棣莫弗公式
§17.4.棣莫弗定理与欧拉公式
i sin ） 4(cos i sin ). 6 6 12 12 原式 4 3[ cos( ) i sin( )] 解： 6 12 6 12 4 3(cos i sin ) 4 4 2 6 2 6i.
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
其中r= z 0, . 且有r cos a, r sin b.
确定复数的三角形式，需要先明确什么？ 模和辐角 两个共轭复数的模和辐角有什么关系？ 模相等，辐角互为相反数
指出下列复数的模和辐角： (1) cos 210 i sin 210 ; (2)5(cos 3 i sin 3); (3) （ 2 cos
5
i sin
5
） ; (4)2(sin1 i cos1).
将下列复数的代数形式化成三角形式： (1) z1 5; (2) z2 1 i; 1 3 (3) z4 2i; (4) z5 i. 2 2
三角形式下复数的乘法！
设z1 r1 (cos 1 isin 1 ), z2 r2 (cos2 isin 2 ). 则z1 z2 r1 (cos 1 isin 1 ) r2 (cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 isin 1 )(cos 2 isin 2 ) r1r2 (cos 1 cos 2 i cos 1 sin 2 i sin 1 cos 2 i 2 sin 1 sin 2 ) r1r2 [cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i( cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 )] z1 z2 r1r2 [cos(1 2 ) isin(1 2 )]
多倍角公式大全
多倍角公式大全一、二倍角公式。
1. 正弦二倍角公式。
- sin2α = 2sinαcosα- 推导：根据两角和的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B，令A =B=α，则sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα = 2sinαcosα。
2. 余弦二倍角公式。
- cos2α=cos^2α-sin^2α- 另外两种形式：- cos2α = 2cos^2α - 1（由cos^2α+sin^2α = 1，即sin^2α=1 - cos^2α代入上式得到）- cos2α=1 - 2sin^2α（由cos^2α+sin^2α = 1，即cos^2α=1-sin^2α代入cos2α=cos^2α-sin^2α得到）- 推导：根据两角和的余弦公式cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B，令A =B=α，则cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2α-sin^2α。
3. 正切二倍角公式。
- tan2α=(2tanα)/(1-tan^2)α- 推导：根据正切公式tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1-tan Atan B)，令A = B=α，则tan2α=(tanα+tanα)/(1 - tanαtanα)=(2tanα)/(1-tan^2)α。
二、三倍角公式。
1. 正弦三倍角公式。
- sin3α=3sinα - 4sin^3α- 推导：- sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα- 由二倍角公式sin2α = 2sinαcosα，cos2α=1 - 2sin^2α代入上式得： - sin3α=2sinαcosαcosα+(1 - 2sin^2α)sinα- =2sinα(1-sin^2α)+(1 - 2sin^2α)sinα- =2sinα - 2sin^3α+sinα-2sin^3α=3sinα - 4sin^3α。
辗转相除法棣莫弗（deMoivre）定理
辗转相除法设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq......r 1(0≤r)。
若r1=0，则(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝r1q......r2 (0≤r2).若r2＝0，则(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。
其最后一个非零余数即为(a，b)。
原理及其详细证明在介绍这个方法之前，先说明整除性的一些特点（下文的所有数都是正整数，不再重覆），我们可以这样给出整除性的定义：对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b整除，b 为a的因子，a为b的倍数。
如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。
由此我们可以得出以下推论：推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb）推论2、如果a能被c整除（a=hc），b也能被c整除（b=tc），则(a±b)也能被c整除因为：将二式相加：a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相减：a－b=hc－tc=(h －t)c所以：(a±b)也能被c整除推论3、如果a能被b整除（a=qb），b也能被a整除（b=ta），则a=b 因为：a=qb b=ta a=qta qt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1 所以：a=b辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数，在数值很大时尤其有用，而且应用在电脑程式上也十分简单。
其理论如下:如果q 和r 是 m 除以 n 的商及余数，即 m=nq+r，则gcd(m,n)=gcd(n,r)。
证明是这样的:设 a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r)证明：∵a为m,n的最大公约数，∴m能被a整除，且n也能被a整除，∴由推论1得：qn也能被a整除，∴由推论2得：m-qn也能被a整除，又∵m-qn=r，∴r也能被a整除，即a为n和r的公约数（注意：还不是最大公约数）∵b为n和r的最大公约数，a为n和r的公约数∴a≤b，设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cosθ1c osθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1s inθ2)=r1r2[(cosθ1c osθ2-sinθ1s inθ2)+i(cosθ1s inθ2+sinθ1c osθ2)] =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].其实该定理可以推广为一般形式:圆排列从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。
棣美弗定理与Euler公式
y θn θn · n tan θn = lim · n→∞ tan θ tan θn n 1+
x n
=y
(2.7)
定理 2.1. 已知 z = x + iy 則 ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y ) 如果 z = iy 就回到 Euler 公式。 由這個定理可容易證明函數方程。 系 2.2. 指數函數 ez 滿足函數方程 ez1 +z2 = ez1 ez2 z1 , z2 ∈ C (2.9) (2.8)
與 (1.5) 不謀而合, 現在決定 K 是甚麼? f 對 x 微分 df = KeKx = − sin x + i cos x = i(cos x + i sin x) dx 因此 K = i, 換言之 f (x) = cos x + i sin x = eix 這正是 Euler 公式。 同理對於函數 g (x) 也有類似的公式: g (x)g (y ) = g (x + y ), [g (x)]n = g (nx) (1.7) (1.8) (1.6)
這個函數方程 (functional equation) 是指數函數的基本性質但是直接由定義是不容易證明的, 不信你可以試看看。 (B) 從分析的角度而言, 利用冪級數來定義指數函數是最自然不過的了 ez = zn , n=0 n!
∞
z = x + iy
(2.10)
在複變函數理論我們將這類可以表為冪級數的函數稱為解析函數 (analytic function), 因為是 無窮級數所以必需先討論收斂性問題。 對於複數要比較大小最自然的就是選取其模 (modulus) 或範數 (norm) |z | = |x + iy | = x2 + y 2
棣莫弗公式n为实数
棣莫弗公式n为实数
棣莫弗公式是一个数学公式，用于计算复数的幂次。
这个公式由法国数学家棣莫弗在1730年左右发现，因此得名。
棣莫弗公式可以表示为：n为实数。
这个公式在数学和物理中有广泛的应用，特别是在处理复数时。
它提供了一种简便的方法来计算复数的幂次，而不需要通过使用指数函数的定义来进行计算。
棣莫弗公式的应用范围很广，包括电气工程、量子力学、信号处理和控制系统等领域。
在电气工程中，棣莫弗公式用于计算交流电路中的电压和电流。
在量子力学中，棣莫弗公式用于计算波函数的振幅和相位。
在信号处理和控制系统领域，棣莫弗公式用于分析和设计信号处理算法和控制系统。
总之，棣莫弗公式是一个重要的数学工具，它为复数幂次的计算提供了一种简便的方法。
无论是在数学、物理还是工程领域，棣莫弗公式都有着广泛的应用。
棣莫弗二项分布概率公式
棣莫弗二项分布概率公式棣莫弗二项分布概率公式是概率论中的重要工具，用于描述离散型随机变量的概率分布。
它可以计算二项分布中特定事件发生的概率。
在统计学和概率论中，二项分布是一种离散概率分布，描述在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
棣莫弗二项分布概率公式可以帮助我们计算在给定的概率和试验次数下，特定事件发生的概率。
棣莫弗二项分布概率公式的数学表达式如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示在n次试验中成功k次的概率。
C(n,k)表示组合数，可以计算为n个物体中取k个的组合数。
p表示单次试验中成功的概率，1-p表示失败的概率。
k表示成功的次数，n-k表示失败的次数。
使用棣莫弗二项分布概率公式的例子是计算投掷硬币的概率。
假设我们要计算在投掷10次硬币中，正面出现5次的概率。
我们知道投掷硬币是一个二项分布，每次投掷都是一个独立的伯努利试验，成功是正面，失败是反面。
假设正面出现的概率是0.5，那么根据棣莫弗二项分布概率公式，我们可以计算出概率为：P(X=5) = C(10,5) * 0.5^5 * (1-0.5)^(10-5)我们可以使用组合数公式计算C(10,5)为252，然后计算0.5的5次方为0.03125，(1-0.5)的5次方为0.03125，最后将三个数相乘得到概率为0.24609375。
棣莫弗二项分布概率公式还可以用于计算其他类型的概率，如在抛掷骰子、扑克牌或抽样调查中某个事件发生的概率。
它在实际问题中的应用非常广泛。
需要注意的是，棣莫弗二项分布概率公式的前提是每次试验都是独立的，每次试验的成功概率相等。
此外，计算概率时，要确保试验次数n足够大，以保证概率的准确性。
总结起来，棣莫弗二项分布概率公式是一种用于计算二项分布中特定事件概率的数学公式。
它可以帮助我们理解离散型随机变量的概率分布，以及计算特定事件发生的概率。
在实际应用中，我们可以使用该公式来解决各种概率问题，从投掷硬币到抽样调查等等。
棣莫弗定理解n次方程的n个根
棣莫弗定理解n次方程的n个根1. 引言大家好，今天我们聊聊一个听上去很高级的数学话题——棣莫弗定理。
这可是数学中的一颗明星呢。
别担心，我会用最简单的语言来解说，让你听了之后能恍若身处一个轻松的聊天场景中。
2. 棣莫弗定理概述2.1 什么是棣莫弗定理？棣莫弗定理是由法国数学家阿布拉罕·棣莫弗提出的。
简单来说，这个定理帮助我们解决n次方程的n个根。
想象一下，你手里有个复杂的方程，棣莫弗定理就像是给你一把万能钥匙，让你能轻松找到所有的解。
2.2 棣莫弗定理的基本内容棣莫弗定理讲的是：如果一个复数可以写成极坐标形式，那么它的n次方根也可以用类似的方法找到。
这就像是你有一个大蛋糕，要分成很多块，棣莫弗定理就是那把切蛋糕的刀，帮你一块一块地把蛋糕分好。
3. 如何使用棣莫弗定理3.1 复数的极坐标形式首先，我们得知道复数的极坐标形式。
一个复数可以表示为 ( z = r (cos theta + i sin theta) )，其中 ( r ) 是复数的模长，( theta ) 是角度。
想象一下，你把复数看成一个点，这个点的距离和角度决定了它在平面上的位置。
3.2 寻找n次方根现在，假如我们有一个复数 ( z )，想找到它的n次方根。
根据棣莫弗定理，我们可以这么做：把这个复数的模长开n次方，角度除以n。
然后，为了找到所有的n次方根，还得加上一个额外的角度，每次增加 ( frac{2pi}{n} )。
这些额外的角度就像是在舞池中转圈圈，让你找到所有的根。
4. 实际应用4.1 例子假设我们有复数 ( z = 8 (cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) )。
我们想找这个复数的3次方根。
按照棣莫弗定理，我们先计算模长的3次方根，也就是 ( sqrt[3]{8} = 2 )。
然后角度 ( frac{pi}{4} ) 除以3，再加上 ( frac{2pi}{3} ) 的倍数，得到三个不同的角度。
棣莫弗-拉普拉斯定理中心极限定理应用
棣莫弗-拉普拉斯定理中心极限定理应用下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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复数棣莫弗公式
复数棣莫弗公式
棣莫弗公式是：Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]。
在棣莫弗公式“Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]”中，Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2）。
证明的方法：在复数平面上，可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量。
如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角。
推导过程：
如果一个函数fx符合fx1fx2=f(x1+x2)
那么两边同时取对数lnfx1+lnfx2=lnf(x1+x2)
令lnfx=gx，则gx1+gx2=g(x1+x2)
令Fx=ga+gx=g(a+x)其中a是任意实数
两边同时求导g'x=g'(a+x)
因为a是任意实数，所以x和a+x可以是任意两个不同的数。
gx的导数取任何值都相等，说明这个导数是个常数。
令这个常数等于k，则：
g'x=k
gx=kx+C
fx=e^(kx+C)=Ce^kx
带入fx1fx2=f(x1+x2)得
C²=C，C=1(C不能是0)
fx=e^kx
所以任何这种形式的函数都是一种指数函数，那棣莫弗公式一定是一种指数函数。
数学第四册(综高)17.4棣莫弗定理与欧拉公式
备注§17.4 棣莫弗定理与欧拉公式教学目标：1.掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行三种 形式的互化；2.掌握复数的三角形式的乘、除和棣莫弗定理与欧拉公式。
教学重点：掌握复数的三角形式的乘、除和隶莫弗定理与欧拉公式。
教学难点：掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行 三种形式的互化。
新课讲授：棣莫弗定理与欧拉公式 一、复习导入在三角形式下对复数进行的运算主要是乘除。
二、探究设复数z 1= 2(cos6π+isin6π)，z 2= 4(cos3π+isin3π)，则z 1 ·z 2等于多少？三、知识链接(1)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有z 1 ·z 2= r 1 r 2 [cos(θ1 +θ2 )+isin （θ1+θ2）]由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和。
(2)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有21z z = 21r r[cos(θ1 -θ2 )+isin （θ1-θ2）] 由此可见，复数的积的模等于模的商，积的辐角等于辐角的差。
四、典型例题 例1、计算 （1）3（cos6π+isin6π）·4（cos12π+isin12π）（2）2（cos 500+isin500）·3（cos400+isin400）例2、计算：[6（cos 700+isin700）]÷[3（cos400+isin400）]若3（cos6π+isin6π），那么z 2与z 3的值分别为多少？练习1.计算： （1）2（cos6π+isin6π）·2（ cos12π+isin12π）（2）2（cos83π+isin83π）·3（ 1+i ）（3）2（cos6π-isin6π）÷2（ cos12π+isin12π）课内练习：P77练习一、复习导入学习了复数三角形式的乘法后，接下来我们学习复数三角形式的 幂运算。
证明棣莫弗公式
证明棣莫弗公式好的，以下是为您生成的关于证明棣莫弗公式的文章：咱们今天来聊聊棣莫弗公式，这玩意儿在数学里可有着重要的地位呢！还记得我上高中那会，数学老师在课堂上讲棣莫弗公式的时候，那场面真是紧张又刺激。
当时班里的同学一个个都瞪大了眼睛，生怕错过任何一个细节。
咱们先来说说棣莫弗公式到底是啥。
棣莫弗公式说的是：对于任意一个实数\(θ\)和正整数\(n\)，都有\((\cosθ + i\sinθ)^n = \cos(nθ) +i\sin(nθ)\) ，其中\(i\)是虚数单位。
那怎么来证明它呢？咱们从复数的乘法规则开始。
假设我们有两个复数\(z_1 = r_1(\cosθ_1 + i\sinθ_1)\)和\(z_2 = r_2(\cosθ_2 + i\sinθ_2)\)，它们相乘的结果是：\[\begin{align*}z_1z_2&=r_1r_2[(\cosθ_1\cosθ_2 - \sinθ_1\sinθ_2) + i(\sinθ_1\cosθ_2 + \cosθ_1\sinθ_2)]\\&=r_1r_2[\cos(θ_1 + θ_2) + i\sin(θ_1 + θ_2)]\end{align*}\]这就说明，两个复数相乘，其模长相乘，幅角相加。
那对于\((\cosθ + i\sinθ)^n\)，咱们可以用数学归纳法来证明。
当\(n = 1\)时，\((\cosθ + i\sinθ)^1 = \cosθ + i\sinθ\)，显然成立。
假设当\(n = k\)时，\((\cosθ + i\sinθ)^k = \cos(kθ) + i\sin(kθ)\)成立。
那么当\(n = k + 1\)时：\[\begin{align*}&(\cosθ + i\sinθ)^{k + 1}\\=&(\cosθ + i\sinθ)^k \times (\cosθ + i\sinθ)\\=&(\cos(kθ) + i\sin(kθ))(\cosθ + i\sinθ)\\=&\cos(kθ)\cosθ - \sin(kθ)\sinθ + i(\sin(kθ)\cosθ + \cos(kθ)\sinθ)\\=&\cos((k + 1)θ) + i\sin((k + 1)θ)\end{align*}\]所以，对于任意正整数\(n\)，棣莫弗公式都成立。
棣莫弗公式.
cost = 1 - t^22!+t^44!-t^66!+……-……
将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式
应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
最后可以由数学归纳法导出，对于n∈N，Z^n=r^n(cos nx+isin nx)
[编辑本段]在三角问题中的应用
在r=1时：
（cosx＋isinx）^n = cos(nx)+isin(nx)
有这个公式可以得到一个特别重要的结果。我们可以令n=3为例，此时
（cosx＋isinx）^3 =cos(3x)+isin(3x)
(k=0,1,2,......). n∈N.
这两条公式叫做棣莫弗公式
[编辑本段]证明
棣莫弗公式证明
先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^22! + t^33! + …… + t^nn！+ ……
其中θ为z的辐角，k=0,1,2,...,n-1
例如 解方程x^3=1
得x1=1 , x2=(-1/2)+i(√3)/2 , x3=(-1/2)-i(√3)/2 .
再根据式子sin^2 x+cos^2 x=1,代入并整理后得
cos 3x=4cos^3 x-3cos x
sin 3x=-4sin^3 x+3sin x
数学经典赏析：你知道欧拉是如何推导出欧拉公式的吗？
数学经典赏析：你知道欧拉是如何推导出欧拉公式的吗？
棣莫弗公式是初等数学的基本内容，如下，我们很容易用基本的运算得出。
棣莫弗公式之所以非常有名，在于它得到了数学中许多非常重要的结论，欧拉也将棣莫弗公式的作用发挥的淋漓尽致，本篇就来谈谈欧拉是如何从棣莫弗公式推导出欧拉公式的
棣莫弗公式由三角函数组成，所以任意形式的三角函数都可以用棣莫弗公式表示出来，如下正弦函数sinnz和余弦函数cosnz的表示形式如下图所示
我们继续延伸，首先想象下，一个无穷大乘上一个无穷小可以看做一个常数，这是容易理解的，即n为无穷大，z为无穷小时。
nz=v 就是一个常数，为了直观我们用i表示无穷大数n
，所以就有了sinz=v/I，cosz=1，这是两个非常重要的结论，
我们已经知道了e的极限形式，当i是无穷大时，有
所以上式中的z= V√-1和-V√-1，所以上式就可以化简成
欧拉就由此得到了著名的欧拉公式，这是一个非常伟大的发现。
n倍角公式的棣莫弗公式证明
n倍角公式的棣莫弗公式证明棣莫弗公式是一个数学公式，它可以用来证明倍角公式。
棣莫弗公式定义如下：如果三角形ABC中，∠A＝2∠B，则：AB²＝AC·BC·cos(B)棣莫弗公式可以用来证明倍角公式。
倍角公式定义如下：如果三角形ABC中，∠A＝2∠B，则：sin2A＝2sinA·cosA在证明倍角公式的过程中，我们可以用棣莫弗公式来进行推导。
我们以三角形ABC为例，其中∠A＝2∠B。
由棣莫弗公式可得：AB²＝AC·BC·cos(B)又因为∠A＝2∠B，因此有：BC·cos(B)＝2·AC·cos(2B)又因为cos(2B)＝2·cos²B -1，因此有：BC·cos(B)＝2·AC·(2·cos²B - 1)将上式代入棣莫弗公式，有：AB²＝2·AC²·(2·cos²B - 1)由此，可以得到：AB²＝4·AC²·cos²B - 2·AC²即：sin²A＝4·cos²B - 2令左边＝2·sinA·cosA，则有：2·sinA·cosA＝4·cos²B - 2即：2·sinA·cosA＝2·cos²B - 1两边同乘以2，可得：4·sinA·cosA＝4·cos²B - 2令左边＝sin²A，则有：sin²A＝4·cos²B - 2即：sin2A＝2·sinA·cosA因此可以证明：如果三角形ABC中，∠A＝2∠B，则：sin2A＝2·sinA·cosA这就是倍角公式。
棣莫弗公式-详解
棣莫弗公式-详解棣莫弗公式(De Moivre formula)目录• 1 什么是棣莫弗公式• 2 棣莫弗公式的证明o 2.1 欧拉公式o 2.2 数学归纳法▪ 2.2.1 正整数情形▪ 2.2.2 负整数情形• 3 用棣莫弗公式求根什么是棣莫弗公式棣莫弗公式是指法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立的公式。
当一个复数z以极坐标形式表达，即z = r(cosθ + i sinθ)时，其n次方(r(cosθ + i sinθ))n = r n(cos(nθ) + i sin(nθ))，其中n属于任何整数。
棣莫弗公式的证明最简单的方法是应用欧拉公式。
正整数情形证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。
设命题为当n=1左式右式因此 P(1)成立。
假设P(k)成立，即(cosθ + i sinθ)k = cos(kθ) + i sin(kθ)当n = k + 1因此，P(k + 1)也成立。
根据数学归纳法，，P(n)成立。
负整数情形只需运用恒等式：即可证明。
用棣莫弗公式求根此定理可用来求单位复数的n次方根。
设 | z | = 1，表为z= cosθ + i sinθ若w n = z，则w也可以表成：w= cosφ + i sinφ按照棣莫弗公式：w n= (cosφ + i sinφ)n = cos nφ + i sin nφ = cosθ + i sinθ = z 于是得到nφ = θ + 2kπ（其中）也就是：当k取，我们得到n个不同的根。
-全文完-。
棣莫弗定理解n次方程的n个根
棣莫弗定理解n次方程的n个根1. 引言：方程的世界说到方程，大家的脑海里是不是一下子冒出了“解方程”、“算公式”这些词？对，数学这门学科，有时候让人感觉像是在走迷宫，转来转去就是找不到出口。
尤其是那些n 次方程，更是让人抓心挠肚，感觉有点无从下手。
不过，今天咱们要聊的是一个超级厉害的工具——棣莫弗定理！它就像是一把钥匙，能把那些看似复杂的方程变得简单明了。
听起来是不是有点儿神秘？别急，接下来咱们就一起来揭开这层面纱，看看这个定理到底怎么回事！2. 什么是棣莫弗定理？2.1 定理的由来棣莫弗定理，这个名字听起来有点拗口，实际上它是由一位名叫棣莫弗（De Moivre）的数学家提出的。
咱们可以把它想象成数学界的“老前辈”，在18世纪的时候，他就开始琢磨复数和三角函数之间的关系。
嘿，你没听错，就是复数！你可能会问，复数是什么东西？简单来说，就是把“虚数”加进来，形成了新的数。
这种数虽然看上去有点奇怪，但它在许多科学领域里都能大显身手。
2.2 定理的内容那么，棣莫弗定理具体讲了些什么呢？它告诉我们，如果你有一个复数 z，它的模长是 r，角度是θ，那么 z 的 n 次方就可以用这个公式来表示：( z^n = r^n (cos(nθ) + isin(nθ)) )。
听上去有点儿复杂，但实际上就是告诉我们，复数的运算和三角函数有着紧密的联系。
对，就是这么简单！我们只需要把复数拆开，把模长和角度拿出来，就能轻松求出它的 n 次方。
是不是感觉像是打开了一扇新世界的大门？3. 解n次方程的n个根3.1 根的意义好啦，知道了棣莫弗定理，咱们就来聊聊怎么用它来解 n 次方程。
想象一下，一个n次方程的形态，像是个“美丽的怪物”，它的根就像是这个怪物的几个“面孔”。
每一个根都是这个方程的重要组成部分，失去一个，就像丢了钥匙，整个事情就搞不定了。
3.2 实际应用那具体怎么做呢？假设我们有一个简单的n次方程，比如 ( z^n = 1 )。
棣莫弗公式
棣莫弗公式棣莫弗定理1科学原理设两个复数（用三角形式表示）z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），则:z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].证：先谈一下复数的三角形式的概念。
在为丛藓科扭口藓平面c上，用向量z(a,b）去则表示z=a+bi.于是，该向量可以分为两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量z与实轴的夹角为θ，这两个分后向量的模分别等同于rcosθ,rsinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数z可以则表示为z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称作复数z的辐角.因为z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推展为通常形式：设n个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，zn=rn(cosθn+isinθn），则：z1z2……zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].4解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和欧拉（euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参看《泰勒公式》，严苛的证明须要复分析）放到一起看看，则可以用以认知欧拉公式的意义。
利用棣莫弗定理存有：z1z2……zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]如果可以把所有的复数重写成指数的形式，即为：z1=r1e^iθ1,z2=r2e^iθ2，……，zn=rne^iθn,z1z2……zn=r1r2……rne^i（θ1+θ2+……+θn)这和指数的直和性一致.在一般形式中如果令z1=z2=……=zn=z，则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.棣莫弗，a．（demoivre，abraham)1667年5月26日出生法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦．数学．棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤政，以行医税金勉力保持家人温饱．棣莫弗自幼拒绝接受父亲的教育，稍大后步入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不淡，学生们以求在一种随心所欲、民主自由的环境中自学，这对他的性格产生了关键性影响．随后，他返回农村，步入色拉的一所清教徒学院稳步念书，这里却戒律森严，令人窒息，学校建议学生誓词效忠教会，棣莫弗婉拒顺从，于是受了严苛制裁，被罚诵读各种宗教教义．那时，学校不注重数学教育，但棣莫弗常常偷偷地自学数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的就是c．惠更斯（huygens）关于赌徒的著作，特别就是惠更斯于1657年出版发行的《论赌徒中的机会》（deratiociniisinludoaleae）一书，鼓舞了他的启发．1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的j．奥扎拉姆（ozanam）．在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得（euclid）的《几何原本》（ele-ments）及其他数学家的一些重要数学著作．1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，出席了愤慨欧洲的宗教暴乱，在这场暴乱中，他与许多人一起被监禁出来．正是在这一年，维护加尔文教徒的南兹敕令被撤消．随后，包含棣莫弗在内的许多存有才华的学者由法国移住英国．据教会的材料记述，棣莫弗一直被监禁至1688年才出狱，并于当年迁居伦敦．但据20世纪60年代辨认出的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经至了英国．随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全系列就是在英国作出的．抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习．一个偶然的机会，他读到i．牛顿（newton）刚刚出版的《自然哲学的数学原理》（mathematicalprinciplesofnaturalphilosophy），深深地被这部著作吸引了．后来，他曾回忆起自己是如何自学牛顿的这部重要著作的：他依靠搞家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子听课，因此时间很很紧，于是就将这部重要著作拆下，当他本学期一家的孩子后回去另一家的路上，赶紧写作几页，没多久便把这部书学完了．这样，棣莫弗很快就存有了扩充的学术基础，并已经开始展开学术研究．1692年1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书e．哈雷（halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（onnew-ton’sdoctrineofflux ions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员．棣莫弗的天才及成就逐新受了人们广为的高度关注和认同．哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》（thedoctrineofchances）呈交牛顿，牛顿对棣莫弗十分观赏．据传，后来碰到学生向牛顿求教概率方面的问题时，他就说道：“这样的问题必须去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入细致得多”．1710年，棣莫弗被委派参予英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可知他很受到学术界的认同．1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士．1754年，又被法国的巴黎科学院采纳为会员．棣莫弗终生未婚．尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口．他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间．为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事．。
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棣莫弗公式复数乘方用三角表示式来解比较简便.
复数r(cosθ+isinθ)的n次方是：
z^n=[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)
n∈N.
复数开方也用三角表示式来解比较简便.
复数r(cosθ+isinθ)的n次方根是：
(n次根号r){cos[(θ+2kπ)n]+isin[(θ+2kπ)n]
(k=0,1,2,......). n∈N.
这两条公式叫做棣莫弗公式
[编辑本段]证明
棣莫弗公式证明
先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^22! + t^33! + …… + t^nn！+ ……
sint = t - t^33!+t^55!-t^77!+……-……
cost = 1 - t^22!+t^44!-t^66!+……-……
将t = ix 代入以上三式，可得欧拉公式
应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
另外一种证法：
根据两复数相乘的公式，设Z=r(cos x+isin x),Z'=r'(cos x'+isin x')
则ZZ'=rr'(cos (x+x')+isin (x+x'))
令Z=Z'，得Z^2=r^2(cos 2x+isin 2x)
继续用Z乘这个式子，得Z^3=r^2(cos 3x+isin 3x)
最后可以由数学归纳法导出，对于n∈N，Z^n=r^n(cos nx+isin nx)
[编辑本段]在三角问题中的应用
在r=1时：
（cosx＋isinx）^n = cos(nx)+isin(nx)
有这个公式可以得到一个特别重要的结果。
我们可以令n=3为例，此时
（cosx＋isinx）^3 =cos(3x)+isin(3x)
而等式左边根据二项式定理展开得到
（cosx＋isinx）^3 =cos^3 x+3cos^2 x isinx+3cosx i^2 sin^2 x+i^3 sin^3 x =cos^3 x-3cos x sin^2 x+i(3cos^2 x sin x-sin^3 x)
最后根据右边得到
cos^3 x-3cos x sin^2 x+i(3cos^2 x sin x-sin^3 x)=cos(3x)+isin(3x)
这相当于实数间的一对等式，因为复数相等的条件是实部和虚部分别相等，所以cos(3x)=cos^3 x-3cos x sin^2 x
sin(3x)=3cos^2 x sin x-sin^3 x
再根据式子sin^2 x+cos^2 x=1,代入并整理后得
cos 3x=4cos^3 x-3cos x
sin 3x=-4sin^3 x+3sin x
以此类推，对于n∈N，可以用sin x 和 cos x的幂分别表示sin nx 和cos nx.
棣美弗定理
[编辑本段]定理
法国数学家亚伯拉罕·棣·美弗(Abraham de Moivre, 1667-1754)于1707年创立该定理，并与1730年发表。
定理内容如下：
设复数z=r(cosθ+isinθ)，其n次方z^n = r^n (cos(nθ)+isin(nθ))，其中n为正整数。
[编辑本段]证明
用数学归纳法证明：
设命题p(n): z^n=r^n (cos(nθ)+isin(nθ)), n为正整数.
显然p(1)成立.
假设p(k)成立, 则当n=k+1时,
z^(k+1)=r^(k+1) (cosθ+isinθ)^(k+1)
=r^(k+1) (cosθ+isinθ)^k (cosθ+isinθ)
=r^(k+1) (cos(kθ)+isin(kθ)) (cosθ+isinθ) (∵p(k)成立)
=r^(k+1) (cos(kθ)cosθ+cos(kθ)isinθ+isin(kθ)cosθ+isin(kθ)isinθ)
=r^(k+1) (cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ+i(cos(kθ)sinθ+sin(kθ)cosθ))
=r^(k+1) (cos((k+1)θ)+isin((k+1)θ))
因此p(k+1)也成立.
所以对于全体正整数n, 原命题成立, 定理得证.
[编辑本段]应用
可用于给复数开方：
解关于x的方程 x^n=z=r(cosθ+isinθ)
有n个根 xk = (n次√r)(cos((θ+2kπ)/n)+isin((θ+2kπ)/n))
其中θ为z的辐角，k=0,1,2,...,n-1
例如解方程x^3=1
得x1=1 , x2=(-1/2)+i(√3)/2 , x3=(-1/2)-i(√3)/2 .。