三角形重心的推导及其应用
三角形重心的推论
三角形重心的推论三角形是平面几何中重要的基本图形，它有许多有趣的性质和定理，其中之一就是重心定理。
在三角形中，三条中线的交点称为三角形的重心，也是三角形的一个重要重心。
在本文中，我们将讨论一些关于三角形重心的推论。
三角形重心定理回顾首先，我们回顾一下三角形重心定理：三角形的三条中线交于一点，即重心，重心距离三角形三个顶点的距离相等，即重心是距离三个顶点的平均值的那个点。
通过重心定理，我们可以得到三角形重心的黄线段公式。
设三角形ABC 的重心为G，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点。
则有:AG:GD = BG:GE = CG:CF = 2:1这个公式通常被称为三角形重心黄线段公式。
使用这个公式，我们可以计算出三角形重心到三个顶点的距离，从而确定重心的位置。
接下来，我们将讨论一些关于三角形重心的性质：1. 在等边三角形中，重心、垂心和外心三点重合。
等边三角形的三个中线和三个高线重合，所以三角形的重心和垂心重合。
另外，等边三角形的外心也恰好位于重心/垂心的位置，因此三点重合。
2. 重心到顶点线段的长度与与三条中线的长度成反比例关系。
3. 若以三角形的重心为一组相应顶点的中点，分别划分成三个小三角形，则相似于原三角形且比例系数为1：2。
结论综上所述，我们讨论了三角形重心的一些推论，包括三角形重心黄线段公式、重心到顶点线段长度与三条中线长度的反比例关系、在等边三角形中重心与垂心和外心三点重合，以及三角形重心将原三角形分为三个相似的小三角形。
这些推论不仅能够加深我们对三角形的理解，还可以拓展我们的数学思维。
三角形重心的3个结论
三角形重心的3个结论
三角形重心是三角形的重要点之一，它位于三角形三个顶点所在的中线交点处。
下面是三角形重心的三个结论：
1. 重心将中线分为2:1
从任意一个顶点开始，连接该顶点所对的边中点和另外两个顶点，这样就可以得到三条中线。
这些中线在重心处相交，且重心将每条中线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
这个结论可以用向量法或者平面几何法来证明。
2. 重心到各顶点距离平均
连接重心和每个顶点，可以得到三条线段。
这些线段的长度恰好等于从重心到各个顶点的距离。
因此，我们可以得出结论：三角形重心到各个顶点距离的平均值等于任意两个顶点之间距离的一半。
3. 重心是质心和垂心连线上的一点
质心是连接三角形所有顶点与其对边中点所形成垂直平分线交汇处。
垂心则是连接每条边与其对边垂直相交所形成高度交汇处。
如果我们将质心和垂心连起来，则这条线段上的任意一点都是三角形重心。
这个结论可以用向量法或者平面几何法来证明。
三角形中位线重心的性质及应用
B 课题：三角形重心的性质及应用（
教学目的：1、了解三角形重心的概念，掌握重心的性质并能加以应用。
2、了解并握“同一法”证明思路。
教学重、难点：三角形重心的性质及其应用。
教学过程：
思考一：已知，如图，BE 、CF 是△ABC 的中线，并相交于G ，
求证：GB GE =GC GF =2
1
B
C
思考二：假如AD 是△ABC 的
BC 边上的中线，那么G 点是否在AD 上？
D
B C
归纳结论：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
2、重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
学生练习：
1、已知，△ABC 中，∠C=900，G 是三角形的重心，，AB=8， 求：① GC 的长；
② 过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于M ，BC 于N ， 求MN 的长。
2、已知，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的长。
G
B C
A
教学小结：由学生归纳总结
作业：。
三角形重心向量性质的引申及应用
， ： 蔚
ｊ
， ：
长分别为ｏｂ ｃ 则０ ＡＡＢ 的内心的充要条件 为：府 、、， 为 Ｃ ｎ
：
兰 所 以 ＋ ＋ ： ｎ
３
引 申 １ 若 Ｏ ＡＡ Ｃ 为 Ｂ 内任 一 点 ， 有 则
ｓ ・ ＋ 呲 ・ ５△ ＋ｓ蚴 ・ ＝ｎ
证明： 必要性 ， 为 ＡＡＢ 的内心 ， 到 ＡＡＢ 的 由０ Ｃ 则Ｄ Ｃ 三 边距 离相等 ， 为ｒ则ｓ ＝ 记 ， ｌ
２
Ｊ ， 为 Ｓ￣ ｓ 记 ．ｆ Ｊ
ＯＡ ． ０
々
由引申１ＭｓＯ ＊ ＋ 蝴 － ＋ △ ・ ＝ ， － ， ｚＩ ｓ ｓ ０ 即ａ Ｘ ￣Ｂ ， Ｏ
＋ ６ ＋ ： ． ｃ ０
充分性： ＋商 ＋ ： 及ｓ ・ ＋ △ ＋ 由 ６ ｃ ｏ 蝴 ．纰． ｓ
ｆ ） 出你 所 学过 的特 殊 四 边形 中是 等 对 角线 四边 写 １
（） 究 ： ２探 当等 对 角 线 四 边 形 中两 奈 对 角 线 所 夹锐 角为６） ，这 对 ６ 。 （时 ０ ０ 角所 对 的 两 边之 和 与 其 中一 条 对 角
何题 ， 给几何题 增添 了许 多趣 味． 生对这种 题 的解 答 形 的 两 种 图形 的 名称 ： 学
三角形 重心向量 形式的充要条件 ：设 Ｏ 为ＡＡ Ｃ Ｂ 所 在平面上一点 ， 为 △ＡＢ 的重心甘 ＋ ＋ ＝ ． ０ ｃ ：０
证 明 ： 证必 要性 ： 图 １ 先 如 ．
，
，
．
Ｙ
图３
证 明 ： Ｇ △Ａ ｃ 点 是 Ｂ 的重 心 ， 知 ＋ ＋ ： ， ． ０得 ＋ — ） （ 一 ）０ 有 ： （ 十 ） （ ＋ ： ， ．
三角形重心性质的有关推论及应用
三角形重心性质的有关推论及应用作者：刘家良来源：《中学数学杂志(初中版)》2011年第04期三角形的三条中线相交于一点,这一点叫做三角形的重心.三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.以三角形重心的定义和性质为依据,可推导出三条结论：推论1 三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六部分．如图1,△ABC的三条中线AD,BE,CF交于点G,则△ABC被分成面积相等的六部分,即S1=S2=S3=S4=S5=S6．证明：如图1,因为BE、CF分别是边AC、AB的中线,所以S△ABE=S△ACF=12S△ABC,即S1+S2+S3=S1+S2+S6,所以S3=S6.在△ABG中,GF为边AB的中线,则S3=S2,在△ACG中,GE 为边AC的中线,则S1=S6,所以S1=S2=S3=S6.依此类推,得S1=S2=S3=S4=S5=S6．推论2 三角形的重心与三角形的三个顶点构成的三个三角形的面积相等,且等于原三角形面积的13．如图1,根据推论1,得S△ABG=S△BCG=S△ACG=13S△ABC．推论3 以三角形的重心与三角形的三顶点的连线为边能构成一个三角形,且这个三角形的面积等于原三角形面积的13．证明：如图2,考虑到GD为△BCG的中线,现将其加倍延长(俗称中线加倍法),即延长GD 至点M,使MD=GD,连接BM,CM,则四边形BMCG为平行四边形,所以BM=CG.因为AG=2GD,MG=2GD,所以MG=AG.由此,得以AG,BG,CG为边组成一个三角形(△BMG或△CMG).因为S△BCG=S4+S5=13S△ABC,△BDM≌△CDG,所以S△BMG=S4+S5=13S△ABC．注三角形的顶点与重心的连线的延长线于对边的交点为这边的中点,此时,往往先将重心与中点的连线加倍延长来构造平行四边形,再利用平行四边形的知识解题．现应用三条推论解一题：例如图3,已知点G是△ABC的重心,AG=5,BG=13,GC=12,求△ABC的面积．解如图3,延长BG交AC于点D,延长GD至点E,使ED=GD,连接EC,AE,因为点G是△ABC的重心,所以AD=DC,则四边形AECG为平行四边形,所以CE=AG=5,又点G是△ABC的重心,所以BG=2GD,因为ED=GD,所以EG=2GD,所以EG=BG=13,在△CEG中,因为CG2+CE2=GE2,所以∠ECG=90°,所以S△ECG=12CE•CG=30,即以AG,BG,CG为边构成的三角形的面积为30,根据推论3,得S△ABC=3×S△ECG=90．作者简介：刘家良,男,天津静海人,1966年10月生,中学高级教师.近年来,先后荣获县级教改积极分子、县级优秀班主任和县级优秀教师称号.发表文章40余篇．。
利用三角形的重心和垂心解决实际问题
利用三角形的重心和垂心解决实际问题三角形是几何学中最基本的形状之一，具有广泛的应用领域。
在实际问题中，我们通常可以利用三角形的重心和垂心来解决一些复杂的计算和构造问题。
本文将介绍三角形的重心和垂心的定义，并以实际问题为例，展示如何应用它们解决相关的数学和几何难题。
一、三角形的重心重心是指三角形三条中线的交点，即三条中线的共同重心。
其中，中线是指连接三角形各顶点与对边中点的线段。
记重心为G，三角形的顶点分别为A、B、C，三条中线分别为AD、BE、CF。
那么可以得出以下结论：1. 重心G被三条中线等分，即AG=2GD、BG=2GE、CG=2GF。
2. 重心G到三条边的距离之和最小。
即GA+GB+GC最小。
利用这些性质，我们可以解决一些涉及到重心的实际问题。
下面以一个具体例子来说明。
例题：有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=12cm，垂直线BD 的长度为4cm。
求该三角形的重心G到垂直线BD的距离。
解：首先，我们需要画出该等腰三角形ABC及垂直线BD的示意图。
根据题目已知条件，我们可以知道垂直线BD将底边AC分为两段等长的线段，记为DE和EF。
接下来，我们需要找到等腰三角形ABC的重心G。
根据重心的定义，我们可以知道重心G是三条中线的交点。
根据等腰三角形的性质，中线CF是高线，是垂直于底边AC的。
因此，重心G即为垂直线BD和底边AC的交点。
确定了重心G的位置后，我们需要计算重心G到垂直线BD的距离。
根据重心到对边的距离最小的性质，我们可以知道重心G到垂直线BD 的距离即为线段DE的长度。
由题目可知，垂直线BD的长度为4cm。
而底边AC的长度为12cm，根据等腰三角形的性质，底边AC的一半即为线段DE的长度。
因此，线段DE的长度为6cm。
综上所述，该等腰三角形的重心G到垂直线BD的距离为6cm。
二、三角形的垂心垂心是指三角形三条高线的交点，即三条高线的共同垂心。
其中，高线是指从三角形顶点引出，垂直于对边的线段。
三角形的重心的推导及其性质
三角形的重心的推导及其性质
● 了解重心的概念及其常用表达
● 掌握重心的有关性质
第一部分:
重心的概念的引入：一个物体保持平衡的中心点（生活引入：跷跷板） 物理上的概念是：物体所受重力合力的作用点
举例：
三维世界平衡（质量相等）
举例：对于二维的平面图形（面积相等）
以三角形的重心为例讲解
也就是三角形内有一点O,将三角形ABC 分成了三个面积相等小三角形；则O 点就是三角形的重心。
A B C
寻找重心的方法：
S 3=21.BC.H 2
S =21.BC.H 1
S 3 =31S ABC
在三角形ADE 中，GF/PF/PG 是它的中位线,点G 是DE 的中点，AG 是中线，延长GF 交BC 于点Q,点Q 是BC 的中点。
其他边同理，
C B
D
第二部分。
三角形重心的向量形式及推论的巧妙应用
三角形重心的向量形式及推论的巧妙应用
三角形重心是一种重要的几何概念，它是三角形内部的一个特殊点，
它的位置可以用向量形式表示。
三角形重心的向量形式及推论的巧妙
应用，可以用来解决许多几何问题，下面我们就来看看它的应用。
首先，三角形重心的向量形式可以用来求解三角形的重心坐标。
假设
三角形的三个顶点分别为A，B，C，则三角形重心的向量形式为：
G=(1/3)A+(1/3)B+(1/3)C。
这样，我们就可以根据三角形的三个顶点
的坐标，求出三角形重心的坐标。
其次，三角形重心的向量形式可以用来求解三角形的外接圆半径。
假
设三角形的三个顶点分别为A，B，C，则三角形外接圆的半径为：
r=|AB|+|BC|+|CA|/3。
这样，我们就可以根据三角形的三个顶点的坐标，求出三角形外接圆的半径。
最后，三角形重心的向量形式可以用来求解三角形的面积。
假设三角
形的三个顶点分别为A，B，C，则三角形的面积为：
S=|AB|*|BC|*|CA|/4。
这样，我们就可以根据三角形的三个顶点的坐标，求出三角形的面积。
以上就是三角形重心的向量形式及推论的巧妙应用，它可以用来解决
许多几何问题，如求解三角形的重心坐标、外接圆半径和面积等。
三角形重心的推导及其应用
三角形重心的推导及其应用在新课标人教版八年级数学下册的四边形这一章节中提出了重心这一概念，但是并没有作出具体的阐述，为了让学生深入的了解重心的特征，适应教学的需要，我根据学生现有的知识面，对三角形的重心特征进行了适当的归纳，并进行了合理的运用，目的是希望学生能通过这一过程的学习从而能很好的掌握重心的特性，并能灵活运用。
概念：三角形的重心就是它的三条中线的交点。
性质1：三角形的重心到三角形的一个顶点及其对边的距离之比是2：1。
证明：已知△ABC中，CE、BD是AB、AC上的中线，BD与CE相交于O，BO与DO的长之间有何关系？解析：作BO中点M，CO中点N，连结ED、EM、DN、MN∵ED为△ABC 中位线，∴ED= BC且ED∥BC，又∵MN为△OBC中位线，∴MN= BC且MN ∥BC，∴ED与MN平行且相等，∴EMND为□，∴MD与EN互相平分，∴OM=OD，∴OD：OB=1：2。
性质运用例1 已知，如图，AD为△ABC中线，E为AD中点，F为BE延长线与AC的交点，求AF：FC的值。
解析：过C作CG∥AD交BA延长线于G，∵D为BC中点，∴AD为△BGC 中位线，∴A为BG中点，延长BF交GC于H，∵E为AD中点，∴H为CG 中点，∴CA与BH交点F为△BGC的重心，∴AF：FC=1：2。
例2 如图在△ABC中，∠BAC=90O，M为AC中点，AG⊥BM，且BG=2GM，①求证：BC=3AG。
②若AB=√6，求BM的长。
解析：①∵M为AC中点且BG=2GM，∴点G为△ABC的重心，延长AG 交BC于H，∵点G为重心，∴AG=2GH且H为BC的中点，设GH=x，则AG=2x，AH=3x，∵△ABC为直角三角形，∴AH=12BC ，∴BC=6x，∴BC=3AG。
性质2：三角形三条中线所分得的6个小三角形的面积相等，且每个小三角形的面积都为大三角形面积的16。
证明如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，求证：S1= S2= S3= S4= S5= S6解析：∵F为AB的中点，∴S1= S2D为BC的中点，∴S3= S4E为AC的中点，∴S5= S6又∵DF为△ABC的中位线，∴DF∥AC，∴S△AFD=S△CFD ∴S1= S4∴S1= S2= S3= S4，又∵AO：OD=2：1∴S△AOC：S△DOC=2：1即2S6：S4=2：1 ∴S6= S4∴S1= S2= S3= S4= S5= S6例3 如图，点E、F为正方形ABCD的两边AB、BC的中点，AF、CE相交于G点，若正方形ABCD的面积等于1，求四边形AGCD的面积。
三角形重心性质的有关推论及应用
三角形重心性质的有关推论及应用
三角形重心性质的推论以及应用如下：三角形的三条边的中线交于一点。
这个点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
性质二、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
性质三、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M 点为△ABC的重心，反之也成立。
性质四、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。
按角分
1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。
2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。
3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。
三角形重心性质的向量表示及其推广
三角形重心的性质的向量表示与推广及其应用吴家华（四川省遂宁中学校 629000）摘 要 本文给出了三角形重心性质的一个向量表示并进行了推广，同时介绍了它们的简单应用.关键词 三角形、重心、向量、推广我们知道，三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与到对边中点的距离的比为1:2，即重心到顶点的距离等于该中线长的三分之二. 重心的这一性质如果我们用向量来表示的话，则有下列结论：定理1 设G 为ABC ∆的重心，则)(31AC AB AG +=；反之也成立. 证明：设BC 的中点为D ，则)(21AC AB AD +=. ∵G 为ABC ∆的重心，∴AD AG 32=. ∴)(31)(213232AC AB AC AB AD AG +=+⋅==.故)(31AC AB AG +=.反之，若)(31AC AB AG +=，则AC AB AG +=3，即0)()(=-+-+AC AG AB AG AG ，0=++CG BG AG ，∴0=++GC GB GA ,故G 为ABC ∆的重心.定理1 得证.笔者在解题研究中，尝试把重心G 改为ABC ∆所在平面内的任意一点，发现定理1可以推广为下列一般形式：定理 2 设分别过ABC ∆的两个顶点C B ,的直线相交于一点P ，且分别交对边所在直线于点M N ,. 若AB AM λ=，AC AN μ=，则AC AB AP λμλμλμμλ--+--=1)1(1)1(.证明：如图1所示，设MC t MP =，NB s NP =，则Mp NBCAACt AM t AM AC t AM MC t AM MP AM AP +-=-+=+=+=)1()(AC t AB t +-=)1(λ.ABs AN s AN AB s AN NB s AN NP AN AP +-=-+=+=+=)1()(AB s AC s +-=)1(μ.∵AB 与AC 不共线，∴⎩⎨⎧=-=-t s s t )1()1(μλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=⇒λμμλλμλμ1)1(1)1(s t . 故AC AB AP λμλμλμμλ--+--=1)1(1)1(.定理2得证.显然，定理2的结论是建立在ABC ∆的基础上的，那么，我们在应用定理2解决问题 时就需要一个三角形作依托，也就是说，我们解决问题的关键在于这个三角形的选择. 因此，我们不妨把定理中的这个ABC ∆叫做基底三角形（注意，顶点C B A ,,按逆时针顺序），简称为“基三角”.笔者在教学和解题实践中发现，上述三角形重心性质的向量表示及其推广在解决平面 向量和平面几何问题中具有较广泛的应用.下面举例说明之.例1.如图2所示，在ABC ∆中，E D ,分别为AC AB ,的中点，CD 与BE 交于点F ， 设a AB =，b AC =，b n a m AF +=，若向量),(n m s =，则=||s （ ）.A 32 .B 32 .C 65 .D 34图2解：由已知可知，F 为ABC ∆的重心， 则由定理1可得：b a b a AF 3131)(31+=+=.∵b n a m AF +=，且a ，b 不共线， ∴31==n m ，则)31,31(=s . ∴32)31()31(||22=+=s ,故选B . 例2.P 是ABC ∆内一点，)(31AC AB AP +=，则ABC ∆的面积与ABP ∆的面积的比 值为（ ）.A 2 .B 3 .C 23.D 6 解：∵)(31AC AB AP +=，∴由定理1知，P 是ABC ∆的重心. ∴31=∆∆ABC ABP S S ,即ABC ∆的面积与ABP ∆的面积的比值为3. 故选B .例3.如图3所示，在OAB ∆中，a OA =，b OB =，N M ,分别是边OB OA ,上的点， 且a OM 31=，b ON 21=.设AN 与BM 交于点P ，用向量a ，b 表示OP .图3解：取OAB ∆为基底三角形，因为N M ,分别是边OB OA ,上的点，且a OM 31=，b ON 21=.∴31=λ，21=μ,则由定理2，得：b a b a OP 52511)1(1)1(+=--+--=λμλμλμμλ，即b a OP 5251+=. 例4.如图4所示，在OAB ∆中，a OA =，b OB =，设点M 分AB 所成的比为1:2，点N 分OA 所成的比为1:3，而OM 和BN 交于点P ，试用a 和b 表示OP .解：取ABO ∆为基底三角形，连接AP ，因为点M 分AB 所成的比为1:2，点N 分OA所成的比为1:3，∴AB AM 32=，AO AN 41=，则32=λ，41=μ. 由定理2得：AO AB AO AB AP 101531)1(1)1(+=--+--=λμλμλμμλ.图4∴OA OA OB OA AO AB OA AP OA OP 101)(5310153--+=++=+= b a OB OA 5310353103+=+=，即b a OP 53103+=.例5.如图5所示，在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且NC AN 2=，AM 与BN 相交于点P ，求PM AP :的值.图5解：取CAB ∆为基底三角形，连接PC ，则由已知得：CA CN 31=，CB CM 21=， ∴31=λ，21=μ. 由定理2得：CB CA CB CA CP 52511)1(1)1(+=--+--=λμλμλμμλ,∴)(5251AC AB AC AC AP -+-=-,即AB AC AP 5252+=.∵点M 是BC 的中点，∴)(21AC AB AM +=. ∴AM AP 54=，即1:4:=PM AP .∴1:4:=PM AP . 例6.（2014年武汉高三调研）如图6所示，在ABC ∆中，AC AN 31=，P 是BN 上的一点，若AC AB m AP 112+=，则实数m 的值为（ ）.A 119 .B 115 .C 113 .D 112解：取CAB ∆为基底三角形，延长AP 交BC 于点M ，连接PC . ∵AC AN 31=，∴CA CN 32=，即32=λ. 设CB CM μ=，则由定理2，得：CB CA CB CA CP μμμμλμλμλμμλ2323)1(21)1(1)1(-+--=--+--=.则CB CA CA CP AP μμμ23231-+--=-=.又∵CB m CA m CA CA CB m AC AB m AP ++-=--=+=)112(112)(112，且CA ， CB 不共线，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-m m μμμ23112231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒11575m μ.故应选.BPMNCBA。
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
中学数学研究
41
三角形重心、垂心、内心、外心的向量性质及简单应用
广东省珠海市斗门区第一中学 (519100) 陈水松
一、三角形四心的表述与性质
(一) 重心——三角形三条边上的中线的交点叫做三角
形的重心. 重心将中线长度分成 2: 1 的两部分. 1. −O→A + −O−→B + −O−→C = −→0 ⇔O 是 △ABC 的重心.
AC BC −→ + −−→
.
|AC| |BC|
|−B−B+−−→ →CCb| −B)−→C, 所
= 以
4.
−−→ PO
=
−→ aP A
−−→ + bP B + a+b+c
−−→ cP C
⇔
O
为
△ABC
的内心,
P 为平面上任意点.
(二) 垂心——三角形三条高线的交点叫做三角形的垂
证明
因为
O
为
△ABC
证 法 1 设 O(x, y), A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),
−→ −−→ −−→ OA+OB+OC
=
−→0
⇔
x=
x1 + x2 + x3
(x1 − x) + (x2 − x) + (x3 − x) = 0 (y1 − y) + (y2 − y) + (y3 − y) = 0
=
−→0 ,
所以
−→ AO
=
2−O−→D,
所以
A、O、D
三点共线,
有关三角形“四心”的坐标公式的推导及应用
我们知道，三角形有“四心”：重心、内心、外心、垂心.其中重心是三角形三边中线的交点；内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心；外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心；垂心是三角形三条边的垂线的交点.而这“四心”均有其对应的坐标公式，可运用向量法来推导三角形“四心”的坐标公式.若ΔABC三个顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，三个角A、B、C的对边||BC=a,||AC=b,||AB=c.1.ΔABC的重心坐标(x1+x2+x33,y1+y2+y33).证明：当P为ΔABC的重心时，PA+PB+PC=0 ，则OP=13( OA+ OB+ OC)=(x1+x2+x33,y1+y2+y33)，其中O为坐标原点，所以点P的坐标为(x1+x2+x33,y1+y2+y33).2.ΔABC的内心坐标为(ax1+bx2+cx3a+b+c,ay1+by2+cy3a+b+c).证明：当P为ΔABC的内心时，a⋅PA+b⋅PB+c⋅PC=0 ，可得OP=aa+b+cOA+ba+b+cOB+ca+b+cOC=(ax1+bx2+cx3a+b+c,ay1+by2+cy3a+b+c)，即为P点的坐标.3.ΔABC的外心坐标为(sin2A⋅x1+sin2B⋅x2+sin2C⋅x3sin2A+sin2B+sin2C,sin2A⋅y1+sin2B⋅y2+sin2C⋅y3sin2A+sin2B+sin2C).证明：当P为ΔABC的外心时，sin2A⋅PA+sin2B⋅PB+sin2C⋅PC=0 ，所以OP=1sin2A+sin2B+sin2C(sin2A⋅ OA+sin2B⋅ OB+sin2C⋅ OC)=(sin2A⋅x1+sin2B⋅x2+sin2C⋅x3sin2A+sin2B+sin2C,sin2A⋅y1+sin2B⋅y2+sin2C⋅y3sin2A+sin2B+sin2C)，即为P点的坐标.4.ΔABC的垂心坐标为(tan A⋅x1+tan B⋅x2+tan C⋅x3tan A+tan B+tan C,tan A⋅y1+tan B⋅y2+tan C⋅y3tan A+tan B+tan C).证明：当P为ΔABC(非直角三角形)的垂心时，tan A⋅PA+tan B⋅PC+tan C⋅PC=0 ，所以OP=1tan A+tan B+tan C(tan A⋅ OA+tan B⋅OB+tan C⋅OC)=(tan A⋅x1+tan B⋅x2+tan C⋅x3tan A+tan B+tan C,tan A⋅y1+tan B⋅y2+tan C⋅y3tan A+tan B+tan C)，即为P点的坐标.运用三角形“四心”公式，可以快速求得三角形的重心、内心、外心、垂心.例题：已知A（0,0），B（4,2），C（1,1），（1）求ΔABC的垂心H的坐标；（2）求ΔABC外接圆的方程.解：∵AB=(4,2) ,AC=(1,1), BC=(-3,-1) ，∴cos A=cosAB,AC=AB⋅AC|| AB|| AC=31010,∴sin A=1-cos2A 10∴cos B= BA⋅BC|| BA|| BC=7210 ,sin B∴cos C=-cos(A+B)=-255，sin C（1） a=||BC=10,b=2,c=25,tan A=sin A cos A=3,tan B=7,tan C=-12,tan A⋅x1+tan B⋅x2+tan C⋅x3tan A+tan B+tan C=5519，tan A⋅y1+tan B⋅y2+tan C⋅y3tan A+tan B+tan C=1319，所以ΔABC垂心H的坐标为(5519,1319).(2)sin2A=2sin A cos A=35,sin2B=725,sin2C=-45, sin2A⋅x1+sin2B⋅x2+sin2C⋅x3sin2A+sin2B+sin2C=4， sin2A⋅y1+sin2B⋅y2+sin2C⋅y3sin2A+sin2B+sin2C=-3，则ΔABC外接圆的圆心为 M(4,-3),r=||MA=5，所以ΔABC外接圆的方程为(x -4)2+(y+3)2=25.解答本题的常规方法是利用直线的方程之间的关系建立关系式，但利用三角形“四心”的坐标公式，解题更加方便快速.三角形“四心”的坐标公式是解答向量、平面几何、解三角形问题、圆锥曲线问题的重要工具.同学们可以熟记该公式并将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：安徽省马鞍山市和县第二中学）考点透视41Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
中考数学知识点：三角形的重心
中考数学知识点：三角形的重心为了能更好更全面的做好复习和迎考准备，确保将所涉及的2019中考考点全面复习到位，让孩子们充满信心的步入考场，现特准备了2019中考数学知识点。
三角形的重心：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
2.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
3.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X 3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
4重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
三角形重心坐标公式怎么推
三角形重心坐标公式怎么推
重心坐标公式的推导：
设三点为A(x1.y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)
重心坐标(xm,ym)
考虑xm，任取两点（不妨设为A和B）,则重心在以AB为底的中线上.
AB中点横坐标为(x1+x2)/2
重心在中线距AB中点1/3处
故重心横坐标为xm=1/3*(x3-(x1+x2)/2)+(x1+x2)/2=(x1+x2+x3)/3
同理，ym=(y1+y2+y3)/3
重心坐标的公式：
平面直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3
空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z2）/3
扩展资料：
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
三角形重心坐标公式推导过程
三角形重心坐标公式推导过程三角形是几何学中最基本的形状之一，它有许多重要的性质和公式。
其中一个重要的公式是三角形的重心坐标公式，它可以帮助我们计算三角形的重心的坐标。
下面，我们将推导出这个公式。
让我们考虑一个任意的三角形ABC，其中A、B、C分别是三角形的三个顶点。
我们的目标是找到三角形的重心坐标。
由于重心是三角形三条中线的交点，我们可以先找到三条中线的方程，然后求解它们的交点坐标。
中线是连接一个顶点和对边中点的线段。
设D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，即D是BC的中点，E是AC的中点，F是AB的中点。
我们可以通过求取D、E、F的坐标来得到中线的方程。
我们知道中点D的坐标是BC两个顶点坐标的平均值，即D的坐标为：D = (B+C)/2同样地，中点E的坐标是AC两个顶点坐标的平均值，即E的坐标为：E = (A+C)/2中点F的坐标是AB两个顶点坐标的平均值，即F的坐标为：F = (A+B)/2现在，我们已经得到了三个中点的坐标。
接下来，我们将求取中线和坐标轴之间的关系。
我们来求取中线DE的方程。
由于D和E分别是BC和AC的中点，我们可以得到中线DE的斜率k1为：k1 = (E.y - D.y) / (E.x - D.x)同样地，我们来求取中线EF的方程。
由于E和F分别是AC和AB的中点，我们可以得到中线EF的斜率k2为：k2 = (F.y - E.y) / (F.x - E.x)我们来求取中线FD的方程。
由于F和D分别是AB和BC的中点，我们可以得到中线FD的斜率k3为：k3 = (D.y - F.y) / (D.x - F.x)现在，我们已经得到了三条中线的方程。
接下来，我们需要求解它们的交点坐标。
为了方便计算，我们可以将上面的斜率方程化简为截距方程。
假设中线DE的截距为b1，中线EF的截距为b2，中线FD的截距为b3，则有：b1 = D.y - k1 * D.xb2 = E.y - k2 * E.xb3 = F.y - k3 * F.x现在，我们可以通过求解这个线性方程组来得到交点的坐标。
三角形的重心知识点详解2024人教版
三角形的重心知识点详解2024人教版三角形的重心是几何学中的一个重要概念，它不仅在理论上有着丰富的性质和应用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形重心的定义、性质、计算方法及其应用，帮助读者全面理解这一重要知识点。
一、三角形重心的定义三角形的重心是指三角形三条中线的交点。
中线是从一个顶点到对边中点的线段。
重心具有以下几个重要特点：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这意味着重心将每条中线分成两部分，其中靠近顶点的部分是靠近对边中点部分的两倍。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这表明重心将三角形分成了三个面积相等的小三角形。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这意味着重心是三角形内到三个顶点距离的平方和最小的点。
二、三角形重心的性质三角形重心具有许多重要的性质，这些性质在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些主要性质：1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
这一性质可以通过中线定理证明。
2. 重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
这一性质可以通过面积公式证明。
3. 重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。
这一性质可以通过向量法或解析几何的方法证明。
4. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
这一性质可以通过均值不等式证明。
5. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
这一性质可以通过坐标几何的方法证明。
三、三角形重心的计算方法计算三角形重心的方法有很多种，以下是几种常见的方法：1. 坐标法：在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点坐标分别为((x_1, y_1))、((x_2, y_2))和((x_3, y_3))，则重心的坐标为：这一公式表明重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均。
2. 向量法：设三角形的三个顶点分别为(mathbf{A})、(mathbf{B})和(mathbf{C})，则重心(mathbf{G})的向量表示为：这一公式表明重心的向量是三个顶点向量的算术平均。
三角形中位线重心的性质及应用
课题：三角形重心的性质及应用（教学目的：1、了解三角形重心的概念，掌握重心的性质并能加以应用。
2、了解并握“同一法”证明思路。
教学重、难点：三角形重心的性质及其应用。
教学过程：思考一：已知，如图，BE、CF是厶ABC的中线，并相交于G，GE GF 1求证：= =一GB GC 2思考二：假如AD是厶ABC的BC边上的中线，那么G点是否在AD上？归纳结论：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
2、重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍学生练习：1、已知，△ ABC中，/ C=90°，G是三角形的重心，，AB=8，求：①GC的长；② 过点G的直线MN // AB，交AC于M， BC于N，求MN的长。
GM2、已知，△ ABC中，G是三角形的重心，AG丄GC, AG=3 , GC=4，求BG的长教学小结：由学生归纳总结作业：在直AABC中，ZC=90・，CB=6> CA=fi. G尙重心・到斜边筋的距离为（己知G昱AAEC的重心，过G作EF〃BC且与AB. AC分别交千取F两点，贝i]EF? EC的值为（）如图，A ABC的面积为6山点0是重心，连捞BG并延长交AC于D,连捞GA,则4GAB的面积为（）如團G 为AABC 的重心，GE "AC,若 S_Agc=36,贝i]S^GD5=____________ ・A I ___ y _____ 1丄h I I A I如图.AABC中，AB=AC, AD为BC边上的高，BE为AC边LtEfl中线，AD与BE交干点M.若A輝，在梯刪BC呻,AD〃BC,点咗BC上，RE=3E,即是CD贰中爲fiAFlAB, gAD=2.7i AF=4I AB=6.求C确杞解：廷长AF至EC延长线上交千G点，IAD/7BC,••• △虫D2AGCF,AAF： FG=DF： CF,VDF=CF.•- AF=FG.••• AE 二BE,/.ZABE=ZBAE,VAF1AB,AZABEfZAGB=90° , ZBAE+ZEAG=90° ,/.ZAGB=ZEAG,••• AE 二EG,；.GE=BE,・・・E为BG中点,•・.EF是AABG的中位线，故可得：EF=*AB=3, FG=AF = 4,/.AG=8,A BG= 10».•-EG=5>在厶価：中.AD交肚于点D. E. F和G分别是边桶、AC和AD上的点•且IE=GF=AFi FG〃BE・连接BG, EF.(1) 试说明AD平分ZBAC.9(2) 若AB=4, AG=3, BE=T,试说明△ ABGs^AGF.4如图，已知F, G>网别是四边形ABCDM边AB, BC> CD> A［构中点i且2巳CE交于点K J AG> CH交于点L■则: gg妙私a?Q的值为（D C B A•••■5|1 4|1 3|1 CC|1如国 > 在四边形ABCD中 > 对角銭AG BD5T于点0»已知AC二BD. M, N分另I」是AD , 中点,MN与AC. BD分别交于点E , F>则△0丘尸是（）A. 等边三角形B. 等緩三角形C. 直角三角形D. 等膜直角三角賊…丸G分别是.40 g的中点，如图，取CQ的中点G,连按MG, YG.:.MG是△JCQ的中位线，:.MGlI AC t MG = -AC,2同理可证；NG II BD, NG丄BD,2如 在 ZSABC 中,AB = 8cm> AC = 5cm, AD 平分 ZBAC J 且 AD 丄 CD. E 为 BC 的中点，则 DE=()•/AD 平分A BAC , AD \_CD , Av CF 是等腰二角形，'.CD=DF, AF=AC=5, 5F=4B-4F=8-5=3,TE 为EC 的中点，:・DE 是SCF 的中位线，/. DE = — BF = 1.5cm・2 故选D ・ 如图，延长CD 交肿于点F.A. 3cmB. 5cmC ・ 2.5cm如圈，在ZiABC 中> AB=AC J ZBAC=90°> D 为BC 边上一点，连接AD ,以AD 为一边在AD 的右厠作正方形ADEF J CF3IDE 于点P •若月C =4^2 CD=2丿则线段CP 的长为（如图|过点#作AM 丄BC 于点M >过虫E 作日I 丄BC,交B 曲延展线于点H ・由题意可得，ZACB-45°> AAMC 为等腰亘角三角形丿ZDAF-90°> AD-AF .v AC =4^2 ,AM = MC = — AC=42V CD=2JAMD»2.VZBAC=ZDAF=90°> AZBAD=ZCAF. 又TAB = AG AD=AF> •••△BAD^ACAF, .-.ZB=ZACF=45°,A ZFCD= ZACB+ZACF=90a / 即FCXBC, FC/7 EH .A. 1B. 2U 迈D ・品如gb AC与BD相交于点6己知厶人。
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明证明三角形的重心定理，可以从几何角度和向量角度两个方面进行证明。
下面我将分别从这两个方面进行证明。
几何证明：假设在三角形ABC中，AD、BE、CF为三条中线，交于点G。
需要证明G为三角形ABC的重心。
首先，我们知道，三角形的中线是连接三角形两边中点并且平行于第三边的线段。
所以，AD是BC的中点E到A的中线，即AE=EC，同样，BE 是AC的中点D到B的中线，即BD=DA，CF是AB的中点F到C的中线，即CF=FB。
我们需要证明AG、BG、CG是三角形ABC的三条边AB、BC、CA的中垂线。
由于AE=EC，所以角EAC=角ECA，同样，由于BD=DA，所以角DBA=角DAB。
根据角的平分线定理，我们可以得知角GAB=角GAC=角BAG=角CAG。
同理，我们可以得知角GBA=角GBC=角ABG=角CBG，以及角GCB=角GCA=角CGB=角AGC。
由于三角形的内角和等于180度，所以有角CAB+角ABC+角BCA=180度。
根据角度和定理，我们可以得到以下等式：角GAC+角BAG+角GAB+角GCA+角GBA+角GCB=(角CAB+角ABC+角BCA)*2=360度因此，角GAB+角GBC+角GCA=180度。
由此可见，G是三角形ABC的内角的三边的共同交点，即G是三角形ABC的重心。
证毕。
向量证明：我们可以通过向量的运算来证明三角形的重心定理。
假设点A、B、C分别对应向量a、b、c。
点G对应向量g，即G=(x,y,z)。
根据中线的定义，可以得到以下等式：BG=(AB+BC)/2CG=(AC+BC)/2AG=(AC+AB)/2我们可以将这些等式转化为向量的形式：2BG=AB+BC2CG=AC+BC2AG=AC+AB因此，我们可以得到以下等式：2(b-g)=(a-b)+(c-b)2(c-g)=(a-c)+(b-c)2(a-g)=(b-a)+(c-a)将等式两边展开，我们可以得到：2b-2g=a-b+c-b2c-2g=a-c+b-c2a-2g=b-a+c-a整理等式，我们可以得到：3g=a+b+c因此，向量g的坐标为(x,y,z)，满足等式3g=a+b+c，即g=(1/3)(a+b+c)。
三角形重心坐标公式
三角形重心坐标公式三角形重心是三角形的重要特征之一，其坐标可以通过三角形三个顶点的坐标求得。
在平面直角坐标系中，如果三角形的三个顶点分别为(x1,y1)，(x2,y2)和(x3,y3)，则三角形重心的坐标为：(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3这个公式的推导比较复杂，需要借助向量和向量运算，下面我们来看一下其具体推导过程。
1.向量的概念向量是在数学和物理学中广泛使用的一种基本数学工具，它不同于普通的数值，是一个带方向的量。
一个向量可以由它在任意坐标系下的坐标表示，也可以用头尾相接的箭头表示。
在平面直角坐标系中，向量可以用(x,y)的形式表示。
2.向量的运算向量可以进行加减、数乘、点乘和叉乘等运算。
其中，点乘也叫数量积，叉乘也叫向量积。
向量加法：两个向量的和等于将它们的对应分量相加所得到的向量。
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)向量减法：一个向量减去另一个向量，等于将它们的对应分量相减所得到的向量。
(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)2.2 向量的数乘向量的数乘：用一个数乘以向量的每一个分量，得到新的向量。
k(a,b)=(ka,kb)2.3 向量的点乘向量的点乘：两个向量的点乘等于它们的对应分量相乘后相加所得到的数。
(a,b)·(c,d)=ac+bd向量的叉乘：两个向量的叉乘等于一个新的向量，它和这两个向量都垂直，长度等于两个向量构成的平行四边形的面积。
(a,b)×(c,d)=(ad-bc)3.三角形的重心重心是三角形内三条中线的交点，由于中线是从一个顶点到对边中点的线段，所以三角形的重心将三个顶点平均分成三等份。
在平面直角坐标系中，已知三个顶点分别为(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)，我们来推导一下重心的坐标。
首先，我们找到三角形AB、BC和CA的中点M、N和P（如图所示），它们的坐标分别为：M(x1+x2)/2, (y1+y2)/2N(x2+x3)/2, (y2+y3)/2P(x3+x1)/2, (y3+y1)/2接下来，我们构造两个向量，一个从B点指向M点，另一个从C点指向P 点，它们的坐标分别为：BM(x1+x2)/2-x2, (y1+y2)/2-y2CP(x1+x3)/2-x3, (y1+y3)/2-y3我们可以将它们化简：BM=(x1-x2)/2, (y1-y2)/2CP=(x3-x1)/2, (y3-y1)/2因为三角形的重心G是中线MN和中线CP的交点，所以可以用向量的加减来表示它的坐标：MN+CP=(x1+x2)/2, (y1+y2)/2+(x3-x1)/2, (y3-y1)/2=(x1+x2+x3)/2, (y1+y2+y3)/2最后，将MN+CP的坐标除以2，就得到重心的坐标：G=(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3这就是三角形重心坐标公式的推导过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形重心的推导及其应用
在新课标人教版八年级数学下册的四边形这一章节中提出了重心这一概念，但是并没有作出具体的阐述，为了让学生深入的了解重心的特征，适应教学的需要，我根据学生现有的知识面，对三角形的重心特征进行了适当的归纳，并进行了合理的运用，目的是希望学生能通过这一过程的学习从而能很好的掌握重心的特性，并能灵活运用。
概念：三角形的重心就是它的三条中线的交点。
性质1：三角形的重心到三角形的一个顶点及其对边的距离之比是2：1。
证明：已知△ABC中，CE、BD是AB、AC上的中线，BD与CE相交于O，BO与DO的长之间有何关系？
解析：作BO中点M，CO中点N，连结ED、EM、DN、MN∵ED为△ABC 中位线，∴ED= BC且ED∥BC，又∵MN为△OBC中位线，∴MN= BC且MN ∥BC，∴ED与MN平行且相等，∴EMND为□，∴MD与EN互相平分，∴OM=OD，∴OD：OB=1：2。
性质运用
例1 已知，如图，AD为△ABC中线，E为AD中点，F为BE延长线与AC的交点，求AF：FC的值。
解析：过C作CG∥AD交BA延长线于G，∵D为BC中点，∴AD为△BGC 中位线，∴A为BG中点，延长BF交GC于H，∵E为AD中点，∴H为CG 中点，∴CA与BH交点F为△BGC的重心，
∴AF：FC=1：2。
例2 如图在△ABC中，∠BAC=90O，M为AC中点，AG⊥BM，且BG=2GM，①求证：BC=3AG。
②若AB=√6，求BM的长。
解析：①∵M为AC中点且BG=2GM，∴点G为△ABC的重心，延长AG 交BC于H，∵点G为重心，∴AG=2GH且H为BC的中点，设GH=x，则AG=2x，AH=3x，∵△ABC为直角三角形，∴AH=12BC ，∴BC=6x，∴BC=3AG。
性质2：三角形三条中线所分得的6个小三角形的面积相等，且每个小三角形的面积都为大三角形面积的16。
证明如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，求证：S1= S2= S3= S4= S5= S6
解析：∵F为AB的中点，∴S1= S2
D为BC的中点，∴S3= S4
E为AC的中点，∴S5= S6
又∵DF为△ABC的中位线，∴DF∥AC，∴S△AFD=S△CFD ∴S1= S4
∴S1= S2= S3= S4，又∵AO：OD=2：1∴S△AOC：S△DOC=2：1
即2S6：S4=2：1 ∴S6= S4∴S1= S2= S3= S4= S5= S6
例3 如图，点E、F为正方形ABCD的两边AB、BC的中点，AF、CE相交于G点，若正方形ABCD的面积等于1，求四边形AGCD的面积。
解析：连结AC，∵E为AB中点，F为BC中点，∴G为△ABC的重心，∴S△AGC=13S△ABC，又∵S正方形ABCD=1，∴S△ABC= S△ADC= 12，∴S△AGC=13×12 =16 ，∴S△AGCD= S△ADC+ S△AGC= 12+ 16 = 23.
例4 四边形ABCD中，E为BC中点，AE与BD相交于F，若BF=DF，AF=2EF，求S△ABD：S△ABC：S△ACD=_________。