Dijstra 最短路径算法

Dijstra 最短路径算法1课程设计目的为进一步巩固学习《数据通信与通信网技术》课程。

加强对Dijstra最短路径算法的认识，所以需要通过实践巩固基础知识，为使我们取得最现代化的设计技能和研究方法，课程设计训练也就成为了一个重要的教学环节。

通过Dijstra 最短路径算法的设计和实现，达到进一步完善对通信网基础及应用课程学习的效果。

增加对仿真软件的认识，学会对各种软件的操作和使用方法；加深理解路径算法的概念；初步掌握系统的设计方法，培养独立工作能力。

2设计方案论证Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

注意该算法要求图中不存在负权边。

在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。

（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。

在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。

2.1 设计内容沈阳大学用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如图1。

图1：步骤图2.2 设计思路（1）算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径沈阳大学的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。

在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。

此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

（2）算法步骤：a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。

U包含除v外的其他顶点，即：U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

（3）执行动画过程如图2所示沈阳大学图2：过程图2.3 详细设计步骤1初始化Vtemp为起点CVtemp用于记录上一通过方向限制的节点，计算初始限制方向搜索区域的边界直线。

步骤2选择Vj，使得dist[j]为所有S[j]为"FALSE"节点中dist 数组的最小值，Vj 就是沈阳大学当前求得的一条从V 出发的最短路径的终点。

步骤3根据Vtemp生成动态的方向限制搜索范围并判断Vj 是否通过该方向限制搜索。

如果通过，则将S[j]置为TRUE，Vtemp 置为Vj ；进入步骤4否则将S[jJ 置为MAYBE , V temp 不变，进入步骤5。

步骤4修改从V，出发到所有S[ 盯为FALSE 并且与Vj 相邻节点民的dist 数组Cdisk[kJ)。

如果dist[jJ+cost[j ， kJ<dist[ 是J ，修改dist[均为dist[kJ = dist[j J 十cost[j ，是]。

步骤5重复步骤2 至步骤4 共n-1 次。

在n 一1 次循环中找到从起点到终点的最短路径即退出。

若发现已经没有节点的S[j]值为FALSE而又没有找到从起点到终点的最短路径，则将所有为MAYBE 的S[jJ 置为FALSE ，继续循环步骤2 至步骤4。

后在这种动态限索中可以看出平移量Py 的选择非常重要。

若Py 的值较小，就可能因为网络权值的畸形分问题(尤其在稀疏网络中)找不到两点间的最短路径；若Py 的值较大，则由于淘汰的节点不多，对于算法效率提高不大。

另外， Py 的选择还必须根据网络的不同进行变化。

考虑在网络中的极端情况时，与起点相连的只有网络中最长和次长的两个弧段，而且两个弧段的方向正好和起点与终点的连线方向相同，此时Py 可设为最长弧段和次长弧段两者之和，这样可以防止与起点相连的弧段被较早地淘汰，但这样取值会造成方向限制范围变得很大。

欧氏距离是节点之间的直线距离，它必然小于或等于弧段实际长度，以它来限制方向既可以保证网络中的极端情况下不会过早地淘汰节点，又可以不扩大方向限制范围。

故考虑Py 中所有节点之间欧氏距离最大值与次大值两者之和。

3 设计过程与分析沈阳大学图3：调试图沈阳大学图4：结果图沈阳大学图5：结果图4 程序源代码沈阳大学const int MAXINT = 32767;public class Graph{public List<Node> m_nodeList = null;public Graph(){m_nodeList = new List<Node>();}/// <summary>/// 获取图的节点集合/// </summary>public List<Node> NodeList{get { return this.m_nodeList; }}/// <summary>/// 初始化拓扑图/// </summary>public void Init(){//***************** B Node *******************Node aNode = new Node("A");m_nodeList.Add(aNode);//A -> BEdge aEdge1 = new Edge();aEdge1.StartNodeID = aNode.ID;aEdge1.EndNodeID = "B";aEdge1.Weight = 10;aNode.EdgeList.Add(aEdge1);//A -> CEdge aEdge2 = new Edge();aEdge2.StartNodeID = aNode.ID;aEdge2.EndNodeID = "C";aEdge2.Weight = 20;aNode.EdgeList.Add(aEdge2);//A -> EEdge aEdge3 = new Edge();aEdge3.StartNodeID = aNode.ID;沈阳大学aEdge3.EndNodeID = "E";aEdge3.Weight = 30;aNode.EdgeList.Add(aEdge3);//***************** B Node ******************* Node bNode = new Node("B");m_nodeList.Add(bNode);//B -> CEdge bEdge1 = new Edge();bEdge1.StartNodeID = bNode.ID;bEdge1.EndNodeID = "C";bEdge1.Weight = 5;bNode.EdgeList.Add(bEdge1);//B -> EEdge bEdge2 = new Edge();bEdge2.StartNodeID = bNode.ID;bEdge2.EndNodeID = "E";bEdge2.Weight = 10;bNode.EdgeList.Add(bEdge2);//***************** C Node ******************* Node cNode = new Node("C");m_nodeList.Add(cNode);//C -> DEdge cEdge1 = new Edge();cEdge1.StartNodeID = cNode.ID;cEdge1.EndNodeID = "D";cEdge1.Weight = 30;cNode.EdgeList.Add(cEdge1);//***************** D Node ******************* Node dNode = new Node("D");m_nodeList.Add(dNode);//***************** E Node ******************* Node eNode = new Node("E");m_nodeList.Add(eNode);//E -> DEdge eEdge1 = new Edge();eEdge1.StartNodeID = eNode.ID;沈阳大学eEdge1.EndNodeID = "D";eEdge1.Weight = 20;eNode.EdgeList.Add(eEdge1);}public class PlanCourse{private Hashtable htPassedPath;#region ctorpublic PlanCourse(List<Node> nodeList, string originID){this.htPassedPath = new Hashtable();Node originNode = null;foreach (Node node in nodeList){if (node.ID == originID){originNode = node;}else{PassedPath pPath = new PassedPath(nod e.ID);this.htPassedPath.Add(node.ID, pPath);}}if (originNode == null){throw new Exception("The origin node is not exist !");}this.InitializeWeight(originNode);}/// <summary>/// 通过指定节点的边的权值初始化路径表沈阳大学/// </summary>/// <param name="originNode"></param>private void InitializeWeight(Node originNode){if ((originNode.EdgeList == null) || (originNode.Edg eList.Count == 0)){return;}foreach (Edge edge in originNode.EdgeList){PassedPath pPath = this[edge.EndNodeID];if (pPath == null){continue;}pPath.PassedIDList.Add(originNode.ID);pPath.Weight = edge.Weight;}}#endregion/// <summary>/// 获取指定点的路径表/// </summary>/// <param name="nodeID"></param>/// <returns></returns>public PassedPath this[string nodeID]{get{return (PassedPath)this.htPassedPath[nodeID];}}}沈阳大学Ø从A中最短路径集合中找到一个最短的路径点Vi开始分析/// <summary>/// 从PlanCourse取出一个当前累积权值最小，并且没有被处理过的节点/// </summary>/// <returns></returns>private Node GetMinWeightRudeNode(PlanCourse planCourse, List <Node> nodeList, string originID){double weight = double.MaxValue;Node destNode = null;foreach (Node node in nodeList){if (node.ID == originID){continue;}PassedPath pPath = planCourse[node.ID];if (pPath.BeProcessed){continue;}if (pPath.Weight < weight){weight = pPath.Weight;destNode = node;}}return destNode;}沈阳大学Ø修正从A出发至Vi最短路径，并重新选择另一个最短路径点Vj点开始分析，重新执行上述步骤的路径分析while (curNode != null){PassedPath curPath = planCourse[curNode.ID];foreach (Edge edge in curNode.EdgeList){PassedPath targetPath = planCourse[edg e.EndNodeID];double tempWeight = curPath.Weight + edge.Weight;if (tempWeight < targetPath.Weight){targetPath.Weight = tempWeight;targetPath.PassedIDList.Clear();for (int i = 0; i < curPat h.PassedIDList.Count; i++){targetPath.PassedIDList.A dd(curPath.PassedIDList[i].ToString());}targetPath.PassedIDList.Add(curNo de.ID);}}//标志为已处理planCourse[curNode.ID].BeProcessed = true;//获取下一个未处理节点curNode = this.GetMinWeightRudeNode(planCours e, nodeList, originID);}沈阳大学5 设计心得体会通过这次课程设计我们要掌握Dijkstra算法思想、掌握Floyd算法思想、掌握Dijkstra、Floyd程序技巧、了解Prim Kruskal算法。