(完整版)综合法与分析法习题

[学业水平训练]
1．分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的( )
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．等价条件
解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件．
2．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ca .证明过程如下： ∵a ，b ，c ∈R ，
∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2aC ．
又a ，b ，c 不全相等，
∴以上三式至少有一个“＝”不成立．
∴将以上三式相加，得2(a 2＋b 2＋c 2)＞2(ab ＋bc ＋ac )．
∴a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋aC ．此证法是( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．分析法与综合法并用
D ．反证法
答案：B
3．对于不重合的直线m ，l 和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )
A ．m ⊥l ，m ∥α，l ∥β
B ．m ⊥l ，α∩β＝m ，l ⊂α
C ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥β
D ．m ∥l ，l ⊥β，m ⊂α 解析：选D ．A ：与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B ：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C ：这两个平面有可能平行或重合；D ：是成立的，故选D ．
4．使a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0成立的充要条件是( )
A ．|a |≥1且|b |≥1
B ．|a |≥1且|b |≤1
C ．(|a |－1)(|b |－1)≥0
D ．(|a |－1)(|b |－1)≤0
解析：选C ．a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0⇔a 2(1－b 2)＋(b 2－1)≤0⇔(b 2－1)(1－a 2)≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0⇔(|a |－1)·(|b |－1)≥0.
5．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )
A ．成等比数列而非等差数列
B ．成等差数列而非等比数列
C ．既成等差数列又成等比数列
D ．既非等差数列又非等比数列
解析：选B.由已知条件，
可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②
y 2＝bc . ③
由②③得⎩⎨⎧ a ＝x 2b
，c ＝y 2b .
代入①，得x 2b ＋y 2b ＝2b ，
即x 2＋y 2＝2b 2.
故x 2，b 2，y 2成等差数列．
6．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22
≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
解析：用分析法证明a 2＋b 2
2
≥ab 的步骤为： 要证a 2＋b 2
2
≥ab 成立， 只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.
由于(a －b )2≥0显然成立，
所以原不等式成立． 答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0
7．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4
，则cos 2θ＝________. 解析：因为sin θ＋cos θ＝15
， 所以1＋sin 2θ＝125
， 所以sin 2θ＝－2425
. 因为π2≤θ≤3π4
， 所以π≤2θ≤3π2
. 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725
. 答案：－725
8. 如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．
解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C ．
因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，
即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C ．
答案：AC ⊥BD (答案不唯一)
9．已知非零向量a ⊥b ，求证：|a|＋|b||a －b|
≤ 2. 证明：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.
要证|a|＋|b||a －b|
≤2， 只需证|a|＋|b|≤2|a －b|，
平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b )，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0成立，
即(|a|－|b|)2≥0显然成立．
故原不等式得证．
10．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c
也成等差数列． 证明：因为1a ，1b ，1c
成等差数列， 所以1a ＋1c ＝2b
. 即a ＋c ac ＝2b
， 所以b (a ＋c )＝2ac ，
所以b ＋c a ＋a ＋b c ＝(b ＋c )c ＋a (a ＋b )ac
＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ac
＝b (a ＋c )＋a 2＋c 2ac
＝2ac ＋a 2＋c 2ac
＝(a ＋c )2ac
＝2(a ＋c )2
b (a ＋
c )
＝2(a ＋c )b
， 所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c
也成等差数列． [高考水平训练]
1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)成立”的是( )
A ．f (x )＝1x
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝ln(x ＋1)
解析：选A.本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝(1x
)′＝－1x 2
＜0， ∴f (x )＝1x
在(0，＋∞)上为减函数． 2．设a ＞0，b ＞0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12
[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 解析：因为(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )
＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab
＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0，
所以(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，
所以lg(1＋ab )≤12
[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 答案：≤
3．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C 1.
求证：(1)EF ∥平面ABC ；
(2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．
[证明](1)因为E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，
所以EF ∥BC ，EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ．
所以EF ∥平面ABC ．
(2)因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，
所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ，
又A 1D ⊥B 1C 1，BB 1∩B 1C 1＝B 1，
所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，
又A 1D ⊂平面A 1FD ，
所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ． 4．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证f (x ＋12
)为偶函数．
证明：法一：要证f (x ＋12
)为偶函数， 只需证明其对称轴为x ＝0，
即证－b 2a －12
＝0，只需证a ＝－b . ∵函数f (x ＋1)的对称轴x ＝－b 2a －1与函数f (x )的对称轴x ＝－b 2a
关于y 轴对称， ∴－b 2a －1＝－－b 2a
， ∴a ＝－b .
∴f (x ＋12
)为偶函数． 法二：记F (x )＝f (x ＋12
)， 欲证F (x )为偶函数，
只需证F (－x )＝F (x )，
即证f (－x ＋12)＝f (x ＋12
)． ∵函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，而函数f (x )与f (－x )的图象也是关于y 轴对称
的，
∴f (－x )＝f (x ＋1)，
∴f (－x ＋12)＝f [－(x －12)] ＝f [(x －12)＋1]＝f (x ＋12)， ∴f (x ＋12
)为偶函数．。