高中数学：集合与函数基本性质知识点分析新课标人教a版必修

集合与函数基本性质知识点分析

一、集合

一）集合的有关概念

1. 关于集合的元素的特征

（1）元素的确定性：（2）元素的互异性：（3）元素的无序性：

2. 元素与集合的关系；属于a ∈A ，不属于a ∉A

二）集合的表示方法：列举法；描述法；图示法；符号简记法。

三）集合的基本关系：

1、集合与集合之间的“包含”关系；

2、集合与集合之间的 “相等”关系；

A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =

即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A

B B A B A 3、真子集的概念

4、空集的概念：不含有任何元素的集合称为空集，记作：∅

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

5、结论：

1）、○

1A A ⊆ ○2B A ⊆，且C B ⊆，则C A ⊆ 2）、点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）

一般地，含n(n ≠0)个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集的个数为2-n

四）集合的基本运算：

1. 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集

记作：A ∪B ；A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}

Venn 图表示：

2. 交集：

一般地，由属于集合A A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B ；A ∩B={x|∈A ，且x ∈B}

交集的Venn 图表示

3. 补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中

所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），

通常记作U 。补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所

有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全

集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集，

记作：C U A ；C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 说明：补集的概念必须要有

全集的限制

补集的Venn 图表示

4. 集合基本运算的一些结论：

交集：A ∩B ⊆A ， A ∩B ⊆B ， A ∩A=A ， A ∩∅=∅, A ∩B=B ∩A

A ∪

B B A A U

并集：A ⊆A ∪B ， B ⊆A ∪B ， A ∪A=A ， A ∪∅=A, A ∪B=B ∪A

补集（C U A ）∪A=U ， （C U A ）∩A=∅

若A ∩B=A ，则A ⊆B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立

若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B

6．摩根反演律：（A ∩B ）∪C = （A ∪C ）∩（A ∪C ）

（A ∪B ）∩C = （A ∩C ）∪（A ∩C ）

二、函数相关概念和性质：

1、 函数概念、解析式、分段函数、复合函数概念：

1）映射

2)函数

3）函数的表示

列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．

图象法：用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法．

解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法．

4）分段函数

（1)分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数称为分段函数．

（2)分段函数的定义域和值域：分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．

5）复合函数:若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),,(),(),(n m u b a x x g u u f y ∈∈==，那么y 关于x 的函数),()],([b a x x f f y ∈=，叫做f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是)(x g 的值域。

2、 函数定义域：

（1） 确定函数定义域的原则（四条）

（2） 复合函数定义域的求法：

①若已知)]([x g f 的定义域为),(b a x ∈，求)(x f 的定义域，其方法是：利用b x a <<，求得)(x g 的范围，此即)(x f 的定义域。

②若已知)(x f 的定义域为),(b a x ∈，求)]([x g f 的定义域，其方法是：利用b x g a <<)(，求得x 的范围，此即)]([x g f 的定义域

3、函数值域求解方法：

一、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

二、配方法（二次函数法）：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法

三、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

四、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以用反函数法。

五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b cx d =++a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

六、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求

得原函数的值域，形如21112222

a x

b x

c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。 七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

八、利用函数的导数求最值：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值。

九、利用重要的不等式：基本不等式求值域。

十、图像法（数形结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

注：求函数的值域没有通性解法，只有根据函数解析式的结构特征来确定相应的解法。但不论哪种方法，都应遵循一个原则：定义域优先的原则。

4、反函数：

1）反函数的定义：)(1x f y

-=