高中数学三角形各种心的性质研究

一、基础知识
三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中,有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题,因此,我们对三角形的心的几何性质做概括归纳,对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨． 1．重心：设G 是ABC ∆的重心,AG 的延长线交BC 于D ,则 DC BD =)1(, （ 2）3:2:=AD AG ；
（3）4222
222
BC AC AB AD -+=,（4）3
ABC GBC S S ∆∆=．
2.外心：设⊙O （R ）是ABC ∆的外接圆,BC OD ⊥于D 交⊙O 于E ,则
（1）R OC OB OA ===；（2）A BOC ∠=∠2或)180(20
A ∠-；
（3）DC BD =⌒BE =⌒EC ；（4）C B A R R
abc
S ABC sin sin sin 24==∆（正弦定理）
3.内心：设ABC ∆的内心圆⊙I （)r 切边AB 于P ,AI 的延长线交外接圆于D ,则
（1）A BIC ∠+︒=∠2190;(2)a c b a a c b A r AP -++=-+=∠=)(2
1
221cot
(3)DC DI DB ==；(4)2
)
(c b a r S ABC ++=∆;
4.垂心：设H G O ,,分别是ABC ∆的外心,重心,垂心,BC OD ⊥于D ,AH 的延长线交外接圆于1H ,则
（1）OD AH 2=；（2）H 与1H 关于BC 成轴对称； （3）⊙=BCH ⊙ABC ；（4）,,,H G O 三点共线,且2:1:=GH OG ； 5．旁心：设ABC ∆在A ∠内的旁切圆⊙1I （)1r 与AB 的延长线切于1P ,则
（1）A C BI ∠-=∠219001；（2）2
21
1c
b a A ctg r AP ++=∠=； （3）21
c b a BP -+=；（4）2
1
C
B AI ∠=∠；（5）2)(1a c b r S AB
C -+=∆ 6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系
在△ABC 中,内切圆⊙O 分别与三边相切于点K M ,L ,BC 边上的帝切圆⊙a O 与BC 边切于点H ,且分别与AB 边和AC 这的延长线相切于点Q 、点P ．设三边BC 、CA 、AB 分别为c b a ,,,C B A ∠∠∠,,分别为γβα,,,)(2
1
c b a p ++=
,内切圆半径为r ,旁切圆半径分别为c b a r r r ,,,外接圆半径为R ,三角形面积为∆S ,则有如下关系式： （1）p AP =,a p AK -=,c b LH -=； （2）a
p rp
r a -=
； （3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半； （4）))((1
c p b p r
r a --=
；
（5）
c
b a r r r r 1111--=； （6）2
tan
2
tan
γ
β
⋅=
r r a
7．界心
如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线,那么就称这一点为三角形的周界中点．其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围．由于三角形的任意两边之和大于第三边,可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两端点之间．
三角形的顶点与其对边的周界中点的连线,叫三角形的周界中线（有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线）．三角形的周界中线交于一点． 定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心． 二、例题分析
例1．设△ABC 的外接圆O 的半径为R ,内心为
I ,︒=∠60B ,C A ∠<∠,A ∠的外角平分线交圆O 于E ,
证明：（1）AE IO =；（2）R IC IA IO R )31(2+<++<． 【证明】（1）延长BI 交外接圆于M ,连结Am OM OA ,,,易知
︒=∠=∠60B AOM ,故△AOM 为正三角形,
∴CM AM OA OM ===．易证MAI MIA ∠=∠,∴MI MA =．
同理,MI MC =,即C I O A ,,,在以M 为圆心,R 为半径的圆上,
设AI 的延长线交⌒
BC 于F ,则AF 、AE 分别为A ∠的内、外角平分线,︒=∠90EAF ,即EF 为⊙O 的直径,∴AOE OFI OAI ∠=
∠=∠2
1
． 又在⊙M 中,OMI OAI ∠=
∠2
1
,∴OMI AOE ∠=∠,但⊙M 与⊙O 为等圆,故OI AE =．
（2）连接FC ,同上易证FC IF =,又︒=∠=∠60ABC IFC ,∴△IFC 为等边三角形,IF IC =
∵)60(2
1
)(212121︒-∠=∠-∠=∠=∠=
∠C AMO AMI OMI AOE AFE 记AFE ∠为θ
∴AF AE AF IA AE IC IA IO +=++=++
)cos (sin 2cos 2sin 2θθθθ+=+=R R R )152
sin(22)45sin(22︒+=︒+=C
R R θ 由C A ∠<∠知,︒<∠<︒12060C ,从而有︒<∠<
︒602
1
30C ,
M
即︒<︒+∠<
︒75152
1
45C ∴︒<++<︒75sin 2245sin 22R IC IA IO R ,又4
6
275sin +=︒ 故R IC IA IO R )31(2+<++<．
例2．锐角△ABC 的外心为O ,线段BC OA ,的中点分别为M 、
N ．,OMN ABC ∠=∠4OMN ACB ∠=∠6．求OMN ∠．
【解】设θ=∠OMN ,则θ4=∠ABC ,θ6=∠ACB ,
θ10180)(180-︒=∠+∠-︒=∠ACB ABC BAC
又θ101802
1
-︒=∠=∠=
∠BAC BOC NOC θ82=∠=∠=∠ABC AOC MOC
从而θθθ2180)10180(8-︒=-︒+=∠MON
OMN OMN MON ONM ∠==+-︒-︒=∠+∠-︒=∠θθθ)2180(180)(180
即OMN ∆为等腰三角形,OC OA OM ON 2
1
21==
= ∵︒=∠90ONC ,∴︒=∠60NOC ,
又∵θ10180-︒=∠NOC ,∴︒==∠12θOMN
例3．如图I O ,分别为△ABC 的外心和内心,AD 是BC 边上的高。

I 在线段OD
求证：△ABC 的外接圆半径等于BC 边上的旁切圆半径。

证明（1）记b CA a BC c AB ===,,,设AI 的延长线交△ABC 的外接圆O 于K ,则OK 是圆O 的半径,记为R ,因为OK ⊥BC ,所以OK ∥AD ,从
而
C B R
B c IK AI sin sin 2sin == (1) ABI ∠=2B IB
C =∠,CBK ∠=2
A
CAK =∠,
∠AKB =∠C ACB ∠=,
∠2A BAK =,所以2sin 212sin
2
1B A BI BK B
BI AB S S IK AI KBI
ABI +⋅⋅⋅⋅⋅==∆∆ 2
sin
2sin 2sin 22cos 2sin 2sin sin 2cos 2sin A C B C B A C C B BK
AB =⋅=⋅
= （2）
由（1）、（2）得2
sin
2sin 2sin
2sin sin 2A C B C B =
,所以12cos 2cos 2sin 4=C B A 设△ABC 的BC 边上的旁切圆半径为a r ,则)(2
1
sin 21a c b r S A bc a ABC -+==∆。

所以A
C B C
B A R a c b A bc r a sin sin sin sin sin sin 2sin -+⋅
=-+= 2cos
2sin 22cos 2sin 2sin sin sin 2C B C B C B C B C
B A R ++--+=
R C
B A R
C B C B C B A R ==⋅+=2cos 2cos 2sin 42
sin
2sin 22sin sin sin sin
即△ABC 的外接半径等于BC 边上的旁切圆半径。

证明（2）记b CA a BC c AB ===,,,△ABC 的BC 边上的旁切圆半径为a r ,△ABC 的BC 边上的高为a h ,设AI 交BC 于P ,交外接圆于K ,连BK ,OK ⊥
BC ,R OK =,c b ab
PC +=
,IK BK =,△AKB ∽△ACP ,又由AD ⊥BC ,知 OK ∥AD ,有IK AI OK AD =,即BK
AK
IK AK OK OK AD =
=+,但△AKB ∽△ACP ,有 a c
b c b ab b PC AC BK AK +=+==,代入上式,得a c b R R h a +=+,
a ABC
a r a
c b S a c b ah R =-+=-+=∆2
即△ABC 的外接半径等于BC 边上的旁切圆半径。

证明（3）b CA a BC c AB ===,,,△ABC 的BC 边上的旁切圆半径为a r ,△ABC 的外接半径R ,作1II ⊥BC 于1I ,1OO ⊥BC 于1O 。

∵∠OAC
=ABC ∠902
∠1800
-=-AOC B A D ∠= ∴=DA I ∠OAI ∠,
∴111O I DI IO DI AO AD ==。

B
c b
c a BD BI DI cos 2
11⋅--+=-=
a
a c
b
c b a c b a b c a 2)
)((222
2
2
-+-=-+--+=
2
221111c
b b
c a a BI BO O I -=
-+-=
-=
B C D I 1 O 1
∴a
c b S a c b a
AD AO R a a c b AO AD ABC -+=-+⋅==-+=∆2, 又)(2
1
a c
b r S a ABC -+=∆,∴a a
r a c b a c b r R =-+-+=)(。

证明（4）记b CA a BC c AB ===,,,设AI 的延长线交△ABC 的外接圆O 于K ,连OK 交BC 于1O ,则OK ⊥BC ,作1II ⊥BC 于1I ,则AD ∥1II ∥OK ,由O I D ,,三
点共线, ∴
OK
AD
IO DI O I DI ==111, ∵B c b
c a BD BI DI cos 2
11⋅--+=-= a
a c
b
c b a c b a b c a 2))((22222-+-=
-+--+=
2221111c b b c a a BI BO O I -=-+-=
-=,∴R AD
a a c
b =
-+, 故a
c b S a c b a AD R ABC -+=-+⋅=∆2
又)(2
1
a c
b r S a ABC -+=∆,∴a a
r a c b a c b r R =-+-+=)(。

证明（5）连AI 并延长交△ABC 的外接圆O 于K ,设O '旁切圆圆心,则O '在AK 的延长线上,连OK ,过O '作M O '⊥BC 于M 。

连OM ,MK ,BI ,CI ,B O ',C O ',则OK ,M O '分别为外接圆半径及旁切圆半径。

又O C I B ',,,四点共圆。

CK IK BK ==,设K 为O BIC '的外接圆的圆心,即K O IK '=。

又P O IP PC BP PK AP '⋅=⋅=⋅,∴AP
P
O IP PK '=
,又AD ∥M O ', ∴DP
MP AP P O IP PK ='=,∴MK ∥ID ,∠PMK =∠IDP ,而O I D ,,共线,OK ⊥BC ,M O '⊥BC ,∴OK ∥M O ',故∠I O K =∠O KM ',∠OKI =∠K O M ',K O IK '=,∴O MK OIK '∆≅∆,故OK =M O ',即a r R = 例4．设M 是△ABC 的AB 边上作一内点,r r r ,,21分别是△
AMC 、△BMC 、△ABC 的内切圆半径；q q q ,,21分别是这些三
角形在ACM ∠、BCM ∠、ACB ∠内的旁切圆半径．试证：
q
r q r q r =⋅2211． 【证明】设δγβα=∠=∠=∠=∠AMC BCA ABC CAB ,,, 又设△ABC 的内切圆的圆心为R ,且与AB 切于P （如图）,于是
K
2
π
=
∠=∠BPR APR
从而有：)2cot 2(cot
2
cot
2
cot
β
α
β
α
+=+=r r r AB 由于三角形的角的内、外平分线互相垂直,因而类似地有：
)2
tan
2
(tan
2
tan
2
tan
β
α
β
α
+=+=q q q AB
进而有：
2tan 2tan 2
cot
2cot 2tan
2
tan
βαβαβ
α
=++=q
r
类似的结论对于△AMC 和△BMC 也成立,故有
2tan 2tan 11δα=q r 和2
tan 2tan 22δπβ-=q r 以上式子相乘即可得结论：
q
r
q r q r =⋅2211． 例5．设I 为△ABC 的内心,其△ABC 内切圆切三边BC 、CA 和AB 于点K 、L 、M ,过点B 平行于MK 的直线分别交直线LM 和IK 于点R 和S ．求证：RIS ∠为锐角．
【证明】为了证RIS ∠为锐角．由余弦定理,只要证
0c o s 2222>∠⋅=-+R I S SI RI RS SI RI ．
为此我们来计算2
2
2
RS SI RI -+
由MK ∥RS ,考虑△BMR 及△BSK ,于是
)(2
1
C LMK MRB ∠-=
∠=∠π． 同理：)(2
1
A AML RM
B ∠-=∠=∠π,
而)(2
1
)(21B A C RMB MRB MBR ∠-=∠+∠=∠-∠-=∠ππ
同理：)(21
A LKM KS
B ∠-=∠=∠π
)(21C LKC SKB ∠-=∠=∠π, )(21
B KSB ∠-=∠π
由正弦定理,有
MRB BM RMB BR ∠=∠sin sin ,BKS
BS
KSB BK ∠=
∠sin sin 因此BS BK C A BM
BR =∠∠=
2
cos
2cos
又MK BI ⊥,所以RS BI ⊥．又AB MI ⊥,所以考虑直角△IRB ,△ISB ,△BIM 有
BS BR BI BS BR BS IB RB BI RS SI RI ⋅-=+-+++=-+2)(2)()()(222222222
注意到BM BK =,因此2BM BS BR =⋅．所以
0)(2])()[(2222222>=-=-+IM BM BI RS SI RI
下面讨论界心的两个性质．
例6．设F E D ,,分别为△ABC 的AB CA BC ,,边上的周界中点,R 、r 分别为△ABC 的外接圆和内切圆半径,则
（1）
R r S S ABC DEF 2=∆∆；（2）ABC DEF S S ∆∆≤4
1
． 【证明】设a BC =,b CA =,c AB =,c b a p ++=2,则由题设条件易知
⎪⎩
⎪
⎨⎧-==-==-==a p BF CE b p AF CD c p AE BD 由三角形面积比的性质,有
bc
c p b p AB AC AF AE S S ABC AEF )
)((--=⋅⋅=∆∆ 同理有：
ca a p c p S S ABC BFD ))((--=∆∆；ab
b p a p S S ABC CDE )
)((--=∆∆ 从而：
)(1ABC
CDE ABC BFD ABC AEF ABC DEF S S S S
S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆++-= ])
)(())(())(([
1ab
b p a p ca a p
c p bc c p b p --+--+---=
abc
abc
p ca bc ab p 2)(222-+++-=
把三角形恒等式2
2
4r Rr p ca bc ab ++=++和pRr abc 2=代入并整理,得
R
r
S S ABC DEF 2=∆∆． 由欧拉不等式r R 2≥,得
ABC DEF S S ∆∆≤
4
1
．
三、训练题
1．已知H 是ABC ∆的垂心,且BC AH =,试求A ∠的度数．
2．F E D ,,分别为ABC ∆的边AB CA BC ,,上的点,且A FDE ∠=∠,B DEF ∠=∠,又设△
AEF 、△BDF 、△CED 均为锐角三角形,它们的垂心依次为321,,H H H ,求证：
（1）E FH DH H 132∠=∠；（2）DEF H H H ∆≅∆321．
3．已知⊙O 内切于ABC ∆的外接圆⊙O ',并且与AC AB ,分别相切于Q P ,．证明ABC ∆的内心I 平分PQ ．
4．已知ABC ∆中,高AD 在其内部,过△ABD 、△A C D 的内心21,I I 引直线分别交AC AB ,于F E ,．
（1）若︒=∠90BAC ,则AF AE =；
（2）若AF AE =,则︒=∠90BAC 也成立吗？若成立,请证明；若不成立,请说明理由,并指出不成立的情形．
5．已知ABC ∆的内切圆⊙I 与BC 边切于D ,DE 是⊙I 的直径,AE 的延长线交BC 于F ,求证：CF BD =．
6．在等腰ABC ∆中,BC AC =,O 是它的外心,I 是它的内心,点D 在BC 边上,使得OD 与BI 垂直,证明：直线ID 与AC 平行．。