(优选)一阶线性微分方程及其解法.
总结一阶微分方程的类型及其解法
总结一阶微分方程的类型及其解法一阶微分方程是指只包含未知函数的一阶导数的方程。
一阶微分方程广泛应用于物理、工程、经济等各个领域，并且在实际问题中具有重要的作用。
下面将总结一阶微分方程的类型及其解法。
一阶微分方程可以分为可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、可化为常数系数线性方程、可化为直接积分方程等几种类型。
1.可分离变量方程：可分离变量方程指的是方程可以通过将变量分离到方程的两侧来求解。
形式为dy/dx = f(x)g(y)。
首先将方程化为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
最后可以求出y的解。
2.齐次方程：齐次方程指的是方程为dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的形式，其中f(x, y)和g(x, y)为齐次函数。
这类方程可以通过进行变量代换，令y = ux，即可将方程化为可分离变量的形式，进而解出y的解。
3.线性方程：线性方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。
对于这类方程，可以使用线性常数变易法来求解。
通过引入一个特殊的函数u(x)，可以将方程化为du/dx + [P(x) - Q(x)]u = 0的形式。
然后可以使用可分离变量的方法来求解。
4.伯努利方程：伯努利方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的形式，其中n为常数且n≠0。
1、对于这类方程，可以通过简单的变量代换y = u^(1-n)来将方程化为线性方程，从而方便地求解。
5.可化为常数系数线性方程：可化为常数系数线性方程指的是方程可以通过适当的变换化为形如dy/dx + Py = Q的方程，其中P和Q为常数。
一般来说，这类方程可以通过进行一些适当的代换变量和函数来求解。
6.可化为直接积分方程：可化为直接积分方程是一类特殊的一阶微分方程，形式为M(x,y) +N(x,y)dy/dx = 0。
对于这类方程，可以通过将方程两边进行积分，从而将方程转化为积分方程的形式，进而求出y的解。
高考数学中的一阶线性微分方程
高考数学中的一阶线性微分方程微积分是高中数学的一门重要的学科，其中涉及到微分及其应用。
在微分学中，微分方程是一类非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种不同的问题。
在高考数学中，微分方程也是一个非常重要的考点，其中一阶线性微分方程更是高考数学的热点难点。
一阶线性微分方程是指形如：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数，$\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数。
这个方程的解决方法非常重要，因为一阶线性微分方程是众多微分方程中比较简单的一种。
下面我们将详细介绍一阶线性微分方程的解法。
一、非齐次线性微分方程的解法对于形如$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的非齐次线性微分方程，我们可以使用变量分离法来解决。
1. 求出齐次线性微分方程的通解首先我们要求出非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，即$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$的通解。
设齐次线性微分方程的通解为$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是待定系数，$e$为自然对数的底数。
下面我们来证明这个解法的正确性。
将$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$代入到$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$中，即可得到：$\frac{d(Ce^{-\int p(x)dx})}{dx}+p(x)(Ce^{-\int p(x)dx})=0$$\Rightarrow -Cp(x)e^{-\int p(x)dx}+C(e^{-\intp(x)dx})\frac{d}{dx}(e^{-\int p(x)dx})+p(x)Ce^{-\int p(x)dx}=0$ $\Rightarrow \frac{d}{dx}(Ce^{-\int p(x)dx})=0$根据微积分基本定理可知，如果$\frac{d}{dx}(Ce^{-\intp(x)dx})=0$，那么$Ce^{-\int p(x)dx}$就是一个常数，不妨设为$C_1$。
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程是微分方程中的一类常见问题，其形式可以表达为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
解一阶线性微分方程的方法有多种，包括分离变量法、齐次方程法、一致变量法和常数变易法等。
本文将详细介绍这些解法，并通过实例加深理解。
分离变量法是解一阶线性微分方程常用的方法之一。
它的步骤是将方程中的y和x分开，并将含有y的项移到方程的一侧，含有x的项移到另一侧。
例如，对于dy/dx + x*y = x^2，我们可以将方程变形为dy/y = x*dx。
然后对等式两边同时积分，即得到ln|y| = (1/2)x^2 + C，其中C为积分常数。
最后，利用指数函数的性质，我们得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。
齐次方程法是解一阶线性微分方程的另一种常见方法。
当方程为dy/dx + P(x)y = 0时，我们可以将其转化为dy/y = -P(x)dx的形式。
同样地，对等式两边同时积分，即得到ln|y| = -∫P(x)dx + C，其中C为积分常数。
然后，利用指数函数的性质，我们可以得到y = Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
一致变量法是解一阶线性微分方程的另一种有效方法。
当方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n时，我们可以通过将方程除以y^n，并引入新的变量z = y^(1-n)来转化为一致变量的形式。
这样，原方程就变成了dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)。
接下来，我们可以使用分离变量法或者其他已知的解法来求解这个方程。
常数变易法是解特殊形式的一阶线性微分方程的方法之一。
当方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)e^(∫P(x)dx)时，我们可以通过将y的解表达形式设为y = u(x)*v(x)来解方程。
其中，u(x)为待定函数，而v(x)为一个满足dv(x)/dx = e^(∫P(x)dx)的函数。
一阶线性微分方程的解法
一阶线性微分方程的解法当然，请看以下的试题：1. 下列哪个不是一阶线性微分方程的解法？A. 分离变量法B. 特解法C. 微分因子法D. 变量代换法2. 一阶线性微分方程 \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \) 的一般解为：空格填写3. 对于一阶线性微分方程 \( y' + 2xy = x^2 \)，选择正确的积分因子：A. \( e^{x^2} \)B. \( e^{-x^2} \)C. \( e^{x^2 + C} \)D. \( e^{-x^2 - C} \)4. 一阶线性微分方程 \( y' + \frac{2y}{x} = x^2 \) 的通解为：空格填写5. 在一阶线性微分方程 \( \frac{dy}{dx} + 3y = 4x \) 中，正确的积分因子为：A. \( e^{3x} \)B. \( e^{-3x} \)C. \( e^{3y} \)D. \( e^{-3y} \)6. 若一阶线性微分方程 \( \frac{dy}{dx} + 2y = 3x \) 的通解为 \( y = Ce^{-2x} + \frac{3}{2}x \)，其中 \( C \) 为常数，填入空格处的数值为：空格填写7. 对于一阶线性微分方程 \( y' + 2y = 5 \cos(x) \)，选择正确的积分因子：A. \( e^{2x} \)B. \( e^{-2x} \)C. \( e^{2\cos(x)} \)D. \( e^{-2\cos(x)} \)8. 一阶线性微分方程 \( \frac{dy}{dx} + 4y = x \) 的特解为：空格填写9. 下列哪个不是一阶线性微分方程的一般解形式？A. \( y = Ce^{-\int P(x)dx} + \int Q(x) e^{\intP(x)dx} dx \)B. \( y = Ce^{-\int P(x)dx} + Q(x) e^{-\int P(x)dx} \)C. \( y = \frac{Q(x)}{P(x)} + Ce^{\int P(x)dx} \)D. \( y = Ce^{\int P(x)dx} + \int Q(x) e^{-\intP(x)dx} dx \)10. 对于一阶线性微分方程 \( y' + \frac{y}{x} = x^2 \)，其通解为：空格填写11. 一阶线性微分方程 \( \frac{dy}{dx} + 2y = e^{3x} \) 的特解为：空格填写12. 若一阶线性微分方程 \( y' + \frac{2y}{x} = 3x \)的通解为 \( y = Ce^{-2\ln(x)} + x^3 \)，则常数 \( C \) 的值为：空格填写13. 在一阶线性微分方程 \( y' + y \cos(x) = 2 \sin(x) \) 中，正确的积分因子为：A. \( e^{\sin(x)} \)B. \( e^{-\sin(x)} \)C. \( e^{\cos(x)} \)D. \( e^{-\cos(x)} \)14. 一阶线性微分方程 \( \frac{dy}{dx} + y = x^2 + 1 \) 的通解为：空格填写15. 若一阶线性微分方程 \( \frac{dy}{dx} + 2y = 4x \) 的通解为 \( y = Ce^{-2x} + 2x \)，则常数 \( C \) 的值为：空格填写16. 下列哪个不是一阶线性微分方程的解法？A. 变量分离法B. 特解法C. 变量代换法D. 幂级数法17. 对于一阶线性微分方程 \( y' + e^x y = \sin(x) \)，选择正确的积分因子：A. \( e^{e^x} \)B. \( e^{-e^x} \)C. \( e^{e^{-x}} \)D. \( e^{-e^{-x}} \)18. 一阶线性微分方程 \( \frac{dy}{dx} + 3y = 2 \cos(x) \) 的特解为：空格填写19. 若一阶线性微分方程 \( y' + \frac{2y}{x} = 4x \)的通解为 \( y = Ce^{-2\ln(x)} + x^4 \)，则常数 \( C \) 的值为：空格填写20. 在一阶线性微分方程 \( \frac{dy}{dx} + y = e^x \) 中，正确的积分因子为：A. \( e^{x} \)B. \( e^{-x} \)C. \( e^{e^x} \)D. \( e^{-e^x} \)希望这些题目符合你的要求！。
一阶线性微分方程
的微分方程, 称为伯努利(Bernoulli) 方程.
2.解法 方程两端同除yn，得
yn dy P( x) y1n Q( x) dx
令z y1n , 得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x).
dx 求出通解后，将 z y1n 代入即可.
例 3 求方程 dy 4 y x2 y 的通解. dx x
1 而方程两端同乘函数 x2 后，得
xdy ydx x2
d
y x
0
是全微分方程， 所以 1 是原方程的一个 x2
积分因子.
原方程的通解为 y C . x
导数，且
Q P x y
则称该方程为全微分方程，或恰当方程.
2. 解法 若微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
是全微分方程.
则存在u( x, y),使
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
原方程变为 du( x, y) 0
全微分方程通解为 u( x, y) C.
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C, 或 x C1e y y 1
另解 方程变形为 dx x y. 一阶线性微分方程. dy
第五节 全微分方程
1. 定义 如果一阶微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
中的P( x, y)，Q( x, y)在单连域G内具有一阶连续偏
(3)
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程的特解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
一阶线性微分方程
y x
2
线性非齐次方程
线性齐次方程
y cos y 1
y y 2 xy 3 ,
非线性
2、一阶线性微分方程的解法 引例 考虑一阶线性微分方程
（齐次方程） （非齐次方程） ① ②
求①的通解，并验证
是②的通解. . 代入②，方程成立，
解: 由分离变量得齐次方程的通解为 将
故是解. 又因为含有一个任意常数，故是通解.
例6. 求方程 解: 令 z y
1
的通解.
, 则方程变形为
z x
1
dz dx
a ln x
其通解为
ze
x
dx
(a ln x) e
a 2 ( ln x)
2
dx
x
1
dx C
x C
将 z y 1代入, 得原方程通解:
作 业
P315 1 (3) , (6) , (9) ;2 (5) ; 6 ; 7 (5)
暂态电流
稳态电流
小结 求解一阶线性微分方程的方法:
dy dx P( x) y Q( x)
1、常数变易法求解一阶线性微分方程的步骤:
(1) 将方程化为标准形式，确定 P(x) 和 Q(x)； (2) 求对应的齐次方程的通解 y C e
P( x) d x
；
（常数变易）
(3) 设原方程的通解为 y C ( x) e P ( x ) d x ，代回原
xe
P( y)d y
P( y)d y Q( y ) e d y C ，得
xe
y
y e
y
dy C
一阶线性微分方程及其解法
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 应用微分方程解决实际问题的步骤 1. 分析问题 设出所求未知函数,确定初始条件。 分析问题,设出所求未知函数 确定初始条件 设出所求未知函数 确定初始条件。 2. 建立微分方程。 建立微分方程。 3. 确定方程类型 求其通解. 确定方程类型,求其通解 求其通解 4. 代入初始条件求特解. 代入初始条件求特解
Q( x ) = 3 x
= e x 3 ∫ xe x dx + C
= ex
x
( ( 3∫ xde
∫ dx dx + C ∫ 3x e
) + C)
= e x 3( xe x ∫ e x dx ) + C
= ex =e
x x x
( ( 3( xe ( 3( xe
+ ex ) + C +e
例5 求过原点平且在点 x,y) 处的切线斜率等于 (
3x + y 的曲线方程。 的曲线方程。
解 设所求曲线方程为 y = f ( x ) , 则依题有 y =0, x =0 从而 即 y′ y = 3 x 则通解为 y = e
y′ = 3 x + y
其中 P ( x ) = 1 ,
∫ dx
y = Ce
∫ P( x)dx
例2 解
2 . 求 y′ y = 0 的通解 x
2 P( x) = 则通解 x
y = Ce
=
∫ P( x)dx
2 ∫ dx Ce x
= Ce = Cx
2 ln x 2
（2）一阶线性非齐次微分方程 ） dy + P ( x ) y = Q( x ) 1）一般式 ） dx 2）解法 常数变易法 ） 3）通解公式 ）
(优选)第二节一阶线性微分方程
两边积分
dp p(1
p)
dt ,
得方程的通解为 得
p ln 1 p t c1,
p ec1 et cet 1 p
所以方程的通解为:
ce t
1
p 1 cet
1 cet
.
二、齐次微分方程
形如
dy ( y )
dx x
(3)
的微分方程称为齐次微分方程．
例如:
dy y ( y )2 , dx x x
(2)
其中c为任意常数.
ydy sin xdx 1 y2
例3
求微分方程 1 y2 sin x yy满足
初值条件y
x
2
=
2 的特解. 2
解 当1 y2 0时,方程可以改写成为
ydy sin xdx,
1 y2
两边积分
ydy
1 y2 sin xdx,
得方程的通解为
1 y2 cos x c,
y c( x)e P( x)dx
(8)
dy c( x)e P( x)dx c( x)P( x)e P( x)x (9) dx 将(8),(9)代入方程（5） dy P( x) y Q( x)
dx
得 dy P( x) y c( x)e P( x)dx c( x)P( x)e P( x)x
分离变量
1 du 1 dx,
(u) u x
两边积分，得
1
(u)
u
du
1 dx x
求出积分后再用 y 代替u, 便得通解。 x
例5 解微分方程y2 x2 dy xy dy . dx dx
解
原方程可以改写成
dy dx
y2 xy x2
【精选】.一阶线性微分方程、可降阶二阶微分方程
y 3(1 x2 )
再积分,得 y x2 3x C2
把初始条件 y x0 1 代入上式,得 C2 1
于是所求的特解为 y x2 3x 1
三、 y f y, y型的微分方程
y f y, y
右端不显
含自变量 x
解法 设y p( y),则y dp dp dy p dp
dx dy dx dy
y
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
二、 y f x, y 型的微分方程
y f x, y
右端不显
含未知数 y
解法 设y px, 则y dp p
dx 于是原方程变为
p f x, p
它是一个关于变量 x 、p 的一阶微分方程.解此一阶微分
方程,便得到原方程的通解.
例5-10 求微分方程 y 1 y 0的通解 x
二、 y f x, y型的微分方程 三、 y f y, y型的微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程
y f ( x)
右端仅含自
变量 x
解法 接连积分两次,便可得到方程的通解
例5-9 求微分方程 y e2x cos x的通解.
解 对所给方程连续积分两次,得
y
1 2
e2x
sin
x
C1
y
Ce
P( x)dx
dx
非齐次微分方程
dy dx
P(x)
y
Q(x)的通解
y C(x)e P(x)dx
一阶线性非齐次微分方程的通解中C(x)是个未定
式，下面我们确定C(x)。
非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比
C C(x)
非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) 的求解 dx
一阶微分方程及其解法
代回原变量，原方程的通解为：
y3 x2 y 3 2 ] ln ( x 2) ( ) C x2
四、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y dx
当Q ( x ) 0, 上述方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上述方程称为非齐次的.
例如
解： 将所给的方程写成 分离变量，得 两端同时积分，有 （两边同时乘以2） 即:
ln x d (ln x )
练习:1、 解：分离变量 两边积分 e 即 2、求方程的 解：分离变量
y dy 2 1 y
y
C
(C<0 ) 通解
2 2 ln( 1 y ) ln( 1 x ) ln C 两边积分
1 u )du 2 2 1 u 1 u
Y
X
u，
例4. 求解 积分得 代回原变量
X x 1, Y 得原方程的通解:
Y
Y
X
X
u，
Y
X
u
y5 x 1
得 C = 1 , 故所求特解为
思考: 若方程改为 提示:
如何求解?
作变换 x X h , y
dy a x b y c d x a 1 x b1 y c 1
y ( x 1) x C y x
( u 1) C 即 x u
代回原变量
得通解
(C 为任意常数)
例3 求微分方程 2 xydx ( x 2 y 2 )dy 0的通解. 解： 所给方程可变形为
y 这是齐次方程，令 u , x
则 代入原方程， 得 从而有 分离变量，得
例3 求微分方程 2 xydx ( x 2 y 2 )dy 0的通解. 分离变量，得 看做某个原函数 两边积分，得 积分后，得 即
一阶线性微分方程的求解方法
一阶线性微分方程的求解方法微分方程是数学中基础的一部分，也是理论和应用有机结合的工具。
其中，一阶线性微分方程在应用中非常常见。
本文将介绍一阶线性微分方程的求解方法。
1. 定义和形式一阶线性微分方程具有以下形式：$$ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) $$其中，$y$是未知函数，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$x$是自变量，$y(x)$的一阶导数$\frac{dy}{dx}$表示对$y$的变化率。
2. 常数变易法一阶线性微分方程的求解方法之一是使用常数变易法。
我们把$y(x)$表示成$y=C\cdot u(x)$的形式，其中$C$是任意常数，$u(x)$是一个待求的函数。
我们将它代入微分方程中，得到：$$ C \cdot \frac{du}{dx} + p(x)C\cdot u(x) = q(x) $$这是一个一阶常系数齐次线性微分方程，可以使用常数变易法求解。
首先，我们将方程转化为标准形式：$$ \frac{du}{dx} + p(x)u(x) = \frac{q(x)}{C} $$然后，我们求解齐次方程：$$ \frac{du}{dx} + p(x)u(x) = 0 $$它的通解为$u(x)=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是任意常数。
接下来，我们要找到一个特解，使得它满足非齐次方程。
我们设一个满足条件的特解$u_{p}(x)$，将它代入非齐次方程中，得到：$$ \frac{du_{p}}{dx} + p(x)u_{p}(x) = \frac{q(x)}{C} $$我们可以使用常数变易法求解它的特解，方法和齐次方程相同。
最后，我们将通解和特解相加，就可以得到非齐次方程的通解：$$ y(x) = C \cdot u(x) + u_{p}(x) $$其中$C$是任意常数。
3. 变量分离法另一种求解一阶线性微分方程的方法是变量分离法。
我们把微分方程变形成以下形式：$$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $$其中$f(x)$和$g(y)$是已知函数。
一阶线性微分方程的解法
一阶线性微分方程的解法一、引言微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中的各种变化规律。
其中，一阶线性微分方程是最基本、最常见的微分方程类型之一。
本文旨在介绍一阶线性微分方程的解法，包括常数变易法和常系数法两种方法。
二、常数变易法常数变易法是一种求解一阶线性非齐次微分方程的常用方法。
设待解方程为：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$其中，$P(x)$和$Q(x)$是已知函数，$y$是未知函数。
1. 求解齐次方程将方程改写为：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。
2. 特解的猜测对于非齐次方程，我们猜测其特解为$y_p=u(x)y_h$，其中$u(x)$是待定函数。
3. 求解待定函数将$y_p$代入原方程，解得待定函数$u(x)$。
4. 得到通解将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加，得到原方程的通解$y=y_h+y_p$。
三、常系数法对于具有形如$\frac{dy}{dx}+ay=b$的一阶线性非齐次微分方程，我们可以使用常系数法进行求解。
1. 求解齐次方程将方程改写为$\frac{dy}{dx}+ay=0$，解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。
2. 特解的猜测对于非齐次方程，我们猜测其特解为$y_p=C$，其中$C$是常数。
3. 求解待定常数将$y_p$代入原方程，解得待定常数$C$。
4. 得到通解将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加，得到原方程的通解$y=y_h+y_p$。
四、实例分析现以一个具体的例子来说明一阶线性微分方程的解法。
考虑方程$\frac{dy}{dx}+2xy=x^2$，我们首先求解齐次方程$\frac{dy}{dx}+2xy=0$，得到齐次方程的通解$y_h=Ce^{-x^2}$，其中$C$为常数。
然后猜测非齐次方程的特解为$y_p=Ax^2$，将其代入原方程，得到待定常数$A=\frac{1}{2}$。
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法在数学的领域中，一阶线性微分方程是一类非常重要的方程，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下一阶线性微分方程及其解法。
首先，我们来明确一下一阶线性微分方程的定义。
一阶线性微分方程的一般形式是：＼y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼其中，＼（P(x)＼）和\（Q(x)＼）是已知的关于\（x\）的函数，＼（y'＼）表示\（y\）对\（x\）的导数。
为了求解一阶线性微分方程，我们需要用到一个重要的工具——积分因子。
积分因子的作用就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开求解方程的大门。
那么，什么是积分因子呢？积分因子\（＼mu(x)＼）是一个函数，使得方程两边同乘以\（＼mu(x)＼）后，方程左边可以化为某个函数的全导数。
对于一阶线性微分方程\（y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＼），其积分因子为\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＼）。
接下来，我们看看具体的求解步骤。
第一步，先计算出积分因子\（＼mu(x)＼）。
第二步，将原方程两边同时乘以积分因子\（＼mu(x)＼），得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ e^｛＼int P(x)dx}P(x)y ＝ e^｛＼intP(x)dx}Q(x)＼这时，方程左边可以化为\（（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＼）。
第三步，对等式两边进行积分，得到：＼e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C\第四步，最后解出\（y\）：＼y ＝ e^｛＼int P(x)dx}（＼int e^｛＼int P(x)dx}Q(x)dx ＋ C)＼为了更好地理解这个求解过程，我们通过一个具体的例子来演示一下。
假设我们要求解方程\（y' ＋ 2xy ＝ 2x\）。
首先，＼（P(x) ＝ 2x\），所以积分因子\（＼mu(x) ＝ e^｛＼int2xdx} ＝ e^｛x^2}＼）。
一阶线性微分方程及其解法[2]
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重复是学习之母——弗莱格
世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最 珍贵，最容易被人忽视，而又最令人后悔的就是时间 －－－－高尔基
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因此方程满足初始条件的特解为
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤: 1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
解 (1) = 0 = f (0,0)
(2)
(3)
xy
则
lim
r 0
w r
=
lim
r 0
x2 + y2
r
( y=x)
( y=x)
？
例2
证令 则
故函数在点 (0, 0) 处连续 ; 同理
下面证明： 令
可微 . 则
注 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 而非必要条件.
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
的极值.
在点(1,0) 处
为极小值;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2) 处 在点(3,0) 处 在点(3,2) 处
不是极值; 不是极值;
为极大值.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例
解 画草图如右 两曲线的交点 选 为积分变量 面积元素
y
o
x
注：
，即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定
点P0时，都有f(P) A
求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换； 重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹 逼准则；换元；利用公式和运算法则）
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1 du 1 dx
(u) u
x
例1 求方程 y2 x2 dy xy dy 的通解 dx dx
y 2
解
原方程化为
dy dx
y2 xy x2
,即
dy dx
x y 1
x
这是齐次方程， 令 u y ,即 y xu x
故 代入得：
dy u x du
dx
dx
u x du u2 dx u 1
例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程： (1) 3 y 2 y x 2（是） (2) ( y )3 xy sin(2x 1)
(3) y y 2 x 2 (5) y y y x
(4) dy 1 y sin x 2 （是） dx x
(6) y x sin y x 2 1
,即
x yu
，故 dx u y du
dy
dy
代入得：
1 eu
u
y
du dy
1
u
0
这是关于变量u与x的可分离变量方程，
分离变量 ，并两边积分，得：
1 u
eu eu
du
1 dy y
故
ln(u eu ) ln y ln c
x
所以，原方程通解为 ：ye y x c
五、小结
变量分离
d y 1 d x, yx
两端积分 ln | y | ln | x | ln | C |
即 ln | xy | ln | C |
xy C
又 x 2时，y 3， 故C 6
即所求曲线方程为：xy 6
练习:12.2第3题
x
f (x) x f (u)du
0
f (u)为可微函数 ， 求f (x)
形如
dy dx
f
y x
的一阶微分方程称为齐次方程
或
dx dy
f
x
y
解法：
针对齐次方程
dy dx
y x
，作变量代换
u
y x
即
y
xu
，则
dy dx
u
x
du dx
将其代入原式，得：
u
du dx
u
，即
du u u
dx
x
这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程；
然后，利用分离变量法求得
解： 方程可化为：
它是齐次方程。令
dy
x2
y2
1 ( y)2 x
dx 2xy
u y
2( y ) x
x
代入整理后，有 du 1 u2
dx 2xu
分离变量，则有dx
两边积分，得 (1) ln(1 u2 ) (1) ln x (1) ln c
2
2
2
即
cx(1 u2 ) 1
解 v d M kM, (k 0)
dt
变量分离
dM kdt M
(这里显然有 d M 0) dt
两端积分 ln M kt lnt
即
M Cekt
又
M |t0 M 0
故 M0 C
故,衰变规律为 M M 0ekt
练习
12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程
y y x
本节主要内容是：
1．齐次方程
dy dx
f
y x
或
dx dy
f
x
y
2．齐次方程的解法：关键是令 u
y x
，从而
y xu
，则
dy u x du
dx
dx
，代入原方程后，
原方程转化为可分离 变量方程去求解；
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义 在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次 的，则称其为一阶线性微分方程。
两边求导得: f (x) 1 f (x)
y 1 y
变量分离
dy 1 y dx
dy dx 1 y
注意:这里隐藏一个初始条件 f (0) 0
变量代换是解方程的一种常用的手段
利用变量代换求微分方程的解
例6
求 dy ( x y)2的通解. dx
解 令 x y u, dy du 1 代入原方程
的特解
代入上式，于是所求方程的通解为 c(x2 y2 ) x2
把初始条件 y x1 0 代入上式，求出 c 1
，故所求方程的特解为 y2 x2 x
x
例3
求方程 1 e
y
ydx
y
x
dy
0
的通解
解：这是一个齐次方程。先将方程变形为
1
e
x y
dx dy
1
x y
0
令u x y
dx dx
du 1 u2 dx
解得 arctanu x C,
代回 u x y,得 arctan(x y) x C,
原方程的通解为 y tan( x C ) x.
求 dy 1 的通解. dx x y
令u x y
求xy y y ln xy的通解. 令u xy
二、齐次方程
解 分离变量 d y ex d x, y
两端积分
dy y
ex
d
x
ln y ex C1,
y eC1eex ,
y eC1eex ,
C
y Ceex为所求通解. (C为任意常数).
注意到:当C=0时即y=0也是方程的解
应用: 衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其
它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未衰变 的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程中 铀含量M(t)随t的变化规律
2. 一阶线性微分方程的一般式
dy P( x) y Q( x)
(1)
dx
或
dx P( y)x Q( y) dy
(2)
3. 一阶线性微分方程的分类
当 Q( x) 0 时，方程（1）称为一阶线性齐次微
（优选）一阶线性微分方程及 其解法
设函数G( y)和H ( x)是依次为 1 和h( x)的原函数,
g( y)
则 G( y) H ( x) C (C为任意常数). (1.4)
可以验证: (1.4)式为微分方程 (1) 的(隐式)通解.
2 当g( y0 ) 0时， y y0也是方程(1)的解.
注: 若题目只需求通解，则不必讨论 g( y) 0情形.
例1 求微分方程 d y 2xy 的通解. dx
解 分离变量 d y 2x d x, y
两端积分
dy y
2xd x,
ln y x2 C1, y eC1e x2 , y eC1e x2 ,
C
y Ce x2为所求通解.
例2 求微分方程 d y ex y 的通解. dx
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1
1 u
du
1 dx x
u ln|u| ln|x| ln|c
故所求通解为： y ln|y| c x
书上还有一个例子，自己可以练习练习
求微分方程 (x2 y2 )dx 2xydy，满足初始条件 y x1 0