时矩阵的概念与几种常见的变换演示文稿
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纵坐标不变，横坐标变 为原来的k倍 x轴方向的伸缩变换
横坐标不变，纵坐标变 为原来的k倍 y轴方向的伸缩变换
几种常见的矩阵变换 根据下列新旧坐标关系写出相应矩阵变换
x x
(4)
y
y
1 0
0 1
关于y轴的反射变换
(5)
x
y
x
y
1 0 0 -1 关于x轴的反射变换
x y
(6)
y
x
0 1 1 0
例３：
已知A
x 4
32,
B
1 z
y2,若A B,试求x, y, z.
练一练
已知A
2 y
3x,
B
mn 2x y
x m
yn, 若A
B,
试求x, y, m, n的值。
（二）矩阵的乘法
已知A=
a c
b
d
,B=
u s
v
t
,X=
x
y
则AX=
a c
b
d
xy＝caxx
by
dy
.
AB
若T：(x, y) （x, y)可用公式表示 :
x ax by
y
cx
dy
用矩阵可表示为：
x
y
a c
b x
d
y
由矩阵M 确定的变换T，通常记为TM
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为
T： xy
x y
ax cx
by dy
,
坐标变换的形式
那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为
写成列向量
x y
的形式.
例１：用矩阵表示如图所示的 ABC,
其中A(1,0)，B(0,2), C(2,0).
y
2B
A
1 0
-1 0 2
0
2
0Baidu Nhomakorabea
C 2
x
练一练
现用矩阵M
0 0
1 2
3 2
40表示平面中的图形，
请问该图形有什么几何特征？
等腰梯形
例２：
某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市 A, B,C送煤的量分别是200万吨、240万吨、160万吨；从乙矿区向 城市A, B,C送煤的量分别是400万吨、360万吨、820万吨。请用矩 阵表示从两矿区向三个城市送煤的量。
(1)说明矩阵乘法不满足交换律
问题2：
C=
1 0
0 1
矩阵的乘法满足结合律吗？
即 (AB)C？=A(BC) (2) (AB)C=A(BC)
(2)说明矩阵乘法满足结合律.
举例说明
(3)已知A=
1 0
00,B=10
0 1
1 ,C=0
0 2
计算AB，AC;
解.(3)AB=AC=10
0 0
(3)说明矩阵乘法不满足消去律
(5) 1 2 0
1
1 -1 1 0
(6) 2
1
2
1
（7）
（三）线性变换与矩阵
一般地，对于平面上的任意一点（向量）(x, y),若按照
对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量）（x, y),
则称T为一个变换，简记为:
T：(x, y) （x, y)，或
原像 像
T： xy
x
y
.
线性变换
归纳： 矩阵乘法满足结合律，通常不满足交换律与消去律
①(AB)C=A(BC)
② AB≠BA
③若AB=AC B=C
► 探究点1 二阶矩阵的运算
例4、计算：
(1)
1 0
2 2 1-1
(2)
1 3
2 5 46
(3)
1 2
-1 1 1 2
0 1
1
(4)
2
0 1
1
2
- 1 1
2 1 1 - 2
a c
b u d s
v
t
au cu
bs ds
av bt
cv
dt
思考： 实数的乘法运算有哪些性质？
实数的乘法运算满足交换律、结合律、 消去律。
问题1： 矩阵的乘法满足这些性质吗？
举例说明
例、
(1)已知A=
1 0
02,B=12
43,计算AB，BA;
解.(1)AB=
1 4
4 6
BA=
1 2
8 6
关于直线y=x的反射变换
(7)
x y
y x
0 -1 1 0
关于直线y=-x的反射变换
(8)旋转变换
将点A绕原点O逆时针旋转α角得A`,写出对应的变换矩阵
cos sin
矩阵
sin
cos
通常叫做旋转变换矩阵.
其中的角α做旋转角.点O叫做旋转中心.
旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变其形状.
T： xy
x y
a c
b
d
x
y
矩阵乘法的形式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).
两种形式形异而质同
几种常见的矩阵变换 写出下列各矩阵变换下的新旧坐标关系：
1 0 (1) 0 1
(2)
k 0
0
1
1 0
(3) 0
k
x x
y
y
x kx
y
y
x x
y
ky
恒等变换
2 3m 3 2 4
简记为32
3 2
m
4
二、新课讲解
（一）矩阵的概念
形如
1 3
,
80 60
90 85 ,
2 3
3 2
m
4
的阵列称为矩阵
21矩阵 2 2矩阵 23矩阵
通常用大写黑体的字母A、B、C…表示
组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素
同一横排中的一行数（或字母）叫做矩阵的行，
同一竖排中的一列数（或字母）叫做矩阵的列. 对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等，
时矩阵的概念与几种常见的变 换演示文稿
优选时矩阵的概念与几种常见 的变换
y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简记为13
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手 初赛、复赛成绩如表：
初赛 复赛
甲
80
90
乙
60
85
80 90 60 85
简记为
80 60
90 85
2x 3y mz 1, 3x 2y 4z 2
且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等,
记作A B.
特殊的矩阵
零矩阵：所有元素均为 0的矩阵, 记为0
矩阵 10
0 1
称为单位矩阵，记作E.
a11 a12 称为行矩阵（仅有一行），
a11 a12
称为列矩阵（仅有一列）,用，
表示列矩阵.
矩阵的概念
行向量： [x y]
列向量： xy
习惯上，我们把平面上的向量（x, y)的坐标
► 探究点：平面图形的变换 例 2 [2008·江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，设
图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
当旋转角α=1800时
1
0
0 - 1
即原点中心对称
(9)投影变换 1 0 0 0 (x, y) （x,0)
x轴上的投影变换
0 0
0 1
(x, y) （0, y)
y轴上的投影变换
类似地，将平面内图形投影到某条直线(或某 个点上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应 的变换称做投影变换
解：
• 甲矿区
• 乙矿区
城市A
200 400
城市B 城市C
240 160 360 820
练一练
已知甲、乙、丙三人中,甲、乙相识，甲、丙不相 识，乙、丙相识。若用0表示两个人之间不相识，1表示 两个人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关 系。（规定每个人都和自己相识）
矩阵的相等
对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等， 且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等, 记作A B.
横坐标不变，纵坐标变 为原来的k倍 y轴方向的伸缩变换
几种常见的矩阵变换 根据下列新旧坐标关系写出相应矩阵变换
x x
(4)
y
y
1 0
0 1
关于y轴的反射变换
(5)
x
y
x
y
1 0 0 -1 关于x轴的反射变换
x y
(6)
y
x
0 1 1 0
例３：
已知A
x 4
32,
B
1 z
y2,若A B,试求x, y, z.
练一练
已知A
2 y
3x,
B
mn 2x y
x m
yn, 若A
B,
试求x, y, m, n的值。
（二）矩阵的乘法
已知A=
a c
b
d
,B=
u s
v
t
,X=
x
y
则AX=
a c
b
d
xy＝caxx
by
dy
.
AB
若T：(x, y) （x, y)可用公式表示 :
x ax by
y
cx
dy
用矩阵可表示为：
x
y
a c
b x
d
y
由矩阵M 确定的变换T，通常记为TM
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为
T： xy
x y
ax cx
by dy
,
坐标变换的形式
那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为
写成列向量
x y
的形式.
例１：用矩阵表示如图所示的 ABC,
其中A(1,0)，B(0,2), C(2,0).
y
2B
A
1 0
-1 0 2
0
2
0Baidu Nhomakorabea
C 2
x
练一练
现用矩阵M
0 0
1 2
3 2
40表示平面中的图形，
请问该图形有什么几何特征？
等腰梯形
例２：
某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市 A, B,C送煤的量分别是200万吨、240万吨、160万吨；从乙矿区向 城市A, B,C送煤的量分别是400万吨、360万吨、820万吨。请用矩 阵表示从两矿区向三个城市送煤的量。
(1)说明矩阵乘法不满足交换律
问题2：
C=
1 0
0 1
矩阵的乘法满足结合律吗？
即 (AB)C？=A(BC) (2) (AB)C=A(BC)
(2)说明矩阵乘法满足结合律.
举例说明
(3)已知A=
1 0
00,B=10
0 1
1 ,C=0
0 2
计算AB，AC;
解.(3)AB=AC=10
0 0
(3)说明矩阵乘法不满足消去律
(5) 1 2 0
1
1 -1 1 0
(6) 2
1
2
1
（7）
（三）线性变换与矩阵
一般地，对于平面上的任意一点（向量）(x, y),若按照
对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量）（x, y),
则称T为一个变换，简记为:
T：(x, y) （x, y)，或
原像 像
T： xy
x
y
.
线性变换
归纳： 矩阵乘法满足结合律，通常不满足交换律与消去律
①(AB)C=A(BC)
② AB≠BA
③若AB=AC B=C
► 探究点1 二阶矩阵的运算
例4、计算：
(1)
1 0
2 2 1-1
(2)
1 3
2 5 46
(3)
1 2
-1 1 1 2
0 1
1
(4)
2
0 1
1
2
- 1 1
2 1 1 - 2
a c
b u d s
v
t
au cu
bs ds
av bt
cv
dt
思考： 实数的乘法运算有哪些性质？
实数的乘法运算满足交换律、结合律、 消去律。
问题1： 矩阵的乘法满足这些性质吗？
举例说明
例、
(1)已知A=
1 0
02,B=12
43,计算AB，BA;
解.(1)AB=
1 4
4 6
BA=
1 2
8 6
关于直线y=x的反射变换
(7)
x y
y x
0 -1 1 0
关于直线y=-x的反射变换
(8)旋转变换
将点A绕原点O逆时针旋转α角得A`,写出对应的变换矩阵
cos sin
矩阵
sin
cos
通常叫做旋转变换矩阵.
其中的角α做旋转角.点O叫做旋转中心.
旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变其形状.
T： xy
x y
a c
b
d
x
y
矩阵乘法的形式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).
两种形式形异而质同
几种常见的矩阵变换 写出下列各矩阵变换下的新旧坐标关系：
1 0 (1) 0 1
(2)
k 0
0
1
1 0
(3) 0
k
x x
y
y
x kx
y
y
x x
y
ky
恒等变换
2 3m 3 2 4
简记为32
3 2
m
4
二、新课讲解
（一）矩阵的概念
形如
1 3
,
80 60
90 85 ,
2 3
3 2
m
4
的阵列称为矩阵
21矩阵 2 2矩阵 23矩阵
通常用大写黑体的字母A、B、C…表示
组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素
同一横排中的一行数（或字母）叫做矩阵的行，
同一竖排中的一列数（或字母）叫做矩阵的列. 对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等，
时矩阵的概念与几种常见的变 换演示文稿
优选时矩阵的概念与几种常见 的变换
y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简记为13
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手 初赛、复赛成绩如表：
初赛 复赛
甲
80
90
乙
60
85
80 90 60 85
简记为
80 60
90 85
2x 3y mz 1, 3x 2y 4z 2
且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等,
记作A B.
特殊的矩阵
零矩阵：所有元素均为 0的矩阵, 记为0
矩阵 10
0 1
称为单位矩阵，记作E.
a11 a12 称为行矩阵（仅有一行），
a11 a12
称为列矩阵（仅有一列）,用，
表示列矩阵.
矩阵的概念
行向量： [x y]
列向量： xy
习惯上，我们把平面上的向量（x, y)的坐标
► 探究点：平面图形的变换 例 2 [2008·江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中，设
图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.
当旋转角α=1800时
1
0
0 - 1
即原点中心对称
(9)投影变换 1 0 0 0 (x, y) （x,0)
x轴上的投影变换
0 0
0 1
(x, y) （0, y)
y轴上的投影变换
类似地，将平面内图形投影到某条直线(或某 个点上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应 的变换称做投影变换
解：
• 甲矿区
• 乙矿区
城市A
200 400
城市B 城市C
240 160 360 820
练一练
已知甲、乙、丙三人中,甲、乙相识，甲、丙不相 识，乙、丙相识。若用0表示两个人之间不相识，1表示 两个人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关 系。（规定每个人都和自己相识）
矩阵的相等
对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等， 且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等, 记作A B.