振幅波在介质中的传播有何 区别？
小扰动波可以忽略高次项将方程线性化，而有限振幅波不能将方程线 性化，是非线性问题
小扰动波相对于气体的传播速度是未受扰动气体中的音速c0,它是一个 常数；而有限振幅波相对于气体的传播速度是当地音速c，它是一个 变数，依赖于扰动强度。
在小扰动波的传播过程中，u,p,ρ,c都是不变的；而在有限波振幅的传 播中，u,p,ρ,c等可以改变，但必须保持黎曼不变量取常数值
是否可以这样理解:马赫数的大小表示流体不稳定性的强度？
➢ 一组概念
可压缩流动； 超音速亚音速；
➢ 激波的产生过程
马赫数
小扰动波动的传播； 有限振幅波动的传播；
➢ 激波产生的原因
物理角度； 数学角度
➢ 激波分类
正激波、斜激波、离体激波、圆锥激波
➢ 激波跃变关系
特征线与黎曼问题
Open question
1 c2
vg
v2
=
U L
于是：
U= c
即对于气体作定常运动,当流体运动速度远小于声速时,流动的压缩性 效应可以忽略不计.
➢ 对于非定常流动,不可压缩判据还要求
1 p U
c2 t = L
可以得到，
? L
c
（τ是固定点上速度发生显著变化的时间）
即，当非定常流动中的质点速度变化远远小于声速,并且速度发生显著 变化的时间比声速通过流场特征距离所需的时间大的多,流体的压缩效 应可以忽略不计.
➢ 对上式做展开得：
1 1 M 2 M 4
0
2
8
' : 1 M2 0 2
虽然展开的收敛半径为1，即只对亚音速这种近似才成立，但仍可清 楚地看到Mach Number是气体可压缩程度的标志。 M数愈小，气体运动引起的压缩也愈小，可当作不可压缩流体处理； M数愈大，压缩愈严重，应按可压缩处理。
密度随流速增加而减少
d
u
du
1
u2 c2
拉威尔喷管
一维可压缩非定常流
一维非定常等熵流的连续性方程和动量方程为：
t
u
x
u x
0
u
u
u
c2
0
t x x
从上式中可以得到：
u t
c
t
u
c
u x
c
x
0
引入两个变量：
J
u
c
d
J
u
cd
则上式可写成：
t
u
c
x
J
超音速、亚音速
➢ 在亚声速流动中，小扰动可以达到空间中 任何一点 在超音速流动中，小扰动只能传播到马赫 锥的内部
➢ 亚音速气流对应椭圆型方程，其特点是 任何一点的影响都可以传播到空间中任何 一点上去。 超音速气流对应双曲型方程，其特点是任 何一点的影响只限制在相应的特征锥内部
➢ 双曲型方程存在特征面（二维时为特征 线），马赫锥或马赫线正是超声速流中的 两族特征面(线)
➢ 一组概念
可压缩流动； 超音速亚音速；
➢ 激波的产生过程
马赫数
小扰动波动的传播； 有限振幅波动的传播；
➢ 激波产生的原因
物理角度； 数学角度
➢ 激波分类
正激波、斜激波、离体激波、圆锥激波
➢ 激波跃变关系
特征线与黎曼问题
Open question 1
➢ 什么是可压缩流动？可压缩流体?
不可压缩条件: gv u v w 0 x y z
小扰动传播时波形是不变的，而有限振幅简单波传播时波形是不断改 变的。
一维可压缩定常等熵流沿流线参数的变化特征
沿流线熵s不变： Tds dh 1 dp 0
既
dh
1
dp
另一方面，沿流线的动量方程为：
udu 1 dp 0
从这两个方程出发可推出一些流动特征
1.流线上的速度总是因压强（密度）增加而减少，因减少而增加。
0
令
dx dx
u
c(沿C+上)
dJ
J t
dt
J x
dx
J t
dt
J x
(u
ห้องสมุดไป่ตู้
c)dt
dt
t
(u
c)
x
J
0
曲线簇C+称为特征线，J+称为黎曼不变量
它们是沿特征线物理量应满足的相容关系。扰动波是沿着特征线传播 的。
Open question
特征线和黎曼不变量的意义？
一维非定常流的特征线解法
➢ 马赫数还代表气体的动能和内能之比
V2
V2
动能 内能
=
2 CvT
=
2 1 M 2
1p
2
-1
M数很小，说明相对于内能而言，动能很小，速度的变化不会引起显 著的温度变化。
M数很大，此时动能相对于内能来说很大，微小的速度变化都可以引 起温度、压力、密度等热力学量的显著变化。这个时候就必须考虑热 力学关系及能量方程了。
g Cp dt
于是我们得到不可压缩流动的一般判别条件：
1 dp U
c2 dt = L
gTds = U
Cp dt L
利用流体的动量守恒方程：
1
c2
dp dt
1
c2
p t
vvgp
vv
=
1
c2
p t
v c2
v t
vv vgv
uv f
1
g '
➢ a)对于定常流动，不可压缩判据要求对流项很小
以右图为例，假设x-t平面上曲线段AB 上每一点的u和c已知
由于特征线上黎曼不变量相同，则由 AP、AB两条特征线及A、B两点的黎曼 不变量就可以确定P点的u和c.
一般事先并不知道AP、BP曲线段的形 状，此时可以先由A、D、E、B的信息 求G、F、I的信息，在继续求H、K的信 息，层层推进，最后可确定P点的u和c。