传热学第二篇
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7
温度梯度与热流密度矢量的关系
如图 2-2 （ a ）所示，表示了微元面积 dA 附近的温度 分布及垂直于该微元面积的热流密度矢量的关系。 1 ）热流线
定义：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平 面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。
2 ）热流密度矢量与热流线的关系： 在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。如
图 2-2 （ b ）所示，其特点是相邻两个热流线之间所传递 的热流量处处相等，构成一热流通道。
8
9
六、导热系数（Thermal conductivity）
由傅利叶定律得到:
q /g r a d t W ( m C )
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内 通过单位面积的热量。 导热系数表征物质导热能力大小，由实验测定。 影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、
qz
t z
d Q d [ x ( x t) y( y t) z( z t)]d x d y d z d
17
2 d 时间微元体内热源的发热量
dQvqvdxdydzd
3 d 时间微元体热力学能的增量
dct dxdydzd
根据热力学第一定律
dQddQv＝d
导热微分方程式导 热过程的能量方程
q g r a d t [ W m 2 ]
: 热导率（导热系数） W(m C)
直角坐标系中：
qq xi q yj q zk x ti y tj z tk
➢ 上面公式给出了穿过一个表面的热流密度与垂直于该表面的 温度梯度之间的关系，但是有一个前提，只适用于各向同性材 料：热导率在各个方向是相同的
湿度、压力、密度等 导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。
10
不同物质导热机理
➢ 气体的导热系数 依靠分子无规则的热运动和相互碰撞实现热量传递
➢ 固体的热导率 a) 金属的热导率： 依靠自由电子的迁移和晶格的振动主要依靠前者 b) 非金属的热导率： 依靠晶格的振动传递热量；比较小
➢ 液体的导热系数 主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞 晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周 期性点阵，即所谓晶格
温度变化；有无内热源Байду номын сангаас大小和分布；
➢ 初始条件 又称时间条件，反映导热系统的初始状态
稳态导热过程不需要时间条件—与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布
➢ 边界条件
t f(x,y,z) 0
说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相
互作用的条件 分类：第一类、第二类、第三类边界条件
0
o x
qsqwf(x,y,z,)
qw
根据傅里叶定律：
qw n tw, n twqw
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法 向的温度梯度值
稳态导热： qw const非稳态导热： qw f()
特例：绝热边界面：qw n tw0 n tw0
26
➢ 第三类边界条件
当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知 任一时刻边界面周围流体的温度和表面传热系数
➢ 温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
5
四、热流密度矢量(Heat flux)
➢ 热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量 不同方向上的热流密度的大小不同
➢ 热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度 的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度
➢ 直角坐标系中： qqxi qy j qzk
传热学 第二章 稳态热传导
§2-1 导热的基本定律 §2-2 导热问题数学描写---微分方程式及定解条件 §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解 §2-4 通过肋片的导热分析 §2-5 具有内热源的导热及多维导热
1
§2-1 导热的基本概念和定律
一、温度场（Temperature field）
➢ 各时刻物体中各点温度分布的总称
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r c o s
21
22
四、导热过程的单值性条件
➢ 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+热一律 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉 及具体、特定的导热过程。通用表达式。
➢ 对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明 条件的唯一解
傅里叶定律： q -g r a d t [ W m 2 ]
确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场
tf(x,y,z,)
首要任务
➢ 理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
➢ 假设： (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知
(3) 物体内具有均匀分布内热源；强度为 qv [W/m3] qv 表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量
13
在导热体中取一微元体
根据能量守恒定律，微元时间段d 内净导入微元体的净热 量dQd加上微元体内热源生成的热量dQv应等于微元体热力
学能的增加量
d 时间内微元体中：
[导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增加]
dQddQv＝d
14
1 导入与导出微元体的净热量
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入
y2t2
z2t2)
➢ 物性参数为常数，稳态
2t
2t
2t
qv
0
x2 y2 z2
泊松 方程
➢ 物性参数为常数，无内热源，稳态 拉普拉斯方程
2t x2
2t y2
2t z2
0
19
三、其他坐标下的导热微分方程
c t x( x t) y( y t) z( z t) q v
➢ 对于圆柱坐标系
ρ τ t c 1 r r λ r t r r 1 2 λ t z λ z t q v
x r cos
y
r
sin
z z
20
➢ 对于球坐标系
ρ τ t c r 1 2 r λ 2 r t r r 2 s 1 2 i n λ t r 2 s 1i n λs t i q n v
是与1/(c)两
个因子的结合
越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量
➢ 分母c是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。
c越小，温度上升1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的
热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。
➢ a反映了导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力c
之间的关系.
➢ a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力
t f (x)
2
二、等温面与等温线
➢ 等温面：同一时刻、温度场中所有 温度相同的点连接起来所构成的面
➢ 等温线：用一个平面与各等温面相
交，在该平面上得到一个等温线簇 在二维的截面上等温面表现为等温 线。 ➢ 等温面与等温线的特点 (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
(2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断， 它们要么封闭,要么终止于物体表面上
1）适用于热流密度不很高，而作用时间长。同时傅立叶定 律也适用该条件。 2）若属极低温度（ -273 ℃ ）时的导热不适用。（温度效 应） 3）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。（时间 效应） 4） 空间尺度极小，与微观粒子的平均自由程接近，不适 用。（尺寸效应）
29
热扩散率a a c
➢ 分子是物体的导热系数。
➢ 单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件 ➢ 完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 ➢ 单值性条件包括四项： 几何条件 物理条件
初始条件 边界条件
23
单值性条件
➢ 几何条件 说明导热体的几何形状和大小 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等
➢ 物理条件 说明导热体的物理特征
如：物性参数 、c 和 的数值，是否随
➢ d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
dQydQydy
qydxdydzd
y
➢ d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
dQ zdQ zdz q zzdxdydzd
16
[导入与导出净热量]
dQ d( q xx q yy q zz)dxdydzd
由傅里叶定律：
qx
t x
qy
t y
x
➢ 单值性条件
➢ 几何条件：单层（或多层）；厚度
➢ 物理条件：、c、 已知；有或无内热源
➢ 时间条件： t 0
稳态
➢ 边界条件：第一类：已知 tw 第三类：已知 h, tf
31
1. 通过单层平壁的导热
导热微分方程
ddx(ddxt)qv 0
1.1 无内热源，λ为常数，第一类边界
微分方程
d 2t dx2
➢ 温度梯度和热流密度的方向都是在等温 面的法线方向。由于热流是从高温处流 向低温处，因而温度梯度和热流密度的
方向正好相反。
q
q
q q cos
t+Δt t
t-Δt
6
五、傅里叶定律（Fourier’s law）
➢ 导热基本定律：在导热过程中，单位时间内通过给定截面的 导热量，正比于垂直该截面方向上的温度变化率和截面面积， 而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。
(3) 当相邻等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏 密可直观地反映出不同区域导热热流密度的相对大小
3
三、温度梯度（Temperature gradient）
➢ 温度的变化率沿不同方向一般是不同的，温度沿某 一方向上x的变化率在数学上可以用该方向上温度对 坐标的偏导数来表示，
温度梯度是用以反映温度场在空间的变 化特征的物理量
牛顿冷却定律：
qwh(twtf )
tf, h
傅里叶定律：
qwtnw
qw
t n w h (tw tf)
导热微分方程式的求解方法
积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
27
实际工程中的两种情形（P45）
辐射边界条件 界面连续条件
28
导热微分方程的适用范围
4
➢系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间的温 差与其法线间的距离之比的极限为该点的温度梯度， 记为gradt
gr a Ld i tm t tn ti tj tk n 0 n n x y z
➢直角坐标系：（Cartesian coordinates）
gradtti t jtk x y z
11
不同物质的导热系数
固体 液体 气体金属非金属
纯 铜398w/mC 大 理 石2.7w/mC 0˚C时： 冰2.22w/mC
水0.551w/mC
蒸 汽0.0183w/mC
习惯上把导热系数小材料称为保温 材料。高效能的保温材料多为蜂窝 状多孔结构。
12
§2-2 导热问题的数学描写 一、导热微分方程式
的热量：
dQx qxdydzd
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导
出的热量：
dQ xdxqxdxdydzd
qxdx
qx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
dQ xdQ xdx q xxdxdydzd
15
➢ d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
dQ xdQ xdx q xxdxdydzd
➢ 温度场是时间和空间的函数 tf(x,y,z,)
t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -时间坐标
➢ 稳态温度场 t 0 ➢ 非稳态温度场 t 0
稳态导热 非稳态导热
➢ 一维温度场： ➢ 二维温度场： ➢ 三维温度场：
➢ 一维稳态温度场：
t f (x,)
t f(x,y,) tf(x,y,z,)
24
边界条件
➢ 第一类边界条件
已知任一瞬间导热体边界上温度值：
t s tw
s — 边界面; tw— 边界面上的温度 稳态导热： tw = const 非稳态导热： tw = f ()
例： x 0, t tw1
x , t tw2
25
tw1 tw2
o
x
➢ 第二类边界条件
已知物体边界上热流密度的分布及变化规律：
越大，故称为热扩散率
➢ a越大，材料中温度变化越迅速，a也是材料传播温度变化能
力大小的指标，故有导温系数之称。
30
§2-3 一维稳态导热 一、通过平壁的导热
➢ 假设 长度和宽度远大于厚度
——简化为一维导热问题
➢ 导热微分方程
c t x( x t) y( y t) z( z t) q v o
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v
18
二、导热微分方程式的简化
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v
热扩散率
a c
➢ 物性参数、c和均为常数
t 2t
a(x2
2t y2
z2t2)qvc
➢ 物性参数为常数，无内热源
t
a(x2t2
温度梯度与热流密度矢量的关系
如图 2-2 （ a ）所示，表示了微元面积 dA 附近的温度 分布及垂直于该微元面积的热流密度矢量的关系。 1 ）热流线
定义：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，通过平 面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。
2 ）热流密度矢量与热流线的关系： 在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。如
图 2-2 （ b ）所示，其特点是相邻两个热流线之间所传递 的热流量处处相等，构成一热流通道。
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六、导热系数（Thermal conductivity）
由傅利叶定律得到:
q /g r a d t W ( m C )
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位时间内 通过单位面积的热量。 导热系数表征物质导热能力大小，由实验测定。 影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、
qz
t z
d Q d [ x ( x t) y( y t) z( z t)]d x d y d z d
17
2 d 时间微元体内热源的发热量
dQvqvdxdydzd
3 d 时间微元体热力学能的增量
dct dxdydzd
根据热力学第一定律
dQddQv＝d
导热微分方程式导 热过程的能量方程
q g r a d t [ W m 2 ]
: 热导率（导热系数） W(m C)
直角坐标系中：
qq xi q yj q zk x ti y tj z tk
➢ 上面公式给出了穿过一个表面的热流密度与垂直于该表面的 温度梯度之间的关系，但是有一个前提，只适用于各向同性材 料：热导率在各个方向是相同的
湿度、压力、密度等 导热系数反映了物质微观粒子传递热量的特性。
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不同物质导热机理
➢ 气体的导热系数 依靠分子无规则的热运动和相互碰撞实现热量传递
➢ 固体的热导率 a) 金属的热导率： 依靠自由电子的迁移和晶格的振动主要依靠前者 b) 非金属的热导率： 依靠晶格的振动传递热量；比较小
➢ 液体的导热系数 主要依靠晶格的振动也有分子的无规则运动和碰撞 晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周 期性点阵，即所谓晶格
温度变化；有无内热源Байду номын сангаас大小和分布；
➢ 初始条件 又称时间条件，反映导热系统的初始状态
稳态导热过程不需要时间条件—与时间无关 对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布
➢ 边界条件
t f(x,y,z) 0
说明导热体边界上过程进行的特点，反映过程与周围环境相
互作用的条件 分类：第一类、第二类、第三类边界条件
0
o x
qsqwf(x,y,z,)
qw
根据傅里叶定律：
qw n tw, n twqw
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法 向的温度梯度值
稳态导热： qw const非稳态导热： qw f()
特例：绝热边界面：qw n tw0 n tw0
26
➢ 第三类边界条件
当物体壁面与流体相接触进行对流换热时，已知 任一时刻边界面周围流体的温度和表面传热系数
➢ 温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
5
四、热流密度矢量(Heat flux)
➢ 热流密度：单位时间单位面积上所传递的热量 不同方向上的热流密度的大小不同
➢ 热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度 的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度
➢ 直角坐标系中： qqxi qy j qzk
传热学 第二章 稳态热传导
§2-1 导热的基本定律 §2-2 导热问题数学描写---微分方程式及定解条件 §2-3 典型一维稳态导热问题的分析解 §2-4 通过肋片的导热分析 §2-5 具有内热源的导热及多维导热
1
§2-1 导热的基本概念和定律
一、温度场（Temperature field）
➢ 各时刻物体中各点温度分布的总称
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r c o s
21
22
四、导热过程的单值性条件
➢ 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+热一律 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉 及具体、特定的导热过程。通用表达式。
➢ 对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明 条件的唯一解
傅里叶定律： q -g r a d t [ W m 2 ]
确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场
tf(x,y,z,)
首要任务
➢ 理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律
➢ 假设： (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知
(3) 物体内具有均匀分布内热源；强度为 qv [W/m3] qv 表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量
13
在导热体中取一微元体
根据能量守恒定律，微元时间段d 内净导入微元体的净热 量dQd加上微元体内热源生成的热量dQv应等于微元体热力
学能的增加量
d 时间内微元体中：
[导入与导出净热量]+ [内热源发热量]= [热力学能的增加]
dQddQv＝d
14
1 导入与导出微元体的净热量
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入
y2t2
z2t2)
➢ 物性参数为常数，稳态
2t
2t
2t
qv
0
x2 y2 z2
泊松 方程
➢ 物性参数为常数，无内热源，稳态 拉普拉斯方程
2t x2
2t y2
2t z2
0
19
三、其他坐标下的导热微分方程
c t x( x t) y( y t) z( z t) q v
➢ 对于圆柱坐标系
ρ τ t c 1 r r λ r t r r 1 2 λ t z λ z t q v
x r cos
y
r
sin
z z
20
➢ 对于球坐标系
ρ τ t c r 1 2 r λ 2 r t r r 2 s 1 2 i n λ t r 2 s 1i n λs t i q n v
是与1/(c)两
个因子的结合
越大，表明在相同温度梯度下可以传到更多的热量
➢ 分母c是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量。
c越小，温度上升1℃所吸收的热量越少，可以剩下更多的
热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更快的升高。
➢ a反映了导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力c
之间的关系.
➢ a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平的能力
t f (x)
2
二、等温面与等温线
➢ 等温面：同一时刻、温度场中所有 温度相同的点连接起来所构成的面
➢ 等温线：用一个平面与各等温面相
交，在该平面上得到一个等温线簇 在二维的截面上等温面表现为等温 线。 ➢ 等温面与等温线的特点 (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
(2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断， 它们要么封闭,要么终止于物体表面上
1）适用于热流密度不很高，而作用时间长。同时傅立叶定 律也适用该条件。 2）若属极低温度（ -273 ℃ ）时的导热不适用。（温度效 应） 3）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。（时间 效应） 4） 空间尺度极小，与微观粒子的平均自由程接近，不适 用。（尺寸效应）
29
热扩散率a a c
➢ 分子是物体的导热系数。
➢ 单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件 ➢ 完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 ➢ 单值性条件包括四项： 几何条件 物理条件
初始条件 边界条件
23
单值性条件
➢ 几何条件 说明导热体的几何形状和大小 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等
➢ 物理条件 说明导热体的物理特征
如：物性参数 、c 和 的数值，是否随
➢ d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
dQydQydy
qydxdydzd
y
➢ d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
dQ zdQ zdz q zzdxdydzd
16
[导入与导出净热量]
dQ d( q xx q yy q zz)dxdydzd
由傅里叶定律：
qx
t x
qy
t y
x
➢ 单值性条件
➢ 几何条件：单层（或多层）；厚度
➢ 物理条件：、c、 已知；有或无内热源
➢ 时间条件： t 0
稳态
➢ 边界条件：第一类：已知 tw 第三类：已知 h, tf
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1. 通过单层平壁的导热
导热微分方程
ddx(ddxt)qv 0
1.1 无内热源，λ为常数，第一类边界
微分方程
d 2t dx2
➢ 温度梯度和热流密度的方向都是在等温 面的法线方向。由于热流是从高温处流 向低温处，因而温度梯度和热流密度的
方向正好相反。
q
q
q q cos
t+Δt t
t-Δt
6
五、傅里叶定律（Fourier’s law）
➢ 导热基本定律：在导热过程中，单位时间内通过给定截面的 导热量，正比于垂直该截面方向上的温度变化率和截面面积， 而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。
(3) 当相邻等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏 密可直观地反映出不同区域导热热流密度的相对大小
3
三、温度梯度（Temperature gradient）
➢ 温度的变化率沿不同方向一般是不同的，温度沿某 一方向上x的变化率在数学上可以用该方向上温度对 坐标的偏导数来表示，
温度梯度是用以反映温度场在空间的变 化特征的物理量
牛顿冷却定律：
qwh(twtf )
tf, h
傅里叶定律：
qwtnw
qw
t n w h (tw tf)
导热微分方程式的求解方法
积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 温度场
27
实际工程中的两种情形（P45）
辐射边界条件 界面连续条件
28
导热微分方程的适用范围
4
➢系统中某一点所在的等温面与相邻等温面之间的温 差与其法线间的距离之比的极限为该点的温度梯度， 记为gradt
gr a Ld i tm t tn ti tj tk n 0 n n x y z
➢直角坐标系：（Cartesian coordinates）
gradtti t jtk x y z
11
不同物质的导热系数
固体 液体 气体金属非金属
纯 铜398w/mC 大 理 石2.7w/mC 0˚C时： 冰2.22w/mC
水0.551w/mC
蒸 汽0.0183w/mC
习惯上把导热系数小材料称为保温 材料。高效能的保温材料多为蜂窝 状多孔结构。
12
§2-2 导热问题的数学描写 一、导热微分方程式
的热量：
dQx qxdydzd
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导
出的热量：
dQ xdxqxdxdydzd
qxdx
qx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
dQ xdQ xdx q xxdxdydzd
15
➢ d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量
dQ xdQ xdx q xxdxdydzd
➢ 温度场是时间和空间的函数 tf(x,y,z,)
t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -时间坐标
➢ 稳态温度场 t 0 ➢ 非稳态温度场 t 0
稳态导热 非稳态导热
➢ 一维温度场： ➢ 二维温度场： ➢ 三维温度场：
➢ 一维稳态温度场：
t f (x,)
t f(x,y,) tf(x,y,z,)
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边界条件
➢ 第一类边界条件
已知任一瞬间导热体边界上温度值：
t s tw
s — 边界面; tw— 边界面上的温度 稳态导热： tw = const 非稳态导热： tw = f ()
例： x 0, t tw1
x , t tw2
25
tw1 tw2
o
x
➢ 第二类边界条件
已知物体边界上热流密度的分布及变化规律：
越大，故称为热扩散率
➢ a越大，材料中温度变化越迅速，a也是材料传播温度变化能
力大小的指标，故有导温系数之称。
30
§2-3 一维稳态导热 一、通过平壁的导热
➢ 假设 长度和宽度远大于厚度
——简化为一维导热问题
➢ 导热微分方程
c t x( x t) y( y t) z( z t) q v o
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v
18
二、导热微分方程式的简化
c t x( x t) y( y t) z( z t)q v
热扩散率
a c
➢ 物性参数、c和均为常数
t 2t
a(x2
2t y2
z2t2)qvc
➢ 物性参数为常数，无内热源
t
a(x2t2