全国优质课- 平面向量基本定理

《平面向量基本定理》教学设计

一、内容和内容解析

1．内容：探索发现并证明平面向量基本定理，应用定理解决简单的问题．2．内容解析：平面向量基本定理是在平面向量的加法、减法、数乘向量三种线性运算的基础上，对向量运算的一个总结与提升，建立了“形”与“数”的联系，为继续学习平面向量的坐标表示建立了逻辑前提，也是向量法解决几何问题的重要理论基础，是平面向量学习中承上启下的一个重要知识，在中学数学中占有重要地位．平面向量基本定理本质上提出了可以用平面内两个不共线的向量来表示平面内的任意向量，实质上体现了平面向量的“二维性”，实现了向量的表示、运算与图形的有机结合与统一．本节教学重点是探索发现并证明平面向量基本定理，培养发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力．

二、目标和目标解析

1．目标：在具体的问题情境中，通过具体操作向量的分解发现并证明平面向量基本定理，结合“形”与“数”的联系指出平面向量基本定理的意义，并解决一些简单的问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养．

2．目标解析：

本节是规则课教学，达成上述目标的标志是：第一，在具体的问题情境中能根据要求将平面向量进行分解，经历给定的向量用两个不共线的向量（基底）来表示的作图过程，形成平面向量基本定理的直观认识；第二，基于作图过程和原有共线向量表示法唯一性的认识，能正确说明任意一个平面向量在给定基底下的表示法是唯一的，并在此基础上通过推理论证得到平面向量基本定理；第三，知道平面内不共线的两个向量都可以作为基底，表示平面内任意一个向量，能应用平面向量基本定理解决简单的问题，体会平面向量基本定理的作用．

三、教学问题诊断分析

学生经历了平面向量共线定理和向量的代数运算，对向量的表示与运算有一定的认识，这是本节教学的认知基础．但由于学生往往局限于图形的直观联系，很难从向量的分解中抽象出向量“可表示”与“唯一表示”关键内容，对“向量任意性”，“表示唯一性”，“基底不共线”等概念认识也不到位，加上平面向量基本定理的内容有高度的抽象性，证明定理需要严谨的逻辑性，成为学生学习的难点．此外，由于对定理的地位与意义认识不足，在定理的应用中无法正确选择合适的向量，建立向量与基底的联系，也是学生解决问题时的难点．

综上，本节的教学难点是平面向量基本定理的抽象概括与推理证明．

四、教学支持条件分析

为了更有效实现教学目标，突破教学难点，教学时应采用从特殊到一般的策略，让学生经历探索、发现、认识、理解平面向量基本定理的过程．为便于开展活动教学，可以运用多媒体平板电脑实现课堂师生互动，运用几何画板等软件实现平面向量基本定理的动态展示，以此加强对平面向量基本定理的理解，积累学生的基本活动经验，进而形成数形结合的思维认知，提升学生直观想象的核心素养．

五、教学过程设计

1．创设情境，激发思考

问题1：今天我们来研究平面内任意一个向量如何表示的问题．

之前，我们学习了平面向量的线性运算，如果一个非零向量a 与向量b 共线，我们可以如何表示向量b ？

【师生活动设计】教师提出问题，学生思考后回答，师生共同得出：如果一个非零向量a 与向量b 共线，存在唯一的实数λ使得λ=b a .

【设计意图】通过复习平面向量共线，使学生明白两个向量共线的位置关系可以通过向量的数乘运算来进行代数表示，而且表示的结果是唯一的，这为下面引出平面向量基本定理提供研究问题的思路和方向．

问题2 ：在物理中，我们知道为求放置在斜坡上的木块受到的摩擦力，需要将重力分解．如图1所示，你能将受力分析的结果用向量表示出来吗？

力的分解是向量分解的物理模型，根据受力分析，我们可以通过作平行四边形将向量OG 分解为两个向量OF 与OA ，这里向量OG 是这两个向量的和，即OG OF OA =+．这引发我们思考，平面内的任意一个向量，能否用某些给定向量的代数和的形式表示？如果可以，这样的向量需要几个？

图1

【师生活动设计】教师提出问题学生思考，教师引导学生从力的分解过渡到向量的分解．如果学生能正确回答可以用两个向量表示平面内任意一个向量，就追问这两个向量需要满足什么条件？引向问题3，如果学生没有反应或回答错误，就采用追问1和．

追问1．我们之前学过向量的加法、减法、数乘向量的运算，如果给定向量a ，平面中任意一个向量b ，能否用向量a 来表示？

追问2．已知平面内的两个非零向量1e ，2e ，请你作出向量122+e e ，123-+e e ．给你什么启发？

【设计意图】通过力的分解的物理模型引出平面向量分解的平行四边形模型，让学生明确向量的分解的依据是平行四边形法则作为基本模型，从运算与表示的角度为后续做铺垫，发展学生数学建模和数学抽象的核心素养．追问1和追问2目的是引导学生理解表示平面内任意一个系列需要两个不共线的向量．

2.活动探究，发现规则

问题3：如图2所示，给定两个不共线的向量1e ，2e 及同一平面内的向量a ．将a 沿着1e ，2e 的方向分解，你有什么发现？

图2

【师生活动设计】学生动手作图，教师提问一名学生在黑板上作图展示．在学生作图的基础上，向学生强调先在同一起点O 作1OA =e ，2OB =e ，之后再做出向量OC =a ，然后将向量a 沿着1e ，2e 的方向分解．如果学生在作图上比较顺利，能够作图并表示，那么导向问题４，如果学生在作图上有困难，无法作图或者作图后无法用线性运算表示出来，则教师进入以下环节：

追问1：在物理中，我们将力根据需要进行分解，依据的是平行四边形法则，现在你可以运用平行四边形法则进行分解吗？

追问2：当你将向量a 沿着向量1e ，2e 方向分解，分解后的向量和向量1e ，2e 是什么关系？这种关系如何表示？

【设计意图】引导学生经历作图过程进行体会，将平面内的向量a ，沿着1e ，2e 的方向分解，并用1122λλ=+a e e 的形式表示出来，掌握向量平行四边形分解的方法，初步认识平面向量基本定理的图形表示与代数表示，实现从图形到代数表示的过渡，发展学生数学抽象的核心素养．

问题4：如果再给出平面内的另一个向量a ，还能用给定两个不共线的非零向量1e ，2e 来表示吗？

【师生活动设计】教师改变向量a 的方向和位置，分别呈现出以下几种状态，让学生进行作图、表示、展示．其中几种状态如图3所示：

图3

e 1

e 2

a

a