教材例题画法几何(课堂PPT)
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分析：由直线上的点分线段为定比的性质可知，若AK： KB=1：2，则ak：bk 也必等于1：2，由此可求得交点K的水 平投影。又因交点K是两直线AB和CD的公有点，故k’必在c’d’ 上。点C的水平投影和点B的正面投影分别位于dk和a’k’的延长 线上。
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例2-11：已知矩形ABCD的一边AB平行于H面，根据图给的 投影，完成该矩形的两面投影。
7
例2-8：根据图2－26（a）所示，在直线AB上找一点K， 使AK：KB=3：2
分析：由上述投影特性可知，AK：KB=3：2，则其投影 ak：kb=a’k’：k’b’＝3：2。因此，只要用平面几何作图的 方法，把ab或a’b’为3：2，即可求得点K的投影。
8
例2－9：判定点K是否在侧平线AB上（图2－27a〕。 分析：由直线上点的投影特性可知，如果点K在直线AB上，
分析：水平线的正面投影平行于OX轴，它到OX轴的距离， 反映水平线到H面的距离，虽然平面内所有的水平线，其正 面投影都平行于OX轴，但距OX轴为15的只有一条，故应先 作其正面投影，再求其水平投影。
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例2-18:过ΔABC的顶点B，作该平面内的正平线见图2-53 （a）。
分析：由直线在平面内的几何条件可知，过顶点 B作直线L， 平行于西ABC的一条直线，则直线L必在该平面内。如果所作 的直线L，平行于ΔABC的一条正平线，则直线L即为该平面内 过顶点B的正平线。因此，欲过顶点B作该平面内的正平线，须 在ΔABC内先任作一条正平线。
分析： 点K在ΔABC内，它必在该平面内的一条直线上，k 和k’应分别位于该直线的同面投影上。因此，欲求点K的投影， 须先在西ABC内作出过点K的辅助线的投影。
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例2-15：判定点K是否在两平行直线AB和CD所决定的平面 内（图2－49（a））。
分析：如果点K在给定的平面内，它必在该平面内的一条直 线上。因此，只要通过点K的某一投影在（或k‘），在给定的 平面内作一条直线的投影，看点K的另一投影k’（或k）是否在 该直线的同面投影上，即可判定点K是否在所给定的平面内。
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例2—16：已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和正面 投影a’b’d’，完成该四边形的正面投影见图2—50（a）。
分析：因为ABCD为一平面四边形，所以点C必在ABD所 决定的平面内，因此点C的正面投影C’可运用在平面内取点 的方法求得。
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例2—17：在两平行直线AB、CD所决定的平面内，作一 距H 面为15的水平线，如图(2-52(a))
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例2-7 :已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a’，并 知AB对H 面倾角为300，求: AB的正面投影a’b’。
分析：由于点A的正面投影a’（即其z坐标）已知，所以 只要求出A、B两点的z坐标差，即可确定点B的正面投影b’。 由上述直角三角形法的原理可知，以ab为一直角边，作一锐 角为300的直角兰角形，则300角所对的直角边，即为A、B 两点的Z坐标差。
分析：因矩形的两边 AB⊥AC，又知 AB∥H面，故ab⊥ac。 又因矩形的对边互相平行，所以 ab∥cd，a’b’∥ c’d’；ac∥bd， a’c’∥b’d’。据此即可完成该矩形的投影。
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例2—12：过点 C作直线CD与正平线AB相交垂直。 分析：已知CD⊥AB，其中AB平行于V面，故其正面投影 c’d’ ⊥a’b’，由此即可确定CD的投影 c’d’和 cd。
例2-1：已知点A的水平投影a和正面投影a’，求其侧面投影 a”，如图2－9(a)所示。
分析：由点的投影规律得知，点的正面投影与侧面投影的 连线垂直于OZ轴，故a”必在过a’所作的OZ轴的垂线（OX轴的 平行线）上。又知点的侧面投影到OZ轴的距离等于水平投影 到OX轴的距离，即a”az=aax。因此，只要在过a’对OZ轴所作 的垂线上截取aza”＝aax，即可得a”。
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例2－4：在图2—13（a）所给出的三投影面体系中，画 出点A（20，12，15）的三面投影及点A的空间位置。
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例2-5：过点 A向右上方作一正平线 AB，使其实长为 25，与 H面的倾角α=300，如图2-19（a）所示。
分析：由正平线的投影特性可知，正平线的正面投影反 映实长，它与OX轴的夹角反映直线对H面的倾角α，故本 题只有一个解。
ak：kb=a’k’：k’b’，因此，可用这一等比关系来判定K是否 在直线AB上。另外，如果点K在直线AB上，则k”应在a”b”上。 所以，也可作出它们的侧面投影来判定。
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例2-10：已知：直线AB和CD相交于点K，并知AK：KB=1：2， 根据图给的投影，求AB的正面投影a’b’和CD的水平投影cd
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例2-6：已知直线AB的正面投影 a’b’和点 A的水平投影 a， 并知AB=25，求AB的水平投影ab及AB对V面的倾角β，如图223(a)所示。
分析：由点的投影规律可知，b应在过b’所作的OX轴的垂线 上，因此只要求出AB两点的y坐标差，即可确定b。根据直角三 角形法的原理，以a’源自文库’为一直角边。以25为斜边作一直角三角 形，它的另一直角边即为AB两点的y坐标差，y坐标差所对的角 即为AB对V面的倾角β。本题有两个解。
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例2-2： 已知点B的正面投影b‘和侧面投影b”，求其水平投 影b，如图2—10（a）所示。
2
例2－3：已知点A的坐标为（20、10 、15），求作点A的三 面投影a、a’和a”。
分析：从点 A的三个坐标值可知，点 A 到 W 面的距离为 20，到 V 面的距离为 10倒 H 面的距离为15。根据点的投影 规律和点的三面投影与其3个坐标的关系，即可求得点A的3 个投影。
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例2-13:在两相交直线AB和CD所决定的平面内，另外任取 两条直线（图2-47（a））。 分析： 根据直线在平面内的几何条件，可在AB和CD上分 别取一点M、N，则M、N连线必在该平面内；再过AB或 CD上的任一点作一直线平行于CD或AB，则该直线也必在 该平面内。
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例2－14 已知ΔABC内点K的水平投影k，求其正面投影k’ （图2-48（a））。
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例2-11：已知矩形ABCD的一边AB平行于H面，根据图给的 投影，完成该矩形的两面投影。
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例2-8：根据图2－26（a）所示，在直线AB上找一点K， 使AK：KB=3：2
分析：由上述投影特性可知，AK：KB=3：2，则其投影 ak：kb=a’k’：k’b’＝3：2。因此，只要用平面几何作图的 方法，把ab或a’b’为3：2，即可求得点K的投影。
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例2－9：判定点K是否在侧平线AB上（图2－27a〕。 分析：由直线上点的投影特性可知，如果点K在直线AB上，
分析：水平线的正面投影平行于OX轴，它到OX轴的距离， 反映水平线到H面的距离，虽然平面内所有的水平线，其正 面投影都平行于OX轴，但距OX轴为15的只有一条，故应先 作其正面投影，再求其水平投影。
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例2-18:过ΔABC的顶点B，作该平面内的正平线见图2-53 （a）。
分析：由直线在平面内的几何条件可知，过顶点 B作直线L， 平行于西ABC的一条直线，则直线L必在该平面内。如果所作 的直线L，平行于ΔABC的一条正平线，则直线L即为该平面内 过顶点B的正平线。因此，欲过顶点B作该平面内的正平线，须 在ΔABC内先任作一条正平线。
分析： 点K在ΔABC内，它必在该平面内的一条直线上，k 和k’应分别位于该直线的同面投影上。因此，欲求点K的投影， 须先在西ABC内作出过点K的辅助线的投影。
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例2-15：判定点K是否在两平行直线AB和CD所决定的平面 内（图2－49（a））。
分析：如果点K在给定的平面内，它必在该平面内的一条直 线上。因此，只要通过点K的某一投影在（或k‘），在给定的 平面内作一条直线的投影，看点K的另一投影k’（或k）是否在 该直线的同面投影上，即可判定点K是否在所给定的平面内。
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例2—16：已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和正面 投影a’b’d’，完成该四边形的正面投影见图2—50（a）。
分析：因为ABCD为一平面四边形，所以点C必在ABD所 决定的平面内，因此点C的正面投影C’可运用在平面内取点 的方法求得。
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例2—17：在两平行直线AB、CD所决定的平面内，作一 距H 面为15的水平线，如图(2-52(a))
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例2-7 :已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a’，并 知AB对H 面倾角为300，求: AB的正面投影a’b’。
分析：由于点A的正面投影a’（即其z坐标）已知，所以 只要求出A、B两点的z坐标差，即可确定点B的正面投影b’。 由上述直角三角形法的原理可知，以ab为一直角边，作一锐 角为300的直角兰角形，则300角所对的直角边，即为A、B 两点的Z坐标差。
分析：因矩形的两边 AB⊥AC，又知 AB∥H面，故ab⊥ac。 又因矩形的对边互相平行，所以 ab∥cd，a’b’∥ c’d’；ac∥bd， a’c’∥b’d’。据此即可完成该矩形的投影。
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例2—12：过点 C作直线CD与正平线AB相交垂直。 分析：已知CD⊥AB，其中AB平行于V面，故其正面投影 c’d’ ⊥a’b’，由此即可确定CD的投影 c’d’和 cd。
例2-1：已知点A的水平投影a和正面投影a’，求其侧面投影 a”，如图2－9(a)所示。
分析：由点的投影规律得知，点的正面投影与侧面投影的 连线垂直于OZ轴，故a”必在过a’所作的OZ轴的垂线（OX轴的 平行线）上。又知点的侧面投影到OZ轴的距离等于水平投影 到OX轴的距离，即a”az=aax。因此，只要在过a’对OZ轴所作 的垂线上截取aza”＝aax，即可得a”。
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例2－4：在图2—13（a）所给出的三投影面体系中，画 出点A（20，12，15）的三面投影及点A的空间位置。
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例2-5：过点 A向右上方作一正平线 AB，使其实长为 25，与 H面的倾角α=300，如图2-19（a）所示。
分析：由正平线的投影特性可知，正平线的正面投影反 映实长，它与OX轴的夹角反映直线对H面的倾角α，故本 题只有一个解。
ak：kb=a’k’：k’b’，因此，可用这一等比关系来判定K是否 在直线AB上。另外，如果点K在直线AB上，则k”应在a”b”上。 所以，也可作出它们的侧面投影来判定。
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例2-10：已知：直线AB和CD相交于点K，并知AK：KB=1：2， 根据图给的投影，求AB的正面投影a’b’和CD的水平投影cd
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例2-6：已知直线AB的正面投影 a’b’和点 A的水平投影 a， 并知AB=25，求AB的水平投影ab及AB对V面的倾角β，如图223(a)所示。
分析：由点的投影规律可知，b应在过b’所作的OX轴的垂线 上，因此只要求出AB两点的y坐标差，即可确定b。根据直角三 角形法的原理，以a’源自文库’为一直角边。以25为斜边作一直角三角 形，它的另一直角边即为AB两点的y坐标差，y坐标差所对的角 即为AB对V面的倾角β。本题有两个解。
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例2-2： 已知点B的正面投影b‘和侧面投影b”，求其水平投 影b，如图2—10（a）所示。
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例2－3：已知点A的坐标为（20、10 、15），求作点A的三 面投影a、a’和a”。
分析：从点 A的三个坐标值可知，点 A 到 W 面的距离为 20，到 V 面的距离为 10倒 H 面的距离为15。根据点的投影 规律和点的三面投影与其3个坐标的关系，即可求得点A的3 个投影。
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例2-13:在两相交直线AB和CD所决定的平面内，另外任取 两条直线（图2-47（a））。 分析： 根据直线在平面内的几何条件，可在AB和CD上分 别取一点M、N，则M、N连线必在该平面内；再过AB或 CD上的任一点作一直线平行于CD或AB，则该直线也必在 该平面内。
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例2－14 已知ΔABC内点K的水平投影k，求其正面投影k’ （图2-48（a））。