第三章关于实数的基本定理

关于实数的完备性

§1. 关于实数的基本定理

1. 设()f x 在D 上定义，求证：

(1) sup{()}inf ();x D

x D f x f x ∈∈-=-

(2) inf{()}sup ().x D x D

f x f x ∈∈-=- 2. 试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于+∞的数列必有下确界，趋于-∞的数列必有上确界．

3. 试分别举出满足下列条件的数列：

(1)有上确界无下确界的数列；

(2)含有上确界但不含有下确界的数列；

(3)既含有上确界又含有下确界的数列；

(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．

4. 求数列的上、下确界：

(1) 11;n x n

=- (2) [2(2)];n n x n =+-

(3) 2211

,1(1,2,3,);k k x k x k k

+= =+ = (4) 1[1(1)];n n n x n

+=+-

(5) ;n x = (6) 12cos .13

n n n x n π-=+ 5. 设sup E β=，且E β∉，试证自E 中可选取数列{}n x 且n x 互不相同，使lim n x x β→∞

=；又若E β∈，则情形如何? 6. 利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4．

7. 试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件

1122[,][,]a b a b ⊃⊃去掉或将条件0n n b a -→去掉，结果怎样?试举例说明．

8. 若{}n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列,k k n m x x a →∞→ (a 为有限数)．

9. 设()f x 在[,]a b 无界，求证：存在[,]c a b ∈，对任给0δ>，函数()f x 在

(,)[,]c c a b δδ-+⋂上无界．

10. 设()f x 在[,]a b 上只有第一类间断点，定义

()|(0)(0)|.x f x f x ω=+--

求证：任意0,()x εωε> ≥的点x 只有有限多个．

11. 设()f x 是(,)a b 上的凸函数，且有上界，求证：lim (),lim ()x a x b

f x f x +-→→ 存在． 12. 利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限．

13. 用区间套定理证明单调有界数列必有极限．

14. 设()f x 在[0,)+∞上连续且有界，对任意(,)a ∈-∞+∞，()f x a =在[0,)+∞上只

有有限个根或无根，求证：lim ()x f x →+∞

存在． 15. 设()f x 在[,]a b 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：()f x 在[,]a b 上

有界．

16. 求证：数列{}n a 有界的充要条件是，{}n a 的任何子数列{}k n a 都有收敛的子数列．

§2. 闭区间上连续函数性质的证明

1. 设()f x 在[,]a b 上连续，可微，又设

(1) min ()max ();a x b a x b

f x p f x ≤≤≤≤<< (2) 如果()f x p =，则有'()0f x ≠，

求证：()f x p =的根只有有限多个．

2. 设()f x 是[,]a b 上的连续函数，其最大值和最小值分别为M 和()m m M <，求证：

必存在区间[,]αβ，满足条件：

(1)(),()f M f m αβ= =或(),()f m f M αβ= =；

(2) ()m f x M <<，当(,)x αβ∈．

3. 设()f x 在[,]a b 上连续，且取值为整数，求证：()f x ≡常数．

4. 设()f x 在[,]a b 连续，()0f a <，()0f b >，求证：存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=，

且()0()f x x b ξ><≤．

5. 设()f x 在[,]a b 上连续，并且最大值点0x 是唯一的，又设0[,]x a b ∈，使

0l i m ()()n x f x f x →∞

=，求证 0lim n x x x →∞

= 6. 试用一致连续的定义证明：若函数()f x 在[,]a c 和[,]c b 上都一致连续，则()f x 在

[,]a b 上也一致连续．

7. ()f x 在[0,2]a 连续，且(0)(2)f f a =，求证：存在[0,]x a ∈，使(

)()f x f x a =+． 8. 设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且lim ()x f x →-∞与lim ()x f x →+∞存在．证明；()f x 在

(,)-∞+∞上一致连续．

9. 若函数()f x 在(,)a b 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数K ，使得

|(')('')||'''|,',''(,).f x f x K x x x x a b -≤- ∈

证明：()f x 在(,)a b 上一致连续．

10. 设()f x 在(,)a b 上一致连续，,a b ≠±∞，证明()f x 在(,)a b 上有界；

11. 设()f x 在(,)a +∞上可导，且lim '()x f x →+∞

=+∞，求证：()f x 在(,)a +∞上不一致连续．

12. 求证：()f x x =在(0,)+∞上一致连续．

13. 若()f x 在区间X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即|'()|,f x M x X ≤ ∈，则

()f x 在X 中一致连续．