微积分基本定理word版

1.6.1微积分基本定理

教材分析

本节内容选自数学选修2-2第一章第六节，是在学习了定积分的概念知识后，对求解定积分值的再学习，可以看作是对前面学习过的内容的应用，要求用牛顿莱布尼茨公式求解定积分的值.此外，本节又是定积分应用的起始课，对后续内容的学习起着奠基的作用，本课题的重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分，难点是微积分基本定理的含义及其应用．通过探究公式的由来过程，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.

课时分配

本节内容用2课时的时间完成，本节课为第一课时主要讲解牛顿莱布尼茨公式的证明及运用公式解决简单的求解定积分的问题.

教学目标

重点: 微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点：微积分基本定理的含义及其应用． 知识点：牛顿---莱布尼茨公式.

能力点：如何探寻牛顿---莱布尼茨公式的证明思路，数形结合的数学思想的运用.

教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用变速直线运动物体的速度与位移的关系推导出牛顿---莱布尼茨公式. 考试点：通过变速运动的速度与位移间的关系探寻牛顿---莱布尼茨公式、用公式求定积分问题. 易错易混点：当定积分的被积函数较复杂在计算时学生容易在“符号”上出问题. 拓展点：在求解复合函数在给定区间上的积分值时有哪些技巧可寻.

教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学 一、引入新课

前面，我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念——导数和定积分，那么这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们可以直接利用定积分的定义来计算

1

30

x dx ⎰

的

值，我们通过分割、近似代替、求和、取极限的“四步曲”来计算此定积分的值，但是过程却比较麻烦.而对于有些定积分，例如2

1

1

dx x

⎰

，当我们再用定义去求解时，会出现什么情况呢？

2

1

111111lim lim n n

n n i i dx =n i x n n i

n

→∞→∞===⋅++∑∑⎰

那么

该和式的极限值是多少呢？我们可以借助于定积分的几何意义来看一下：

由定积分的几何意义结合图像可知该定积分的值不为零，那么该如何计算该定积分的值呢？有没有比定义更简洁、有效的方法求定积分呢？

接下来我们就从导数与定积分的内在联系出发去探寻一种求解定积分的值的更简洁有效的方法. 【设计说明】在计算定积分

2

1

1

dx x

⎰

的值时，让学生自己先按照定义去求，让学生回顾一下定积分的定义及前面所学过的“四步曲”.

【设计意图】通过以上应用定义求解定积分的过程出现定义法失效的情况，激发学生去探寻其他的求解定积分的方法.

二、探究新知

探究：如下图所示，一个做变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =，并且()s t 有连续的导数.由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度'

()()v t s t =.设这个物体在时间段[,]a b 内的位移为

s ，你能分别用

(),()s t v t 表示s 吗？

α

显然，物体的位移

s 是函数()s s t =在t b =处与t a =处的函数值之差，即()()S s b s a =-.①

另一方面，我们还可以利用定积分，由()v t 求位移s .

用分点011i i n a t t t t t b -=<<

<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间：

011211[,],[,],,[,],,[,],i i n n t t t t t t t t --每个小区间的长度均为：1i i b a

t t t n

--∆=-=

.当t ∆很小时，在1[,]i i t t -上()v t 的变化很小，可以认为物体近似的以速度1()i v t -做匀速运动，物体所做的位移为：

''

111()()().i i i i i b a S h v t t s t t s t n

----∆≈=∆=∆=

② 由几何意义上看（如上右图），设曲线()s s t =上与1i t -对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何

意义知，切线PD 的斜率等于'1()i s t -，于是：'

1tan ()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆.

结合上图，可得物体总位移：

'1111

1

1

()()n

n

n

n

i i i i i i i i s s h v t t y t t --=====∆≈=∆=⋅∆∑∑∑∑.可以发现，n 越大，即t ∆越小，区间[,]a b 的分割就越

细，

'1

11

1()()n

n

i i i i v t

t y t t --==∆=⋅∆∑∑与s 的近似程度就越好，并且当n →∞时两者之差趋向于0.由定积分的

定义有：'

'1111

lim ()lim ()()()n

n b b i i a a n n i i b a b a S v t y t v t dt y t dt n n --→∞→∞==--====∑∑⎰⎰. 结合①有：'()()()()b

b

a

a

S v t dt y t dt y b y a =

==-⎰

⎰.

上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =，那么'

()()v t s t =在区间[,]a b 上的定积分就是物体的位移()()y b y a -.

一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'

()()F x f x =，那么()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

.这个

结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿---莱布尼茨公式. 为了方便，我们常常把()()F b F a -记成()b

a F x ，即()()()()b

b

a a

f x dx F x F b F a ==-⎰

.

微积分基本定理表明，计算定积分

()b

a

f x dx ⎰

的关键是找到满足'()()F x f x =的函数()F x .通常，我们可

以运用基本初等函数的求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出()F x .

【设计意图】给学生充分的感性材料,揭示公式的发现过程, 通过学生发现若干特例的共性, 培养学生归

纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）．避免直接将公式抛给学生．

三、理解新知

分析公式

()()()()b

b

a a

f x dx F x F b F a ==-⎰

的结构特点，得到：求解定积分的关键是找到被积函数的一

个原函数．

【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.

四、运用新知

例1．计算下列定积分：

（1）

2

11dx x ⎰； （2）32

1

1

(2)x dx x -⎰. 解：（1）因为'

1(ln )x x

=，

所以22

111ln |ln 2ln1ln 2dx x x

==-=⎰.

（2））因为2'

'211()2,()x x x x

==-，

所以333221111

1(2)2x dx xdx dx

x

x -=-⎰⎰⎰