11论文正文致谢参考文献

0引言

数学分[]1~2析（理科数学专业）及高等数[]3~4学（理工科非数学专业）这两门课程是高校数学课程中最基础最重要的分支之一，其主要内容都是微积分.而极限、定积分、二重积分这三个数学概念是数学分析及高等数学这两门课程中基本的抽象的数学概念.极限、定积分、二重积分这三个数学概念的精确定义在上述数学分析及高等数学两种教材中都有精确的描述，在正文中将给出.这里首先是探讨一下极限、定积分、二重积分这三个数学概念的教学，让读者先搞清楚这三个数学概念，对这三个数学概念有一个正确的理解.然后主要是根据这三个数学概念的定义以及各种教材、参考资料及考试中常见的有代表性的问题或实例等探讨这三个数学概念相互之间的多方位，多角度，多层次的关系（归根揭底还是由概念相互之间的关系决定的）并总结得出一套新的系统的理论与方法技巧为高校数学教师的数学概念教学特别是数学概念相互之间关系的教学提供理论方法技巧及参考价值，也可供高校学习数学的大学生参考借鉴.

在极限、定积分、二重积分的概念教学过程中运用哲学思想，引用历史典故和逻辑思维及直观图象等方式方法，变抽象数学概念为学生易于接受的信息，使学生更容易掌握新概念，新理[]5

论. 数学是概念的链条，总是用原有的概念解释新的概念.这里一是说在学习数学的进程中概念之多，其二是说概念间的连续性之强.所以在学习数学这门课程时，如果学生不能准确地认识理解掌握运用概念，学生也就不能正确的掌握运用数学这门知识技能.因此，在数学教学中讲清概念至关重要.

比如说，极限概[][][][]1356~11念是数学分析及高等数学中最基础最重要也是最难掌握的一个概念，是整个数学分析及高等数学的基础，是一个重点也是一个难点，它是研究微分学与积分学的必备工具，对它的理解与掌握直接关系到对数学分析及高等数学这两门课程掌握的好坏，直接关系到后继课程的理解程度.

数学分析及高等数学中的许多概念都可归结为极限，例如本文将要探讨的定积分、二重积分都是积分和（也叫黎曼和，是一种特殊的和式，后面将给出其精确定义）的极限.由此可见弄清极限的概念是学习数学分析及高等数学的核心所在.

比如说，定积分概[][][][]13512~16念就是用极限定义的，而二重积分概[][][][]13517念也是用极限定义的，定积分、二重积分的概念都是用积分和的极限来定义的,这就是定积分与极限、二重积分与极限这两对数学概念之间的根本性的关系.所以可以利用定积分定义来计算形如积分和的极[]18~21限.

而二重积分也可以用定积分来解释，它可以转化为二次积分（也叫累次积分，分为先积x 后积y 与先积y 后积x 两种，后面将给出其精确定义）或两个定积分的乘积来计算或证明，而二次积分就是两次定积分.反过来，定积分也可以转化为二重积分来计算或证明.对于某些结构特殊的被积函数，文献[24]还给出了五个将低维数的定积分转化为高维数的二重积分的例子，文献[25] 也给出了一种特殊的利用二重积分解决有关定积分问题的方法（一个命题）及两个有代表性的例子.也就是说二重积分与定积分可以互化来计算或证明.这就是二重积分与定积分这一对概念之间的关系之[]22~25一.

由此可见，探讨数学概念相互之间的关系则更显得重要，因为他能帮助学生更深刻地更全面地更清晰地认识理解掌握数学概念，更熟练地运用数学概念，并且总结得出一套新的系统的理论与方法技巧供学生学习参考借鉴运用，也可供数学教师教学参考借鉴.

高等数学中的概念往往是很抽象的，内容理论性很强有时是很枯燥的.在数学概念的教学过程中，我们总是力求创建一些易于引起美感的课堂教学结构与形式，如使用精致直观的数学图形，严谨有趣的数学算式，幽默风趣的数学语言，生动形象的数学故事等，都可变抽象概念为直观，变深奥理论为通俗，变枯燥内容为有趣，使学生接受数学信息的思维活动寓于愉悦之中，轻松愉悦地掌握高等数学知识和技能.

而运用这些富有创造性的数学方法技巧讲授数学概念并通过实例探讨总结数学概念相互之间的关系则更能帮助学生理解接受掌握数学概念及其相互之间的关系并熟练地运用它们解决与之相关的数学问题，也为数学教师讲授数学概念特别是其相互之间的关系提供了有用的方法技巧及参考价值.

数列极限，函数极限概念都是很抽象的，不论从定义的描述形式还是从定义内容上学生初次接触都会感觉很陌生.所以我们不必急于给出概念，而是从生活

中的实例让学生自己在思想上建立极限的概念.庄子云：“1尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是说：“1尺的杆子，第一天截去一半，第二天截去剩余的一半，第三天截去第二次剩余的一半，第四天截去第三次剩余的一半，⋯⋯依此下去，永远不能截完.”如果我们把每次的剩余用数顺次表示出来，就得到一个公比为1/2的数列：1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，1/64，1/128⋯⋯那么，当天数

x)将趋于一个常数(零).这一阐述，既贴近生活现实又能n无限增大时，数列{

n

体会到其中辩证的哲学思想，言之有物，对学生理解变量(天数)的变化过程和数列的变化趋势这一极限概念，印象深刻.会认识到极限概念并不是空穴来风，而是实实在在存在于生活之中，会激发学生的学习兴趣.再结合书中几个引例，给出定义.这样，有一种水到渠成，自然流畅之感.

初学极限的人，都感觉极限概念难以掌握，极限概念的精确定义难以理解，弄不清为什么要这样定义表现出多方面的困惑.学生从小学到高中学习的都是常量数学，被研究的量都是固定不变的，且都是有限的.学生没有遇到过无限的数学模型，习惯用一种静态不变的观点来分析问题.而极限是一个无限过程，需用运动、变化的观点来考察问题.初学极限者，最难解决的是从有限到无限的转变.公元263年，我国古代数学家刘徽在求圆的周长时使用的“割圆求周”的方法，就使用了极限方法.刘徽借助圆的内接正多边形的周长来求圆的周长.其作法是：依次作圆的内接正六边形、圆的内接正十二边形、圆的内接正二十四边形⋯⋯，每个圆的内接正多边形周长都可求得.圆内接正多边形边数越多，其周长就与圆的周长越接近，正如刘徽所说“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”这个方法蕴涵了极限思想.

通过这两个学生在生活学习中经常遇到的实例引出极限的精确定义，便于学生接受理解，也便于教师的讲解.

这两个实例也是极限概念产生的历史背景.这两个实例说明极限概念在我国古代的文献中早有记载，极限概念产生的历史背景源远流长.

张景中院士创立了“非ε语言”.为数学教育方便,称这种”非ε语言”为“z 语言”.“z语言”把“ε逻辑语言”变成代数运算,解决了“ε语言”难教难学问题.用“z语言”讲极限理论,这是数学分析课程的一次重大改革.从全国实验看