高中数学三角形各种心的性质研究

一、基础知识

三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中,有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题,因此,我们对三角形的心的几何性质做概括归纳,对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨． 1．重心：设G 是ABC ∆的重心,AG 的延长线交BC 于D ,则 DC BD =)1(, （ 2）3:2:=AD AG ；

（3）4222

222

BC AC AB AD -+=,（4）3

ABC GBC S S ∆∆=．

2.外心：设⊙O （R ）是ABC ∆的外接圆,BC OD ⊥于D 交⊙O 于E ,则

（1）R OC OB OA ===；（2）A BOC ∠=∠2或)180(20

A ∠-；

（3）DC BD =⌒BE =⌒EC ；（4）C B A R R

abc

S ABC sin sin sin 24==∆（正弦定理）

3.内心：设ABC ∆的内心圆⊙I （)r 切边AB 于P ,AI 的延长线交外接圆于D ,则

（1）A BIC ∠+︒=∠2190;(2)a c b a a c b A r AP -++=-+=∠=)(2

1

221cot

(3)DC DI DB ==；(4)2

)

(c b a r S ABC ++=∆;

4.垂心：设H G O ,,分别是ABC ∆的外心,重心,垂心,BC OD ⊥于D ,AH 的延长线交外接圆于1H ,则

（1）OD AH 2=；（2）H 与1H 关于BC 成轴对称； （3）⊙=BCH ⊙ABC ；（4）,,,H G O 三点共线,且2:1:=GH OG ； 5．旁心：设ABC ∆在A ∠内的旁切圆⊙1I （)1r 与AB 的延长线切于1P ,则

（1）A C BI ∠-=∠219001；（2）2

21

1c

b a A ctg r AP ++=∠=； （3）21

c b a BP -+=；（4）2

1

C

B AI ∠=∠；（5）2)(1a c b r S AB

C -+=∆ 6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系

在△ABC 中,内切圆⊙O 分别与三边相切于点K M ,L ,BC 边上的帝切圆⊙a O 与BC 边切于点H ,且分别与AB 边和AC 这的延长线相切于点Q 、点P ．设三边BC 、CA 、AB 分别为c b a ,,,C B A ∠∠∠,,分别为γβα,,,)(2

1

c b a p ++=

,内切圆半径为r ,旁切圆半径分别为c b a r r r ,,,外接圆半径为R ,三角形面积为∆S ,则有如下关系式： （1）p AP =,a p AK -=,c b LH -=； （2）a

p rp

r a -=

； （3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半； （4）))((1

c p b p r

r a --=

；

（5）

c

b a r r r r 1111--=； （6）2

tan

2

tan

γ

β

⋅=

r r a

7．界心

如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线,那么就称这一点为三角形的周界中点．其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围．由于三角形的任意两边之和大于第三边,可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两端点之间．

三角形的顶点与其对边的周界中点的连线,叫三角形的周界中线（有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线）．三角形的周界中线交于一点． 定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心． 二、例题分析

例1．设△ABC 的外接圆O 的半径为R ,内心为

I ,︒=∠60B ,C A ∠<∠,A ∠的外角平分线交圆O 于E ,

证明：（1）AE IO =；（2）R IC IA IO R )31(2+<++<． 【证明】（1）延长BI 交外接圆于M ,连结Am OM OA ,,,易知

︒=∠=∠60B AOM ,故△AOM 为正三角形,

∴CM AM OA OM ===．易证MAI MIA ∠=∠,∴MI MA =．

同理,MI MC =,即C I O A ,,,在以M 为圆心,R 为半径的圆上,

设AI 的延长线交⌒

BC 于F ,则AF 、AE 分别为A ∠的内、外角平分线,︒=∠90EAF ,即EF 为⊙O 的直径,∴AOE OFI OAI ∠=

∠=∠2

1

． 又在⊙M 中,OMI OAI ∠=

∠2

1

,∴OMI AOE ∠=∠,但⊙M 与⊙O 为等圆,故OI AE =．

（2）连接FC ,同上易证FC IF =,又︒=∠=∠60ABC IFC ,∴△IFC 为等边三角形,IF IC =

∵)60(2

1

)(212121︒-∠=∠-∠=∠=∠=

∠C AMO AMI OMI AOE AFE 记AFE ∠为θ

∴AF AE AF IA AE IC IA IO +=++=++

)cos (sin 2cos 2sin 2θθθθ+=+=R R R )152

sin(22)45sin(22︒+=︒+=C

R R θ 由C A ∠<∠知,︒<∠<︒12060C ,从而有︒<∠<

︒602

1

30C ,

M