测地线

测地线

中文名称：测地线

英文名称：geodesic

定义：在包含待测两点内的地球面上测得的两点之间的最短线。

应用学科：船舶工程（一级学科）；船舶通信导航（二级学科）

目录

测地线

测地线效应

测地线

测地线效应

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测地线

又名

测地线又称大地线或短程线，可以定义为空间中两点的局域最短或最长路径。测地线(Geodesic)的名字来自于对

于地球尺寸与形状的大地测量学(Geodesy)。

定义

类似地球这样的物体并非由于称为引力的力使之沿着弯曲轨道运动，而是它沿着弯曲空间中最接近于直线的称之为测地线的轨迹运动。例如，地球的表面是一弯曲的二维空间。地球上的测地线称为大圆，是两点之间最近的路径。由于测地线是两个机场之间的最短程，这正是领航员叫飞行员飞行的航线。在广义相对论中，物体总是沿着四维时空的直线走。尽管如此，在我们的三维空间看起来它是沿着弯曲的途径（这正如同看一架在非常多山的地面上空飞行的飞机。虽然它沿着三维空间的直线飞，在二维的地面上它的影子却是沿着一条弯曲的路径）。

力的作用，物体将在类时或类光测地线上运动（因为没有物体的速度能超过光速）

例如，地球这样的物体并非收到称作引力的力的作用而沿着弯曲轨道运动；相反，他们之所以沿着弯曲轨道运动，是因为在弯曲空间中，他们遵循着一条最接近直线的路径运动，这个路径称作测地线。用专业术语来说，测地线的定义就是相邻两点之间最短（或最长）的路径。

测地线效应

概述

也称作测地线进动（Geodetic Effect或Geodetic Precession）是指在广义相对论预言下引力场的时空曲率对处于其中的具有自旋角动量的测试质量的运动状态所产生的影响，这种影响造成了测试质量的自旋角动量在引力场内沿测地线的进动。这种效应在今天成为了广义相对论的一种实验验证方法，

比。这种相互作用所导致的进动在全部的测地线进动中起到三分之一的贡献。

另外的三分之二贡献不能用引力磁性来解释，只能认为来自于时空曲率。简单来说，平直时空中沿轨道运动的自旋角动量方向会随着引力场造成的时空弯曲而倾斜。这一点其实并不难于理解：垂直于一个平面的矢量在平面发生弯曲后定然会改变方向。根据推算，引力探测器B的绕地轨道周长由于地球引力场的影响会比不考虑引力场时的周长缩短1.1英寸（约合2.8厘米），这个例子在引力探测器B的研究中经常被称作“丢失的一英寸”。在引力探测器B的位于642千米高空的极轨道上，广义相对论的理论预言由于自旋-轨道耦合和时空曲率而产生的轨道平面上的测地线效应总和为每年进动6.606角秒（约合0.0018度）。这对于弱引力场中相对论效应来说已经是一个相当显著的影响了（作为同为引力探测器B的观测任务之一的地球引力场的参考系拖拽要比测地线效应弱

170倍）。引力探测器B的观测结果首先在2007年4月举行的美国物理学会四月年会上进行了快报，其观测结果与理论误差小于1%。

曲面上两点之间的短程线称为测地线。球面上的测地线即是大圆。

测地线又称“大地线”或“短程线”。地球椭球面上两点间的最短曲线。在大地线上，各点的主曲率方向均与该点上曲面法线相合。它在圆球面上为大圆弧，在平面上就是直线。在大地测量中，通常用大地线来代替法截线，作为研究和计算椭球面上各种问题。测地线是在一个曲面上，每一点处测地曲率均为零的曲线。

相关定理及推论

1.曲面上非直线的曲线是测地线的充分必要条件是除了曲率为零的点以外，曲线的主法线重合于曲面的法线。

2.如果两曲面沿一曲线相切，并

且此曲线是其中一个曲面的测地线，

那么它也是另一个曲面的测地线。

3.过曲面上任一点，给定一个曲

面的切方向，则存在唯一一条测地线

切于此方向。

4.在适当的小范围内联结任意两

点的测地线是最短线，所以测地线又

称为短程线。

大地测量与测地线

Geometrie（几何）的最初含义是Feldmeßkunst（大地测量术）。Geo-的意思就是Erde、Feld、Land的意思。带有geo的词很多，比方说Geographie（地理学）、Geologie（地球学）、Geopolitik （地缘政治学）等等。Metrie的意思是测量，远距离上，它和德语动词messen（测量）是同源词。

几何起源于对土地（大地）的测量，欧几里得几何是这样，非欧几何也是这样，后来所有这些几何学都理想化了，虽然它们仍可以用于土地测量，但它原则上可以和土地测量无关。

如何决定一段线长，是几何学的重要问题。在欧几里得平面上，线长我们可以表示为s=∫(dx2+dy2)1/2，而在非欧几里得面上的线长我们一般可以表示为s=∫

(g ij dx i dx j)1/2，这里的积分是定积分。

在欧几里得几何中，直线被定义成两点之间最短的线，这我们也可以对s=∫

(dx2+dy2)1/2进行变分得到。同理，在非欧几里得几何面上，我们也可以对s=∫

(g ij dx i dx j)1/2进行变分，进而我们也可以得到一个方程，这个方程一般被称为测地线（Geodäte、Geodätische、geodätische

Linie）方程。直线可以被看成是测地线的特殊形式。

现在我们可以看一个非平面（球面）上的测地线方程：

球面上的线元可以表示为：

ds=(r2cos2φdθ2+r2dφ2)1/2

对其进行变分，

即：δ∫(r2cos2φdθ2+r2dφ2)1/2=0，

把它改写成

δ∫[r2cos2φ(dθ/ds)2+r2(dφ

/ds2)]1/2ds=0。

其中，[r2cos2φ(dθ/ds)2+r2(dφ/ds2)]1/2是拉格朗日量，有了它我们就好办了。