微积分基本定理word版

1.6.1微积分基本定理
教材分析
本节内容选自数学选修2-2第一章第六节，是在学习了定积分的概念知识后，对求解定积分值的再学习，可以看作是对前面学习过的内容的应用，要求用牛顿莱布尼茨公式求解定积分的值.此外，本节又是定积分应用的起始课，对后续内容的学习起着奠基的作用，本课题的重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分，难点是微积分基本定理的含义及其应用．通过探究公式的由来过程，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.
课时分配
本节内容用2课时的时间完成，本节课为第一课时主要讲解牛顿莱布尼茨公式的证明及运用公式解决简单的求解定积分的问题.
教学目标
重点: 微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点：微积分基本定理的含义及其应用． 知识点：牛顿---莱布尼茨公式.
能力点：如何探寻牛顿---莱布尼茨公式的证明思路，数形结合的数学思想的运用.
教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用变速直线运动物体的速度与位移的关系推导出牛顿---莱布尼茨公式. 考试点：通过变速运动的速度与位移间的关系探寻牛顿---莱布尼茨公式、用公式求定积分问题. 易错易混点：当定积分的被积函数较复杂在计算时学生容易在“符号”上出问题. 拓展点：在求解复合函数在给定区间上的积分值时有哪些技巧可寻.
教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学 一、引入新课
前面，我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念——导数和定积分，那么这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们可以直接利用定积分的定义来计算
1
30
x dx ⎰
的
值，我们通过分割、近似代替、求和、取极限的“四步曲”来计算此定积分的值，但是过程却比较麻烦.而对于有些定积分，例如2
1
1
dx x
⎰
，当我们再用定义去求解时，会出现什么情况呢？
2
1
111111lim lim n n
n n i i dx =n i x n n i
n
→∞→∞===⋅++∑∑⎰
那么
该和式的极限值是多少呢？我们可以借助于定积分的几何意义来看一下：
由定积分的几何意义结合图像可知该定积分的值不为零，那么该如何计算该定积分的值呢？有没有比定义更简洁、有效的方法求定积分呢？
接下来我们就从导数与定积分的内在联系出发去探寻一种求解定积分的值的更简洁有效的方法. 【设计说明】在计算定积分
2
1
1
dx x
⎰
的值时，让学生自己先按照定义去求，让学生回顾一下定积分的定义及前面所学过的“四步曲”.
【设计意图】通过以上应用定义求解定积分的过程出现定义法失效的情况，激发学生去探寻其他的求解定积分的方法.
二、探究新知
探究：如下图所示，一个做变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =，并且()s t 有连续的导数.由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度'
()()v t s t =.设这个物体在时间段[,]a b 内的位移为
s ，你能分别用
(),()s t v t 表示s 吗？
α
显然，物体的位移
s 是函数()s s t =在t b =处与t a =处的函数值之差，即()()S s b s a =-.①
另一方面，我们还可以利用定积分，由()v t 求位移s .
用分点011i i n a t t t t t b -=<<
<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间：
011211[,],[,],,[,],,[,],i i n n t t t t t t t t --每个小区间的长度均为：1i i b a
t t t n
--∆=-=
.当t ∆很小时，在1[,]i i t t -上()v t 的变化很小，可以认为物体近似的以速度1()i v t -做匀速运动，物体所做的位移为：
''
111()()().i i i i i b a S h v t t s t t s t n
----∆≈=∆=∆=
② 由几何意义上看（如上右图），设曲线()s s t =上与1i t -对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何
意义知，切线PD 的斜率等于'1()i s t -，于是：'
1tan ()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆.
结合上图，可得物体总位移：
'1111
1
1
()()n
n
n
n
i i i i i i i i s s h v t t y t t --=====∆≈=∆=⋅∆∑∑∑∑.可以发现，n 越大，即t ∆越小，区间[,]a b 的分割就越
细，
'1
11
1()()n
n
i i i i v t
t y t t --==∆=⋅∆∑∑与s 的近似程度就越好，并且当n →∞时两者之差趋向于0.由定积分的
定义有：'
'1111
lim ()lim ()()()n
n b b i i a a n n i i b a b a S v t y t v t dt y t dt n n --→∞→∞==--====∑∑⎰⎰. 结合①有：'()()()()b
b
a
a
S v t dt y t dt y b y a =
==-⎰
⎰.
上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =，那么'
()()v t s t =在区间[,]a b 上的定积分就是物体的位移()()y b y a -.
一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'
()()F x f x =，那么()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
.这个
结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿---莱布尼茨公式. 为了方便，我们常常把()()F b F a -记成()b
a F x ，即()()()()b
b
a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
.
微积分基本定理表明，计算定积分
()b
a
f x dx ⎰
的关键是找到满足'()()F x f x =的函数()F x .通常，我们可
以运用基本初等函数的求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出()F x .
【设计意图】给学生充分的感性材料,揭示公式的发现过程, 通过学生发现若干特例的共性, 培养学生归
纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）．避免直接将公式抛给学生．
三、理解新知
分析公式
()()()()b
b
a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
的结构特点，得到：求解定积分的关键是找到被积函数的一
个原函数．
【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.
四、运用新知
例1．计算下列定积分：
（1）
2
11dx x ⎰； （2）32
1
1
(2)x dx x -⎰. 解：（1）因为'
1(ln )x x
=，
所以22
111ln |ln 2ln1ln 2dx x x
==-=⎰.
（2））因为2'
'211()2,()x x x x
==-，
所以333221111
1(2)2x dx xdx dx
x
x -=-⎰⎰⎰
23
3111122||(91)(1)33
x x =+=-+-=
. 【设计意图】本例为课本上两个例题，属于公式的简单应用，让学生感受一下牛顿---莱布尼茨公式
在求解定积分时的应用. 【变式练习】计算：（1）5
4xdx ⎰
，（2）5
20
(2)x x dx -⎰，（3）2
1
(1)x dx -⎰，（4）3
2
1
(321)x x dx --+⎰，
（5）
2
1
1
()x dx x -⎰
，（6）2211dx x
⎰. 【设计意图】给学生留有充分的练习时间，让学生亲自体会牛顿---莱布尼茨公式在求解定积分时的
应用.
例2．计算下列定积分：
220
sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π
ππ
π
⎰
⎰⎰.
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论. 解：因为'
(cos )sin x x -=， 所以
00
sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x π
ππ=-=---=⎰，
2
2
sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x π
π
ππππ=-=---=-⎰， 2
2
sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x π
π
π=-=---=⎰.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时（图1.6-3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 - 3
（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时（图 1 . 6 - 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
图1 . 6 -4 图1 . 6 -5 ( 3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 - 5 ) ，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．
【设计意图】本例可以作为当被积函数是三角函数时求解定积分的一种技巧，可让学生从定积分的几何意义的角度去求解定积分的值. 【变式练习】计算：（1）
cos xdx π
⎰
，（2）0sin xdx π
-⎰，（3）30
sin xdx π
⎰.
【设计意图】考查学生用定积分的几何意义求解定积分的值.
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等减速度2
1.8/a m s =刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当0t =时，汽车速度
0321000
32//8.88/3600
v km h m s m s ⨯==
≈,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽
车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88
t= 4.931.8≈秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
4.93
4.93
(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰
⎰
= 4.93
20
1
(8.88 1.8t )
21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过
21.90米才能停住.
【设计意图】定积分的简单实际应用，也是对微积分基本定理的应用.
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答：1．知识：
()()()()b
b
a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
．
2．思想：数形结合的思想、特殊与一般的思想．
教师总结: 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果． 【设计意图】加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．
六、布置作业
1．阅读教材P51—54； 2.书面作业
必做题：P55 习题1.6 A 组 1 B 组1，2 选做题：1、求函数0
()(4)x
F x t t dt =-⎰
在[1,5]-上的最大值与最小值.
2、 计算
2
21
x x dx --⎰
.
课外思考：求由抛物线2
4y ax =与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值.
【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用牛顿---莱布尼茨公式，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解公式的应用，从而让学生深刻地体会到微积分基本定理的主线作用，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．
七、教后反思
1.本教案的亮点是变式训练.在例1的教学中，让学生大量的练习，巩固公式．例2则为利用定积分的几何意义求解定积分的值，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．
2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的证明思路的探寻上下足功夫.
3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.
八、板书设计
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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