数论十年重要进展分析解析

序曲：Fermat大定理

亲爱的_____
谢谢您寄来的关于Fermat大定理的证明。
第一个错误在 ______页 ______行 这使得证明无效。 E. M. Landau
序曲：Fermat大定理
尽管有很多的稿件都退了，据说剩下的 还有3米多高。 由于Fermat大定理的名声，在New York 的地铁车站出现了乱涂在墙上的话： xⁿ + yⁿ = zⁿ 没有解对此我已经发现了一 种真正美妙的证明，因为我的火车正在 开来，时间太少了，写不下。
序曲：Fermat大定理

德国Paul Wolfskehl (1856-1906), 大学 读过数学，痴狂的迷恋一个漂亮的女孩 子，令他沮丧的是他被无数次被拒绝。 感到无所依靠，于是定下了自杀的日子， 决定在午夜钟声响起的时候，告别这个 世界，再也不理会尘世间的事。 Wolfskehl在剩下的日子里依然努力的工 作，当然不是数学，而是一些商业的东 西，最后一天，他写了遗嘱，并且给他 所有的朋友亲戚写了信。
费马小定理

设 p是一个素数， 那么对任意的正整数a 均有
a a(mod p).
p
欧拉定理

设 a , n 均为正整数， 且
gcd(a, n) 1,
那么Байду номын сангаас
a
( n)
1(modn).
21世纪十余年数论重要进展
数论是这样一门学科，提出问题往往 很容易，而解决起来常常有不可预测的 困难。有些问题是人们的想象力没准备 好，有些情况是数学还没来得急准备好 迎接问题。
● 1995年，Wiles和Taylor在半稳定情形
下证明了谷山 - 志村猜想，而Frey的椭 圆曲线（现称Frey曲线 ）刚好是半稳定 椭圆曲线，从而证明了Fermat大定理。 准确地说， Wiles和Taylor是证明了半稳 定椭圆曲线下的谷山-志村猜想。
序曲：Fermat大定理

他们的证明刊在1995年的《Annals of Mathematics》上： Andrew Wiles: Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Annals of Mathematics 141 (1995), pp. 443-551. R.Taylor and A.Wiles: Ring theoretic properties of certain Hecke algebras, Annals of Mathematics 141 (1995), pp. 553-572.
序曲：Fermat大定理
由于他的高效率，在午夜之前，他就搞 定了所有的事情，剩下的几个小时，他 就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。 很快,被Kummer解释Cauchy等前人做 Fermat大定理为什么不行的一篇论文吸 引住了。那是一篇伟大的论文，适合要 自杀的数学家最后的时刻阅读。Wolfskehl竟然发现了Kummer的一个bug，一 直到黎明的时候，他做出了这个证明。
二十一世纪的前十余年，数论发展取 得了振奋人心的进步。

Green和Tao（陶哲轩）证明素数中存在 任意长的算术级数（2004）。

序曲：Fermat大定理

他自己狂傲不止，于是一切皆成云…… 这样他重新立了遗嘱，把他财产的10万 马克设为一个奖，奖给在他逝世后一百 年内，第一个证明该定理的人，吸引了 不少人尝试并递交他们的“证明”。
序曲：Fermat大定理

人们开始尝试对Fermat大定理进行证明 （这次是组队）。德国Gottingen大学 1909-1934年的数学系主任是Edmund Landau(1877.2.14 - 1938.2.19)。 Landau的工作习惯很奇怪，用6个小时 工作，6个小时休息，如此交替。他收到 过无穷多关于证明了Fermat大定理的信 件，后来实在没有精力处理，就印了一 批卡片，样子大概是这个样子的：
序曲：Fermat大定理
著名的Fermat大定理和《算术书》有 直接的渊源。当年Fermat在做法官的业 余时间研究数学。 1637年，Fermat在 阅读Diophantus《算术书》拉丁文译本 时，曾在第11卷第8命题旁写道：
序曲：Fermat大定理
“将一个立方数分成两个立方数之和， 或一个四次幂分成两个四次幂之和，或 者一般地将一个高于二次的幂分成两个 同次幂之和，这是不可能的。关于此， 我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜 这里空白的地方太小，写不下。”
数论十年重要进展
谈谈ABC猜想、孪 生素数猜想和素数 序列中的算术级数
数论的起源
众所周知，数论和几何是数学中最 古老的分支，分别肇始于亚历山大数学 家丢番图 （Diophantus）的《算术书》 和欧几里得（Euclid）的《几何原本》。 人类开始挣脱具体物理世界对数字和空 间形态的研究。这些抽象的研究促进了 早期哲学的发展，是科学与哲学的第一 次苏醒。
21世纪十余年数论重要进展
● 数论中的问题远远多于解决方法。在平
庸无聊的问题和几乎无望求解的问题之 间取得平衡是困难而微妙的。我们了解 一些著名的数论难题，比如Riemann(黎 曼)猜想，Goldbach（哥德巴赫）猜想， 孪生素数猜想，Mersenne(梅森)素数猜 想，奇完全数猜想等。
21世纪十余年数论重要进展
序曲：Fermat大定理
● Frey的猜想随即被California大学Berkel分校 Kenneth Ribet证实。此猜想显示了Fermat大 定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。 ● 1995年，高手Wiles手起刀落，结束了358年 的混乱。他的方法是实现了Frey的构思。
序曲：Fermat大定理

序曲：Fermat大定理
1986年，德国Gerhard Frey(1944 - )提出 了“ε-猜想”： 若存在a, b, c使得aⁿ + bⁿ = cⁿ ，即如果 Fermat大定理是错的，则椭圆曲线 y²= x( x - aⁿ )( x + bⁿ ) 会是谷山丰(1927.12.12 - 1958.12.17) 志村五郎(1930 - )猜想的一个反例。