2015年高考广东卷(数学理)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一.选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =
A ．∅
B ．{}1,4--
C ．{}0
D ．{}1,4 A ．M=｛-4，-1｝
，N=｛4，1｝，M N =∅ 2．若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =
A ．32i -
B ．32i +
C ．23i +
D ．23i -
D ． 因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．x e x y += B ．x x y 1+
= C ．x x y 2
1
2+= D ．21x y += A ．令()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以
x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ．
4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所 取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为
A ．1 B. 2111 C. 2110 D. 215
B ．从袋中任取2个球共有215
105C =种，其中恰好1个白球1个红球共有1110550C C =种，所以恰好1个白球1个红球的概率为5010
=10521
，故选B ．
5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是
A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x
D ．设所求的切线方程为02=++c y x ，依题有
51
2|00|2
2
=+++c ，解得5±=c ，故选D
6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为
A ．
531 B. 6 C. 5
23 D. 4 C ．【解析】不等式所表示的可行域如下图所示， 由32z x y =+得322z y x =-+，依题当目标函数直线l ：322
z
y x =-+经过
41,5A ⎛⎫
⎪⎝⎭
时，z 取得最小值即min 42331255z =⨯+⨯=，故选C 7．已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率5
4
e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲
线C 的方程为
A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14
32
2=-y x x
y
O
A l
B ． 因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为5
4
c e a =
=，所以5c =，4a =，2
2
2
9b c a =-=所以所求双曲线方程为22
1169
x y -
=，故选B ． 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值
A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 C ．在平面内，两两距离相等的点至多有3个点，在空间中，至多有4个点。

第Ⅱ卷(共110分)
二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一)必做题(9～13题)
9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 【答案】6． 由题可知()
()
()442
14
4
11r r
r
r
r r r T C
x
C x
--+=-=-，令
412
r
-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()2
2
416C -=，故应填入6．
10．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 【答案】10． 因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，
345675525a a a a a a ++++==即55a =，285210a a a +==，故应填入10．
11．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =， 1sin 2B =
，6
C =π
，则b = 【答案】1.因为21sin =B 且∈B （0，π），所以6π=B 或65π=B ，又6π=C ，所以6π
=B ，
32ππ=--=C B A ，又3=a ，由正弦定理得6
sin 32sin 3ππb
=，得1=b
12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了
条毕业留言．（用数字作答）
【答案】1560． 依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以
全班共写了2
4040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560． 13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ． 【答案】
13． 依题可得()30E X np ==且()()120D X np p =-=，解得13p =，故应填入1
3
．
(二)选做题(14～15题，考生从中选做一题)
14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24
sin(2=-）π
θρ，点A 的极坐标为
722,4A π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，则点A 到直线l 的距离为
【答案】522． 依题已知直线l ：2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭和点722,4A π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
可化为l ：10
x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为()()2222152
211d --+==+-． 15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC
图1
P
O
E
C D A B
是圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =
【答案】8．连接OC ，∵OD//BC ，又BC ⊥AC ，∴OP ⊥AC ，O 为AB 线段的
中点，所以OP=
2121=BC ，在Rt △OCD 中，22
1
==AB OC 由直角三角形的射影定理可得OD OP OC ⋅=2
即82
1222===
OP
OC OD 三.解答题：本大题共6小题，满分80分.
16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量22,22m ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝
⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。

（1）若m n ⊥，求x tan 的值 （2）若m 与n 的夹角为3
π
，求x 的值。

解析（1）∵m =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛22,
22，n =()x x cos ,sin 且m ⊥n ∴m ·n =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛22,2
2·()x x cos ,sin =x x cos 22sin 22-=0 ∴x x cos sin =，得
1cos sin =x x ，∵0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，∴ 1tan =x （2）由22,2
2m ⎛⎫=- ⎪
⎪⎝⎭得m =1，()sin ,cos n x x =得n =1，依题知3cos π=n m n m ⋅⋅=x x cos 2
2sin 22-，得21)4sin(=-πx ，
又⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈-
4,44πππ
x ∴64ππ=-x 即12π=x
17（本小题满分12分） 某工厂36名工人的年龄数据如下表。

工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 40 44 40 41 33 40 45 42 43 36 31 38 39 43 45 39 38 36 27 43 41 37 34 42 37 44 42 34 39 43 38 42 53 37 49 39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值x 和方差2s ；
（3）36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？
解析（1）依题所抽样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次
为1，6，10，14，18，22，26，30，34，对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37；
（2）由（1）可得其样本的均值为x =9
37
4344373643364044++++++++=40，
方差为 +-+-+-+-=
22222)4043()4036()4040()4044[(9
1
s ])4037()4043()4044()4037()4036(22222-+-+-+-+-=9
100
（3）由（2）知310=s ，∴3236=-s x ，3
1
43=+s x
所以年龄在s x -与s x +之间有23人，所占百分比为%89.3636
23
≈
18．（本小题满分14分） 如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F 、G 分别在线段AB 、BC 上，且2AF FB =，
2CG GB =. （1）证明：PE FG ⊥；
（2）求二面角P AD C --的正切值； （3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.
解析 （1）证明：∵ PD PC =且点E 为CD 的中点， ∴ PE DC ⊥，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC 平面ABCD CD =，PE ⊂平面PDC ，
∴ PE ⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，∴ PE FG ⊥；
（2）∵ ABCD 是矩形，∴ AD DC ⊥，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC 平面
ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，
∴ AD ⊥平面PCD ，又CD 、PD ⊂平面PDC ，∴ AD DC ⊥，AD PD ⊥，∴ PDC ∠即为二面角P AD C --的平面角，
在Rt PDE ∆中，4PD =，1
32DE AB ==，227PE PD DE =-=，
∴ 7tan 3PE PDC DE ∠==
即二面角P AD C --的正切值为7
3
； （3）如下图所示，连接AC ，∵ 2AF FB =，2CG GB =即
2AF CG
FB GB
==，∴ //AC FG ， ∴ PAC ∠为直线PA 与直线FG 所成角或其补角， 在PAC ∆中，225PA PD AD =+=，2235AC AD CD =
+=，
由余弦定理可得()
2
2
22
2
2
535495cos 2252535
PA AC PC
PAC PA AC +-+-∠===⋅⨯⨯，
∴ 直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为95
25
．
19．（本小题满分14分） 设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2。

(1) 求)(x f 的单调区间 ；
(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点；
(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是
P A B C
D E F G
P
A B C D E F G
坐标原点）,证明：12
3--
≤e
a m ． 解析（1）依题()()()()
()2
22'1'1'10x x x f x x e x e x e =+++=+≥， ∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数；
(2)01)0(<-=a f 且01)1()(22>-+>-+=a a a e a a f a ，∴)(x f 在（0，a ）上有零点。

由在（-∞，+∞）上是单调增函数，所以)(x f 在（-∞，+∞）上仅有一个零点； （3）由（1）知，令0)('=x f ，得1-=x ，又a e f -=
-2)1(即P ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--a e 2,1 ∴e
a a e k OP 20102
-=----=，又m e m m f 2)1()('+=，∴e a e m m 2)1(2-=+
令1)(--=m e m g m ，则1)('-=m e m g ，由0)('>m g 得0>m ，由0)('<m g 得0<m ∴函数)(m g 在（-∞，0）上单调递减，在(0，+∞)单调递增，
∴0)0()(min ==g m g ，即)(m g ≥0在R 上恒成立，∴m e ≥1-m ，
∴322)1()1()1()1(2m m m e m a a m +=++≥+=-
即32
e a -≥m +1，∴123--≤e a m
20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2
234x y -+=，∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥，∴ 11C M AB k k ⋅=-即
13y y
x x
⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为2
23953243x y x ⎛⎫⎛⎫
-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫
⎪⎝⎭
为圆心32r =为半径的部分圆弧EF
（如下图所示，不包括两端点），且525,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，525,33F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，
当直线L 与圆C 相切时，由
22
34023
21k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
=+得34
k =±，又2503255743
DE DF k k ⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当332525,,4477k ⎡⎤⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．
L
D
x
y
O
C E
F
21．（本小题满分14分） 数列{}n a 满足1
2122
42-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值；
(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫
=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭
，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n
S n ln 22+<
解析（1）依题33a =1
3213212234)2()32(-+-
=+-++a a a a a =43，∴4
1
3=a （2）依题当1>n 时，)32(321n n na a a a na ++++= -])1(32[321n a n a a a -++++
=1224-+-n n -（2214-+-n n ）=12
-n n
∴121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a ，又1221421=+-=a 也适合此式，∴1
21-⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=n n a
∴数列是首项为1，公比为21的等比数列，故1
2122
11211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-
⎪⎭⎫
⎝⎛-=n n
n T （3）依题由1211112
n n n a a a b a n n -+++⎛⎫
=++++ ⎪⎝⎭知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，
313312113a a a b ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++=
()n n n n T n a a a n b b b S ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++=12
1
112112121
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-12121211n n <⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯n 121
12
记11ln )(-+=x x x f （1>x ）则01
11)('22>-=-=x
x x x x f
∴)(x f 在（1，+∞）上是增函数，又0)1(=f 即0)(>x f
又2≥k ，且*N k ∈时，11>-k k ，∴011
111ln 1>--+-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-k k k k k f 即k k k 11ln >- 12ln 21<，23ln 31<，…，1ln 1-<n n n ，即有n n n n ln 1
ln 23ln 12ln 1211=-+++<+++ n n ln 2212
1
12+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯ ，即n S n ln 22+<。