2.4_趣味博弈游戏

在第二阶段，乙知道到第三阶段甲必提出他自己得 s 的分割方 案，若要同意在第二阶段完成交易，自己提出甲得 s2 的分割方案，必 须满足δ s2=δ 2s，即 S2=δ s，此时乙自己的得益为δ (100- s 2 )= δ (100- δ s)=100 - 2 s , 此 收 益 大 于 乙 在 第 三 阶 段 的 收 益 。 (100 s ) =100 2 2 s （0＜ ＜1）
在第一阶段，甲知道按照第三阶段自己所提的分割方案，乙在第 二阶段必定提出使得乙自己收益最大 ( 100 2 s ） 的方案， 要使交易 在 第 一 轮 就 成 功 ， 甲 提 出 让 自 己 得 s1 的 分 割 方 案 ， s1 必 须 满 足
100 s1 100 2 s ，即 s 1 100 100 2 s ( ＞ 2 s ）的分割方案。这样的
你应当都选择“只取 2 号盒子” 。理由如下：
（1）假定神的预测100%准确，如果你选择取“两个盒子”， 你只能得1000元；如果你选择“只取2号盒子”，神预测到 这一点，神在2号盒里放了1 000 000 元，这样得到1 000 000 元。因此，你应当选择“只取2号盒子。” （2）假定神的预测只有90%准确，你“取两个盒子”的 期望收益为0.9×1000＋0.1×1 001 000＝101 000（元） 你“只取2号盒子”的期望收益为0.1×0＋0.9×1 000 000＝9000 000（元）
不满意，则乙提出另一个分割比例，此时轮到甲选择，若甲满意，则 交易结束； 若甲不满意， 则甲再提出另一个人割比例， 又轮到乙选择， 若乙满意，则交易完成，若乙不满意，则交易没有成交。 （2）讨价还价每多进行一个阶段，由于时间消耗的成本及利息 损失等，双方的收益都要打一个折扣，假设成本费用率为λ ∈(0,1), 则δ =1-λ ∈(0,1)称为折扣率，也称消耗系数，在讨价还价过程中， 还存在根据对方的报价，卖方提高自己的保留价，买方压低自己的保 留价的情形。
(1)假设神（超级生物）能够预测你将做出的选择。如果他预测 你将“选择两个盒子” ，他事先不在 2 号盒子里放钱，即他 2 号盒子 空着；如果他预测到你“只选择 2 号盒子” ，他将 1 000 000 元钱放 进 2 号盒子里；如果他预测你将使用随机的方法做出选择，他仍使 2 号盒子空着。如果神的预测能力是 100%准确，你将如何选择？
在三回合讨价还价中， 双方讨价还价的依据是什么？交易双方应该怎 样选择自己的最佳讨价策略？
假定甲拥有一件价值 500 元左右衣服要出售，其保留价格是 450 元， 低于不卖； 乙看中了这件衣服， 其保留价格是 550 元， 高于不买。 因此，这里的讨价还价就相当于分配价值 100 元的交易利益，交易过 程中，还涉及讨价还价的程序、讨价还价的相关因素等，需作如下的 规定： （1）首先甲提出一个分割比例，若乙满意，则交易结束；若乙
上述买卖衣服的三回合讨价还价问题描述如下：
第一阶段， 甲提出自己得 s1 ， 乙得 100- s1 的分割方案， 若乙同意， 则交易成功，双方的利益分配向量为（ s1 ，100- s1 ） ，交易到此结束； 否则转入下一个阶段。
第二阶段， 乙提出甲得 s2 ， 自已得 100- s2 的分割分案， 若甲同意， 则交易成功，双方的利益分配向量为（s2，100-s2） ，交易到此结束； 否则转入下一个阶段。
由一二次函数的性质，当 1 / 2 时， 2 取到最大值 1/4，由此 可见， 首先提出分割方案的甲在 100 元的交易利益分割中至少能得到 75 元，而乙至多只能得到 25 元，这就是讨价还价中的“先发优势” ， 在博弈中，已有定理指出，若讨价还价是奇数个回合，则先开价者具 有“先发优势” ；若讨价还价是个偶数回合，则后开价者具有“后发 优势” ，利用一元二次函数的良好性质，给出上述均衡解的更多结论。
一位长者手中拿着一张 100 元的大钞走到一群赌徒前面， 这批赌 徒个个嗜赌成性，而且身边带不少的钱，长者要大家以 10 元为底线， 10 元为一个叫价单位，拍卖他手中的 100 元大钞，但出价最高者与 次高者必须支付相于当出价数目的费用， 出价最高者赢得这 100 元大 钞。
分析：这种游戏也叫骑虎难下游戏，一旦陷进去就难停下来，就像一个人滑
方 案 ， 乙 必须 接 受 。此 时 双 方的 收 益 向量 为 （ 100-100 + 2 s ， 100 2 s ） ，这就是该博弈的均衡解。
均衡解
不 妨 假 设 s 100 ， 于 是 双 方 的 收 益 向 量 为
（100 （1 - 2），（100 （ - 2） 。
三、纽科姆难题
1960年，美国物理学家威廉·纽科姆提出了一个策略选择难题。
假定有两个黑色的盒子，你无法看到盒里的东西。1 号盒子里面 有 1000 元钱；2 号盒子里面或者为 0 元，或者有 1 000 000 元（这 由神来确定） 。有两个方案可供你选择：
①选择1号与2号盒子；②只选择2号盒子。
Hale Waihona Puke Baidu
(2)如果神的预测只有 90%的准确性，你又将如何选择？
解法一
这是人和神之间二人有限零和对策， 其对策模型如下： 预测取盒子 2 1 00
1000
神预测取两个盒子 人取两个盒子 1000 是预测取两个盒子） 。
按最大最小原则，人的最优策略是取两个盒子（神的最优策略也
解法二
根据最大期望效用原则，在（1）与（2）的情形下，
校本课程《生活中的数学视角》
2.4 趣味博弈游戏
一、讨价还价
讨价还价，在经济社会中是最普遍和最常见的经济现象。小到家庭 主男到小贩那里买西瓜，大到中国加入 WTO 之前的艰难谈判的过程 中，都离不开讨价还价， “讨价还价”是多种方式，我们主要介绍三 回合讨价还价。
讨价还价又分：卖方叫价和买方叫价
主要研究：三回合讨价还价
二、斜坡上的均衡
“鹬蚌相急，渔翁得利” 寓意：在我们的竞争对手背后，可能隐藏着更大的共同的敌人
据说美国子鲁大学的教授们在课堂实验中， 曾经跟毫无戒备之心的本 科学生们玩过类似的游戏，而且在首次玩这样的游戏（当然不会有第 2 次！ ）时赚了不少钱，游戏的相关规则如下：
你准备怎样玩该长者设计的这个游戏？
第三阶段，若甲双乙的方案不同意，自己提出自己得 s ，乙得 100-s 的分割方案，若乙同意，则关键所在易成功，双方的利益分配 向量（s，100-s） ；若乙不同意，则交易没有成功。
分析：逆推归纳法（“向前展望，倒后推理”）
假设交易成功，在第三个阶段，甲的方案是 s，乙得 100-s，因 此双方的收益向量为（s，100-s） 。
到陡坡口， 要么突然打住， 要么一直滑下去， 但又不知道坡底在哪里。 因此，游戏的名称又叫斜坡上的均衡。其实，用博弈论的语言说，这 个博弈有一个唯一的均衡叫价，那就是一开始就叫价 100 元。这样， 游戏再也不会继续下去。
案例： 20 世纪 60 年代， 英法两国政府联合投资开发大型超音速飞机， 即协和飞机，这种飞机机身大，设计豪华而且速度快。但不久英法政 府发现，继续投资开发这种机型，成本会急剧增加，光设计一个新引 擎的投资就可能高达数亿美元。随着研制工作的不断深入， 两国政府 更是不想作出停止研制的决定。协和飞机最终研制成功了， 但终因飞 机自身缺陷，比如油耗高、噪声大、污染严重，不适应市场化运用， 最终被市场无情地淘汰出局。
上述纽科姆难题所反映的是理性人根据两个决策原则即 “最大最 小原则”与“最大期望效用原则”所作出的选择是冲突的。其实，冲 突背后的本质是“哲学观的区别” 。 “最大最小原则”是由保守思想观 确立的，而“最大期望效用原则”则是由风险思想观确立的。另外， 还涉及“神”是否存以哲学上的“先验观”还是“后验观”的问题。 因此，对于这个难题，到目前为止，人们无法给出一个确切的答案。