解析几何专题二焦点弦及焦点三角形

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椭圆的性质二焦点三角形的性质

|｜PF｜2 ｜PF｜1
a
ex
(a
ex)
2ex
2
4 5
x
，
5
x
0
，
∴0＜|F2N|＜8，∴0＜|OM|＜4．
若 P 在椭圆的右半部分时，同样可得出 0＜|OM|＜4，故选：B．
方法二极限法，当 P 在左端点时，|OM|=4，在 P 上顶点时，|OM|=0，∴0＜|OM|＜4．
三课后练习：
1.(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，
x2
令椭圆方程为
a2
y2 b2
1(a b 0)
则由椭圆的定义有 | PF1 | | PF2 | 2a , | F1F2 | 2c ,
∴
| PF1 | | PF2 |
| F1F2 | 2c
sin PF2F1 sin PF1F2 sin F1PF2
又 ∵ PF1F2 5PF2F1 ， ∴ PF1F2 750 ， PF2F1 150 ，
4．(2019
南昌模拟)P
为椭圆 x2 ＋y2＝1 25 9
上一点，F1，F2
分别是椭圆的左、右焦点，过
P
点作
PH⊥F1F2
于
点 H，若 PF1⊥PF2，则|PH|＝( )
A.25
B.8
4
3
C．8
D.9
4
解析：选 D 由椭圆 x2 ＋y2＝1 得 a2＝25，b2＝9， 25 9
则 c＝ a2－b2＝ 25－9＝4，∴|F1F2|＝2c＝8.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
A. (0, 3 ] 2

有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的证明及其应用

圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。

课题1焦点三角形性质总结

课题1：焦点三角形的性质12F PF S=12F PF S=2（△ABF 2，AB |AB|=4a得证特别地，当＝时，②当P 为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得：代入得求得。

得证性质二：双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。

证明：设双曲线2222x y 1a b-=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点性质三：双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121c a c b c c a b F F r S PF F +=⋅+⋅==∆θ︒90a cb S PF F 221=∆2211||,||r PF r PF ==21r r >a r r a r r 2,21221-==-21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)2(cos 44211221a r c r c r -=-+θa c b r -=θcos 21a c c b c a c b F F r S PF F -=⋅-⋅==∆θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121线于点B，则|BA |e |AP |=证明：由角平分线性质得12121212|FB||F B ||FB ||F B ||BA |2c e |AP ||FP ||F P ||FP ||F P |2a -=====- 性质四：双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β当点P 在双曲线右支上时，有e 1tancot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1αβ-⋅=+证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()==αβα+β由等比定理，上式转化为2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β 2a 2csin sin sin()2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅-分子分母同除以cossin 22αβ，得【2014•广西理】已知椭圆C 1a x 2222=+b y （a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（）A ．123x 22=+yB ．1y 3x 22=+C ．1812x 22=+y D ．1412x 22=+y 【答案】 A 【解析】 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a=43， ∴a=3，∵离心率为33， ∴c=1， ∴b=22a c -=2， ∴椭圆C 的方程为123x 22=+y ．【2011新课标理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。

21-22版：专题突破二　焦点弦的性质(步步高)

专题突破二焦点弦的性质抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．一、焦点弦性质的推导例1 抛物线y 2＝2px (p >0)，设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1.证明：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ； (3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p ，通径是最短的焦点弦；(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值； (5)S △OAB ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)； (6)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)A ，O ，B 1三点共线，B ，O ，A 1三点也共线．考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题证明 (1)①当AB ⊥x 轴时，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ， ∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. ②当AB 的斜率存在时，设为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入抛物线方程y 2＝2px ，消元得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2py k－p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)当θ≠90°时，过A 作AG ⊥x 轴，交x 轴于G ，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，在Rt △AFG 中，|FG |＝|AF |cos θ，由图知|GG 1|＝|AA 1|，则p ＋|AF |cos θ＝|AF |，得|AF |＝p 1－cos θ，同理得|BF |＝p 1＋cos θ；当θ＝90°时，可知|AF |＝|BF |＝p ，对于|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ亦成立， ∴|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ. (3)|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2p sin 2θ≥2p ，当且仅当θ＝90°时取等号．故通径为最短的焦点弦．(4)由(2)可得，1|AF |＋1|BF |＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p. (5)当θ＝90°时，S △OAB ＝12×2p ×p 2＝p 22，故满足S △OAB ＝p 22sin θ；当θ≠90°时，设直线AB ：y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫x －p 2，原点O 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪p 2tan θ1＋tan 2θ＝p 2sin θ，S △OAB ＝d 2|AB |＝p 4sin θ×2p sin 2θ＝p 22sin θ. (6)如图：⊙M 的直径为AB ，过圆心M 作MM 1垂直于准线于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2＝|AF |＋|BF |2＝|AB |2，故以AB 为直径的圆与准线相切．(7)设直线AB 的方程：x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px 得y 2－2pmy －p 2＝0.由(1)可得y 1y 2＝－p 2.因为BB 1∥x 轴，∴B 1⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2，即B 1⎝⎛⎭⎫－p 2，－p 2y 1， 1OB k ＝－p 2y 1－p 2＝2p y 1＝y 21x 1×1y 1＝y 1x 1＝k OA ，所以OB 1→∥OA →且公共点为O ，所以直线AB 1过点O .所以A ，O ，B 1三点共线，同理得B ，O ，A 1三点共线．二、焦点弦性质的应用例2 (1)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案 D解析方法一由题意可知，直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线的方程可得4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94，故所求三角形的面积为12×34×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝94. 方法二运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94. (2)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案 A解析方法一抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2. 同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16.方法二运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，设直线AB 的倾斜角为θ，则θ≠π2且θ≠0，因此|AB |＋|DE |＝2p sin 2θ＋2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16. 当且仅当θ＝π4或34π时，等号成立．点评上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．跟踪训练过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.考点抛物线中过焦点的弦长问题题点与弦长有关的其它问题答案 56解析由于y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，由题意知A ，B 所在直线的斜率存在，设A ，B 所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12代入y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎫x －122＝2x ， ∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0. ∴x 1x 2＝14. 而|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512， ∴x 1＋x 2＝1312.又|AF |<|BF |，∴x 1＝13，x 2＝34. ∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.1．过抛物线y ＝2x 2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为( )A ．2B ．1 C.14 D.12考点题点答案 D2. 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－x ＋1B ．y ＝x －1C ．y ＝－x ＋1或y ＝x －1D ．以上均不对考点题点答案 C 解析由焦点弦长|AB |＝2p sin 2α(α为直线AB 的倾斜角)， ∴8＝4sin 2α，sin 2α＝12，则tan α＝±1，又直线过抛物线焦点，∴直线l 的方程为y ＝－x ＋1或y ＝x －1.故选C.3．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x 答案 B解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________．考点题点答案 72 解析抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，又准线方程为x ＝－1，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 5．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为________．考点题点答案 90°解析设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.。

焦点三角形问题(解析版)

第一篇圆锥曲线专题01焦点三角形问题焦点三角形的边角关系如下：三条边：122F F c =122PF PF a+==22a c +三角形周长ce a=222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2S ab c =面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。

若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c-≤≤+例1椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。

题目中：2122PF F F c==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。

本题的定值为22a F H c c=-在2RT PHF 中，222,2a PF F H c c c >≥-解得：313e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________.方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为2220x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。

解析几何中的必备结论

x2 y2 C、27＋18＝1
) x2 y2
D、18＋ 9 ＝1
【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.
【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则 x1 + x2 =2， y1 + y2 =－2，
x12 a2
+
y12 b2
= 1
①
x22 a2
+
y22 b2
= 1
②
①－②得
.
2, 12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ° ：用的中间结论要优于余弦定理
；∠F1PF2
|
PF1
||
PF2
|=
2b2 1+ cosθ
,∵| PF1 |= 4 ,| PF2 |= 2，∴代入求解非常方便，这是自己所没有想到的！
S ∠F1PF2
=
1 2
|
PF1
||
PF2
|
sin θ
=
b2
tan
θ 2
⇒ 1 × 4× 2sinθ =2 tan θ
，则有
x1 2 a2
−
x2 2 a2
−
y12 b2
= 1
，
两
式
相
减
并
结
合
y22 b2
= 1
x1 + x2 =−24, y1 + y2 =−30
得，
y1 − y2 x 1 − x2
=
4b2 5a2
4b2
，从而
5a2
= 1，即 4b2
= 5a2 ，又 a2
+ b2
= 9 ，解得= a2
4= , b2

抛物线焦点弦三角形的面积(抛物线的弦相关的问题)

抛物线焦点弦三角形的面积本内容主要研究抛物线焦点弦三角形的面积.以抛物线的顶点及其焦点弦的两个端点为顶点的三角形，称为抛物线的焦点弦三角形.给出三种抛物线焦点弦三角形的面积公式，根据已知条件合理选择.例：过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为( ) A.22 B.2 C.322 D.22解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0),因为|AF |=3,所以x 1+1=3,x 1=2,代入抛物线方程得122y =,故A (2,22),所以直线AB 的方程为22(1)=-y x ,由22220,4x y y x⎧--=⎪⎨=⎪⎩得2240y --=. 所以122y y +y 1y 2=－4,则22121219||1()[()4]222AB y y y y ⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦.又可求得圆点O 到直线AB 的距离为223,故△AOB 的面积为1922322222S =⨯⨯=.[一题多解]设∠AFx =θ(0<θ<π)及|BF |=m ,则点A 到准线l :x =－1的距离为3,得1323cos cos 3θθ=+⇔=,又 232cos()1cos 2,=+π-⇔===+m m BF m m θθ,△AOB 的面积为113||||sin 1(3)22233S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 答案：C注意：前法是解决此类问题的通法,一般通过求弦长和点到直线的距离进行求解,后法则有一定的技巧性.整理：B AOF过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,且11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点.则△AOB 的面积为(1)121||||2S OF y y =⨯⨯-=; (2) 1||2=⨯⨯S AB d ,d 为点O 到直线AB 的距离; (3)11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅其中∠AFx =θ(0<θ<π).再看一个例题：例：设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0), ∠AFx =60°所以直线AB 的方程为3(1)=-y x ,由23(1),4⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x得231020-+=x x . 所以12103x x +=,则1216||3AB x x p =++=. 又11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅ 故△AOB 的面积为116341=32323∆=⨯⨯⨯OAB S总结：1.根据已知条件合理选择我三种抛物线焦点弦三角形的面积公式.2.掌握抛物线的焦点弦长计算方法.练习：1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ,焦点为F (1,0),经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点.(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程;(Ⅱ)若△AOB 的面积为4,求|AB |.2. 设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )C.6332D.943. 已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,过点A 作准线l 的垂线,垂足为E ,当A 点坐标为(3,y 0)时,△AEF 为正三角形,则此时△OAB 的面积为( )A.4C.3D.3。

解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)

例3（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
【解】易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得，
。
例4（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
（3）当焦点内分弦时，有
（4）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有
【（1）分析证明】
【（2）分析证明】
【焦半径与焦点弦有关例题】
例1（2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿
【解】由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。
，。故四边形的面积为，。
所以四边形面积的最小值为。
二、圆锥曲线中的焦点三角形面积
【椭圆焦三角形】
【分析】
设|OM|=q
【双曲线焦点三角形】
【抛物线原焦弦三角形】
同样焦点在y轴上时
三、圆锥曲线中的焦点三角形顶角问题
【椭圆】
【分析】
也可利用向量来证明x的取值范围
【双曲线】原理同椭圆,可求出x的取值范围
从上图分析
【焦半径与焦点弦有关推论】
【推论1】——常用来求定值
过椭圆、双曲线的一焦点F交椭圆或双曲线(单支)于A,B两点，则
过双曲线的一焦点F的直线分别与两支交于A,B，与焦点轴夹角为
过抛物线的一焦点F直线交抛物线于A,B两点，与焦点轴夹角为
【推论2】 ————常用来求定角或斜率
已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题

怎样解答与焦点三角形有关的问题

焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。

双曲线微专题二焦点三角形问题

双曲线微专题二：双曲线中焦点三角形问题题型一焦点三角形的周长问题12PF F ∆由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 求焦点三角形的周长时，通常会利用双曲线的第一定义.例1:椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为( )解：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆的定义可得1214PF PF ＋＝又1210F F ＝因此P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为24。

整理：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是4a ＋2m简要证明：由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，(1)|BF 2|－|BF 1|＝2a ，(2) 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF 2|＋|BF 2|＝4 a+m . 故△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4 a+2m .例2:已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF2的周长是( ) A ．16B ．18C ．21D ．26解：如图所示，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝8，(1)|BF 2|－|BF 1|＝8，(2)又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝5，(3)∴由(1)，(2)，(3)得|AF 2|＋|BF 2|＝21.故△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝26.答案 D练习：1.如果12,F F 分别是双曲线191622=−y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是．(28)2.若12,F F 分别是双曲线22x y 1m 7−=的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||4=AB ，2ABF ∆的周长是20，则m= 答案：题型二焦点三角形的面积问题求焦点三角形的面积时，通常会利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，焦点三角形的面积主要有两种求法：1212121211sin =2c |y |22PF F PF F P S r r F PF S =∠ 和。

专题01 解析几何的常用二级结论(高考必背)

解析几何的常用二级结论一．有关椭圆的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁1.（1）与椭圆221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()2221,0x y b a b λλλ+=+>++. （2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)第一定义：122PF PF a +=；(2)焦半径的最大值与最小值：1a c PF a c -≤≤+； (3)2212b PF PF a ≤⋅≤；（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）, 左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b=-=-；(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,12,F F 为其焦点，记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+；(2)焦点三角形的面积： 122||=tan2PF F P S c y b θ∆=；(3)当P 点位于短轴顶点处时, θ最大,此时12PF F S ∆也最大； (4) .21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=. 7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=. 9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 10. 若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+ . 11. P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b+=+；（2）22||+|OQ|OP 的最大值为22224a b a b+；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+. 13. 已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.14. 离心率21c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，221b e a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.15. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2216. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.17. 过椭圆22221(x y a b a b+=>>左焦点的焦点弦为AB ,则)(221x x e a AB ++=；过右焦点的弦)(221x x e a AB +-=. 18. 椭圆内接矩形最大面积：2ab .19. 若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+ ；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上 20.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112a mnb+=二．有关双曲线的经典结论焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>，e 越大，双曲线的开口越阔渐近线方程by x a=±a y x b=±1.（1）与221x y a b -=共轭的双曲线方程为221x y a b-=-，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C 为半径的圆上；③2212111e e +=。

焦点弦与焦点所成三角形面积

焦点弦与焦点所成三角形面积
首先，我们需要了解一下什么是焦点弦和焦点所成三角形。

焦点弦是指一个圆的直径上的任意一条线段，该线段的两个端点分别为圆的两个焦点；而焦点所成三角形则指以圆心为顶点，以两个焦点为另外两个顶点的三角形。

接下来，我们来探讨一下如何计算焦点弦与焦点所成三角形的面积。

对于焦点弦，我们可以使用以下公式进行计算：
焦点弦的面积 = (焦点弦长度×圆的半径) ÷ 2
其中，焦点弦长度指的是焦点弦两个端点之间的距离。

对于焦点所成三角形，我们可以使用以下公式进行计算：
焦点所成三角形的面积 = (圆的半径×正弦值(焦点所成角度)) ÷ 2
其中，焦点所成角度指的是以圆心为顶点，以两个焦点为另外两个顶点所成的角度。

需要注意的是，以上公式中的焦点弦长度和焦点所成角度都需要通过测量或计算来获取。

综上所述，焦点弦与焦点所成三角形的面积计算方法相对简单，只需要根据公式输入相关参数即可得出结果。

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圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总(学生版)

圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总题型1圆锥曲线通径二级结论题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论题型1圆锥曲线通径二级结论椭圆，双曲线的通径长AB=2b2 a.1(2022·全国·高三专题练习)过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点F c,0的弦中最短弦长是()A.2b2a B.2a2bC.2c2aD.2c2b【变式训练】1(2021秋·河北邯郸·高三校考阶段练习)已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为()A.53B.32C.22D.332(2023秋·四川内江·高三期末)椭圆x24+y23=1的焦点为F1、F2，点M在椭圆上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A.65B.3 C.113D.37113(2022·全国·高三专题练习)过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线y216-x29=1的通径长是()A.94B.92C.9D.104(2022·全国·高三专题练习)抛物线y2=4x的通径(过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦)的长为．5(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C 相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p=．6(2023·全国·高三专题练习)过椭圆x29+y2=1的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且AB=23，则这样直线的条数为()A.0B.1C.2D.3题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论1．F1 , F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A , B两点，则△ABF2的周长为4a．2.F1, F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A , B两点，则△ABF1的周长为4a．注意：椭圆的焦点弦三角形周长为定值，即长轴长的2倍，与过焦点的直线的倾斜角无关．1(2022·全国·高三专题练习)如图，椭圆C:x24+y23=1的左焦点为F1，过F1的直线交椭圆于A , B两点，求△ABF2的周长．【变式训练】1在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过F1作直线l交C于A,B两点，且ΔABF2的周长为16，那么C的方程为．2椭圆焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ长为10，ΔPF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为()A.33B.13C.23D.633(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴长为43，离心率为12，过点F1的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF2的周长为()A.4B.5C.16D.324(2020下·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线交椭圆于A ,B 两点，交y 轴于点C ，若F 1，C 是线段AB 的三等分点，△F 2AB 的周长为45，则椭圆E 的标准方程为()A.x 25+y 24=1B.x 25+y 23=1C.x 25+y 22=1D.x 25+y 2=15(2014·全国·高考真题)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A ,B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为()A.x 23+y 22=1 B.x 23+y 2=1C.x 212+y 28=1D.x 212+y 24=16古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，其面积为43π，过点F 1的直线l 与椭圆C 交于点A ，B 且△F 2AB 的周长为16，则椭圆C 的方程为()A.y 216+x 23=1 B.y 216+x 212=1C.x 216+y 212=1D.x 216+y 23=17(2014·安徽·高考真题)设F 1,F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y b 22=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|(1)若|AB |=4,ΔABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B =35，求椭圆E 的离心率.8(2022·全国·高三专题练习)已知直线l 经过椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点(1，0)，交椭圆C 于点A ，B ，点F 为椭圆C 的左焦点，△ABF 的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆C 于点M ，N ，MN 2=4|AB |，求证：直线m 与直线l 的交点P 在定直线上．题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)同支问题：F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线同支于A , B 两点，且AB =m ，则△ABF 2的周长为4a +2m ．证明：由双曲线的第一定义知，AF 2 -AF 1 =2a ①，BF 2 -BF 1 =2a ②，又AF 1 +BF 1 =m ③，由①②③，得AF 2 +BF 2 =4a +m , ∴AB +AF 2 +BF 2 =4a +2m ，即△ABF 2的周长为4a +2m ．1(2022·全国·高三专题练习)椭圆y249+x224=1与双曲线y2-x224=1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.52如图双曲线C:x2-y23=1的焦点为F1､F2，过左焦点F1倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点．(1)求弦长AB的值；(2)求△ABF2的周长．3已知双曲线的左、右焦点分别为F1､F2，在左支上F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.54如果F1、F2分别是双曲线x216-y29=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则ΔABF2的周长是5(2022·全国·高三专题练习)若F1,F2分别是双曲线x2m-y27=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=4，△ABF2的周长是20，则m=．6已知双曲线x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为π6的弦AB ．求：(1)AB 的长；(2)△F 2AB 的周长．7已知双曲线C 经过点P 3,2 ，它的两条渐近线分别为x +3y =0和x -3y =0.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左､右焦点分别为F 1､F 2，过左焦点F 1作直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，求△ABF 2周长的取值范围.题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)双曲线异支焦点弦三角形周长【结论3】如图，F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线C 右支、左支分别交于A , B 两点，且AB =m ，则焦点弦三角形F 1AB 的周长：C ΔF 1AB =m +m m +2b 2a．证明：令AF 2 =u , BF 2 =v ，则AF 1 =2a +u , BF 1 =v -2a ，ΔF 1AB 的半周长s =v ，由秦九韶-海伦公式得S ΔFAB =s s -AB s -AF 1 s -BF 1 =2a m -2a uv ．又cos ∠AF 2F 1=cos ∠BF 2F 1，由余弦定理推论，得u 2+4c 2-2a +u 22u ⋅2c =v 2+4c 2-v -2a 22v ⋅2c ，∴b 2-au u =b 2+av v , ∴b 2u -b 2v =2a , ∴uv =b 2v -u 2a =b 2m 2a ，将u =v -m 代入uv =b 2m2a，得v -m v =b 2m 2a ，解这个关于v 的一元二次方程，得v =12m +m m +2b 2a ．又ΔF 1AB 的半周长s =v ，因此异支焦点弦三角形F 1AB 的周长C ΔF 1AB =m +m m +2b 2a．1(2021·浙江·统考一模)如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若AB ∶BF 2∶ AF 2 =3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A.2B.15C.13D.3【变式训练】1(2021下·安徽安庆·高三校联考阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，若△ABF 2为边长为4的等边三角形，则△AF 1F 2的面积为()A.23B.33C.43D.632(2021·高三课时练习)已知双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M 0,2 ，则△PFM 的周长的最小值为()A.2+42B.4+22C.32D.26+33已知F 1、F 2分别是双曲线x 23-y 26=1的左右焦点，过右焦点F 2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点．(Ⅰ)求线段AB 的长；(Ⅱ)求△AF 1B 的周长．题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论1.圆锥曲线的角度式焦半径公式与焦点弦公式设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，不妨设AF >BF ，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线半通径为p =b 2a，则AF =p 1-e cos θ , BF =p 1-e cos θ+π =p 1+e cos θ , ∴AB =AF +BF =2p1-e 2cos 2θ，即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：AF =p 1-e cos θ , BF =p 1+e cos θ , ∴AB =2p1-e 2cos 2θ①.二级结论2.椭圆的倾斜角式焦点弦长公式：(1)F 1 , F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ=2p 1-e 2cos 2θp =b 2a；(2)F 1 , F 2为椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的上、下焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2sin 2θ=2p 1-e 2sin 2θp =b 2a．说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为椭圆的通径，通径长AB =2b 2a．圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p =2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB =2p1-e 2cos 2θ焦点在x 轴上2p1-e 2sin 2θ焦点在y 轴上．1(2022·全国·高三专题练习)如图，F 1 , F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，求弦长AB ．【变式训练】1经过椭圆x 22+y 2=1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB的长.2(2022上·全国·高二专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为33，过椭圆的右焦点且斜率为12的直线与椭圆交于A ，B 两点，则△AOB (其中O 为原点)的形状为.3(2022上·全国·高三专题练习)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2，斜率为12的直线l 过左焦点F 1且交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为e ∈12,34，则线段AB 的长度的取值范围是4(2022·全国·高三专题练习)过椭圆3x 2+4y 2=48椭圆的左焦点引直线交椭圆于A ，B 两点，|AB |=7，求直线方程．5(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 29+y 28=1的左右焦点分别为F 1 , F 2，若过点P 0，-2 及F 1 的直线交椭圆于A ，B 两点，求△ABF 2的面积.6(2023·四川广安·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点F 与椭圆x 225+y 216=1的右焦点重合．斜率为k k >0 直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若AF =3BF ，则直线l 的方程是()A.3x -y -33=0B.43x -4y -33=0C.3x -y -9=0D.x -3y -3=0题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：曲线的倾斜角式焦点弦长公式：(1)F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与双曲线C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ =2p 1-e 2cos 2θ p =b 2a ．(2)F 1 , F 2为双曲线C :y 2a2-x 2b 2=1a >0 , b >0 的上、下焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与双曲线C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2sin 2θ =2p 1-e 2sin 2θ p =b 2a ．说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为双曲线的通径，通径长2p =2b 2a．圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p =2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB =2p1-e 2cos 2θ焦点在x 轴上2p1-e 2sin 2θ焦点在y 轴上．1(2022·全国·高三专题练习)设双曲线x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 ，其中两焦点坐标为F 1-c ,0 F 2c ,0 ，过F 1的直线l 的倾斜角为θ，交双曲线于A ，B 两点，求弦长AB ．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 24-y 28=1的右焦点F 作倾斜角为45°的直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．2(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 作倾斜角为150°直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．3(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 24-y 28=1的右焦点F 作倾斜角为45°的直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．4(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A 、B 两点，求弦长AB ．5(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线x 23-y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，若过点P (0，-2)及F 1的直线交双曲线于A ，B 两点，求△ABF 2的面积题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：1.抛物线的焦点弦长：AB =2psin 2θ焦点在x 轴上2pcos 2θ焦点在y 轴上．2.过抛物线y 2=2px (p >0)焦点的直线交抛物线于A ,B 两点，则：y A y B =-p 2,x A x B =p 24.(焦点在y 轴上的性质对比给出.)引伸：M (a ,0)(a >0)在抛物线y 2=2px (p >0)的对称轴上，过M 的直线交抛物线于两点.A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y 1,y 2=-2pa (定值).3.|AB |=2p sin 2α(α是直线AB 与焦点所在轴的夹角)=x 1+x 2+p (焦点在cos θ =λ-1λ+1 轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦，长为2p )最短.4.AF =λBF ，则有cos θ|=|λ-1λ+1|,AF =p 1-cos θ，BF =p 1+cos θ(θ为直线与焦点所在轴的夹角).1(2022·全国·高三专题练习)如图，抛物线y 2=2px p >0 与过焦点F p2,0的直线l 相交于A ,B 两点，若l 的倾斜角为θ，求弦长AB ．【变式训练】1(2020·山东·统考高考真题)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =．2已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2，直线l 1与C 交于A ,B 两点，直线l 2与C 交于D ,E 两点，则AB +DE 的最小值为()A.16B.14C.12D.103(2021上·江西·高三校联考阶段练习)过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 作倾斜角为θθ≠π2的直线，交抛物线于A ,B 两点，当θ=π3时，以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T 0,3 .(1)求抛物线的方程；(2)试问在x 轴上是否存在异于F 点的定点P ，使得FA ⋅PB =FB ⋅PA 成立？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.4(2020·四川遂宁·统考二模)过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 作直线交抛物线于M ，N 两点(M ，N 的横坐标不相等)，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若MN =40，则HF =()A.14B.16C.18D.205设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A , B 两点.若|AF |=3|BF |，则l 的方程为()A.y =x -1或y =-x +1B.y =33(X -1)或y =-33(x -1)C.y =3(x -1)或y =-3(x -1)D.y =22(x -1)或y =-22(x -1)6(2022·全国·高三专题练习)已知点F 和直线l 是离心率为e 的双曲线C 的焦点和对应准线，焦准距(焦点到对应准线的距离)为p ．过点F 的弦AB 与曲线C 的焦点所在的轴的夹角为θ0°<θ≤90° ，则有．题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论一．椭圆的焦半径及其应用：1.焦半径公式：Px 0，y 0是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1 , F 2是左、右焦点，e 椭圆的离心率是则,PF 1=a +ex 0,PF 2=a -ex 0，Px 0，y 0是椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1 , F 2是上、下焦点，e 椭圆的离心率是则,PF 1=a -ey 0,PF 2=a +ey 0，2.椭圆的坐标式焦点弦长公式：(1)椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点弦长公式：AB =2a +e x A +x B (过左焦点)；AB =2a -e x A +x B (过右焦点)，即AB =2a -e x A +x B ；(2)椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的焦点弦长公式：AB =2a -e y A +y B (过上焦点)；AB =2a +e y A +y B (过下焦点)，即AB =2a -e y A +y B ．二．双曲线的焦半径及其应用：1:定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.2.当点P 在双曲线上时的焦半径公式，(其中F 1 为左焦点，F 2为右焦点)它是由第二定义导出的，其中a 是实半轴长，e 是离心率，x 0是P 点的横坐标.当焦点在x 轴，P 在左支时：PF 1=-(ex 0+a ),PF 2=-(ex 0-a ).当焦点在x 轴，P 在右支时：PF 1=ex 0+a ,PF 2=ex 0-a .当焦点在y 轴:P 在上支时：PF 1=ey 0+a ,PF 2=ey 0-a当焦点在y轴:P在下支时：PF1=-(ey0+a),PF2=-(ey0-a)三．双曲线的坐标式焦点弦长公式：(1)双曲线x2a2-y2b2=1a>0 , b>0的焦点弦长公式：同支弦AB=e x A+x B-2a=2ab21+k2a2k2-b2；异支弦AB=2a-e x A+x B=2ab21+k2b2-a2k2，统一为：AB=e x A+x B-2a =2ab21+k2a2k2-b2；(2)双曲线y2a2-x2b2=1a>0 , b>0的焦点弦长公式：同支弦AB=e y A+y B-2a；异支弦AB=2a-e y A+y B，统一为：AB=e y A+y B-2a．1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，若过左焦点的直线交椭圆于A , B两点，求AB．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x22+y21=1的左右焦点分别为F1，F2，若过点P0,-2及F1的直线交椭圆于A，B两点，求AB．2(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x249+y213=1，若过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B两点的横坐标之和是-7，求AB．3(2022·全国·高三专题练习)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其中两焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论抛物线的坐标式焦点弦长公式：(1)抛物线y2=2px p>0的焦点弦长公式：AB=p+x A+x B；(2)抛物线y2=-2px p>0的焦点弦长公式：AB=p-x A+x B；(3)抛物线x2=2py p>0的焦点弦长公式：AB=p+y A+y B；(4)抛物线x2=-2py p>0的焦点弦长公式：AB=p-y A+y B．1(2021·河北·高三专题练习)过抛物线y2=2px p>0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P=.【变式训练】1(2023·北京·人大附中校考三模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，AB=10，AB的中点横坐标为4，则p=．2(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，则过点F且斜率为3的直线l截抛物线C所得弦长为()A.223B.163C.193D.833题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论1.点F 是椭圆的焦点，过F 的弦AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 的斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1注：λ=AF BF 或者λ=BF AF ,而不是AF AB 或者BFAB点F 是双曲线焦点，2.过F 弦AB 与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1 1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2且倾斜角为60°的直线l 与C 交于A ，B 两点．若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的2倍，则C 的离心率为．【变式训练】1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF BF =32，则椭圆C 的离心率e =．2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.58B.65C.75D.953(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，经过F 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆相交于不同两点A ,B ，已知AF =2FB．(1)求椭圆的离心率；(2)若|AB |=154，求椭圆方程．4(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为A ,F 是C 的一个焦点，点B 在C 上，若3AF +5BF =0，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.321(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F 2，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于G ,H 两点，且GF 2 =2F 2H ，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.23D.322(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为433，过左焦点F 且斜率为k >0的直线交C 的两支于A ,B 两点．若|FA |=3|FB |，则k =．3(多选)(2022·辽宁沈阳·统考模拟预测)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为e ，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2的直线与双曲线右支交于P ，Q 两点，且PF 1 =2PF 2 ，下列说法正确的是()A.PF 2 与双曲线的实轴长相等B.e ∈1,3C.若P 在以F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为y =±4xD.若PF 1 =QF 2 ，则直线PQ 的斜率为±424(2021·四川成都·石室中学校考三模)已知直线经过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 并交抛物线于A ，B 两点，则AF =4，且在抛物线的准线上的一点C 满足CB =2BF，则p =.5(2020·全国·校联考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (3,1)，且左、右顶点分别为A 1,A 2，左焦点为F 1，上、下两个顶点分别为B 1,B 2,0为坐标原点，△A 1B 1F 1与△OA 2B 2面积的比值为3-63．(1)求C 的标准方程；(2)过F 1且斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点，点D 在y 轴上，且满足PD =QD ，已知E (0,-2)，求△EPQ 与△A 2OD 面积比值的最小值．6(2021·江西新余·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)和圆O :x 2+y 2=a 2,F 1(-1,0),F 2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F 1且倾斜角为α∈0,π2的动直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，交圆O 于P ,Q 两点(如图所示)，当α=π4时，弦PQ 的长为14．(1)求圆O 和椭圆C 的方程(2)若点M 是圆O 上一点，求当AF 2,BF 2,AB 成等差数列时，△MPQ 面积的最大值．7(2020·安徽蚌埠·统考一模)已知M 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一点，F 1、F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，且F 1F 2 =2，∠F 1MF 2=π3，△F 1MF 2的面积为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过椭圆C 右焦点F 2，交该椭圆于A 、B 两点，AB 中点为Q ，射线OQ (O 为坐标原点)交椭圆于P ，记△AOQ 的面积为S 1，△BPQ 的面积为S 2，若S 2=3S 1，求直线l 的方程．8(2010·全国·高考真题)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C于点D ，且BF =2FD，则C 的离心率为9(2010·全国·高考真题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点．若AF =3FB，则k =()A.1B.2C.3D.210(2009·全国·高考真题)已知双曲线C :χ2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.65B.75C.85D.9511(2023·全国·统考高考真题)(多选)设O 为坐标原点，直线y =-3x -1 过抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则()．A.p =2B.MN =83C.以MN 为直径的圆与l 相切D.△OMN 为等腰三角形。

【知识梳理】解析几何的20个微专题(附高考数学真题讲析)

【知识梳理】解析几何的20个微专题[1]专题1：直线与方程知识梳理：（1）直线的倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为︒0.倾斜角的范围为[)︒︒180,0. （2）直线的斜率：定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即=k αtan .倾斜角是︒90的直线，斜率不存在. （3）过两点的直线的斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：当21x x ≠时，1212x x y y k --=；当21x x =时，斜率不存在.注：①任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率，倾斜角是︒90的直线的斜率不存在.②斜率随倾斜角的变化规律：③可以用斜率来证明三点共线，即若AC AB k k =，则C B A ,,三点共线. 直线方程的五种形式注意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程；二是待定系数法，先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.但使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解.②截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标，横截距是直线与x 轴交点的横坐标，而距离是一个非负数.直线与直线位置关系1．两条直线的交点若直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 相交，则交点坐标是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解. 2．两条直线位置关系的判定（1）利用斜率判定若直线1l 和2l 分别有斜截式方程1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为2121,b b k k ≠=. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为2121,b b k k ==.③直线1l 与2l 相交的等价条件为21k k ≠；特别地，1l ⊥2l 的等价条件为121-=⋅k k .若1l 与2l 斜率都不存在，则1l 与2l 平行或重合.若1l 与2l 中的一条斜率不存在而另一条斜率为0，则1l 与2l 垂直.（2）用直线一般式方程的系数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为0012211221≠-=-C B C B B A B A 且. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为0012211221=-=-C B C B B A B A 且.③直线1l 与2l 相交的等价条件为01221≠-B A B A ；特别地， 1l ⊥2l 的等价条件为02121=+B B A A .注：与0=++CBy Ax 平行的直线方程一般可设为0=++m By Ax 的形式，与0=++C By Ax 垂直的直线方程一般可设为0=+-n Ay Bx 的形式.（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A ，若方程组有惟一解，则1l 与2l 相交，此解就是1l ，2l 交点的坐标；若方程组无解，此时1l 与2l 无公共点，则1l ∥2l ；若方程组有无数个解，则1l 与2l 重合.3. 直线系问题（1）设直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A若1l 与2l 相交，则0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过1l 与2l 的交点的直线系（不包括2l ）；若1l ∥2l ，则上述形式的方程表示与与2l 平行的直线系.（2）过定点),(00y x 的旋转直线系方程为))((00R k x x k y y ∈-=-（不包括0x x =）；斜率为0k 的平行直线系方程为)(0R b b x k y ∈+=.注：直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程. 距离公式与对称问题 1.距离公式（1）两点间的距离公式平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离=21P P 212212)()(y y x x -+-.特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离=OP 22y x +.若x P P //21轴时，=21P P 21x x -；若y P P //21轴时，=21P P 21y y -. （2）点到直线的距离公式已知点),(000y x P ，直线l ：0=++C By Ax ，则点0P 到直线l 的距离=d 2200BA CBy Ax +++.已知点),(000y x P ，直线l ：a x =，则点0P 到直线l 的距离=d a x -0. 已知点),(000y x P ，直线l ：b y =，则点0P 到直线l 的距离=d b y -0. 注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式. （3）两条平行直线间的距离公式已知两平行直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，若点),(000y x P 在1l 上，则两平行直线1l 和2l 的距离可转化为),(000y x P 到直线2l 的距离.已知两平行直线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax ，则两直线1l 和2l 的距离=d 2221BA C C +-.注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且y x ,项的系数必须对应相等. 2.对称问题（1）中心对称 ①点关于点的对称点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(001y b x a P --. ②直线关于点的对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用1l ∥2l ，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点),(y x ，求出它关于已知点的对称点的坐标，代入已知直线，即可得到所求直线的方程. (2）轴对称①点关于直线的对称点),(00y x P 关于b kx y +=的对称点为),(111y x P ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++⋅=+-=⋅--b x x k y y k x x y y 22101010101,由此可求出11,y x .特别地, 点),(00y x P 关于a x =的对称点为),2(001y x a P -，点),(00y x P 关于b y =的对称点为)2,(001y b x P -. ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称直线相交，一是已知直线与对称直线平行. 本章知识结构专题2：圆的标准方程与一般方程知识梳理:⑴.圆的一般方程的概念：当时，二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程。

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（1）当焦点内分弦时，有（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有【椭圆焦三角形面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长,α为弦夹角【椭圆】222122()S (a c )tanb tanαα=-=22()S b mn b =-3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-【双曲线焦△ 面积】q 为动点到原点的距离,,m,n 为弦长,α为弦夹角212b ()S tanα=22()Sb mn b =-3()S (a c )(a c )(a q )(a q )=+-+-【抛物线焦点弦与原点△ 面积】θ取弦与焦点轴的锐角为【焦点△顶角】椭圆:双曲线一、焦半径与焦点弦 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角22221x y a b+=焦点弦,准线图【焦半径——椭圆】分析：如上左图,11:22|F A ||F B |a b e;e;p =-c =|AM ||BN |c c==根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==+⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+12222111::=ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-小结:长半焦短半焦焦点弦分析：如上右图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-12222111::=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-焦点在轴上结论:长半焦短半焦焦点弦22221y x a b += 22221y x a b+=分析：如上左图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-分析：如上右图,1:22|F A |a b e;p =-c =|AM |c c=根据椭圆第二定义准线与对应焦点距离11111|F A |epe |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==+⇒=-11111|F B |epe |F B |e |BN|e(p |F B |sin )|F B ||BN |e sin θθ=⇒==-⇒=+AB MN2b p c=2a x c=θ【焦半径——双曲线】内部焦点半径 2）x(y πθ取弦与或轴小于的夹角22221y x a b-=12222:=111ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:短结论:长半焦半焦焦点弦外部焦点半径 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角AF12a x c=F2MBNAF12a x c=-F2MBN121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦21a a a |F A |e |AM |e(x )a ex c ==+=+21b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c ==+=+22a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c==-=-22b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c==-=-ABM N2b p c=2a x c=θθM‘MN’N BAABθN‘M’ N M分析：如上左图, 122|F A |a b e;p =c =|AM |c c=-:根据第二定义准线与对应焦点距离 11111|F A |x e |F A |e |AM |e(|AM'|p )|AM |epe(|F A |cos p )|F A |e cos θθθ=⇒==-=-⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+ 11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 分析：如上右图,22221|F A |epe |F A |e |AM |e(|AM'|p )e(|F A |cos p )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==-=-⇒=-22221|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 12222111焦点在轴上结论:=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:长半焦半焦焦点弦:短同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论)12222111:短ep ep epy ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:=焦点在轴上结论:长半焦半焦焦点弦θM‘MN’NBA【焦半径——抛物线】2）x(yπθ取弦与或轴小于的夹角从上图容易得出以下结论122211p p p;;|AB|cos cos sinρρθθθ==-+:=:短结论:长半焦半焦焦点弦从上图分析12在轴上=x|AB||AM||B N|(|AM'||M'M|)(|BN'||N'N|)|AB|x x p −−−→=+=+++⇒++焦点定义:12在轴上=y|AB||AM||B N|(|AM'||M'M|)(|BN'||N'N|)|AB|y y p −−−→=+=+++⇒++焦点定义:21a aa|F A|e|AM|e(x)a exc==+=+22a aa|F A|e|AM|e(x)a exc==-+=-122:==a b a ba b a ba ex;a ex|AB|a ex a ex e(x x)|AB|a ex a ex a e(x x)ρρ=+=-+--=--+-=-+异左焦半径异右焦半径异左异右AB F2a x c=-2b p c=MN Fθ ABMN2b p c=2a x c=θ【焦半径与焦点弦有关推论】【推论1】——常用来求定值过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点，则21122a |AF ||BF |b ep+== 过双曲线的一焦点F 的直线分别与两支交于A,B ，与焦点轴夹角为)2(πθ<21122cos a cos |AF ||BF |p b θθ•+==过抛物线的一焦点F 直线交抛物线于A,B 两点，与焦点轴夹角为)2(πθ<112|AF ||BF |p+= 【推论2】2πθ取弦与焦点轴小于的夹角————常用来求定角或斜率已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为θ，且。

（3）当焦点内分弦时，有（4）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有θM‘ MNB A【（1）分析证明】11111AF BFAM NB AM NB ()BF ()e e cos e cos AB AF BF ()BF e()BF ()λλθθλλλ-----====⇒=++++ 【（2）分析证明】11111AF BFAM'AM NB ()BF ()e e cos e cos AB AF BF ()BF e()BF ()λλθθλλλ++++====⇒=---- 【焦半径与焦点弦有关例题】例1 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿【解】由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。

例2（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。

（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。

【解】（1）这里，，由定理1的公式得，解得。

（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。

例3（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿【解】易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。