高二数学寒假作业专题18 复数(学)(1)

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高三数学寒假作业专题18复数练含解析

（寒假总动员）高三数学寒假作业专题18 复数（练）（含解析）一.选择题1．若i2 1+是关于x的实系数方程02=++cbxx的一个复数根，则（）A．3,2==cb B．3,2=-=cb C．1,2-=-=cb D．1,2-==cb2.设25sin1πnnan=，nnaaaS+++=21，在10021,,,SSS中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．1003.设,a b R∈，i是虚数单位，则“0ab=”是“复数bai+为纯虚数”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4.复数2(1)2ii-=（）A、1B、1-C、iD、i-【答案】B5.复数131ii -+=+（）A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -二.填空题6.已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____.7.设N=2n （n ∈N*，n ≥2），将N 个数x1,x2,…，xN 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，获得分列P0=x1x2…xN.将该分列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原按次依次放入对应的前2N 和后2N个，获得分列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN ，将此操作称为C 变换，将P1分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，获得2p；当2≤i ≤n-2时，将Pi 分成2i 段，每段2i N 个数，并对每段C 变换，获得Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置. （1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；（2）当N=2n （n ≥8）时，x173位于P4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x =,可设为(1,2,3,4,5,6,,16),113571524616P x x x x x x x x x =,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),2159133711152616P x x x x x x x x x x x =,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16), x7位于P2中的第6个位置,；三.解答题8. 已知复数z1＝2－3i ，z2＝15－5i2＋i 2.求：(1)z1·z2；(2)z1z2.。

2023最新高中数学复数练习题及参考答案

2023最新高中数学复数练习题及参考答案2023年的高中数学课程设置，将继续涉及到复数的内容，需要对复数的相关知识点进行深入的学习和掌握。

针对这种情况，我们为大家准备了一系列的练习题及其答案。

以下是我们所提供的2023最新高中数学复数练习题及参考答案。

1、求出下列复数的共轭复数：（1）2-3i；（2）4i+6；（3）（-2i）（6+i）。

解答：（1）2+3i；（2）6-4i；（3） 12+(-10)i。

2、如果z=2+3i，则求出z^2的值。

解答：z^2=(2+3i)^2 =4+12i+9i^2=4+12i-9= -5+12i。

3、如果z=（3+i）^2，则求出z的值。

解答：z=(3+i)^2=(3^2+2×3×i+i^2)= 9+6i-1=8+6i。

4、已知复数z1=5+i，z2=3+2i，请计算出它们的和与积。

解答：z1+z2=5+i+3+2i=8+3i，z1z2=(5+i)×(3+2i)=15+10i+3i+2i^2=13+13i。

5、如果z=(a-bi)×(c+di)，请利用a、b、c、d四个数表示出z的实部和虚部。

解答：z=(ac+bd)+(-ad+bc)i，因此，实部为ac+bd，虚部为-bc+ad。

练习题中的这些例子，将有助于大家深入理解复数的相关知识点，并且为2023年高中数学考试做好准备。

在实际的练习中，还需要同学们根据需要加强的知识点进行有针对性的练习。

我们建议大家在练习过程中，注重分析题目中的意义、目的和解题方法，这样才能获得更好的学习效果。

文章排版：为了更好地表现出文章的内容和结构，我们在文中使用了分段落的方式进行阐述。

在排版上，我们尽量避免了过渡繁琐的词汇和格式设置，以保持全文整洁、美观。

结语：以上是我们为大家提供的2023最新高中数学复数练习题及参考答案。

我们相信，通过针对性、有计划的练习，我们可以更好地提高自己的数学水平，迎接未来的高考挑战。

高二数学复数试题答案及解析

高二数学复数试题答案及解析1.已知复数，（，是虚数单位）．（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先算出，再根据在复平面上对应的点落在第一象限，可得不等式组，从中求解即可得出的取值范围；（2）根据实系数的一元二次方程有一复数根时，则该方程的另一个根必为，且，从而可先求解出的值，进而求出的值.（1）由条件得 2分因为在复平面上对应点落在第一象限，故有 4分∴解得 6分（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以也是该方程的一个根根据二次方程根与系数的关系可得，即 10分把代入，则， 11分所以 14分.【考点】1.复数的几何意义；2.实系数的一元二次方程在复数范围内根与系数的关系；3.复数的运算.2.已知复数Z=，则Z在复平面上对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，其对应的点落在第四象限。

故选D。

【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．3.设是虚数，是实数，且，则的实部取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于是虚数，是实数，且，=0,则可知b=0,=,则可知其实部取值范围,故答案为B【考点】复数的计算点评：主要是考查了复数的计算的运用，属于基础题。

4.若复数是纯虚数（是虚数单位，为实数），则A．2B．C．D．【答案】A【解析】，复数为纯虚数，则，解得：。

故选A。

【考点】复数的概念点评：在复数中，当时，复数为实数；当时，复数为虚数；当时，复数为纯虚数。

5.若复数是纯虚数（是虚数单位），则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于复数是纯虚数，则可知 (2+ai)(1+i)=，那么可知2-a=0,故可知a=2，答案为D.【考点】复数的概念点评：主要是考查了复数的计算以及概念的运用，属于基础题。

北京市房山区房山中学高二数学寒假作业第四单元《复数》文

一、基础知识：1.复数的单位为i ，它的平方等于______，即______-.2.复数及其相关概念：① 复数：形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；② 实数：当b =______时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数：当_________时的复数a + b i ；④ 纯虚数：当_______________时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部:_____叫做复数的实部，_______叫做虚部（注意a ，b 都是实数）⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.3.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等⇔这两个复数_______，即如果a,b,c,d ∈R ，那么a+bi=c+di ⇔_______________, a+bi=0 ⇔_________4.共轭复数的性质：实部相同虚部_____________5.复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn常用的结论：4_______k i =；41_______k i +=；42_______k i +=；43_______k i +=二、巩固练习1.复数.111-++-=i iz 在复平面内，z 所对应的点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（）A ．－1B ．0C ．1D ．i3. 复数21(1i)+等于（）A ．12B ．12-C ．1i 2 D ．1i 2-4. 若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b =（）A ．-2B ．12- C. D ．25. 设a 是实数，且1i1i 2a+++是实数，则a =（）A ．12B ．1C ．32D ．26. 设复数z 满足12i i z +=，则z =（） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i -D ．2i + 7. 在复平面内，复数z =i +21对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第在象限 D ．第四象限8. 已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为（）A ．4,5p q =-=B ．4,5p q ==C ．4,5p q ==-D ．4,5p q =-=-9．若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．计算1i 1i -+的结果是 A ．i B ．i - C ．2D ．2- 11．关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是（）A ．椭圆B ．圆C ．抛物线D ．双曲线 12．平行四边形OACB 中，，对应的复数分别为i i 31,21+-+，则向量对应的复数为（）i D i C i B iA -+--2)(2)(5)(5)( 13．复数i435+的共轭复数是（） i D i C i B i A 5453)(43)(5453)(43)(--++ 二、填空1．22(1)i =+． 2．复数i z -=11的共轭复数是．3．设复数：12121,2(),z i z x i x R z z =+=+∈若为实数，则x = ．4．若复数i i a 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为． 5．若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为．三、解答题1．当实数m 取何值时，复数z=])65(4[)3(22i m i m m m ++-+- 为实数？（2）为虚数？（3）纯虚数？（4）零？。

(寒假总动员)2015年高三数学寒假作业专题18复数(背)

(寒假总动员)2015年高三数学寒假作业专题18复数(背)
（寒假总动员）2015 年高三数学寒假作业专题18复数（背）1．复数的相关观点
(1 )复数的观点
形如 a＋ bi(a， b∈ R)的数叫复数，此中a， b 分别是它的实部和虚部．若
实数；若b≠0，则 a＋ bi 为虚数；若a＝ 0 且 b≠0，则 a＋ bi 为纯虚数．
(2) 复数相等： a＋bi＝ c＋ di? a＝ c 且 b＝ d(a， b， c， d∈ R)．
(3) 共轭复数： a＋bi 与 c＋ di 共轭 ? a＝ c， b＝－ d(a， b， c， d∈ R)．
b＝ 0，则a＋ bi为
→
(4 )复数的模：向量OZ的模叫做复数z ＝ a＋ bi(a， b∈ R) 的模，记作 |z|或 |a＋ bi|，即 |z|＝ |a＋bi|＝a2＋ b2.
2．复数的几何意义
(1)
一一对应
复平面内的点Z( a， b ) (a， b ∈ R)．复数 z＝ a＋ bi ――→
一一对应→
(2)平面向量 OZ .
复数 z＝ a＋ bi (a， b∈ R) ――→
3．复数的运算
(2)复数加法的运算律
复数的加法知足互换律、联合律，即对任何z1 ， z2， z3∈C，有 z1＋z2＝ z2＋z1， (z1＋ z2)＋z3＝ z1＋ (z2＋z3)．。

高中数学复数练习题含答案

高中数学复数练习题含答案一、单选题 1．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列说法正确的是（）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.3．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．24．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,)-+∞5．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +7．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（）AB ．5CD ．2 9．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（） A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 10．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（） A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i12．已知34i z =+，则()i z z -=（） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +13．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 14．若5i2iz =+，则||z =（）A．2 B C ．D ．315．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 16．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +17．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（）A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0 18．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（）A ．12B ．3C ．D ．9 19．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i20．已知复数23i z =-，则()1i z +=（） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+二、填空题21．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 22．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________.23．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.24．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 25．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 26．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 27．设12z i =-，则z =___________ . 28．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 31．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 32．复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________． 33．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．34i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．35．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 36．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．37．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.38．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______．39．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.40．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41．若43i 3i m m -+(m ∈R)为纯虚数，求42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭的值． 42．设复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++（m ∈R ），试求m 取何值时？ (1)z 是实数；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．43．已知i 是虚数单位，复数()()221i z m m m =---，m ∈R.(1)当复数z 为实数时，求m 的值； (2)当复数z 纯虚数时，求m 的值.44．由方程()31cos2πisin 2πz k k k ==+∈Z 得310z -=的三个根为()2π2πcosisin 02,33k k k k k ω=+≤≤∈Z ，则()()()321111z z z z ωω-=---．将上式右边的各个一次因子适当分组相乘，则可变成有理系数多项式，就得到了31z -的有理分解式．请你仿此将151z -进行有理分解．45．在复平面内，复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，求线段AB 的中点所对应的复数．【参考答案】一、单选题 1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．A 9．B 10．D 11．D 12．B 13．D 14．B 15．C 16．C 17．D18．C19．D20．B二、填空题21．－1＋2i##2i－1 222324．25．四26．13i22-+2728．29．2-30．1##1+ 31．13i+##3i1+32．7π3334．1-1-35．236．2i+##i2+ 37．238．039．340．三、解答题41．【解析】【分析】由题可得21230130mm⎧-=⎨-≠⎩，进而即得.【详解】因为243i (43i)(3i)3i 9m m m m m ---=++=22(123)13i9m m m --+是纯虚数，所以21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，，解得m =±2．于是当m =2时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=i 4=1; 当2m =-时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4(i)-=1．综上，42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭=1．42．(1)2m =-或1m =-； (2)3m =； (3)2m <-或3m >. 【解析】【分析】（1）（2）利用复数的分类，分别列式，求解作答. （3）复数的几何意义列式，求解作答. (1)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++是实数，则22220320m m m m ⎧-->⎨++=⎩，解得2m =-或1m =-，所以当2m =-或1m =-时，z 是实数. (2)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++是纯虚数，则22lg(22)0320m m m m ⎧--=⎨++≠⎩，解得3m =，所以当3m =时，z 是纯虚数. (3)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++在复平面内对应点2222(lg(,)32)m m m m --++，依题意，22lg(22)0320m m m m ⎧-->⎨++>⎩，解得：2m <-或3m >，所以当2m <-或3m >时，z 对应的点位于复平面的第一象限. 43．(1)1或1-； (2)0. 【解析】【分析】(1)虚部为零，则为实数；(2)虚部不为零，实部为零，则为纯虚数. (1)当210m -=时，得1m =±； (2)当22010m m m ⎧-=⎨-≠⎩时，得0m =.44．()()()()()231411111z z z z z ωωωω----⋅⋅⋅-【解析】【分析】根据题目所给的信息即可求解. 【详解】根据题目有理分解式原理可知151=0z -的15个根为()2π2πcosisin 0151514,k k k k k ω=+≤≤∈Z ，则151z -()()()()()231411111z z z z z ωωωω=----⋅⋅⋅-.45．12i + 【解析】【分析】根据复数的几何意义求出点A 、B 的坐标，可得出线段AB 的中点坐标，利用复数的几何意义即可得出结果. 【详解】解：由复数的几何意义可得()1,1A 、()1,3B ，所以线段AB 的中点为()1,2M ，故线段AB 的中点所对应的复数为12i +.。

高中《复数》经典练习题1(含答案)

高中《复数》经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、复数i i ++12的共扼复数是。

2．设复数z=1+i （i 是虚数单位），则|+z|= 。

3、若复数Z 满足Z （1-i ）=2+4i （i 为虚数单位），则Z= 。

4、若复数Z 满足Z+2i =i2i 55++（i 为虚数单位），则Z= 。

5、z=（m ²-4）+（2-m ）i 为纯虚数，则实数m 的值为。

6、已知m ∈R ，i 是虚数单位，若z=a-2i ，z •z =6，则m= 。

7、已知z =(x+1)+(x -3)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是。

8、若复数Z 满足2-3i= 3+2Zi （i 为虚数单位），则Z= 。

9、复数Z=i+i ²在复平面对应的点在第象限。

10、复数Z 满足（Z-1）i=2+i ，则Z 的模为。

11、若复数Z 满足Z （1-i ）= 2+2i （i 为虚数单位），则Z= 。

12、复数Z=i1i 32++,则Z •(z -1)= . 13、若复数i 2ia +的实部与虚部相等，则实数a = 。

14、复数的虚部。

15、2．若复数（α∈R ）是纯虚数，则复数2a+2i 在复平面内对应的点在第象限。

16、设复数z 满足（z+i ）（2+i ）=5（i 为虚数单位），则z=______。

17、如果复数z= （i 为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______18、复数z=﹣2i+ 3-i i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在第象限。

19、设复数z 满足i i z i (23)4(+=-⋅是虚数单位），则z 的实部为。

20、设复数121,1z i z i =-=+，其中i 是虚数单位，则Z1Z2的模为。

二、选择题1、设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若（a+bi ）•i=2﹣5i ，则ab 的值为（）。

A 、-5B 、5C 、-10D 、102、若复数z 为纯虚数，且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为．A 、 12B 、 13C 、 14D 、 163、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为（）A 、 4 2B 、 3 2C 、 2 2D 、 24、i 是虚数单位，复数等于（） A 、﹣2﹣2i B 、2﹣2iC 、﹣2+2iD 、2+2i5、若复数()()ai i z -+=11是实数，则实数a 的值是（）A 、1±B 、1-C 、0D 、16、设i 为虚数单位，已知复数ii z -=1，则z 的共轭复数在复平面内表示的点位于（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限7、i 是虚数单位，的值是（）。

高二数学寒假作业专题18 复数(练)(含解析)

专题18 复数
【练一练】
一．选择题
1．已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）
A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i
【答案】B
【解析】
试题分析：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，
2. 设a是实数，且是实数，则a=（）
A．B．1 C．D．2
3. 在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4. 复数=（）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
【答案】C
【解析】
试题分析：=﹣2+i
5. 设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z=（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】A
二、填空题
6. 复数3＋2i
2－3i ＝
________.
7. 已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i)x －y ＝________.
【答案】－4
【解析】
试题分析：由(x －1)i －y ＝2＋i 得x ＝2、y ＝－2，所以(1＋i)x －y ＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4.
三．解答题
8. 若虚数z 同时满足下列两个条件：①5
z z 是实数；②z+3的实部与虚部互为相反数. 这样的虚数是否存在？若存在，求出z;若不存在，请说明理由
.。

(2021年整理)高中数学-复数专题

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高中数学复数多选题专项训练100附答案(1)

高中数学复数多选题专项训练100附答案(1)一、复数多选题1．已知复数122,2z i z i =-=则（） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =答案：AD 【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确. 【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD 【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确. 【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确.故选：AD 【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单. 2．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模答案：ACD 【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D 【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD 【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D 【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确, 故选:ACD 【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模 3．下面四个命题，其中错误的命题是（） A ．0比i -大 B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数答案：ABC 【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC 【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误；对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确.故选：ABC. 【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.4．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（）A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限答案：BD 【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断. 【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD 【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误；1255z i =--，故B 正确；复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.5．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=答案：ACD 【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD 【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．6．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限答案：AB 【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误. 故选解析：AB 【分析】求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312442ω⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；22111122212ω---====-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB 【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 7．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（） A．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确. 【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确. 【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.8．已知复数z ，下列结论正确的是（） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件答案：BC 【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数，所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件；若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.9．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD 【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD 【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．10．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（） A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=答案：AD 【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断. 【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD 【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断. 【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD11．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限答案：BCD 【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确. 【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD 【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.12．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 答案：ABC 【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】对选项由题得 .所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC 【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 的虚部为2,判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(,22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限答案：AD 【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考解析：AD 【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】()()32232474725555i i i i iz i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.14．若复数z 满足()1z i i +=，则（） A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =答案：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)1(1)(1)2i i z i i i --====-+-，所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题15．下列说法正确的是（）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件答案：AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.16．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 答案：BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.17．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 答案：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-；选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.19．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（） A ．||2z = B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1- 答案：BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A 错误；，B 正确；z 的共轭复数为，C 错误；z 的虚部为，D 正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】把21iz =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确； z 的共轭复数为1i -+，C 错误；z 的虚部为1-，D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.20．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω> 答案：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．21．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于1答案：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确；对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.22．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>，所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。

高二数学寒假作业专题18 复数(背)(1)

专题18 复数【背一背】1. 复数的概念 (1) 虚数单位i: i2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律．(2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R)，其中a 叫实部，b 叫虚部．2. 复数的分类复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)中，z 是实数a ∈R ，b ＝0，z 是虚数b≠0，z 是纯虚数a ＝0，b≠0.3. a ＋bi 与a －bi(a ，b ∈R)互为共轭复数．4. 复数相等的条件a ＋bi ＝c ＋di(a 、b 、c 、d ∈R)a ＝c 且b ＝d.特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b ∈R)a ＝0且b ＝0. 5. 设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ→|＝a2＋b2.6. 运算法则z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di ，(a 、b 、c 、d ∈R)．1、i i n =+14、124-=+n i 、i i n -=+34、14=n i 2、复数的加减（类比合并同类项）i d b c a di c bi a )()()()(±+±=+±+3、复数的相乘（类比整式乘法）i bc ab bd ac di c bi a )()()()(++-=+⋅+4、复数的相除（类比分母有理化）i d c ad bc dc bd ac di c di c di c bi a di c bi a 2222))(())((+-+++=-+-+=++ 5、1的立方根有3个：1、23211+-=ω、23212--=ω 7.复数的乘法的运算律对于任何123,,z z z C ∈，有交换律:1221z z z z ⋅=⋅. 结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅. 分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ .8.复平面上的两点间的距离公式12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.9.复平面向量的垂直非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则12OZ OZ ⊥⇔12z z ⋅的实部为零⇔21z z 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+ ⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).10.实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20ax bx c ++=， ①若240b ac ∆=->,则1,22b x a -=;②若240b ac ∆=-=,则122b x x a ==-; ③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.11．注意点1、复数的确定可以多考虑用待定系数法。

高二数学寒假作业专题18 复数测含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校专题18复数【测一测】一．选择题1.假设复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位)，那么z的一共轭复数z等于()(A)-i(B)(C)i【答案】C 【解析】试题分析：由条件知21i(1i)2iz i,1i(1i)(1i)2---====-++-所以z i.=2.假设复数z满足(1-i)z=2i,那么复数z对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.复数z＝1＋i，那么2z2zz1－－等于()(A)2i (B)-2i (C)2 (D)-2【答案】A【解析】试题分析：22z2z(1i)2(1i)2i22iz11i1i－＋－＋－－＝＝－＋－＝2i.4.m(1+i)=2-ni(m,n∈R)，其中i是虚数单位，那么3m ni()m ni+-等于()(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i 【答案】C【解析】试题分析：由m(1+i)=2-ni,得m+mi=2-ni,故m=2,m=-n,故m=2,n=-2,故33m ni22i()()i. m ni22i+-== -+5．i是虚数单位，那么=〔〕A．1﹣2iB．2﹣iC．2+iD．1+2i7.复数z=i〔i+1〕〔i为虚数单位〕的一共轭复数是〔〕A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1﹣iD．1+i【答案】A【解析】试题分析：∵z=i〔i+1〕=i2+i=﹣1+i，∴复数z=i〔i+1〕〔i为虚数单位〕的一共轭复数是﹣1﹣i．8.假设i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，那么〔〕A．b=2，c=3B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1D．b=﹣2，c=39.设a，b∈R．“a=O〞是“复数a+bi是纯虚数〞的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为a，b∈R．“a=O〞时“复数a+bi不一定是纯虚数〞．“复数a+bi是纯虚数〞那么“a=0〞一定成立．所以a，b∈R．“a=O〞是“复数a+bi是纯虚数〞的必要而不充分条件．10.i 为虚数单位，=〔〕A．0B．2iC．﹣2iD．4i二、填空题11.＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，那么a＋b＝________.12.数z＝1＋i，为z的一共轭复数，那么z－z－1＝________.【答案】－i【解析】试题分析：z＝1＋i，那么z－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.13．假设(1+ai)2=-1+bi(a，b∈R,i是虚数单位)，那么|a+bi|=__________．14.定义一种运算如下：11122122x yx y x yx y⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，那么复数3i1z3i i⎤-=⎥⎥⎦(i是虚数单位)的一共轭复数是__.31(31)i-【解析】试题分析：由定义知,z(3i)i(3i)(1)31(31)i,=--⨯-=-+-故z31(31)i.=--三．解答题15.m取何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．16.设z是虚数，w＝z＋是实数，且－1＜ω＜2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设u＝，求证：u为纯虚数；。

高二数学复数练习题及答案

高二数学复数练习题及答案复数是数学中的一个重要概念，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

在高二数学中，复数也是一项重要的学习内容，通过掌握复数的性质和运算规则，可以解决各种与实数无法解决的问题。

本文将为同学们提供一些高二数学复数练习题及其答案，帮助巩固复数的知识。

练习题一：1. 计算并写出结果的精确值：(3+2i)+(1-4i)2. 求复数的共轭数：(4+3i)的共轭数是多少？3. 计算并写出结果的精确值：(2-5i)(1+3i)4. 求复数的模：计算|(4-1i)|的值。

5. 求复数的幅角：计算辐角arg(2i)的值。

练习题二：1. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^2的值是多少？2. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^4的值是多少？3. 计算并写出结果的精确值：(1+i)^5的值是多少？4. 求复数的幂：计算(2+3i)^3的值。

5. 求复数的根：计算方程x^4+1=0的全部根。

练习题三：1. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1的图像与坐标轴的交点。

2. 求函数f(x) = (x+1)^2 - 4的图像与坐标轴的交点。

3. 求函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像与坐标轴的交点。

4. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的最小值。

5. 求函数f(x) = -2x^2 + 4x - 3的最大值。

答案及解析：练习题一：1. (3+2i)+(1-4i) = 3+2i+1-4i = 4-2i2. (4+3i)的共轭数为4-3i3. (2-5i)(1+3i) = 2+6i-5i-15i^2 = 2+6i-5i+15 = 17+i4. |(4-1i)| = √(4^2 + (-1)^2) = √175. 辐角arg(2i)的值为π/2练习题二：1. (1+i)^2 = 1^2 + 2i + i^2 = 1+2i-1 = 2i2. (1+i)^4 = (1^2 + 2i + i^2)^2 = (1+2i-1)^2 = (2i)^2 = -43. (1+i)^5 = (1+i)(1+2i-1)^2 = (1+i)(2i)^2 = (1+i)(-4) = -4-4i4. (2+3i)^3 = (2^2+2*2*3i+(3i)^2)(2+3i) = (4-9+12i)(2+3i) = (-5+12i)(2+3i) = (-34+1i)5. 方程x^4+1=0的全部根为±i，±i^3练习题三：1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到2x^3 - 3x^2 + x + 1 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = 1，所以与y轴的交点为(0, 1)2. 函数f(x) = (x+1)^2 - 4的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到(x+1)^2 - 4 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = -3，所以与y轴的交点为(0, -3)3. 函数f(x) = x^2 - 3x + 2的图像与坐标轴的交点为：x轴上的交点：令f(x) = 0，得到x^2 - 3x + 2 = 0的解；y轴上的交点：x = 0时，y = f(0) = 2，所以与y轴的交点为(0, 2)4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1的最小值为函数的顶点坐标的y值，顶点的横坐标为 x = -b/2a = -2/(2*3) = -1/3；将x = -1/3代入函数中，得到f(-1/3) = 3*(-1/3)^2 + 2*(-1/3) - 1 = -8/9，所以最小值为-8/9。

完整版)高中数学复数练习题

完整版)高中数学复数练习题高中数学《复数》练题一、基本知识：复数的基本概念1.形如a+bi的数叫做复数（其中a，b∈R）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=－1.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部。

2.实数：当b=0时复数a+bi为实数；虚数：当b≠0时的复数a+bi为虚数；纯虚数：当a=0且b≠0时的复数a+bi为纯虚数。

3.两个复数相等的定义：a+bi=c+di⟺a=c且b=d（其中，a，b，c，d，∈R）。

特别地a+bi=0⟺a=b=0.4.共轭复数：z=a+bi的共轭记作z=a-bi；5.复平面：z=a+bi，对应点坐标为p(a,b)；（象限的复）6.复数的模：对于复数z=a+bi，把z²=a²+b²叫做复数z的模；二、复数的基本运算：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i1.加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；2.减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i；3.乘法：z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a2b1+a1b2)i。

特别z·z=a²+b²。

4.幂运算：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，i⁶=-1……以此类推。

三、复数的化简把c+di（a,b是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：z=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i/(c²+d²)四、例题分析例1】已知z=a+1+(b-4)i，求1) 当a,b为何值时z为实数2) 当a,b为何值时z为纯虚数3) 当a,b为何值时z为虚数4) 当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。

变式1】若复数z=(x²-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为A。

-1 B。

1 C。

0 D。

-1或1例2】已知z1=3+4i，z2=(a-3)+(b-4)i，求当a,b为何值时z1=z2例3】已知z=1-i，求z，z·z；变式1】复数z满足z=(2-i)/(1-i)，则求z的共轭z变式2】已知复数z=3+i，则z·z=？例4】已知z1=2-i，z2=-3+2i1) 求z1+z22) 求z1·z22.已知复数 $z$ 满足 $(z-2)i=1+i$，求 $|z|$。

高中数学复数练习题附答案

高中数学复数练习题附答案一、单选题1．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （） A ．32- B ．32C ．6-D ．63．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（） A ．（1，1） B ．（-1，1） C ．（1，-1） D ．（-1，-1）4．已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等，则实数a 等于（） A ．-3 B ．3 C ．-1D ．15．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 6．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --8．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（） A ．1 B ．12 C．2D ．12．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（） A ．12-B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-13．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（） A ．2 B ．1C ．iD ．1-14．若复数z 满足()12i 10z -=，则（）A ．24i z =+B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=15．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（） A ．3-B ．2-C ．2D ．316．已知34i z =+，则()i z z -=（） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +17．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（） A ．1i - B ．1i + C ．2i + D ．2i - 18．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（）A ．3B ．4CD 19．已知复数z 满足(2i)43i z +=-（i 为虚数单位），则z =（）A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i20．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（）A ．4-B ．0C ．2D ．4二、填空题21．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________.22．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.23．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）.24．已知i是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.26．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 27．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________. 28．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______. 30．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________. 32．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 33．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 34．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________. 35．复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________． 36．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是________． 37．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 38．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________. 39．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．40．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________．三、解答题41．设实部为正数的复数z ，满足z =(12i)z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数z ； (2)若i()1im z m R ⋅+∈+为纯虚数，求实数m 的值.42．已知复数z1i ，z 2＝12-+ (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设C z ∈，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 43．已知复数22(6)(215)i z m m m m =--++-（i 是虚数单位）. (1)若复数z 是实数，求实数m 的值； (2)若复数z 是纯虚数，求实数m 的值. 44．根据要求完成下列问题：(1)关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围； (2)若复数22(2)(23)i z m m m m =+-+--（R m ∈）的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．45．（1）已知设方程α，β是方程220x x a ++=的两根，其中a R ∈，则||||αβ+的值；（2）关于x 的方程243i 0x ax +++=有实根，其中a C ∈，求||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根．【参考答案】一、单选题1．B 2．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7．D 8．A 9．D 10．D 11．D 12．C 13．D 14．D 15．B 16．B 17．A 18．C 19．B 20．B 二、填空题2122．()34-，23．13i +##3i+1 2425．1 26．四 27．2022-2829．12i -##2i+1- 30．3 3132．33．34．2 35．7π36．③ 37．13i +##3i 1+38．39．1i -+ 40．1 三、解答题41．(1)3i z =-； (2)6m =-. 【解析】【分析】（1）根据复数的模公式，结合复数乘法的运算法则、第一、三象限的角平分线的性质进行求解即可；（2）根据纯虚数的定义，结合共轭复数的定义、复数除法的运算法则进行求解即可. (1)设i(0,),10,(12i)2(2)i z a b a b R z z a b b a =+>∈∴=+=-++，由题意得，22223,101a b b a a a b b -=+=⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩，即3i z =-； (2)i i 3i 3(1)i 1i 222m m m m mz ⋅++=++=++++为纯虚数， 30,62mm ∴+=∴=-. 42．(1)12122,1,z z z z ==>(2)以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周）【解析】【分析】（1）根据复数模的计算公式可求得1||z ，2||z 的值；（2）根据复数几何意义可解决此问题． (1)解：（1）13i z =+，212z =-，1||2z ∴，2||1z =， ∴12z z >； (2)解：由21||||||z z z ≤≤，得1||2z ≤≤，根据复数几何意义可知复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合， |z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，所以复数z 对应的点Z 的轨迹是以原点O 为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分（包括两边界）． 43．(1)5-或3 (2)2- 【解析】【分析】（1）根据复数是实数得到虚部为零即可求解；（2）根据复数为纯虚数得到实部为零且虚部不为零即可求解. (1)由22(6)(215)i z m m m m =--++-是实数，得22150m m +-=，即()()530m m +-=，解得5m =-或3m =，所以实数m 的值为5-或3. (2)由22(6)(215)i z m m m m =--++-是纯虚数，得22602150m m m m --=+-≠⎧⎨⎩，解得2353m m m m =-=≠⎩-≠⎧⎨或且，即2m =-，所以实数m 的值为2-. 44．(1)1a =±(2)312（，）【解析】【分析】（1）设方程的根为0x ，并代入方程中，根据复数相等得到方程组，解得答案；（2）写出22(2)(23)i z m m m m =+-+--的共轭复数，根据z 对应的点在第一象限，列出不等式组，解得答案. (1)设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax a x ⎧++=⎨+=⎩，解得1a =±；(2)由题意得22(2)(23)i z m m m m =+----，∴2220(23)0m m m m ⎧+->⎨--->⎩，即2220230m m m m ⎧+->⎨--<⎩，解得312m <<，故实数m 的集合为3(1,)2.45．（1）()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩；（2）min ||a =3i)+或3i)+．【解析】【分析】（1）求出判别式4(1)a ∆=-，对a 分类讨论：当01a 时，当0a <时，当1a >时三种情况，分别求出||||αβ+；（2）设0x 为方程的实根，代入原方程，表示出a ，利用基本不等式求出||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根．【详解】（1）判别式444(1)a a ∆=-=-， ①若0∆，即1a ，则α，β是实根，则2αβ+=-，a αβ=，则2222(||||)2||()22||422||a a αβαβαβαβαβαβ+=++=+-+=-+，故||||αβ+，当01a 时，||||2αβ+=，当0a <时，||||αβ+=②若∆<0，即1a >，则α，β是虚根，1α=-，1β=-，故||||αβ+==综上：()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩.（2）设0x 为方程的实根，则20043i 0x ax +++=，所以00043i a x x x =---，则20020004325||2()2()2818a x x x x x =++=++，当202025x x =即0x =||min a =当0x =3i)+，当0x =3i)+．。

秋高中数学课时作业18复数的几何意义新人教A版选修2-2(2021年整理)

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课时分层作业(十八）复数的几何意义(建议用时：40分钟)[基础达标练］一、选择题1．下列命题中,假命题是( )A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1〉z2的充要条件是｜z1|＞|z2|D[①任意复数z＝a＋b i(a、b∈R)的模｜z|＝错误!≥0总成立．∴A正确;②由复数相等的条件z＝0⇔错误!⇔|z｜＝0，故B正确；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R），若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2,∴｜z1｜＝|z2|.反之由｜z1|＝|z2｜，推不出z1＝z2,如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时｜z1｜＝｜z2｜，故C正确;④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．］2．在复平面内，O为原点，向量错误!对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B,则向量错误!对应的复数为（)【导学号：31062205】A．－2－i B．－2＋iC．1＋2i D．－1＋2iB［∵A（－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量错误!对应的复数为－2＋i.］3．若复数(m2－3m－4）＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上,则实数m的值是( ) A．－1 B．4C．－1和4 D．－1和6C［由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.]4．当错误!＜m＜1时，复数z＝（3m－2）＋(m－1）i在复平面上对应的点位于（) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D［∵错误!＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1）在第四象限．]5．如果复数z满足条件z＋｜z｜＝2＋i，那么z＝( )A．－错误!＋i B.错误!－iC．－错误!－i D.错误!＋iD[设z＝a＋b i(a，b∈R),由复数相等的充要条件，得错误!解得错误!即z＝错误!＋i.]二、填空题6．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________。

高中数学复数知识点及练习

【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部。

实数：当b = 0时复数a + b i 为实数；虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b =；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-【3】复数的化简c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+【例1】若复数()312a iz a R i +=∈-（i 为虚数单位），(1)若z 为实数，求a 的值 (2)当z 为纯虚数，求a 的值。

【变式1】设a 是实数，且112a ii -++是实数，求a 的值。

2022高中数学课时作业18复数的几何意义含解析新人教A版选修2_2

复数的几何意义(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|D [①任意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R)，若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错．] 2．欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，e 2i表示的复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [依题可知e i x表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x ，sin x )，故e 2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 2，sin 2)，显然该点位于第二象限，选B.]3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4D ．－1和6C [由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.]4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D [∵23＜m ＜1，∴3m －2＞0，m －1＜0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．]5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( ) A ．－34＋iB ．34－i C ．－34－iD ．34＋i D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，即z ＝34＋i.]二、填空题6．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R，则|z |＝________. 3 [复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z |＝3.]7．已知在△ABC 中， AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．－1－5i [因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.]8．复数z ＝3a －6i 的模为40，则实数a 的值为__________． ±23 [由|z |＝3a2＋－62＝40，得a ＝±23.]三、解答题9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数z .[解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋32＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.10．在复平面内，分别求实数m 的取值范围，使复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的对应点，(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜2，m ＞2或m ＜1，∴－1＜m ＜1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2.∴m ＝2.1．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )A ．4＋5B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325iD [设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －22＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.故选D.]2．复数z ＝m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内的对应点P (3m －2，m －1)，当m >1时，P 在第一象限；当m <23时，P 在第三象限，当23<m <1时，P 在第四象限，当m ＝23时，P 在虚轴上，当m ＝1时，P 在实轴上，故选B.]3．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝________.±i [因为z 为纯虚数，所以设z ＝a i(a ∈R，且a ≠0)，则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2，所以a 2＋1＝2，即a 2＝1，所以a ＝±1，即z ＝±i.]4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R)的模为3，则y x的最大值为________．3 [∵|x －2＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知y x的最大值为 3.]5．已知z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，当θ为何值时， (1)z 1＝z 2；(2)z 1，z 2对应点关于x 轴对称； (3)|z 2|< 2.[解] (1)z 1＝z 2⇔⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝33，2sin θcos θ＝cos θ，⇒θ＝2k π＋π6(k ∈Z)．(2)z 1与z 2对应点关于x 轴对称⇒⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π6k ∈Z ，2sin θcos θ＝－cos θ，⇒θ＝2k π＋76π(k ∈Z)．(3)|z 2|<2⇒3sin θ2＋cos 2θ＜ 2⇒3sin 2θ＋cos 2θ＜2⇒sin 2θ＜12⇒k π－π4＜θ＜k π＋π4(k ∈Z)．。

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专题18 复数
学一学------基础知识结论
1. 复数的概念
(1) 虚数单位i: i2＝－1；i 和实数在一起，服从实数的运算律．
(2) 代数形式：a ＋bi(a ，b ∈R)，其中a 叫实部，b 叫虚部．
2. 复数的分类
复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)中，z 是实数a ∈R ，b ＝0，z 是虚数b ≠0，z 是纯虚数a ＝0，b ≠0.
3. 共轭复数
a ＋bi 与a －bi(a ，
b ∈R)互为共轭复数．
4. 复数相等的条件
a ＋bi ＝c ＋di(a 、
b 、
c 、
d ∈R)，则a ＝c 且b ＝d.
特殊的，a ＋bi ＝0(a 、b ∈R)，则a ＝0且b ＝0.
5. 复数的模
设复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z 在复平面内对应点为Z ，则OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，即|z|＝|OZ
→|＝22a b +.
6. 运算法则
z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di ，(a 、b 、c 、d ∈R)． (1)i i n =+14、124-=+n i 、i i n -=+34、14=n i
(2)复数的加减（类比合并同类项）i d b c a di c bi a )()()()(±+±=+±+
(3)复数的相乘（类比整式乘法）i bc ab bd ac di c bi a )()()()(++-=+⋅+
(4)复数的相除（类比分母有理化）
i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a 2222))(())((+-+++=-+-+=++ 7.复数的乘法的运算律：对于任何
123,,z z z C ∈，有交换律:1221z z z z ⋅=⋅；结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ .
8.复平面上的两点间的距离公式
22
122121||()()d z z x x y y =-=-+-（111z x y i =+，222z x y i =+）. 9.复平面向量的垂直
非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则
12OZ OZ ⊥⇔12z z ⋅的实部为零⇔2
1z z 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+
⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).
10.实系数一元二次方程的解：实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=：
①若240b ac ∆=->,则21,242b b ac x a -±-=；②若240b ac ∆=-=,则
122b x x a ==-; ③若
240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2b b ac i x b ac a -±--=-<.
11．注意点
(1)复数的确定可以多考虑用待定系数法。

先设bi a z +=（a 、R b ∈）再根据题意及复数有关知识列出关于a 、b 的方程。

解方程得a 、b ，从而可以确定复数bi a z +=．
(2)数的概念扩展为复数后，实数集中一些运算性质、概念、关系不一定适用了，如不等式的性质，绝对值的定义，偶次方非负等．（3）两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小，两个复数的模可以比较大小.
学一学------方法规律技巧
1．复数的分类
复数是高中学生学习的最大数集范围，它包括实数和虚数这两大类，这是初学者所难搞清的，因为高中数学很多问题都是在实数范围内所完成的．解题时一定要注意纯虚数的条件：一个复数的实部为零且虚部不为零．
例1若复数z ＝lg(m2－2m －3)＋i ·lg(m2＋3m －3)为实数，求实数m 的值．
【答案】m ＝－4
【解析】解：z ＝a ＋bi ∈R 的充要条件是b ＝0，前提必须是a ，b ∈R ，因此必须先保证a ，b 有意义．由
条件知，⎩⎪⎨⎪⎧
m2＋3m －3＝1m2－2m －3>0
，∴m ＝－4. 例2、若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（） A .1 B .2 C .1或2 D .1
-
2. 复数代数形式的运算
复数与实数类似，它也有加、减、乘、除、乘方等运算，其中一定要注意两点：一是i 的平方等于-1，这是学生在复数部分最易出现的错误;二是复数与它的共轭复数的关系要搞清．
例3如果复数2－bi 3＋i
(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b
＝________.
例4已知复数z ＝1＋i ，则2z
－z ＝________.
3．复数的几何意义复数是由实部和虚部构成的，这就决定了复数与向量有着极其想似的性质：比如说复数有模或绝对值，复数也可以放在一个坐标（称之为复平面）内对应于一个点．
例5已知复数z1＝2－i ，z2＝a ＋(1－a2)i 在复平面内的对应点分别为P1、P2，向量P2P1→对应的复数为－3
＋i ，求实数a 的值．
例6若a 、b ∈R ，则复数(a2＋6a ＋10)＋(－b2－4b －5)i 对应的点在第几象限？
【答案】第四象限
【解析】a2＋6a ＋10＝(a ＋3)2＋1>0，－b2－4b －5＝－(b ＋2)2－1<0.
所以复数所对应的点在第四象限．。