二次函数的图像及其性质

[解析] a＝－13<0，开口向下．
5．若抛物线 y＝ax2 经过点(1，－4)，则它也经过点( D )
A．(－1,4)
B．(－4,1)
C．(1,4)
D．(－1，－4)
[解析] 图象关于 y 轴对称，则点(1，－4)关于 y 轴对称的 点为(－1，－4)，故选 D.
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[解析] x2＋2x－7＝8，解得 x1＝－5，x2＝3. 2．当 m 取何值时，函数 y＝(m＋1)xm2－m－2x＋1 是二次函数？
解：
根据二次函数的定义，得
m2－m＝2， m＋1≠0.
解 m2－m＝2，得 m1＝－1，m2＝2.
பைடு நூலகம்
解 m＋1≠0，得 m≠－1, ∴m＝2.
∴当 m＝2 时，这个函数是二次函数，
图
15－2
∴y＝x2－x－2.∴二次函数的对称轴为 x＝－2ba ＝－－21 ＝12.
∴当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是 x＞12.
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11．如图 15－3 为二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程 ax2＋bx＋c＝0 的根为 x1＝－1，x2＝3；③a ＋b＋c＞0；④当 x＞1 时，y 随着 x 的增大 而增大．正确的说法有___①__②__④___．(请写 出所有正确说法的序号)
6．[2011·玉林、防城港] 已知抛物线 y＝－13x2＋2，当 1≤x≤5
时，y 的最大值是( C )
A．2
2
5
B.3
C.3
7 D.3
[解析] 由抛物线 y＝－13x2＋2 的对称轴是 x＝0，因为抛物线开 口向下，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小，所以当 x＝1 时， y 值最大，所以 y＝53.
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4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
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4.对于抛物线 y＝－13(x－5)2＋3，下列说法正确的是( A ) A．开口向下，顶点坐标(5,3) B．开口向上，顶点坐标(5,3) C．开口向下，顶点坐标(－5,3) D．开口向上，顶点坐标(－5,3)
图 15－4
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7．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 15－1 所示，若点 A(1， y1)，B(2，y2)是它图象上的两点，则 y1 与 y2 的大小关系是( C )
A．y1<y2 C．y1>y2
图 15－1 B．y1＝y2 D．不能确定
[解析] 由于抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y 随 x 的增 大而减小，即 y1>y2，故选 C.
图 15－5
[解析] 由抛物线的图象 a>0，b<0，c<0，对称轴为直线 x＝1. 就可以判断①②④是正确的．
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考点3 待定系数法求二次函数解析式
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12.将抛物线 y＝x2＋1 的图象绕原点 O 旋转 180°，则旋转后的
抛物线的函数关系式为( D )
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10．[2011·舟山]如图 15－2，已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象经过点(－1,0)，(1，－2)， 当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是
1 ______x_>_2______.
[解析]把点(－1,0)，(1，－2)代入 y＝x2＋bx＋c， 得11－ ＋bb＋ ＋cc＝ ＝0－，2. 解得bc＝＝－－21.，
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考点1 二次函数的定义
≠0
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1.若二次函数 y＝x2＋2x－7 的函数值为 8，则对应的 x 的值是
( D) A．3
B．4
C．5 或－3
D．3 或－5
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8．抛物线 y＝2x2＋6x＋c 与 x 轴的一个交点为(1,0)，则这个抛 物线的顶点坐标是___－__32_，__－__22_5_ __．
[解析] 将(1,0)代入二次函数解析式，求得 c＝－8，再代入配 方求出顶点． 9．抛物线 y＝3x2－2 的图象可由抛物线 y＝3x2 的图象向__下____ 平移___2___个单位得到，它的顶点坐标是 _(_0_，__－__2_) _，对称轴 是___y_轴___． [解析] y＝3x2－2 的顶点为(0，－2)，y＝3x2 的顶点为(0,0)， 所以将 y＝3x2 的图象向下平移 2 个单位就得到 y＝3x2－2， 顶点为(0，－2)，对称轴是 y 轴．
A．y＝－x2
B．y＝－x2＋1
C．y＝x2－1
D．y＝－x2－1
[解析] 抛物线的顶点坐标为(0,1)，绕 O 点旋转 180°后，顶 点坐标为(0，－1)，开口向下．
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13．[2011·玉溪]如图 15－4，函数 y＝－x2＋bx＋c 的部分图象与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(1,0)，B(0,3)，对 称轴是 x＝－1，在下列结论中，错误的是 (C) A．顶点坐标为(－1,4) B．函数的解析式为 y＝－x2－2x＋3 C．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大 D．抛物线与 x 轴的另一个交点是(－3,0)
解：(1)剩余面积＝正方形面积－小长方形面积． y＝122－2x(x＋1)，即 y＝－2x2－2x＋144. ∴y 是 x 的二次函数． (2)当 x＝2,4 时，相应的 y 的值分别为 132 cm2,104 cm2.
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考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
其解析式是 y＝3x2－2x＋1.
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3．一个正方形的边长是 12 cm.若从中挖去一个长为 2x cm，宽 为(x＋1)cm 的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数； (2)当小长方形的长中 x 的值为 2,4 时，相应的剩余部分面积是 多少？