第3章_弹塑性本构模型理论

赖特与邓肯对密砂与松砂进行真三轴试验，证明砂的 破坏条件不受第二主应力的影响
破坏条件
f * (I13 / I2 27)(I1 / pa )m nf
屈服函数（双屈服面）
f p (I13 / I3 27)(I1 / pa )m H(Wp )
H Wp
ij
p ij
H 硬化参数
Wp 塑性能
D1
d
g
Dep
Dep
D
D
g
A
f
f
T
D
T
D
g
4 弹塑性本构模型示例
E-V弹性模型 K-G弹性模型 南京水科所模型 剑桥模型 KW模型 LD模型 罗威剪胀模型
E-V弹性模型
假定常规三轴试验曲线为双曲线
1
3
a
a b a
邓肯张建议：
1 3 1
a Rf a
加工硬化规律
定义：确定一个给定的应力增量引起的塑性应变增量 的一条规则
假定：
d
1 A
f
ij
d ij
()
1 A
f H
dH
f 屈服面函数
A 硬化参数H的函数
硬化参数A的确定
假定1： H Wp ijijp
f
ij
d ijp
ij
()
f H
d g ij
dH
p ij
1 A
f WP
WP
第3章 弹塑性本构模型理论
应力与应变 应力-应变试验与试验曲线 增量弹塑性理论 弹塑性本构模型示例
1 应力与应变
应力
一点的应力状态
i, j
11 12 13 21 22 23 31 32 33
x xy xz yx y yz zx zy z
1
2
3
应力不变量
yz
z
12
3
体积应变增量 v 1 2 3
偏差应变增量
eij
ij
ij
ev
3
2 应力与应变试验与试验曲线
常用的试验方法
各向等压固结试验
试验曲线
正常固结粘土
超固结粘土
3 增量弹塑性理论
弹性增量理论
以弹性模型与泊桑比表达
1
x
y
v
1 v
v
xzy
Ei (1 3 ) f
1 Ei a
b Rf
(1 3) f
Rf
(1 3) f (1 3 )ult
破坏时强度
(1 3)的极限值
起始弹性模量：
Ei
Kpa
3
pa
n
K,n 试验常数
pa 大气压
切线弹性模量：
1
Et
(1 3 ) a
1
Ei
Ei
Rfa (1 3 ) f
1
Rf (1 sin )(1 3 2c cos 2 3 sin
1 b
nWppeak
W ppe ak
P
pa
(
3
pa
)6
n 3
pa
塑性势面（不相适应的流动规则）
gp
I13
27
ng (
v
ean 1 e0
1 e0
ln
p
v
(n)
1 e0
ln
p
(n) ean
1 e0
f2函数的选择
试验方法：采用p为常数的三轴压缩排水试验
试验曲线（双曲线）：
q
1
G0 q f
f2函数（不考虑软化现象）
n q p a b
v
f2函数（考虑软化现象）
n q (a c ) p (a b )2
3
e
p曲线
VICL表达式： e ea0 ln p
VICL回弹曲线：
e e ln p
临界物态线EF（CSL）：破坏状态线，在这种状态
下土体将发生很大的剪切变形
CSL在p-q面上投影表达式：
q Mp
CSL在e-p面上投影表达式：
e eam ln p
弹性能与塑性能
单位体积土体应变能
p ij
d
g
ij
p v
d
g p
或
p
d
g
q
假定经过应力空间任一点M的塑性势面包含两部分
g1( ij , H1) 0 g2 ( ij , H2 ) 0
或
g1 g2
( (
p, p,
q, q,
H1) H2)
0 0
则M点处的塑性应变增量为
p ij
d1
g1
ij
d2
g 2
ij
或
p v
d1
g
ij
A
(1)
f WP
ij
g
ij
假定2：
H p p
ijp
p ij
A
()
f
p
g g
ij ij
假定3：
H H(ijp )
A () f H g
H ij ij
假定3：
H
H
(
p v
,
p)
A () f H
H
p v
g p
H
p
g
q
弹塑性模量矩阵
总应变增量：
e
p
yz zx
G E 2(1 v)
K E 3(1 2v)
塑性增量理论
破坏面：破坏条件在主应力空间上形成的面
f *(I1, J2, J3) k f
Tresca破坏条件 f * 1 3 k f
Mises破坏条件
f
*
J2
k2 f
Mohr-Coulomb 破坏条件
c n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
tan
f Drucker-Prager *
g1 p
d2
g2 p
p
d1
g1 q
d2
g2 q
塑性势面的确定：通过三轴试验，找出试验曲线 上任何一点处的塑性应变增量方向，在p-q平面 上画一箭头代替方向，连接箭头方向形成流线(虚 线)，与这组流线相垂直的一组实线即为塑性势线
相适应的流动规则：屈服轨迹与塑性势线重合， 则为相适应的流动规则，否则为不相适应的流动 规则
x y xzy
K K K
4
3 2
3 2
3
G G G
K 2G 3
K 4G 3
K 2G 3
K 2G 3
K 2G 3
K 4G 3
0 0 0
0 0 0
0 0
x y
0
xzy
yz
zx
0 0 0
0 0 0
0 0 0
G 0 0
0 G 0
0 0 G
p
f1 q
q
f 2
p
f 2
q
p q
f1函数的选择
试验方法：各向等压固结试验、常规的单向固结试
验与n=q/p为常数的固结试验，得到e-p曲线，对
于正常固结或弱超固结黏土或松砂，这组曲线绘在
e-lnp坐标系上可得到基本相互平行的直线
曲线表达式：
e ean ln p
f1函数表达式：
或
p
假定一
p
p v
q
p
0
正交定律
E
pv
q
p
1 e
Mp
能量方程
得：
n q M ln p0
p
p
（或）
n
q p
M
ln
px p
1
屈服轨迹在p-q平面上的投影
屈服轨迹在p-q-e空间的位置与形式
屈服轨迹在e-q平面上的投影
e e ln p
屈服轨迹在p-q平面上的投影
n q M ln p0
E pv q We Wp
We
p
e v
q
e
Wp pvp q p
假定1：
e v
可以从各向等压固结试验中的回弹曲
线求取，则由
e ee e p
得：
p v
v
1 e
p
p
假定2：一切剪应变都是不可回复的
e p
0
We
p
e v
p
1 e
假定3： Wp Mp
能量方程
E
pv
q
p
1 e
Mp
K的测定
试验方法：各向等压固结试验
试验曲线：e-p
e ea0
ln
p Kt
dp
d v
1 e0
p
G的测定
试验方法：p为常数的三轴压缩试验
2
Gt
Gi
1
Rf
(q / 3) 10 ( p
pceic
)
南京水科所模型
应力应变关系
v
f1 ( f2(
p, q) p, q)
或
v
f1 p
E(1 v) (1 v)(1 2v)
1 v 0
y
z
zx
0
v 1 v
1 v 1 v 0
0
v 1 v
v 1 v
1
0
0
0
0
0 1 2v 2(1 v)
0
0 0 0
0
0
0
0
0 1 2v 2(1 v)
0
0
0 0 0
x y
xzy
0
yz
zx
1 2v
2(1 v)
以剪切模型与体积模量表达
)
2
Ei
加卸载弹性模量：
Eur
K
ur
pa
3
pa
n
Kur , n 试验常数
pa 大气压
起始泊松比：
切线泊松比：
vi
G
F
lg( 3
pa
)
vt
vi
(1 D a )2
K-G弹性模型
假设应力应变关系
p q
K v 3G
K 体积模量，可用各向等压固结试验求得
G 剪切模量，可用p为常数的三轴试验求得
主应力空间与八面体平面
八面体法向应力
p
1 3
1
2
3
I1 3
八面体剪应力
q
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
1 2
3J 2
应变与应变增量
应变状态
11 12 13
i, j 21 22 23
31 32 33
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2
xz
1 2
等向硬化：屈服面大小不同
运动硬化：屈服面位置发生移动
屈服面的数学表达式
f (I1, J2, J3, H ) 0
H Wp
ij
p ij
H 硬化参数
Wp 塑性能
帽子模型
屈服面的数学表达式(p-q平面)
f ( p, q, H ) 0
f *( p, q) k f
双屈服面
f1( p, q, H1) 0 f2 ( p, q, H2 ) 0
fc I12 2I2 H c (Wc )
Hc (Wc )
pa2
(
Wc cpa
1
)k
由
f
p
H (Wp )
Wp / pa
abwp (Wp 曲线得：pa
)1/
n
n
W log(
ppeak
W p 60
)
(1
W p 60 W ppe ak
) loge
log( n f )
f p60
a n ( ) epa 1/ n f Wppeak
)2
(
q Mpx
)2
1
（0 椭圆形帽子）
其中：px p0 R(Mpx )
三向等压固结试验求关系
p0
~
p v
常规三轴压缩试验求关系
px
~
p v
应力-应变关系
由：
d
df
Fv
f p
Fv
f
p v
f p0
p0
p v
f px
px
p v
得：
p v
df Fv'
p
df
. f
Fv'
f p
q
LD模型
屈服轨迹在e-q平面
上的投影
“湿黏土”是加工硬 化材料，符合相适应 流动规则
VSC曲线代表经过S点 的屈服轨迹在p-q平
面上的投影
该屈服轨迹在e-q平面
上的投影落在一根各 向等压固结回弹曲线 上，即：
e e ln p
屈服轨迹在p-q平面上的投影（ VSC ）
由：
p v
v
1 e
p
3 I12 I2 I3 0 I1 1 2 3 I2 1 2 2 3 31
I3 1 2 3
偏差应力
sij ij ij (I1 / 3)
偏差应力不变量
ij
1,i 0,i
j j
J1 s11 s22 s33 0
J2
1 2
s12 s22 s32
J3 s1s2s3
沿CSL线移动
由： e eam ln p
e e ln p
ln
px
q Mp
ln
p
1
CSL线 回弹曲线
能量方程积分
得：
n
q p
M
eam
e ln
p
物态边界面形式二
应力-应变关系公式
n
q p
M
ea0
e ln
p
由：
E
pv
q
p
1 e
Mp
物态边界面 能量方程
v
1 e
1
Mp
(q
np)
p
p
得：
(1
e)Mp
q
M n
p
剑桥模型
KW模型
静力与动力三轴试验 采用广义Mises破坏条件
f k J2 aI1 0 或 f k q Mp 0
采用相适应的流动规则f = g
vp
d
f p
p
d
f
p
采用相适应的流动规则f = g
f
(
p,
q,
p v
)
(
p p0
px px
p
p
（或）
n
q p
M
ln
px p
1
物态边界面的形式
屈服轨迹沿着VICL线或CSL线移动所产生的曲面
为屈服面，即物态边界面
沿VICL线移动
由： e ea0 ln p 屈服轨迹在e-q平面上的投影
n q M ln p0 屈服轨迹在p-q平面上的投影
p
p
得：
n
q p
M
ea0
e
ln
p
物态边界面形式一
q 2 M
1
0
p
流动规则
定义：也称正交定律，是确定塑性应变增量各分量 间的相互关系，也即塑性应变增量方向的一条规定
假定经过应力空间任一点M，必有一塑性势面，这
个面在p-q平面上将成为一根塑性势线
g(I1, J2, J3, H ) 0 g( p, q, H ) 0
流动规则规定上述任意点M处的塑性应变增量与该 点处的应力存在正交关系
v
应力-应变增量公式
v
1 e
n
p
p
q
p
q
p
v
q
p
()
n v
(
1 e
n)
剑桥模型
物态边界面
正常固结的饱和重塑黏土的孔隙比e和它所受的 力p与q之间存在一种固定关系，这一关系反映在 e-p-q空间中就形成了物态边界面
原始各向等压固结线AC（VICL）
在p
1
2
条件下的
破坏条件
I1
J2 kf
屈服面：
定义：
特征
理想简单塑性材料：材料进入屈服状态，就可以认为材料 破坏了，屈服面与破坏面重合
加工硬化材料：屈服应力随荷载的提高与变形的增大而提 高，因此屈服面不同于破坏面，不是一种固定的面
加工硬化
当材料中的应力状态处于某一个屈服面上时，如果因加荷 使它发生超越这个屈服面的应力变化，就会在材料中同时 引起新的弹性与塑性变形，形成新的屈服面。加荷使屈服 面膨胀、移动或改变形式，这些改变取决于材料的应力历 史与应力水平，这种现象称为加工硬化（软化）