正弦交流电的相量表示

试写出电流的瞬时表达式。 ，
解：（1）
•
I
10030o
A,
•
U
220 60o V
（2） i 50 2cos(314t 15 ) A
四、相量法 正弦相量用复数表示后，运用复数分析电路的方法称为相量法。
1. 用固定相量表示正弦量
同一正弦电路，各支路响应的频率相同，故只需标明各量振幅及初相
位关系。如：
u1(t)=U1mcos(t+1)
u2(t)=U2mcos(t+2)
+j
•
U 2m
•
•
则U1m 与U2m 相量以相同角速度旋转，
O
2 1
•
U 1m
任一时刻二者相角差：
+1 （t+1 ) (t+2 ) 1 2
（不变）
故可用复平面上的固定相量来对应特定的正弦量。
1. 用旋转相量表示正弦量
Im +j 0
A a2 b2
tan1 b
a
∴得 A A Acos j sin
已知 A A
则 a A cos
b A sin
b
得 A a jb Acos jsin
二者之间的关系可用一直角三角形表示
│A│
a
3. 复数运算
加减运算: A1 A2 a1 a2 jb1 b2
乘除运算: A1 A2 A1 A2 1 2
A B 30 j4012 j9 5053.131536.87 75090
A 5053.13 3.3316.26 B 1536.87
【例3】 已知 i1(t) 5 3 cos( t 30o )A i2(t) -5sin(t 30o )A
① 试分别写出i1,i2对应的振幅相量和有效值相量。
+j
A1 A2
A1 A2
1 2
4. 复数的向量表示:
已知 A Ae j a jb
b A
o
a
+1
向量如图示，在向量图中可进行向量的加减（乘除）运算。
三、 相量的基本概念
（或
）
1、定义：正弦量的最大值（或有效值）和初相的复数称为正弦量的相量。
如：设一正弦量电流 i 2I cost i
正弦量的相量： I I i 或 Im Im i
i、i1、i2的有效值相量图
小结
1、正弦量相量是一个旋转相量。 2、正弦量的相量表示方法有两种：
(1)用相量表示正弦量； （2）用旋转相量表示正弦量；
3、正弦量用相量表示后，正弦稳态电路常用相量法进行分析
相量图：按照个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线 段画出的若干个相量的图形，称为相量图。
【例2】 已知正弦相量A、B用复数为 A 30 j40 ，B 12 j9 试完成其正弦相量A、B加、减、乘、除运算。
解： A B 30 j40 12 j9 42 j49
A B 30 j40 12 j9 18 j31
一、 复习复数知识 1. 复数的表示的形式: ①代数形式 A=a+jb
设A为一复数
②三角形式 A Acos j sin
由欧拉公式 e j cos jsin
可表为指数形式
A A e j
工程上常用复数的极坐标形式 A Ae j A
2. 代数形式和极坐标形式间的互换公式:
已知 A a jb，则
5 3( 3 j 1 ) 5( 1 j 3 )
22
22
5 j5 3 1060 (A)
故i(t ) 10cos( t 60 ) (A)
（由相量形式写时域形式）
③ i 的有效值相量:
•
•
I
Im
10
60
(A)
22
•
+j I
•
I 2 120 60
•
I1
30
O
+1
注：频率不同的相
量不能画在同一个 相量图上。
•
•
同理，正弦电压的相量为 U Uφ 或 U m Umφu
注意： 为区别于一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。
【例1】已知（1）i 141.4cos(314t 30o )A, u 311.1cos(314t 60o )V ，
试用相量表示i, u；
(2) 已知
•
I 5015 A, f 50Hz
O
t 时刻Fm在实轴上投影为Fm cos(t 0)
Fm Re +1
即：任意一个正弦时间函数都可以用一个在复平面上以 角速度绕原点旋转的向量与其对应。
注意： 1．相量与正弦量之间只是对应关系，而不是相等的关系；
2．相量表示了正弦量的两个要素(有效值和初相)，对于角频率 ， 因在同一正弦交流电路中一般各电路变量具有相同的角频率，因此 往往不予表示。
② 求i(t)=i1(t)+i2(t)的瞬时表达式。 ③ 作i、i1、i2的有效值相量图。
解：
将 i1、i2化为标准cos形式:
i1(t ) 5 3 cos( t 30o )A i2 (t ) 5cos(t 120o )A
① 振幅相量：
•
i1(t ) I 1m 5
3e j30
5源自文库
330o (A)
i2 (t )
•
I 2m
5e j120
5120o (A)
有效值相量：
•
•
i1 (t ) I 1
I 1m 2
5
3 30o (A) 2
•
•
i2 (t ) I 2
I 2m 2
5 120o (A) 2
②
•
•
•
i(t ) i1(t ) i2 (t ) I m I 1m I 2m
5 330 5120