时矩阵的概念与几种常见的变换演示文稿

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线性代数中的矩阵变换

线性代数中的矩阵变换一、引言矩阵变换是线性代数中的一个核心概念，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。

矩阵变换通过对矩阵进行一系列的操作，实现向量空间中的向量变换，从而达到解决问题的目的。

本文将详细探讨线性代数中的矩阵变换，包括其基本概念、性质、应用以及与其他数学领域的联系。

二、矩阵变换的基本概念1. 矩阵变换的定义矩阵变换是指对矩阵进行一系列的操作，如行列变换、初等变换等，从而得到一个新的矩阵。

矩阵变换可以看作是对向量空间中的向量进行一种线性变换。

2. 矩阵变换的分类矩阵变换主要包括以下几种类型：（1）行列变换：通过对矩阵的行列进行交换、倍乘、倍加等操作，实现矩阵的简化。

行列变换在求解线性方程组、计算矩阵秩等方面具有重要作用。

（2）初等变换：初等变换包括初等行变换和初等列变换，它们是对矩阵进行一系列基本操作的组合。

初等变换在矩阵的标准化、求逆矩阵、解线性方程组等方面具有广泛应用。

（3）相似变换：相似变换是指将一个矩阵通过一个可逆矩阵相乘，得到一个与原矩阵相似的矩阵。

相似变换在研究矩阵的性质、求解线性方程组、计算特征值等方面具有重要意义。

（4）合同变换：合同变换是指将一个矩阵通过一个可逆矩阵的转置相乘，得到一个与原矩阵合同的矩阵。

合同变换在矩阵的等价性判断、求解二次型等方面具有重要作用。

三、矩阵变换的性质1. 等价性质：矩阵变换不改变矩阵的等价性。

如果两个矩阵可以通过有限次矩阵变换相互转化，则称这两个矩阵是等价的。

等价矩阵具有相同的秩和相同的行（列）向量组。

2. 可逆性质：可逆矩阵的变换是可逆的。

如果一个矩阵可以通过一系列矩阵变换得到另一个矩阵，那么这两个矩阵之间的变换是可逆的。

这意味着，如果存在一个从矩阵A到矩阵B的变换，那么也存在一个从矩阵B到矩阵A的变换。

3. 传递性质：矩阵变换具有传递性。

如果矩阵A可以通过变换得到矩阵B，矩阵B又可以通过变换得到矩阵C，那么矩阵A也可以通过变换直接得到矩阵C。

矩阵及其应用ppt课件

线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步（允许多次经过同一条边）走到B点的方案总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn

《矩阵概念简易入门》课件

矩阵在未来的发展趋势与展望
矩阵在计算机科学中的应用将更加广泛，如机器学习、图像处理等领域
矩阵理论将在数学、物理等基础学科中发挥更加重要的作用
矩阵计算方法将更加高效，如并行计算、分布式计算等
矩阵理论将与其他学科交叉融合，如量子计算、生物信息学等
THANKS
汇报人：
Part Four
矩阵的分解与变换
矩阵的LU分解
LU分解：将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U 应用：求解线性方程组、数值计算、矩阵分析等特点：LU分解是唯一分解，且分解后的矩阵L和U都是稀疏矩阵计算方法：高斯消去法、追赶法等
矩阵的QR分解
QR分解：将矩阵分解为正交矩阵Q和上三
矩阵的正则化方法
正则化方法：将矩阵中的元素进行规范化处理，使其满足一定的约束条件
目的：提高矩阵的稳定性和准确性，避免过拟合和欠拟合
正则化方法包括： L1正则化、L2正则化、Elastic Net 正则化等
正则化方法的应用：在机器学习、深度学习等领域广泛应用，如SVM、神经网络等模型中
矩阵概念简易入门
,
汇报人：
目录
01 添加目录项标题 03 矩阵的应用场景 05 矩阵的优化方法 07 总结与展望
02 矩阵的定义与性质 04 矩阵的分解与变换 06 矩阵在机器学习中的应用
Part One
角矩阵R
正交矩阵Q：满足Q^TQ=I，其中I为单位矩
阵
上三角矩阵R：主对角线以上的元素均为0
QR分解的应用：求解线性方程组、最小二乘法、特征值分

矩阵的变换和应用

矩阵的变换和应用矩阵是线性代数中重要的概念之一，它具有广泛的应用范围。

在数学、工程、科学等领域，矩阵用于描述和处理各种数据和问题。

本文将重点介绍矩阵的变换和应用，包括线性变换、旋转变换、缩放变换和平移变换等。

一、线性变换矩阵的线性变换是矩阵在向量空间中的应用之一。

线性变换是指将一个向量或一个向量组通过矩阵的相乘操作进行转换的过程。

在二维空间中，线性变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a &b \\c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，矩阵的第一行表示了原始向量在x轴上的线性变换，第二行表示了原始向量在y轴上的线性变换。

通过对矩阵进行相乘运算，可以得到经过线性变换后的新向量坐标。

二、旋转变换旋转变换是矩阵在几何学中的重要应用之一。

通过矩阵的乘法运算，可以将一个向量绕着原点进行旋转。

在二维空间中，旋转变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，θ表示旋转的角度。

通过对原始向量和旋转矩阵进行相乘运算，可以得到经过旋转变换后的新向量坐标。

三、缩放变换缩放变换是矩阵在图形学和几何学中的常见应用之一。

通过矩阵的乘法运算，可以将一个向量在x轴和y轴上进行不同比例的缩放。

在二维空间中，缩放变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=s_x & 0 \\0 & s_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，s_x表示x轴的缩放比例，s_y表示y轴的缩放比例。

矩阵的变换与应用

矩阵的变换与应用矩阵是数学中一种重要的工具，具有广泛的应用。

它可以用来表示线性变换、解决线性方程组、描述图形的旋转、缩放和平移等操作。

在计算机图形学、物理学、经济学以及工程学等领域，矩阵的变换与应用发挥着重要的作用。

一、矩阵的基本定义与性质矩阵是由数所组成的矩形阵列，通常用方括号表示。

一个矩阵包含若干行和若干列，行和列的交点处的元素是矩阵的元素。

矩阵的大小由它的行数和列数确定。

例如，一个3行4列的矩阵可以表示为：[ a11 a12 a13 a14 ][ a21 a22 a23 a24 ][ a31 a32 a33 a34 ]矩阵的性质包括可加性、可乘性、转置等。

矩阵的加法满足交换律和结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。

矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律，即AB ≠ BA。

矩阵的转置是将矩阵的行和列对调得到的新矩阵。

二、矩阵的变换1. 线性变换矩阵可以表示线性变换，例如，平移、旋转和缩放。

对于二维坐标系上的点P(x, y)，通过矩阵变换可以得到新的坐标P'(x', y')。

比如平移变换可以表示为：[ 1 0 dx ][ 0 1 dy ]其中dx和dy表示平移的距离，在矩阵乘法的运算中，将原点移动到(dx, dy)处。

2. 矩阵乘法的几何意义矩阵乘法的几何意义是将一个向量通过矩阵的变换得到另一个向量。

考虑一个二维向量V(x, y)，通过矩阵乘法可以实现旋转、平移和缩放等操作。

若矩阵A表示旋转变换，矩阵B表示平移变换，矩阵C表示缩放变换，则最终的变换为V' = ABCV。

三、矩阵在不同领域的应用1. 计算机图形学在计算机图形学中，矩阵的变换与应用用于实现平移、旋转、缩放和投影等操作。

通过矩阵变换，可以实现图像的变形和移动，并将三维图像投影到二维屏幕上。

2. 物理学在物理学研究中，矩阵的变换与应用广泛应用于描述物体的运动、变形和相互作用等。

矩阵的变换可以描述刚体的运动，将物体的位移、速度和加速度通过矩阵运算进行计算。

矩阵知识点完整归纳ppt课件

a31x a32 y a33z d3
a11 a12 a13
则其系数矩阵为A

a21
a22
a23

a31 a32 a33
a11 a12 a13 d1
增广矩阵为
A

a21
a22
a23
d2

a31 a32 a33 d3
2
矩阵变换：
一、矩阵的基本概念
12、、矩元阵素：：矩矩形阵数中表的，每Am一n 表个示数m，行aij表n列示矩第阵i行第j列的元素 34、、方单矩位阵矩：阵m：=aini 1其余元素均为0的方矩阵
1
二、矩阵变换与解方程组
a11x a12 y a13z d1 有方程组 a21x a22 y a23z d2
AE EA A A(B C) AB AC ( A B)C AC BC A(BC) ( AB)C AB BA
5
变换矩阵几何意义
变换矩阵
几何意义
a 0 横坐标变为原来的a倍 cos sin 绕原点旋转角度θ

0
b

纵坐标变为原来的b倍
a11 a12 a13
A

a21
a22
a23
，则
A

a21
a22

a31 a32 a33
a31 a32 a33
4、矩阵与矩阵的乘法
Am p Bpn Cmn
4
运算法则：
AB B A
A A (A B) A B

线性代数第2章矩阵PPT课件

线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行数和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数和列数的数量。
矩阵的元素通常用方括号括起来，并用逗号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式的方法，它通过递推关系式将n阶行列式转化为低阶行列式进行计算。这种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩等于列秩。矩阵的秩等于其任何子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

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练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第一行乘以-2加到第二行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初等列变换，将第一列乘以-3加到第二列，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k，记作$k times A$。具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
VS
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第二行乘以-2加到第一行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初等列变换，将第一列乘以-4加到第二列，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。

矩阵及其初等变换

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 (3) 1 0 1 1 1 0 2 0 1 1 1 0 .
16
理学院数学科学系
20 17 12 A 30 20 10 4 80 68 48 B 4 A 120 80 40

17
理学院数学科学系
数与矩阵的乘法运算规则
( ) A ( A) ( ) A A A
4
理学院数学科学系
a11 a21 A a m1
a12 aLeabharlann 2 am 2 a1n a2n amn
这 mn 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数 a ij 位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的(i,j)元.以数 a ij 为(i,j)元的矩阵可简记作 ( a ij ) 或 ( a ij ) m n . m n 矩阵A也记作 Am n . 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵. 矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号(在数表外加上双竖线)是不同的，这是两个不同的概念. 矩阵的行数和列数不一定相等.
22
理学院数学科学系
特别注意-乘积不可交换
AB乘积一般不可以交换， (1) A21 , B13 , AB为 2 3矩阵，但BA无意义； (2) A23 , B3 2 , AB和BA均有意义，但AB为2阶矩阵， BA为3阶矩阵.
若 AB BA, 则称矩阵 A、B 乘积可交换. 由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.
10
理学院数学科学系
例1.3 n个变量 x1 , x2 ,, xn 与m个变量之间的 y1 , y2 ,, ym 关系式

矩阵的概念及旋转变换

对于三维图形，可以选择一个简单的立体图形（如立方体或球体）并确定其顶点坐标。然后应用三维图形绕X、Y、Z轴旋转的矩阵公式或组合旋转方法，计算图形绕指定轴逆时针旋转一定角度后的新坐标。通过三维可视化工具绘制原始图形和旋转后的图形，可以直观地展示三维旋转变换的效果。
04
旋转变换性质与特点
旋转不变性
VS
错切变换
一种使图形在某一方向上产生倾斜的变换，它改变了图形的形状但不改变大小。错切矩阵中的非对角元素决定了错切的程度和方向。
对称变换和反射变换
要点一
对称变换
图形关于某一对称轴进行翻转的变换。在二维平面上，对称变换可以通过一个2x2的矩阵来表示，该矩阵的行列式值为-1，且满足一定的条件使得图形关于某条直线对称。
线性变换定义
线性变换是一种特殊的映射，它保持向量空间的加法和数乘运算封闭性。即对于任意向量v和w以及标量k，有T(v+w)=T(v)+T(w)和T(kv)=kT(v)。
矩阵表示
线性变换可以通过矩阵来表示。在n维向量空间中，一个线性变换可以表示为一个n×n的矩阵。矩阵的列向量是原向量空间基向量经过线性变换后的新向量。
量的点积。
特殊类型矩阵
01
02
03
04
方阵
行数与列数相等的矩阵称为方阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素都为1，其余元素全为零的n阶方阵称为 n阶单位矩阵，记为In或E。
02
旋转变换原理
线性变换与矩阵表示
连续多次旋转效果
旋转叠加效应
当一个图形连续进行多次旋转时，每次旋转的效果会叠加在一起，最终形成一个复杂的旋转效果。

高中数学《矩阵及其初等变换》课件

0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22

《矩阵的概念》课件

生物学：用于描述生物系统的状态和变化
矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数矩阵的秩等于其行向量组的秩矩阵的秩等于其列向量组的秩矩阵的秩等于其非零特征值的个数
矩阵的迹：矩阵对角线元素
的和
迹的性质：矩阵的迹是实数
迹的应用：在矩阵分解、特征值计算等方面有广泛应用
迹的求法：通过矩阵对角线元素的和计算
正定矩阵：所有特征值均为正数的矩阵
正定矩阵的性质：正定矩阵的转置矩阵也是正定矩阵
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
负定矩阵：所有特征值均为负数的矩阵
负定矩阵的性质：负定矩阵的转置矩阵也是负定矩阵
定义：主对角线以外的元素都为 0的矩阵
性质：对角矩阵的秩等于其非零元素的个数
应用：在求解线性方程组、特征值和特征向量等问题中有广泛应用
正交矩阵Q：满足Q^TQ=I，其中I为单位矩阵
QR分解：将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R
上三角矩阵R：主对角线以上的元素均为0
QR分解的应用：求解线性方程组、最小二乘法、特征值分解
等
概念：矩阵的奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，这三个矩阵分别是左奇异矩阵、对角矩阵和右奇异矩阵
矩阵：由m行n列元素组成的矩形阵列行：矩阵中水平方向的元素集合列：矩阵中垂直方向的元素集合元素：矩阵中的每个数称为元素，通常用aij表示第i行第j列的元素
定义：两个矩阵对应元素相加，得到新的矩阵加法规则：两个矩阵必须具有相同的行数和列数加法运算：将两个矩阵的对应元素相加，得到新的矩阵应用：在求解线性方程组、矩阵分解、矩阵变换等领域有广泛应用
定义：将矩阵划分为若干个子矩阵，每个子矩阵称为一

矩阵教学课件

例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学（见P49）
第二章矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章矩阵
§1 矩阵的概念
,
x

矩阵PPT课件

.
am1 am1 amn
第21页/共179页
2、数乘矩阵的运算规律
（设为A、矩B阵， m为数）n
,
1 A A;
2 A A A; A B A B.
31A A.
4若kA O,则k 0或A O.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
第22页/共179页
例1 已知矩阵
第16页/共179页
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.
第17页/共179页
§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m 矩n阵 A aij 那, B么矩b阵ij ,
A与的B和记作 A，规B定为
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
第19页/共179页
2、矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
是一个m 矩n阵 C ，其cij 中
cij
a bi1 1 j
ai b2 2 j
aisbsj
s
aik bkj
k 1
i 1,2,m; j 1,2,,n,
并把此乘积记作 C AB .
第25页/共179页
例3 C 2
1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
B 18 6,
1 4
AT
2
5 ;

矩阵(Matrix)PPT课件

a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向

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且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等,
记作A B.
特殊的矩阵
零矩阵：所有元素均为 0的矩阵, 记为0
矩阵 10
0 1
称为单位矩阵，记作E.
a11 a12 称为行矩阵（仅有一行），
a11 a12
称为列矩阵（仅有一列）,用，
表示列矩阵.
矩阵的概念
行向量： [x y]
列向量： xy
习惯上，我们把平面上的向量（x, y)的坐标
时矩阵的概念与几种常见的变换演示文稿
优选时矩阵的概念与几种常见的变换
y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简记为13
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手初赛、复赛成绩如表：
初赛复赛
甲
80
90
Hale Waihona Puke 乙6085
80 90 60 85
简记为
80 60
90 85
2x 3y mz 1, 3x 2y 4z 2
纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍 x轴方向的伸缩变换
横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍 y轴方向的伸缩变换
几种常见的矩阵变换根据下列新旧坐标关系写出相应矩阵变换
x x
(4)
y
y
1 0
0 1
关于y轴的反射变换
(5)
x
y
x
y
1 0 0 -1 关于x轴的反射变换
x y
(6)
y
x
0 1 1 0
a c
b u d s
v
t
au cu
bs ds
av bt
cv
dt
思考：实数的乘法运算有哪些性质？
实数的乘法运算满足交换律、结合律、消去律。
问题1：矩阵的乘法满足这些性质吗？
举例说明
例、
(1)已知A=
1 0
02,B=12
43,计算AB，BA;
解.(1)AB=
1 4
4 6
BA=
1 2
8 6
(1)说明矩阵乘法不满足交换律
问题2：
C=
1 0
0 1
矩阵的乘法满足结合律吗？
即 (AB)C？=A(BC) (2) (AB)C=A(BC)
(2)说明矩阵乘法满足结合律.
举例说明
(3)已知A=
1 0
00,B=10
0 1
1 ,C=0
0 2
计算AB，AC;
解.(3)AB=AC=10
0 0
(3)说明矩阵乘法不满足消去律
例３：
已知A
x 4
32,
B
1 z
y2,若A B,试求x, y, z.
练一练
已知A
2 y
3x,
B
mn 2x y
x m
yn, 若A
B,
试求x, y, m, n的值。
（二）矩阵的乘法
已知A=
a c
b
d
,B=
u s
v
t
,X=
x
y
则AX=
a c
b
d
xy＝caxx
by
dy
.
AB
► 探究点：平面图形的变换例 2 [2008·江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，设
(5) 1 2 0
1
1 -1 1 0
(6) 2
1
2
1
（7）
（三）线性变换与矩阵
一般地，对于平面上的任意一点（向量）(x, y),若按照
对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量）（x, y),
则称T为一个变换，简记为:
T：(x, y) （x, y)，或
原像像
T： xy
x
y
.
线性变换
T： xy
x y
a c
b
d
x
y
矩阵乘法的形式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).
两种形式形异而质同
几种常见的矩阵变换写出下列各矩阵变换下的新旧坐标关系：
1 0 (1) 0 1
(2)
k 0
0
1
1 0
(3) 0
k
x x
y
y
x kx
y
y
x x
y
ky
恒等变换
图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
当旋转角α=1800时
1
0
0 - 1
即原点中心对称
(9)投影变换 1 0 0 0 (x, y) （x,0)
x轴上的投影变换
0 0
0 1
(x, y) （0, y)
y轴上的投影变换
类似地，将平面内图形投影到某条直线(或某个点上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应的变换称做投影变换
解：
• 甲矿区
• 乙矿区
城市A
200 400
城市B 城市C
240 160 360 820
练一练
已知甲、乙、丙三人中,甲、乙相识，甲、丙不相识，乙、丙相识。若用0表示两个人之间不相识，1表示两个人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系。（规定每个人都和自己相识）
矩阵的相等
对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等，且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等, 记作A B.
2 3m 3 2 4
简记为32
3 2
m
4
二、新课讲解
（一）矩阵的概念
形如
1 3
,
80 60
90 85 ,
2 3
3 2
m
4
的阵列称为矩阵
21矩阵 2 2矩阵 23矩阵
通常用大写黑体的字母A、B、C…表示
组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素
同一横排中的一行数（或字母）叫做矩阵的行，
同一竖排中的一列数（或字母）叫做矩阵的列. 对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等，
若T：(x, y) （x, y)可用公式表示 :
x ax by
y
cx
dy
用矩阵可表示为：
x
y
a c
b x
d
y
由矩阵M 确定的变换T，通常记为TM
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为
T： xy
x y
ax cx
by dy
,
坐标变换的形式
那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为
写成列向量
x y
的形式.
例１：用矩阵表示如图所示的 ABC,
其中A(1,0)，B(0,2), C(2,0).
y
2B
A
1 0
-1 0 2
0
2
0
C 2
x
练一练
现用矩阵M
0 0
1 2
3 2
40表示平面中的图形，
请问该图形有什么几何特征？
等腰梯形
例２：
某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市 A, B,C送煤的量分别是200万吨、240万吨、160万吨；从乙矿区向城市A, B,C送煤的量分别是400万吨、360万吨、820万吨。请用矩阵表示从两矿区向三个城市送煤的量。
关于直线y=x的反射变换
(7)
x y
y x
0 -1 1 0
关于直线y=-x的反射变换
(8)旋转变换
将点A绕原点O逆时针旋转α角得A`,写出对应的变换矩阵
cos sin
矩阵
sin
cos
通常叫做旋转变换矩阵.
其中的角α做旋转角.点O叫做旋转中心.
旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变其形状.
归纳：矩阵乘法满足结合律，通常不满足交换律与消去律
①(AB)C=A(BC)
② AB≠BA
③若AB=AC B=C
► 探究点1 二阶矩阵的运算
例4、计算：
(1)
1 0
2 2 1-1
(2)
1 3
2 5 46
(3)
1 2
-1 1 1 2
0 1
1
(4)
2
0 1
1
2
- 1 1
2 1 1 - 2