高二数学12月月考试题
贵州省六盘水市水城区2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学含解析
2023-2024学年第一学期高二质量监测数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{}2,4,1,3,4A B =-=-，则A B ⋃=（）A.{}4 B.{}2,1-- C.{}2,1,3-- D.{}2,1,3,4--2.在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则B 的坐标为（）A.()0,1,5- B.()2,0,5- C.()2,1,0 D.()2,1,5--3.直线270y --=的倾斜角为（）A.150B.30C.120D.604.若()()275f x x a x =+--为偶函数，则=a （）A.0B.5C.7D.95.已知椭圆22:1131x y M m +=-，则m 的取值范围为（）A.()1,+∞ B.()()1,1414∞⋃+ C.()0,∞+ D.()()1,1313∞⋃+6.已知直线0x y -=与圆22:(2)6M x y +-=交于,A B 两点，则AB =（）A.1 B.2 C.4D.7.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（）A.310B.15C.25D.128.已知椭圆22:153x y M +=，过点()1,P m ，斜率为35的直线l 与M 交于,A B 两点，且P 为AB 的中点，则m =（）A.1B.1- C.12D.12-二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知1F ，2F 分别是椭圆22:186y x M +=的上、下焦点，点P 在椭圆M 上，则（）A.M 的长轴长为B.M 的短轴长为C.1F 的坐标为()D.2PF 10.已知向量(),,2a m n =，()2,2,1b =- ，则下列结论正确的是（）A .若a b，则4,4m n ==- B.若a b，则4,4m n =-=C.若a b ⊥，则10-+=m n D.若a b ⊥，则10n m -+=11.若函数()πsin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 是奇函数C.()g x 的图象关于直线3π16x =对称D.()g x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12.在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心135,,O O O 在x 轴上，且15O O 24O O ，133524 2.6O O O O O O ===，圆2O 与圆4O 关于y 轴对称，直线1524,O O O O 之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（）A.设,M N 是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则,M N 两点间的距离的最大值为7.6B.小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)1x y +++=C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为2.2πD.小圆1O 与小圆2O 的公共弦所在的直线方程为1301101930x y -+=三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()i 59i +的虚部为__________．14.已知方程2222660x y x y m ++-++=表示一个圆，则m 的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．15.已知正方体的外接球的体积为92π，则该正方体的棱长为__________．16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，其离心率12e =，P 和M 是椭圆C 上的点，且1260F PF ∠=，12F PF △的面积为3，O 是坐标原点，则1MF MO ⋅的最小值为__________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点(2,4)A --．（1）若l 经过点(1,1)B -，求l 的斜截式方程；（2）若l 在x 轴上的截距为4-，求l 在y 轴上的截距．18.已知圆M 的圆心的坐标为()1,2-，且经过点()2,1．（1）求圆M 的标准方程；（2）若P 为圆M 上的一个动点，求点P 到直线3150x y +-=的距离的最小值．19.已知,A B 分别是椭圆222:1(0)4y xM m m+=>的左顶点､上顶点，且5AB =（1）求点,A B 的坐标；（2）若直线l 与AB 平行，且l 与M 相切，求l 的一般式方程．20.如图，在直三柱111A B C ABC -中，1,2,4,6AC AB AC AB AA ⊥===，,E F 分别为1CA ，AB 的中点．（1）若11111EF xB B yB C zB A =++，求,,x y z 的值；（2）求1B C 与平面AEF 所成角的正弦值．21.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且πsin cos cos 4A b A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求B ；（2）若b =，求ABC 面积的最大值．22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，其离心率为33，M 是E上的一点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ AB的最小值．2023-2024学年第一学期高二质量监测数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至选择性必修第一册第三章3.1．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{}2,4,1,3,4A B =-=-，则A B ⋃=（）A.{}4 B.{}2,1-- C.{}2,1,3-- D.{}2,1,3,4--【答案】D 【解析】【分析】由并集的定义求解.【详解】集合{}{}2,4,1,3,4A B =-=-，则{}2,1,3,4A B ⋃=--．故选：D2.在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则B 的坐标为（）A.()0,1,5- B.()2,0,5- C.()2,1,0 D.()2,1,5--【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件可得出点B 的坐标.【详解】在空间直角坐标系中，点B 是点()2,1,5A -在坐标平面Oyz 内的射影，则点B 的坐标为()0,1,5-.故选：A.3.直线270y --=的倾斜角为（）A.150B.30C.120D.60【答案】D 【解析】【分析】设直线的倾斜角为α，根据题意，得到tan α=，即可求解.【详解】由题意，该直线270y --=的斜率为k =设直线270y --=的倾斜角为α，可得tan α=，因为0180α≤< ，所以所求的倾斜角为60α= ．故选：D.4.若()()275f x x a x =+--为偶函数，则=a （）A.0 B.5C.7D.9【答案】C 【解析】【分析】求出()f x -的表达式，根据偶函数定义即可求出a 的值.【详解】由题意，()()275f x x a x =+--为偶函数，∴()()()()227575f x x a x x a x -=-----=--，()()=f x f x -，∴()77a a -=--，解得：7a =，故选：C.5.已知椭圆22:1131x y M m +=-，则m 的取值范围为（）A.()1,+∞ B.()()1,1414∞⋃+ C.()0,∞+ D.()()1,1313∞⋃+【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程，列出不等式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意得10,113,m m ->⎧⎨-≠⎩得1m >且14m ≠．故选：B6.已知直线0x y -=与圆22:(2)6M x y +-=交于,A B 两点，则AB =（）A.1 B.2C.4D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意圆心M 为(0,2)，半径r =，圆心M (0,2)到直线0x y -=，利用垂径定理即可求得弦长.【详解】圆心M (0,2)到直线0x y -==又圆的半径r =4AB ==．故选：C7.有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则这两个砝码的总重量超过4克的概率为（）A.310B.15 C.25D.12【答案】A 【解析】【分析】用列举法列举出样本空间，结合古典概型概率计算公式即可求解.【详解】记3克的砝码为1A ，2A ，1克的砝码为1C ，2C ，2克的砝码为B ，从中随机选取两个砝码，样本空间()()()()()()()()()(){}1211112221221212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C A C A B A C A C B C B C C C Ω=，共有10个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为310．故选：A.8.已知椭圆22:153x y M +=，过点()1,P m ，斜率为35的直线l 与M 交于,A B 两点，且P 为AB 的中点，则m =（）A.1B.1- C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,P m 为,A B 的中点，可得12122,2x x y y m +=+=，代入椭圆的方程，两式相减，得出关于m 的方程，即可求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,P m 为,A B 的中点，可得12122,2x x y y m+=+=又由22112222153153x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()22221212121212125353x x x x y y y y x x y y -+-+--+=+()()121222053x x m y y --=+=，则()()1212113053535m y y m x x -+=+⨯=-，得1m =-．故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知1F ，2F 分别是椭圆22:186y x M +=的上、下焦点，点P 在椭圆M 上，则（）A.M的长轴长为 B.M的短轴长为C.1F的坐标为()D.2PF【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，即可求解.【详解】由椭圆22:186y x M +=，可得a =，b，则c ==，所以，椭圆M的长轴长为M的短轴长为1F的坐标为(，根据椭圆的几何性质，得到2PF的最小值为a c -=故选：ABD.10.已知向量(),,2a m n =，()2,2,1b =- ，则下列结论正确的是（）A.若ab，则4,4m n ==- B.若ab，则4,4m n =-=C.若a b ⊥，则10-+=m n D.若a b ⊥，则10n m -+=【答案】AC 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出,m n 的值判断A ，B ；根据向量垂直的坐标表示计算得出,m n 的关系判断C ，D.【详解】若a b，则2221m n ==-，得4,4m n ==-，故A 正确，B 错误；若a b ⊥ ，则2220a b m n ⋅=-+= ，即10-+=m n ，故C 正确，D 错误；故选：AC.11.若函数()πsin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 是奇函数C.()g x 的图象关于直线3π16x =对称D.()g x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得()πsin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，可得()πππsin 2sin 2888g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()g x 的最小正周期为π，且()g x 不是奇函数，所以A 正确，B 不正确；当3π16x =时，可得()3πππsin(2sin 11682g x =⨯+==，所以()g x 的图象关于直线3π16x =对称，所以C 正确；由π0,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ3π2,888x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，所以()g x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以D 正确．故选：ACD.12.在如图所示的直角坐标系中，五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣，若每个圆环的大圆半径为1.2，小圆半径为1，其中圆心135,,O O O 在x 轴上，且15O O 24O O ，133524 2.6O O O O O O ===，圆2O 与圆4O 关于y 轴对称，直线1524,O O O O 之间的距离为1.1，则给出的结论中正确的是（）A.设,M N 是图中五个圆环组成的图形上任意的两点，则,M N 两点间的距离的最大值为7.6B.小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)1x y +++=C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为2.2πD.小圆1O 与小圆2O 的公共弦所在的直线方程为1301101930x y -+=【答案】ABD 【解析】【分析】根据五圆的位置，求,M N 两点间的距离的最大值判断选项A ；由圆心坐标和半径求小圆2O 的标准方程判断选项B ；求每个圆环的面积判断选项C ；作差法求两圆公共弦所在的直线方程判断选项D.【详解】设每个大圆的半径为R ，每个小圆的半径为r ．因为152 2.6 5.2O O =⨯=，所以M ，N 两点间距离的最大值应为2.622 5.22 1.27.6R ⨯+=+⨯=，A 选项正确．依题意可得小圆2O 的圆心为()1.3, 1.1--，半径1r =，所以小圆2O 的标准方程为22( 1.3)( 1.1)x y +++=1，B 选项正确．因为每个圆环的面积为()22π0.44πR r-=，即0.44π5 2.2π⨯=，而五个圆环有重合的部分，所以图中五个圆环覆盖的区域的面积小于2.2π，C 选项错误．又小圆1O 的方程为22( 2.6)1x y ++=，所以小圆1O 和小圆2O 两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程2.6 2.2 3.860x y -+=，化简得1301101930x y -+=，D 选项正确．故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()i 59i +的虚部为__________．【答案】5【解析】【分析】由复数的乘法和复数虚部的定义求解.【详解】由题意得()i 59i 95i +=-+，所以()i 59i +的虚部为5．故答案为：514.已知方程2222660x y x y m ++-++=表示一个圆，则m 的取值范围为__________，该圆的半径的最大值为__________．【答案】①.()2,2-②.2【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到240m -+>，求出m 的取值范围，并根据244m -+≤求出半径的最大值.【详解】该方程可化为圆的标准方程222(1)(3)4x y m ++-=-+．由240m -+>，得22m -<<．因为244m -+≤，2=．故答案为：()2,2-，215.已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为__________．【答案】【解析】【分析】设该正方体的棱长为a ，由正方体的性质得得到对角线，也就是外接球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式得到关于a 的方程，求解即得.【详解】设该正方体的棱长为a，则该正方体的外接球的半径为22=.由4π332⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得a =.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，其离心率12e =，P 和M 是椭圆C 上的点，且1260F PF ∠=，12F PF △的面积为，O 是坐标原点，则1MF MO ⋅的最小值为__________．【答案】8【解析】【分析】设12,PF m PF n ==，由12F PF △的面积，解出mn ，在12F PF △中利用余弦定理，结合离心率12e =，求出,a c ，得椭圆方程，设()00,M x y ，表示出1MF MO ⋅ ，利用二次函数的性质求最小值.【详解】由12e =，得2a c =．设12,PF m PF n ==，则2m n a +=，121sin602F PF S mn == ，解得16mn =．在12F PF △中，()22222(2)2cos60343c m n mn m n mn a mn =+-=+-=- ，解得22212a c b -==，从而4,2a c ==，椭圆方程为2211612x y+=，()12,0F -，设()()-≤≤000,44M x y x ，则()2221000012484MF MO x x y x ⋅=++=++ ，当04x =-时，1MF MO ⋅的最小值是8．故答案为：8四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知直线l 经过点(2,4)A --．（1）若l 经过点(1,1)B -，求l 的斜截式方程；（2）若l 在x 轴上的截距为4-，求l 在y 轴上的截距．【答案】（1）2y x =-（2）8-【解析】【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解；（2）根据截距式代入即可求解.【小问1详解】由题意得41121AB k -+==--，则l 的方程为11y x +=-，其斜截式方程为2y x =-．【小问2详解】设l 的截距式方程为1x ya b+=，由题意得241,4,a ba --⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得8b =-，所以l 在y 轴上的截距为8-．18.已知圆M 的圆心的坐标为()1,2-，且经过点()2,1．（1）求圆M 的标准方程；（2）若P 为圆M 上的一个动点，求点P 到直线3150x y +-=的距离的最小值．【答案】（1）22(1)(2)10x y -++=（2【解析】【分析】（1）根据题意，求得圆M的半径为r =，结合圆的标准方程，即可求解；（2）根据题意，求得圆心M到直线距离为，进而求得点P 到直线的距离的最小值．【小问1详解】解：因为圆M 的圆心的坐标为()1,2-，且经过点()2,1，可得圆M的半径为r ==，所以圆M 的标准方程为22(1)(2)10x y -++=．【小问2详解】解：由题意，圆心M 到直线3150x y +-=的距离为d ==，所以点P 到直线3150x y +-=的距离的最小值为=．19.已知,A B 分别是椭圆222:1(0)4y xM m m+=>的左顶点､上顶点，且AB =（1）求点,A B 的坐标；（2）若直线l 与AB 平行，且l 与M 相切，求l 的一般式方程．【答案】（1）()()1,0,0,2A B -（2）20x y -+=或20x y --=【解析】【分析】（1）根据椭圆的顶点可得22||54AB m ==+，求得m 即可得解；（2）根据直线得平行设:2l y x t =+，联立221,42,y x y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得228440x tx t ++-=，再利用Δ0=即可得解.【小问1详解】由题意得22||54AB m ==+，得21m =，又0m >，所以1m =，所以()()1,0,0,2A B -．【小问2详解】由题意得20201AB k -==+．因为l 与AB 平行，所以l 的斜率为2．设:2l y x t =+，联立221,42,y x y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得228440x tx t ++-=．因为l 与M 相切，所以()22Δ164840t t =-⨯-=，得t =±故l的一般式方程为20x y -+=或20x y --=．20.如图，在直三柱111A B C ABC -中，1,2,4,6AC AB AC AB AA ⊥===，,E F 分别为1CA ，AB 的中点．（1）若11111EF xB B yB C zB A =++，求,,x y z 的值；（2）求1B C 与平面AEF 所成角的正弦值．【答案】（1）11,,022x y z ==-=（2）33535【解析】【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到1111122EF B B BC =- ，结合11111EF xB B yB C zB A =++，即可求解；（2）以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得()12,4,6B C =- 和平面AEF 的法向量为()3,0,1n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：由向量的线性运算法则，可得()11122EF AF AE AB AA AC =-=-+ ()111111112222AA AB AC B B B C =-+-=- ，又由11111EF xB B yB C zB A =++ ，所以11,,022x y z ==-=．【小问2详解】解：以1A 为坐标原点，11111,,AC A B A A 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()10,0,6,2,0,6,0,4,0,1,0,3,0,2,6A C B E F ，所以()()()12,4,6,1,0,3,0,2,0B C AE AF =-=-=．设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =r ，则3020n AE x z n AE y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取3x =，可得0,1y z ==，所以()3,0,1n =，设1B C与平面AEF所成的角为θ，可得11sin35||B C nB C nθ⋅==．21.已知ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且πsin cos cos4A b A B⎛⎫+=⎪⎝⎭．（1）求B；（2）若b=，求ABC面积的最大值．【答案】（1）π3B=（2）【解析】【分析】（1）由πsin cos cos4A b A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭，利用两角和的正弦公式得到sin cosb A B=，再利用正弦定理求解；（2）利用余弦定理，结合基本不等式得到8ac≤，然后利用三角形面积公式求解.【小问1详解】πsin cos cos4A b A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭，所以sin cos cos cosb A b A b A B+=，即sin cosb A B=．由正弦定理得sin sin cosB A A B=．由()0,πA∈，得sin0A≠，则sintancosBBB==，由()0,πB∈，得π3B=．【小问2详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则228a c ac =+-．由2282a c ac ac ac =+-≥-，得8ac ≤，当且仅当a c ==时，等号成立．故13sin 24ABC S ac B ac ==≤ ABC面积的最大值为22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，其离心率为3，M 是E上的一点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ AB的最小值．【答案】（1）22132x y +=（2）153【解析】【分析】（1）根据题意，得到1c =且3c a =，求得,a b 的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设方程为1x my =+，联立方程组，得到12122244,2323m y y y y m m --+==++，利用弦长公式，求得)22123m AB m +=+和224923m PQ m +=+，得到212PQ AB =结合换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：由椭圆E 的左､右焦点分别为()()121,0,1,0F F -，其离心率为3，可得1c =且3c a =，解得2222a b a c ==-=，故椭圆E 的方程为22132x y +=．【小问2详解】解：由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+，设点()()1122,,,A x y B x y ，联立方程221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2223440m y my ++-=，所以12122244,2323m y y y y m m --+==++，可得)22123m AB m +=+．又因为122223,122323P P Py y m y x my m m +-===+=++，所以2249223P m PQ x m +=--=+，可得212PQ AB =令1t t =≥，上式245541212123PQt t AB t t +⎛⎫=⨯=+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当54t t =，即12m =±时，PQ AB取得最小值153．【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.。
湖北省武昌2023-2024学年高二12月月考数学试题含答案
湖北省武昌高二年级12月月考数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（）A.(0,1)B.(1,0)C.10,16⎛⎫⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.【详解】抛物线24y x =标准方程为214x y =，其焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.2.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4512a a =，则94S S =（）A.15 B.1C.1- D.9-【答案】D 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为,d 利用基本量代换求出()()19941494a a S S a a +⨯=+⨯，进而求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为(),0d d >.∵4512a a =，∴()4412a a d =+，解得：4a d =，52a d =．∴4132a a d d =-=-，∴14a a d +=-．∴()()()199541414929499444a a S a d S a a a a d +⨯⨯⨯====-+⨯+⨯-⨯．故选：D ．3.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，12||F F =P 是C 上一点，若12PF PF a -=，且121sin 3PF F ∠=，则椭圆C 的方程为（）A.22143x y += B.22163x y += C.22164x y += D.22142x y +=【答案】D 【解析】【分析】根据12||F F =c =，由椭圆的定义得到122PF PF a +=，结合12PF PF a -=，求得123,22aPF PF a ==，然后在12PF F △中，由余弦定理求得a 即可.【详解】因为12||F F =c =，P 是C 上一点，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，又12PF PF a -=，所以123,22aPF PF a ==，又121sin 3PF F ∠=，则12cos 3PF F ∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理得：2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅⋅∠，即223322822223a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：2440a a -+=，解得2a =，则2222b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22142x y +=故选：D4.已知O 为坐标原点，F 为双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>的左焦点，过点F 且倾斜角为30 的直线与双曲线右支交于点P，线段PF 上存在不同的两点A，B 满足FA BP =，且OA OB =，则双曲线的离心率为()A.B.C.1D.1+【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的右焦点为F '，连接PF '，取AB 的中点M ，可得M 为FP 的中点，运用中位线定理和双曲线的定义，结合离心率公式，计算可得所求值．【详解】设双曲线的右焦点为'F ，连接'F ，取AB 的中点M ，由|FA |＝|BP |，可得M 为FP 的中点，|OA |＝|OB |，可得OM ⊥AB ，由∠PFO ＝30°，可得'2PF OM c ＝＝，即有230PF ccos ︒=＝，﹣c ＝2a ，即有ec a ===1，故选D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．5.对于集合,A B ，定义{A B x x A -=∈，且}x B ∉．若{|21,N}A x x k k ==+∈，{|31,N}B x x k k ==+∈，将集合A B -中的元素从小到大排列得到数列{}n a ，则730a a +=（）A.55B.76C.110D.113【答案】C 【解析】【分析】根据集合的特征列出集合A 与B 的前若干项，找出集合A B -中元素的特征，进而即可求解.【详解】因为{}{}1,3,5,7,9,11,,1,4,7,10,13,16,19,22,25,A B == ，所以{}3,5,9,11,15,A B -= ，所以721a =．A B -相当于集合A 中除去()*65x n n =-∈N 形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以3089a =．则730110a a +=，故选：C .6.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交C 于P ，Q 两点，PH l ⊥于H ，若HF PF =，O 为坐标原点，则PFH △与OFQ 的面积之比为（）A.6B.8C.12D.16【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，求出直线PQ 的方程，与抛物线方程联立求出PF ，QF 的长即可求解作答.【详解】依题意，由PH l ⊥于H ，得||P H H P F F ==，即PFH △是正三角形，60PFx FPH ∠=∠= ，而(2,0)F ，则直线PQ 的方程为2)y x =-，由22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理，得2320120x x -+=，令1122(,),(,)P x y Q x y ，解得1226,3x x ==，又准线:2l x =-，因此128||28,||23PF x QF x =+==+=，所以PFH △与OFQ 的面积之比221||sin 60821218||||sin 60223PFH OFQPF S S QF OF ===⋅⨯ .故选：C.7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．已知数列{}n a 满足：22ππcos sin 33n n n a =-，记()31n n b n a =-，n *∈N ，则数列{}n b 的前60项和是（）A.130B.845-C.90D.860-【答案】C 【解析】【分析】结合二倍角余弦公式和余弦函数的周期性可推导证得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，采用分组求和的方式即可求得数列{}n b 的前60项和.【详解】22ππ2πcossin cos 333n n n n a =-= ，()323π2π2πcoscos 2πcos 333n n n n n a a ++⎛⎫∴==+== ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，又12π1cos32a ==-，24π1cos 32a ==-，3cos 2π1a ==，{}nb ∴的前60项和为()()()147555825856593695760b b b b b b b b b b b b b b b +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++()()()11211201735142317681726179122⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2021732051762081791187590518709022222⨯+⨯+⨯+=-⨯-⨯+=--+=.故选：C.8.已知椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为A.(,)42ππ B.(,]42ππ C.(0,4π D.(,)43ππ【答案】A 【解析】【分析】分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，由椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x yC m n+=有相同的焦点求解.【详解】当焦点在x 轴上时，由题意知：0,0m n ><，椭圆221:113x y C m n+=+-中，22111,3a m b n =+=-，则2221112c a b m n =-=+-；双曲线222:1x y C m n-=-中，2222,a m b n ==-，则222222c a b m n =+=-；由题意，2m n m n +-=-，解得1n =，这与0n <矛盾；当焦点在y 轴上时，由题意知10,03m n -<<<<，椭圆221:131y x C n m +=-+中，22113,1a n b m =-=+，则2221112c a b m n =-=--+；双曲线222:1x y C m n -=-可化为222:1y x C n m-=-，2222,a n b m ==-，则222222c a b n m =+=-；由题意，2m n n m --+=-，解得1n =，双曲线2C的一条斜率为正的渐近线的斜率为22a kb ===又因为10m -<<，所以11m ->1>，即双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为(,)42ππ，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1263a a S +=，则（）A.70a =B.268a a a +=C.130S = D.68S S =【答案】AC 【解析】【分析】由1263a a S +=，用基本量表示得160a d +=，然后对每一个选项进行判断即可.【详解】由题意有1612362a a a a ++=⨯，化简整理得160a d +=，所以70a =，选项A 正确；261266a a a d d +=+=-，817a a d d =+=，由于0d ≠，所以268a a a +≠，故选项B 不正确；113137131302a S a a +=⨯==，故选项C 正确；1666212a a S d +=⨯=-，1888202a aS d +=⨯=，由于0d ≠，所以68S S ≠，故D 不正确.故选：AC10.已知曲线C 的方程为2216x y k k+=-（R k ∈），则下列说法正确的是（）A.当06k <<时，曲线C 表示椭圆B.“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件C.存在实数，使得曲线C 的离心率为2D.存在实数k ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线【答案】BC 【解析】【分析】当3k =时可判断A ；根据充分条件和必要条件的定义以及表示双曲线的等价条件可判断B ；根据曲线表示椭圆的条件可得k 的范围，再讨论椭圆焦点在x 轴和y 轴上，由离心率公式列方程求得k 的值可判断C ；根据曲线表示双曲线的条件可得k 的范围，再由焦点在x 轴和y 轴上由a b =列方程求k 的值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ，当3k =时，曲线C 为223x y +=，曲线C 表示圆，故选项A 不正确；对于B ，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则060k k <⎧⎨->⎩，可得0k <，若0k <，则060k k <⎧⎨->⎩，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，所以“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件，故选项B 正确；对于C ，假设存在实数k ，使得曲线C的离心率为2，曲线C 表示椭圆，则0606k k k k >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，可得：(0,3)(3,6)k ∈⋃，若椭圆焦点在x 轴上，由()226626k k a k c k k k ⎧>-⎪=⎨⎪=--=-⎩，可得2222262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭，可得4k =符合题意，若椭圆焦点在y 轴上，由()2266662k k a k c k k k ⎧->⎪=-⎨⎪=--=-⎩，可得22226262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪-⎝⎭，可得2k =符合题意，所以存在2k =或4，使得曲线C的离心率为2，故选项C 正确；对于D ，假设存在实数k ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线，此时有(6)0k k ⋅-<，得0k <或6k >，当0k <时，6k k -=-，无解；当6k >时，(6)k k =--，无解，所以满足题意的实数k 不存在，故选项D 不正确．故选：BC.11.首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A.若100S =，则50a >，60a <；B.若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C.若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D.若89S S <，则78S S <.【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >，116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.12.已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ，准线l 交x 轴于点D ，直线m 过D 且交C 于不同的A ，B 两点，B 在线段AD 上，点P 为A 在l 上的射影．线段PF 交y 轴于点E ，下列命题正确的是（）A .对于任意直线m ，均有AE ⊥PFB.不存在直线m ，满足2BF EB=uu u r uu rC.对于任意直线m ，直线AE 与抛物线C 相切D.存在直线m ，使|AF |+|BF |=2|DF |【答案】AC【解析】【分析】A 选项由E 为线段PF 的中点以及抛物线定义即可判断；B 选项由2BF EB =uu u r uu r及抛物线方程求出,A B坐标，再说明,,D B A 三点共线，即存在直线m 即可；C 选项设()11,A x y ，表示出直线AE ，联立抛物线，利用Δ0=即可判断；D 选项设出直线m ，联立抛物线得到121=x x ，通过焦半径公式结合基本不等式得4AF BF +>即可判断.【详解】A 选项，如图1，由抛物线知O 为DF 的中点，l y ∥轴，所以E 为线段PF 的中点，由抛物线的定义知AP AF =，所以AE PF ⊥，所以A正确；B 选项，如图2，设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，(1,0)F ，1(1,)P y -，E 为线段PF 的中点，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12222(1,),(,)2y BF x y EB x y =--=- ，由2BF EB =uu u r uu r 得22122122()2x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得213x =，123y y =，又2211224,4y x y x ==，故13B ⎛ ⎝，(3,A ，又(1,0)D -，可得233312DA k ==+，31213DB k==+，故存在直线m ，满足2BF EB =uu u r uu r ，选项B 不正确．C 选项，由题意知，E 为线段PF 的中点，从而设()11,A x y ，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AE 的方程：()1112y y x x x =+，与抛物线方程24y x =联立可得：211124y y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2114y x =代入左式整理得：22311120y y y y y -+=，所以43111440y y y ∆=-=，所以直线AE 与抛物线相切，所以选项C 正确．D 选项，如图3，设直线m 的方程()()10y k x k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，由()214y k x y x⎧=+⎨=⎩，得()2222240k x k x k +-+=．当()224224416160k k k ∆=--=->，即11k -<<且0k ≠时，由韦达定理，得212242k x x k-+=，121=x x ．因为11AF x =+，21BF x =+，所以12224AF BF x x +=++≥=，又12x x ≠，2DF =，所以2AF BF DF +>成立，故D 不正确．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______升．【答案】811【解析】【分析】设自上而下的竹子容量依次为n a ，可得{}n a 为等差数列，根据42S =，7893a a a ++=，可得数列的通项公式及5a 【详解】设自上而下的竹子容量依次为n a ，可得{}n a 为等差数列，则41234178914623213S a a a a a d a a a a d =+++=+=⎧⎨++=+=⎩，解得1411111a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()13111n n a a n d +=+-=，518411a a d =+=，故答案为：811.14.若双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的离心率与椭圆2211612x y +=的离心率互为倒数，则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.【解析】【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标、离心率，得到双曲线的离心率，求出双曲线渐近线，由点到直线距离求解.【详解】由2211612x y +=知椭圆中4,a b ''==，所以2c '==，即椭圆的焦点为(20)±,，所以12c e a ''=='，由题意知双曲线的离心率12c e a e ===='，所以223b a=，故双曲线的渐近线方程为y =，不妨取椭圆左焦点(2,0)-，则由点到直线距离可得232d ==，，15.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在x 轴上方），延长BO 交抛物线的准线于点C ，若||3||,||3AF BF AC ==，则抛物线的方程为_____.【答案】23y x =【解析】【分析】根据抛物线的定义及性质，即可求得直线AB 的斜率，求得直线AB 的方程，代入抛物线方程，求得直线OB 的方程，即可求得C 点坐标，即可求得p 的值，求得抛物线方程．【详解】由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线AB 的斜率不存在时，AF BF =，因为3AF BF =，所以直线AB 的斜率存在，因为A 在x 轴上方，所以直线AB 的斜率大于0，设直线:2p AB y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，0k >，与抛物线方程联立可得：()22222204k p k x k p p x -++=，()22222222244404k p k p p k k p p ∆=+-⋅=+>恒成立，设()()1122,,,A x y B x y ，则1222p x x p k +=+，2124p x x =，由抛物线定义可知：12,22p p AF x BF x =+=+，因为3AF BF =，所以123322p px x +=+，即123x x p =+，将123x x p =+代入1222p x x p k +=+，2124p x x =中，222p x k =，()22243p x x p =+，所以2222234p p p p k k⎛⎫⎪⎭=+ ⎝，解得：23k =，因为0k >，所以k =则2123,362p x x x p p ==+=，12,3y y p ∴==-，所以36OB pk p -==-，所以直线OB方程为y =-，当2px =-时，C y =，1C y y ∴=，∴直线AC 与x 轴平行，3322p AC p ∴=+=，∴32p =，23y x ∴=.故答案为：23y x =.16.已知圆锥曲线k C 的方程：22194x y k k+=--.当m 、n 为正整数，且m n <时，存在两条曲线m C 、n C ，其交点P与点1(F、2F 满足12PF PF ⊥，写出满足题意的所有有序实数对(,)m n ：_____.【答案】17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩【解析】【分析】圆锥曲线的定义，易得到1C ，2C ，3C 是椭圆，5C ，6C ，7C ，8C 是双曲线，从而根据题意可得{1m ∈，2，3}，{5n ∈，6，7，8}，再结合椭圆与双曲线的定义与12PF PF ⊥即可得8m n +=，从而得到答案．【详解】由题意得1C ，2C ，3C 是椭圆，5C ，6C ，7C ，8C 是双曲线，结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，从而m n <时，存在两条曲线m C 、n C 有交点P ，必然有{1m ∈，2，3}，{5n ∈，6，7，8}，设11||PF d =，22||PF d =，则由椭圆与双曲线的定义可得，12d d +=，12||d d -=，且12PF PF ⊥，12F F =，故221220d d +=，即2121221212()2023648()202364d d d d mm n d d d d n⎧+=+=-⇒+=⎨-=-=-⎩，所以存在两条曲线m C 、n C ，且17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩．故答案为：17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列{}n a 中，131a =，12n n a a +=-，（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）332n a n =-，232n S n n=-（2）221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩【解析】【分析】（1）根据条件可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案；（2）先找出数列正负的分界线，分类讨论，去掉绝对值，把n T 转化为n S 求解.【小问1详解】因为12n n a a +=-，即12n n a a +-=-，所以数列{}n a 是等差数列，所以()()3112332n a n n =+-⨯-=-，231332322n nS n n n +-=⨯=-.【小问2详解】令0n a >得16n ≤，12n n T a a a =+++ ；当16n ≤时，2121232n n n n T a a a a a a S n n =+++=+++==- ；当16n >时，()116171616n n n T a a a a S S S =++---=-- 216251232n S S n n =-=-+.综上可得，221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩18.已知点()2,0P ，圆C ：226440x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为，求直线l 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，这样的实数a 是否存在，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3460x y +-=或2x =（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；（2）过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心在直线2l 上，由此可得直线2l 的斜率，然后由垂直求得a ，由直线与圆相交求得a 的范围，比较可得．【小问1详解】∵点()2,0P ，直线l 过点P ，∴设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为()02y k x -=-.又题C 的圆心为()3,2-，半径3r =，由弦长为，故弦心距1d =1=，解得34k =-.所以直线方程为()324y x =--，即3460x y +-=.当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件.故l 的方程为3460x y +-=或2x =.【小问2详解】把直线10ax y -+=，即1y ax =+.代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190a x a x ++-+=.由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即720a ->，解得0a <.设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在2l 上.所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =.由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB .19.设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（,p r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1,0p r ==，求证：{}n a 是等差数列；（2）若11,23p a ==，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n n =+.【解析】【分析】（1）把1,0p r ==代入，结合“12,n n n n S S a -≥-=”计算推理作答.（2）把13p =代入，结合“12,n n n n S S a -≥-=”求出{}n a 相邻两项间关系，再构造常数列作答.【小问1详解】当1,0p r ==时，n n S na =，当2n ≥时，()111n n S n a --=-，两式相减，得1(1)n n n a na n a -=--，整理得10n n a a --=，所以{}n a 是等差数列.【小问2详解】当13p =时，1()3n n S n r a =+，令1n =，而12a =，得113r +=，解得23r =，于是12()33n n S n a =+，当2n ≥时，1111()33n n S n a --=+，两式相减，得111()312(333n n n a n n a a -+=-+，整理得1(1)(1)n n n a n a --=+，即111n n a an n -=+-，因此1(1)(1)n n a a n n n n -=+-，数列{}(1)n a n n+是常数列，从而11(1)21n a a n n ==+⨯，2n a n n =+，显然12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+.20.设双曲线C ：22x a－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =，求a 的值．【答案】（1）e >62且e ；（2）a ＝1713.【解析】【分析】（1）由直线与双曲线联立得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，结合条件得()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，，从而可得离心率范围；（2）设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由512PA PB = 可得x 1＝512x 2，由根与系数的关系可得－2221a a-＝28960，从而得解.【详解】(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线22x a －y 2＝1中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①∴()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得0<a且a ≠1.又双曲线的离心率e＝a =，∴e>2且e.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．有P (0,1)．∵512PA PB = ，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，因此由根与系数的关系，得1712x 2＝－2221a a -，51222x ＝－2221a a-.消去x 2，得－2221a a -＝28960.由a >0，得a ＝1713.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题.21.如图，已知动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为F '，点F '的轨迹为H.（1）求曲线H 的方程；（2）一条直线AB 经过点F ，且交曲线H 于A 、B 两点，点C 为直线1x =-上的动点.①求证：ACB ∠不可能是钝角；②是否存在这样的点C ，使得ABC 是正三角形？若存在，求点C 的坐标；否则，说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）①证明见解析；②存在，且(1,C -±.【解析】【分析】（1）设(),F x y '，则可得1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的直径为FF '=，利用动圆M 与y轴相切，即可求得曲线C 的方程；（2）①设直线AB 的方程为1x my =+，点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -，联立直线AB 的方程与抛物线方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到0CA CB ⋅≥恒成立，可得结论；②由①知()221,2N m m +，根据CN 与AB 垂直，斜率积为1-，可得324n m m =+，再由CN =，求出m 值.【小问1详解】设(),F x y '，因为点()1,0F 在圆M 上，且点F '关于圆心M 的对称点为F ，则1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，而FF '=因为动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切，则11122FF x '=+，1x =+，化简得24y x =，所以曲线C 的方程为24y x =.【小问2详解】①若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线24y x =有且只有一个公共点，不合乎题意.设直线AB 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>，由韦达定理可得124y y m +=，124y y =-，()()11111,2,CA x y n my y n =+-=+- ，同理可得()222,CB my y n =+- ，所以，()()()()121222CA CB my my y n y n ⋅=+++-- ()()()221212124m y y m n y y n =++-+++()()()22222414244420m m m n n m mn n m n =-++-++=-+=-≥，故ACB ∠不可能为钝角；②假设存在这样的点C 满足条件，因为()21212242x x m y y m +=++=+，则线段AB 的中点为()221,2N m m +，若0m =，则AB x ⊥轴，此时，直线AB 的方程为1x =，联立214x y x =⎧⎨=⎩可得12x y =⎧⎨=±⎩，则AB 4=，此时，NC 位于x 轴上，则122NC AB ==，所以，ABC 为直角三角形，不合乎题意，所以，0m ≠，则221122CN AB m n k k m m -=⋅=-+，可得324n m m =+，则()31,24C m m -+，则(221CN m =+，而()()212122441AB x x m y y m =++=++=+，由CN =，可得(())2223214112m m m +=+=+，解得m =，所以，存在点(1,C -±满足条件.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.22.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点F 的坐标为()1,0，离心率2e =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 、Q 为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF QF ⊥，C 为PQ 的中点，线段PQ 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．（ⅰ）求证：A 为BC 的中点；（ⅱ）若35ABO BCF S S =△△（S 为三角形的面积），求直线PQ 的方程．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3y x =-+．【解析】【分析】（Ⅰ）由已知得1c =，再由e 的值，求a ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>，与椭圆方程联立，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得出12,x x 的坐标关系，求出点C 坐标，得到PQ 垂直平分线AB 方程，求出点,A B 坐标，即可证明结论；（ⅱ）由35ABO BCF S S =△△结合（ⅰ）的结论，求出点A 的坐标，再由PF QF ⊥，得到,m k 关系，代入A 点坐标，求出,m k 的值即可．【详解】（Ⅰ） 椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 的坐标为()1,0，1c ∴=，又离心率,12c e a b a ==∴==，∴椭圆的方程为2212x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>，联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=，222222168(1)(21)8(21)0k m m k k m ∆=--+=-+>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则()2121222214,2121m km x x x x k k -+=-⋅=++，设PQ 中点00(,)C x y ，则12022221x x km x k +==-+，00221m y kx m k =+=+，即C 点坐标为222(,2121km m k k -++），线段PQ 的垂直平分线AB 方程为2212(2121m km y x k k k -=-+++，令0y =，得2(,0)21km A k -+，令0x =，得2(0,21m B k -+，,22B c B c A A x x y y x y ++== ，A ∴为BC 中点；（ⅱ）由（ⅰ）得A 为BC 中点，()||36,22||21511ABO ABO A A BCF ABF A S S x AO x S S AF x ∆∆∆∆∴====∴=-，1212,(1)(1)PF QF PF QF x x y y ⊥∴⋅=--+ 221212(1)(1)()1k x x mk x x m =++-+++222222(1)(1)4(1)(1)(21)021k m mk mk m k k +---+++==+，整理得23140m km -+=，即2134m k m -=，又222222222132(13)641321(13)8112()14A m km m m x m k m m m --=-=-=-=-+-++ ，整理得4261730m m --=，解得23m =或216m =-（舍去），0,3m m k >∴==- ，此时0∆>，∴直线PQ 方程为3y x =-+。
山东省烟台第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
山东省烟台第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、解答题
15．已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和10185S =.
（Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）将{n a }中的第2项，第4项，…，第2n 项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列
的前n 项和n G .
16．设()()2
56ln f x a x x =-+()R a Î，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于
点()0,6，求函数()f x 的极值．
17．数列{}n
a 的前n 项和为n S ，11a =，12(),n n
a S n N *+=Î，
(1)求数列{}n a 的通项n a ;
(2)求数列{}n
na 的前n 项和n T .
18．已知函数()()2e x f x x ax b -=++在1x =处取得极值．
(1)求b
的值；
(2)讨论函数()f x 的单调性．
19．一个仓库由上下两部分组成：上部分形状是正四棱锥P- A 1B 1C 1D 1，下部分形状是正四
棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并且正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高PO 1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，仓库的容积最大？。
高二数学12月月考试题含解析 试题(共19页)
中学2021-2021学年(xuénián)高二数学12月月考试题〔含解析〕一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分)1.如下图，正方体的棱长为1，那么的坐标是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】B的坐标是(1,1,1)。
试题分析：由空间直角坐标系和棱长为1，可得那么1考点：1．空间直角坐标系；的倾斜角为〔〕A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】D【解析】【分析】先求得直线的斜率，利用倾斜角和斜率的对应关系得出倾斜角.【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，那么.应选D.【点睛】本小题主要考察由直线方程的一般式求得直线的斜率，考察倾斜角和斜率的对应关系.对应直线的一般方程，化为斜截式得到，其中是斜率，是纵截距.直线的斜率，是倾斜角的正切值.要注意的是当倾斜角为时，斜率不存在.3.某校老年、中年和青年老师的人数(rén shù)见右表，采用分层抽样的方法调查老师的身体状况，在抽取的样本中，老年老师一共有180人，那么该样本中的青年老师人数为〔〕A. 320B. 360C. 90D. 180【答案】A【解析】【分析】先求得老年老师抽样的比例，用青年老师人数乘以这个比例得到样本中青年老师的人数. 【详解】老年老师抽样的比例为，故样本中青年老师的人数为人.应选A.【点睛】本小题主要考察分层抽样，利用分层抽样中某一层的抽样比例，得到总体的抽样比例，由此计算的其它层抽样的样本数.属于根底题.1，a2，…，a n的平均数为a，方差为s 2，那么数据2a1，2a2，…，2a n的平均数和方差分别为( )A. a，s2B. 2a，s2C. 2a，2s2D. 2a，4s2【答案】D【解析(jiě xī)】【分析】考虑到数据2a1，2a2，…，2a n的各个数据是原数据的2倍，充分利用两者的关系结合平均数、方差的计算公式计算即可．【详解】数据a1，a2，…，a n的平均数为a，方差为S2，那么另一组数据2a1，2a2，…，2a n的平均数为，方差是s′2，∵S2=[〔x1﹣〕2+〔x2﹣x〕2+…+〔x n﹣x〕2]，∴S′2=1n[〔2x1﹣2x〕2+〔2x2﹣2x〕2+…+〔2x n﹣2x〕2]=1n[4〔x1﹣x〕2+4〔x2﹣x〕2+…+4〔x n﹣x〕2]，=4S2应选：D．【点睛】此题考察了当数据都乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数，属于根底题．5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子〔它们六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6〕，骰子朝上的点数分别为X，Y，那么log2X Y＝1的概率为〔〕．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意知、应满足，所以满足题意的有三种，所以概率为．考点：1．古典概型；6.以下(yǐxià)说法正确的选项是( )A. 命题“假设x2＝1，那么x＝1〞的否命题是“假设x2＝1，那么x≠1〞B. 假设命题p：∃x0∈R，，那么：∀x∈R，x2－2x－1＜0C. 命题“假设x＝y，那么sin x＝sin y〞的逆否命题为真命题D. “x＝－1〞是“x2－5x－6＝0〞的必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】A中，写出该命题的否命题，即可判断A是否正确；B中，写出该命题的否认命题，即可判断B是错误的；C中，判断原命题的真假，由此得出它的逆否命题的真假．D中，判断充分性和必要性是否成立即可；【详解】对于A，该命题的否命题是：假设x2≠1，那么x≠1，∴A错误；对于B，命题的否认是：“〞，∴B错误；对于C，∵命题“假设x=y，那么sin x=sin y〞是真命题，∴它的逆否命题也为真命题．∴C正确；对于D，x=-1时，x2-5x-6=0，∴充分性成立，x2-5x-6=0时，x=-1或者x=6，必要性不成立，是充分不必要条件，D 错误应选：C．【点睛】此题通过命题真假的判断，考察了命题与命题的否认，四种命题之间的关系，充分与必要条件等问题，是综合题．7.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆的位置关系为( )A. 相切B. 相离C. 相交(xiāngjiāo)D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求得直线过的定点，这个定点在椭圆内部，由此判断直线和椭圆相交. 【详解】依题意，直线方程为，所以直线过点，这个点在椭圆的内部，故直线和椭圆一定相交，应选C.【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察含有参数的直线方程过定点的问题，属于根底题.和都相切的直线条数是〔 〕A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析: 圆，，，圆和圆外相切，所以与圆1O 和圆2O 相切的直线有3条.应选B ． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两圆的位置关系．满足条件 ，那么z=2x-y 的最大值为〔 〕A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】【分析(fēnxī)】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目的函数的最大值.【详解】画出可行域如以下图所示，由图可知，目的函数在点处获得最大值，且最大值为.应选D【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.10.在区间[0，1]上任取两个实数a，b，那么函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为( )A. 12B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．【详解】∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1假设(jiǎshè)函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点，那么△=a2-4b2＜0，对应的区域为直线a-2b=0的上方，面积为，那么根据几何概型的概率公式可得所求的概率为34．应选：B．【点睛】此题主要考察几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决此题的关键．2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，那么的值是( )A.22B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设的中点为，利用点差法，列出直线MN的斜率和直线斜率的关系式，由此求得mn的值.【详解】设，设MN中点为，直线MN的斜率为，直线OA的斜率为.由于在椭圆上，故，两式相减得，化简为，即.应选A.【点睛】本小题主要(zhǔyào)考察利用点差法，解有关直线和椭圆相交所得弦的中点有关的问题，属于根底题.内，过点有条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项，最长的弦长为，假设公差，那么n的取值集合为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设圆的圆心坐标与半径分别为，最长弦与最短弦分别为，所以，解之得，即，应选答案A。
吉林省长春2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学含答案
长春2023-2024学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷（答案在最后）出题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第I 卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中，与函数1y x =-相同的是（）A.y =B.211x y x -=+ C.1y t =- D.y =2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为（）A.10B.12C.18D.243.已知函数()2xf x x =+，()f x 一定有零点的区间为（）A.()23，B.()12，C.()10-，D.()32--，4.已知0.5log 0.4a =，0.60.4b =，0.50.4c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<5.已知圆()()222212251:2:244C x y C x y ++=-+=，，动圆P 与圆12C C ，都外切，则动圆圆心P 的轨迹方程为（）A.221(0)3y x x -=> B.()22103y x x -=<C.()22105y x x -=> D.()22105y x x -=<6.已知M 是抛物线216x y =上任意一点，()0A ，4，()11B -，，则MA MB +的最小值为（）A.B.3C.8D.57.设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（）A.12B.2C.34D.458.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为()A.6B.7C.8D.9二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，//n α，则//m nB.若m α⊥，n α⊥，则//m nC.若//m α，m β⊂，则//αβD.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,M xy 在抛物线C 上，若4MF =，则（）A.03x =B.03y =C.OM =D.F 的坐标为()0,111.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则C 是C.若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点P 在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（）A.椭圆C 的离心率的取值范围是20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.当椭圆C的离心率为2时，1QF的取值范围是[2-+C.存在点Q 使得120QF QF ⋅= D.1211QF QF +的最小值为1第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.14.已知向量a ，b 满足1a b == ，π,3a b = ，则2a b -= ______.15.椭圆2214x y +=的右焦点到直线y =的距离是__________．16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线l 于点C，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为_____________四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）以直线y =为渐近线，焦点是(4,0)-，(4,0)的双曲线；（2）离心率为35，短轴长为8的椭圆.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面PBD ⊥平面PAC .19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()34f x x x=+-.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）用单调性定义证明函数()f x 在区间)3,+∞上是增函数.20.已知双曲线22:12x C y -=.（1）求与双曲线C 有共同的渐近线，且过点(2,2)-的双曲线的标准方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且A 、B 的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率.21.已知函数()3)2sin cos 3f x x x x π=--．（1）求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为12,B B ，且122B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当k =2时，求△OMN 的面积；（3）求证：直线1B M与直线2B N的交点T 恒在一条定直线上.长春2023-2024学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷出题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第I 卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中，与函数1y x =-相同的是（）A.y =B.211x y x -=+ C.1y t =- D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数.【详解】解：对于A ，1y x ===-，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数；对于B ，函数211x y x -=+的定义域为{}1x x ≠-，函数1y x =-的定义域为R ，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数；对于C ，两函数的定义域都是R ，且对应关系相同，故两函数为相同函数；对于D ，1y x ==--，与函数1y x =-的对应关系不相同，故不是相同函数.故选：C.2.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为（）A.10B.12C.18D.24【答案】A 【解析】【分析】按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解.【详解】A ，B ，C 三所学校教师总和为540，从中抽取60人，则从C 学校中应抽取的人数为609010540⨯=人.故选:A.【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.3.已知函数()2xf x x =+，()f x 一定有零点的区间为（）A.()23，B.()12，C.()10-， D.()32--，【答案】C 【解析】【分析】根据题中所给函数用零点存在性定理即可判断正确答案.【详解】由题知函数()2xf x x =+在R 上单调递增，因为()()002110,1f f =->=<-，所以在区间()10-，上()f x 一定有零点.故选：C4.已知0.5log 0.4a =，0.60.4b =，0.50.4c =，则（）A.a b c << B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数、指数函数和幂函数的单调性比较大小即可.【详解】因为0.50.5log 0.4log 0.51a =>=，0.60.500.40.40.41b c =<=<=，所以b c a <<，故选：C.5.已知圆()()222212251:2:244C x y C x y ++=-+=，，动圆P 与圆12C C ，都外切，则动圆圆心P 的轨迹方程为（）A.221(0)3y x x -=> B.()22103y x x -=<C.()22105y x x -=> D.()22105y x x -=<【答案】A 【解析】【分析】由图结合两圆相外切性质可得122PC PC -=，后由双曲线定义可得答案.【详解】由题可得圆1C 圆心()2,0-，半径为52；圆2C 圆心()2,0，半径为12由图设动圆P 与圆1C ，圆2C 外切切点分别为A ，B .则1,,C A P 共线，2,,C B P 共线.则()1212PC PC PA AC PB BC -=+-+，注意到PA PB =，则12122PC PC AC BC -=-=，又1242C C =>，则点P 轨迹为以12C C ，为焦点双曲线的右支.设双曲线方程为：()222210x y x a b-=>，由题可得222123a c b c a ==⇒=-=，.故相应轨迹方程为：221(0)3y x x -=>.故选：A6.已知M 是抛物线216x y =上任意一点，()0A ，4，()11B -，，则MA MB +的最小值为（）A. B.3 C.8 D.5【答案】D 【解析】【分析】作MC l ⊥，利用定义将MA MB +转化为MC MB +，然后结合图形可得.【详解】易知，抛物线216x y =的焦点为()0A ，4，准线为:4l y =-，作MC l ⊥，垂足为C ，由抛物线定义可知，MA MB MC MB +=+，则由图可知，MC MB +的最小值为点B 到准线l 的距离，即()145--=.故选：D7.设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（）A.12B.2C.34D.45【答案】B 【解析】【分析】设直线2a x c=交x轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率.【详解】设直线2a x c=交x轴于点M ，21F PF △是底角为30 的等腰三角形，260PF M ∠= ，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠= ，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，2c e a ∴==．故选：B ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.8.P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为()A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】可得双曲线221916x y -=的焦点分别为1F (-5，0)，2F (5，0)，由已知可得当且仅当P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，可得答案.【详解】解：易得双曲线221916x y -=的焦点分别为1F (-5，0)，2F (5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时PM PN -=21(2)(1)PF PF +--=6+3=9【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大是解题的关键.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，//n α，则//m nB.若m α⊥，n α⊥，则//m nC.若//m α，m β⊂，则//αβD.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故选项A 错误；对B ：若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故选项B 正确；对C ：若//m α，m β⊂，则//αβ或α与β相交，故选项C 正确；对D ：若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故选项D 正确.故选：BD.10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,M xy 在抛物线C 上，若4MF =，则（）A.03x =B.03y =C.OM =D.F 的坐标为()0,1【答案】AC 【解析】【分析】根据抛物线的定义逐项判断即可.【详解】由抛物线C ：24y x =，可得()1,0F ，故D 错误；由抛物线的定义可得014MF x =+=，所以03x =，故A 正确；因为点()00,Mxy 在抛物线C 上，所以204312y =⨯=，所以0y =±，故B 错误；则OM ===C 正确.故选：AC.11.已知曲线22:1C mx ny +=.（）A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B.若m =n >0，则C是圆，其半径为C.若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D.若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD 【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点P 在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（）A.椭圆C的离心率的取值范围是0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.当椭圆C的离心率为2时，1QF的取值范围是[2-+C.存在点Q 使得120QF QF ⋅= D.1211QF QF +的最小值为1【答案】BCD 【解析】【分析】根据点)P在椭圆C 外，即可求出b 的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A ，根据离心率求出c ，则[]1,QF a c a c ∈-+，即可判断B ，设上顶点A ，得到120AF AF <，即可判断C ，利用基本不等式判断D.【详解】解：由题意得2a =，又点)P在椭圆C 外，则22114b+>，解得b <所以椭圆C的离心率22c e a==>，即椭圆C的离心率的取值范围是,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故A 不正确；当2e =时，c =1b ==，所以1QF 的取值范围是[],a c a c -+，即22⎡+⎣，故B 正确；设椭圆的上顶点为()0,A b ，()1,0F c -，()2,0F c ，由于222212·20AF AF b c b a =-=-<，所以存在点Q 使得120QF QF ⋅=，故C 正确；()21121212112224QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当122QF QF ==时，等号成立，又124QF QF +=，所以12111QF QF +≥，故D 正确．故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】-3【解析】【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.【详解】∵tan 2α=，∴tan tan214tan 341211tan tan 4παπαπα++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭-⋅，故答案为：-3.14.已知向量a ，b 满足1a b == ，π,3a b = ，则2a b -= ______.【解析】【分析】由向量模、数量积公式先求出2211,2a b a b ==⋅= ，再由公式2a b -=即可得解.【详解】由题意22222211,11a a b b ====== ，π1cos ,11cos 32a b a b a b ⋅==⨯⨯=，所以2a b -====.15.椭圆2214x y +=的右焦点到直线y =的距离是__________．【答案】32##1.5【解析】【分析】由椭圆方程可得右焦点为)，代入点到直线距离公式即可得出结果.【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为)，所以右焦点到直线y =的距离是32d ==．故答案为：3216.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线l 于点C，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为_____________【答案】163【解析】【详解】设过抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF 的直线交抛物线于点1122(,),(,)A x y B x y ，交其准线:2p l x =-于3(,)2p C y -，因为F 是AC 的中点，且4AF =,所以1122242pp x p x ⎧-+=⨯⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得123p x =⎧⎨=⎩，即(1,0),(3,F A ，则AF的方程为1)y x =-，联立241)y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，解得213x =，所以1164133AB AF BF =+=++=.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）以直线y =为渐近线，焦点是(4,0)-，(4,0)的双曲线；（2）离心率为35，短轴长为8的椭圆.【答案】（1）221412x y -=；（2）2212516x y +=或2212516y x +=.【解析】【分析】（1）由题意设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方程求出a ，b 即可；（2）分椭圆的焦点在x 轴时和y 轴时讨论求解即可.【详解】解：（1）由题意设双曲线方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由焦点可得4c =，双曲线的渐近线方程为y =，可得ba=，又222+=a b c ，解得2a =，b =，所以双曲线的方程为221412x y -=.（2）当焦点在x 轴时，设椭圆方程为22221x ya b+=(0)a b >>，由题可得2223528c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，4b =，所以椭圆方程为2212516x y +=；当焦点在y 轴时，设椭圆方程为22221y xa b+=(0)a b >>，由题可得2223528c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得5a =，4b =，所以椭圆方程为2212516y x +=；所以综上可得椭圆方程为2212516x y +=或2212516y x +=.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.（1）求证：//EF 平面PCD ；（2）求证：平面PBD ⊥平面PAC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接BD ，根据线面平行的判定定理只需证明EF ∥PD 即可；（2）利用线面垂直的判定定理可得BD ⊥面PAC ，再利用面面垂直的判定定理即证．【小问1详解】如图，连结BD ，则E 是BD 的中点，又F 是PB 的中点，∴//EF PD ，又∵EF ⊄平面PCD ，PD ⊂面PCD ，∴//EF 平面PCD ；【小问2详解】∵底面ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥，又PA AC A = ，∴BD ⊥面PAC ，又BD ⊂平面PBD ，故平面PBD ⊥平面PAC .19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()34f x x x=+-.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）用单调性定义证明函数()f x在区间)+∞上是增函数.【答案】（1）()34,00,034,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设0x <时，则0x ->，根据已知解析式和奇偶性可得0x <时的解析式，再由奇函数性质可知()00f =，然后可得在R 上的解析式；（2）根据定义法证明单调性的步骤：取值，作差，变形，定号，下结论可证.【小问1详解】设0x <时，则0x ->，所以()34f x x x-=---，因为()f x 为奇函数，所以()()34f x f x x x=--=++，又()00f =，所以函数()f x 在R 上的解析式为()34,00,034,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩.【小问2详解】)12,x x ∞∀∈+，且12x x <，则()()()211212*********44x x f x f x x x x x x x x x -⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪⎝⎭()()1212123x x x x x x --=，因为21x x >>1212120,0,30x x x x x x -->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x在)+∞上单调递增.20.已知双曲线22:12x C y -=.（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点(的双曲线的标准方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且A 、B 的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率.【答案】（1）2212x y -=；（2）12.【解析】【分析】（1）设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入点坐标，求得k ，即可得答案；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，利用点差法，代入A 、B 的中点坐标为（1，1），即可求得斜率.【详解】（1）因为所求双曲线与双曲线C 有共同的渐近线，所以设所求双曲线方程为22(0)2x y k k -=≠，代入(，得1k =-，所以所求双曲线方程为2212x y -=；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为A 、B 在双曲线上，所以221122221(1)21(2)2x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（1）-（2）得12121212()()()()2x x x x y y y y -+=-+，因为A 、B 的中点坐标为（1，1），即12122,2x x y y +=+=，所以1212121212()2l y y x x k x x y y -+===-+.21.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--．（1）求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；【答案】（1）T π=，最大值1，最小值-1；（2）在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增；()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；【解析】【分析】（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）利用()sin()f x A x ωϕ=+的性质求函数的单调区间即可.【详解】（1）())2sin cos sin(2)33f x x x x x ππ=--=+，∴2||T ππω==，且最大值、最小值分别为1，-1；（2）由题意，当222232k x k πππππ-≤+≤+时，()f x 单调递增，∴51212k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈，()f x 单调递增；当3222232k x k πππππ+≤+≤+时，()f x 单调递减，∴71212k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，()f x 单调递减；综上，当()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增；()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递减；【点睛】关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据()sin()f x A x ωϕ=+性质确定三角函数的单调区间.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为12,B B ，且122B B =，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当k =2时，求△OMN 的面积；（3）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 恒在一条定直线上.【答案】(1)2212x y +=;(2)9;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)由122B B =可得1b =，结合离心率和222c a b =-可求出1,c a ==，进而可得椭圆的方程.(2)写出l 的方程为22y x -=与椭圆进行联立，设()()1122,,,M x y N x y ，结合韦达定理可得1212162,93x x x x +=-=，即可求出MN ，由点到直线的距离公式可求出原点到l 的距离d ，从而可求出三角形的面积.(3)设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆的方程整理后结合韦达定理可得12122286,2121k x x x x k k +=-=++，设(),T m n ，由1,,B T M 在同一条直线上，得113n k m x +=+，同理211n k m x -=+，从而可得()1212311340x x n n k m m x x ++-+⋅=+=，即可证明交点在定直线上.【详解】解：(1)因为122B B =，所以22b =，即1b =，因为离心率为2，则22c a =，设c =，则2,0a k k =>，又222c a b =-，即22241k k =-，解得2k =或2-（舍去），所以1,c a ==，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)设()()1122,,,M x y N x y ，由直线的点斜式方程可知，直线l 的方程为22y x -=，即22y x =+，与椭圆方程联立，222212y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得291660x x ++=，则1212162,93x x x x +=-=，所以MN ==1029，原点到l的距离d ==，则OMN的面积112299S d MN ===.(3)由题意知，直线l 的方程为2y kx -=，即2y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221860k x kx +++=，则12122286,2121k x x x x k k +=-=++，因为直线和椭圆有两个交点，所以()()22824210k k ∆=-+>，则232k >，设(),T m n ，因为1,,B T M 在同一条直线上，则111111313y kx n k m x x x +++===+，因为2,,B T N 在同一条直线上，则222221111y kx n k m x x x -+-===+，所以()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+，所以12n =，则交点T 恒在一条直线12y =上.【点睛】关键点睛:本题第三问的关键是设交点(),T m n ，由三点共线结合斜率公式得111111313y kx n k m x x x +++===+和222221111y kx n k m x x x -+-===+，两式进行整理后可求出12n =，即可证明交点在定直线上.。
辽宁省2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学含解析
辽宁省2023—2024学年度上学期12月份月考考试高二数学试卷（答案在最后）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1.若m R ∈则方程221x y m +=所表示的曲线一定不是（）A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线2.两条不同直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,1,2m =-，()2,2,1n =- ，则这两条直线（）A.相交或异面B.相交C.异面D.平行3.直线1l ：310++=mx y ，2l ：()2520x m y +++=，若12l l //，则实数m 的值为（）A.6- B.1C.6-或1D.3-4.若直线1l ：230x y -+=关于直线l ：20x y -+=对称的直线为2l ，则2l 的方程为（）A.210x y ++=B.210x y +-=C.0x y += D.230x y -+=5.已知椭圆E:22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A.245x ＋236y ＝1B.236x ＋227y ＝1C.227x ＋218y ＝1D.218x ＋29y ＝16.在正四面体A BCD -中，其外接球的球心为O ，则AO =（）A.131244AD AB AC -+B.331444AD AB AC ++C.111444AD AB AC ++D.131444AD AB AC -+7.已知圆22:(2)()2()C x y a a -++=∈R 关于直线:1l y x =-对称，过点(2,)P a a 作圆C 的两条切线PA 和PB ，切点分别为A B 、，则||AB =（）A.3B.3C.5D.58.如图，在正方形中，点E ，F 分别是线段AD ，BC 上的动点，且AE BF =，AC 与EF 交于G ，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．现将四边形EFCD 沿直线EF 折起，使平面EFCD ⊥平面ABFE ，在EF 从AB 滑动到CD 的过程中，AGC ∠的大小（）A.先变小后变大B.先变大后变小C.不发生变化D.由小变大二、多项选择题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知12,v v 分别为直线12,l l 的方向向量（12,l l 不重合），12,n n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（）A.2121////v v l l ⇔B.111v n l α⊥⇔⊥C.12////n n αβ⇔D.12n n αβ⊥⇔⊥10.下列四个方程所表示的曲线中既关于x 轴对称，又关于y 轴对称的是（）A.22094x y -= B.220y x -= C.2491x y += D.222x y +=11.已知P 为双曲线2214x y -=右支上的一个动点（不经过顶点），1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 做2F A PI ⊥，垂足为A ，下列结论正确的是（）A.I 的横坐标为2B.1212255PIF PIF IF F S S S -=△△△C.2OA =D.121255PF F IF F S S =△△12.已知点()2,0M -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，则（）A.抛物线C 的方程是24y x= B.124x x =C.当3AF FB = 时，323AB =D.AMF BMF∠=∠三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.点()00,Mxy 是圆222x y r +=内异于圆心的点，则直线200x x y y r +=与该圆的位置关系是_________.14.已知向量()3,,1a m =-- ，(),2,1b n =- ，若//a b ，则m ，n 满足的关系式为______．15.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则点B 到平面APC 的最大距离为______．16.已知圆()2221:0C x y b b +=>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且3APB π∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是______．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知点()4,4M 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 为C 的焦点，A 、B 是C 上两个动点．（1）直线AB 经过点F 时，求AB 的最小值．（2）若直线MF ，MB 的倾斜角互补，MF 与C 的另一个交点为A ，求直线AB 的斜率．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面1,2,3ABC AC BC CC ===，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 中点．（1）求证：1C M //平面1B DE ；（2）若DE BC ⊥，求二面角1A DE B --的余弦值．19.设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C ，D ，且焦距为2.F 为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C ，D 两点.若直线MC 与MD 的斜率之积为34-.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()4,0P 作一条斜率不为0的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点（A 在B ，P 之间），直线BF 与椭圆E 的另一个交点为H ，求证：点A ，H 关于x 轴对称.20.已知点M 到直线l ：2x =的距离和它到定点()1,0F ．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）若点P 是直线l 上一点，过P 作曲线E 的两条切线分别切于点A 与点B ，试求三角形PAB 面积的最小值．（二次曲线220Ax By C ++=在其上一点()00,Q x y 处的切线为000Ax x By y C ++=）21.如图，四棱锥E ABCD -中，平面CBE ⊥平面ABE ，120ABE ∠= ，23AB DC ==，2BE =，//DC AB ，CB CE =．（1）求证：平面DAE ⊥平面ABE ；（2）若60DBA ∠= ，求BD 与平面ABE 所成角的正切值．22.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上．（1）点1A ，2A 为C 的左右顶点，P 为双曲线C 上异于1A ，2A 的点，求12PA PA k k ⋅的值；（2）点M ，N 在C 上，且12AM AN k k ⋅=，AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．辽宁省2023—2024学年度上学期12月份月考考试高二数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1.若m R ∈则方程221x y m +=所表示的曲线一定不是（）A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线【答案】C 【解析】【分析】讨论参数m 的取值，从而确定方程所代表的曲线，即可判断各项的正误.【详解】当0m =时，曲线方程为1x =±，即为两条直线；当10m =>时，曲线方程为221x y +=，即为原点为圆心，半径为1的圆；当10m =-<时，曲线方程为221x y -=，即为双曲线；而不论m 为何值时，都不可能为抛物线.故选：C2.两条不同直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,1,2m =-，()2,2,1n =- ，则这两条直线（）A.相交或异面B.相交C.异面D.平行【答案】A 【解析】【分析】令m n λ=，利用空间向量的坐标运算判断即可.【详解】令m n λ=，即()()1,1,22,2,1λ-=-，则12122λλλ=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，此方程组无解，则直线1l ，2l 不平行，即相交或异面.故选：A ．3.直线1l ：310++=mx y ，2l ：()2520x m y +++=，若12l l //，则实数m 的值为（）A.6-B.1C.6-或1D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据已知得出2560m m +-=，求解得出m 的值，代入12,l l 的方程检验，即可得出答案.【详解】由12l l //可得，()5320m m +-⨯=，即2560m m +-=，解得6m =-或1m =.当6m =-时，1l 方程为6310x y -++=，2l 方程为220x y -+=不重合，满足；当1m =时，1l 方程为310x y ++=，2l 方程为2620x y ++=，即310x y ++=，与1l 重合，舍去.综上所述，6m =-.故选：A.4.若直线1l ：230x y -+=关于直线l ：20x y -+=对称的直线为2l ，则2l 的方程为（）A.210x y ++=B.210x y +-=C.0x y +=D.230x y -+=【答案】D 【解析】【分析】直线1l 与l 的交点在直线2l 上，并且直线1l 上任取一点，该点关于直线l 的对称点也在直线2l 上，根据两点坐标求出2l 斜率，即可求出直线2l 的方程.【详解】联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即1l 与l 的交点为()1,1-.又点()0,3A 在1l 上，设A 关于l 的对称点为()1,A a b ，则310032022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，即()11,2A ，所以直线2l 的斜率()211112k -==--，从而直线2l 的方程为()1212y x -=-，即230x y -+=.故选：D5.已知椭圆E:22x a ＋22y b＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A.245x ＋236y ＝1B.236x ＋227y ＝1C.227x ＋218y ＝1D.218x ＋29y ＝1【答案】D 【解析】【详解】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，所以22222211222211x y a x y a b b ⎧+=⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩，运用点差法，所以直线AB 的斜率为22b k a =，设直线方程为22(3)b y x a =-，联立直线与椭圆的方程222224()690a b x b x b a +-+-=，所以2122262b x x a b+==+；又因为22a b 9-=，解得229,18b a ==.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.6.在正四面体A BCD -中，其外接球的球心为O ，则AO =（）A.131244AD AB AC -+B.331444AD AB AC ++C.111444AD AB AC ++D.131444AD AB AC -+【答案】C 【解析】【分析】根据立体图形结合空间向量的线性运算即可.【详解】由题知，在正四面体A BCD -中，因为O 是外接球的球心，设三角形BCD 的中心为点,E BC 的中点为F ，则34AO AE =，121211111333322333AE AD AF AD AB AC AD AB ⎛⎫=+=+⨯+=++ ⎪⎝⎭ ，111444AO AB AC AD =++ ．故选：C ．7.已知圆22:(2)()2()C x y a a -++=∈R 关于直线:1l y x =-对称，过点(2,)P a a 作圆C 的两条切线PA 和PB ，切点分别为A B 、，则||AB =（）A.3B.3 C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】圆心C 在直线l 上，求出a ，利用切线算出,,PC AC PA 的长度，再利用等面积法即可的.【详解】圆心(2,)C a -在直线:1l y x =-上，解得1a =-，因此22:(2)(1)2C x y -+-=，(2,1)P --，22218,PC AC r PA PC AC PA ===∴=-=∴=，111222PAC S PA AC PC AB =⋅=⋅ ,∴||5AB =故选:D8.如图，在正方形中，点E ，F 分别是线段AD ，BC 上的动点，且AE BF =，AC 与EF 交于G ，EF 在AB 与CD 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．现将四边形EFCD 沿直线EF 折起，使平面EFCD ⊥平面ABFE ，在EF 从AB 滑动到CD 的过程中，AGC ∠的大小（）A.先变小后变大B.先变大后变小C.不发生变化D.由小变大【答案】C【解析】【分析】以E 为原点，EA ，EF ，ED 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，AE a =，利用空间向量的数量积可判断.【详解】设正方形的边长为1，AE a =，(),0,0A a ，()0,1,1C a -，()0,,0G a ，()0,1,0F ，(),1,0B a ，(),,0AG a a =- ，()0,1,1GC a a =--，1cos 2AG GC AGC AG GC⋅∠===，由面面垂直关系可知120AGC ∠=︒，即角度不会发生变化，所以C 正确；故选：C.二、多项选择题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知12,v v 分别为直线12,l l 的方向向量（12,l l 不重合），12,n n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（）A.2121////v v l l ⇔B.111v n l α⊥⇔⊥C.12////n n αβ⇔D.12n n αβ⊥⇔⊥【答案】ACD 【解析】【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可.【详解】A ：由题设2121////v v l l ⇔，对；B ：由题设111//v n l α⇔⊥ ，111v n l α⊥⇔⊂或1//l α，错；C ：由题设12////n n αβ⇔，对；D ：由题设12n n αβ⊥⇔⊥，对.故选：ACD10.下列四个方程所表示的曲线中既关于x 轴对称，又关于y 轴对称的是（）A.22094x y -= B.220y x -= C.2491x y += D.222x y +=【答案】ACD 【解析】【分析】由()()(),,,,,x y x y x y --同时满足方程求得正确答案.【详解】(),x y 关于x 轴的对称点为(),x y -，关于y 轴的对称点为(),x y -，()()(),,,,,x y x y x y --同时满足方程22094x y-=、2491x y +=、222x y +=，ACD 选项正确.22120,2y x y x -==，是开口向上的抛物线，关于y 轴对称，不关于x 轴对称，B 选项错误.故选：ACD11.已知P 为双曲线2214x y -=右支上的一个动点（不经过顶点），1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 做2F A PI ⊥，垂足为A ，下列结论正确的是（）A.I 的横坐标为2B.1212255PIF PIF IF F S S S -=△△△C.2OA =D.121255PF F IF F S S =△△【答案】ABC 【解析】【分析】求出双曲线的实半轴长及半焦距，再利用双曲线的定义，结合三角形内切圆的性质逐项计算判断即得.【详解】双曲线2214x y -=的实半轴长2a =，半焦距c =，设12PF F △的内切圆在1PF ，2PF ，12F F 上的切点分别为,,M N T ，切点(,0)T t ，显然1212122||||24a PF PF MF NF TF TF t =-=-=-==，即2t =，而12IT F F ⊥，则I 的横坐标为2，A 正确；设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121212121521552PIF PIF IF F r PF PF S S a S c r F F --=== ，B 正确；延长2F A 交1PF 于E 点，由PA 平分12F PF ∠，2PA AF ⊥，得2||||PF PE =，A 为2F E 的中点，因此11224OA EF PF PF ==-=，即有2OA =，C 正确；12121212121212121()225521252PF F IF F r PF PF F F S PF PF F Fa c S F F c r F F +++++==>=⋅ ，D 错误.故选：ABC12.已知点()2,0M -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过抛物线C 的焦点F 作直线l 交C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，则（）A.抛物线C 的方程是24y x= B.124x x =C.当3AF FB = 时，323AB =D.AMF BMF∠=∠【答案】BCD 【解析】【分析】求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，可判断A 选项；设直线l 的方程为2x my =+，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B 选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出2m 的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C 选项；计算出直线AM 、BM 的斜率之和，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线C 的准线方程为2px =-，因为点()2,0M -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，则22p-=-，可得4p =，所以，抛物线C 的方程为28y x =，A错；对于B 选项，抛物线C 的焦点为()2,0F ，若直线l 与x 轴重合，此时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为2x my =+，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，可得28160y my --=，264640m ∆=+>，则1216y y =-，所以，()22212121648864y yx x -=⋅==，B 对；对于C 选项，因为3AF FB =，即()()11222,32,x y x y --=-，则123y y -=，因为12228y y y m +=-=，可得24y m =-，则()2221223344816y y y m m =-=-⨯-=-=-，则213m =，此时，()()21212124224881AB x x my my m y y m =++=++++=++=+1328133⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，111124AM y y k x my ==++，同理可得224BM y k my =+，所以，()()()()1221121212444444AM BMy my y my y y k k my my my my ++++=+=++++()()()()()1212121224323204444my y y y m mmy my my my ++-+===++++，所以，AMF BMF ∠=∠，D 对.故选：BCD.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.点()00,Mx y 是圆222x y r +=内异于圆心的点，则直线200x x y y r +=与该圆的位置关系是_________.【答案】相离【解析】r <，由点到直线的距离公式可得圆心到直线200x x y y r +=的距离d 2=，则有d r >，即可判断直线与圆的位置关系.【详解】解：因为()00,Mxy 是圆222x y r +=内异于圆心的点，所以22200x y r +<r <，①又圆心到直线200x x y y r +=的距离d =2=，②联立①②可得的d r >，即直线200x x y y r +=与该圆的位置关系是相离，故答案为相离.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及点到直线的距离公式，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题.14.已知向量()3,,1a m =-- ，(),2,1b n =- ，若//a b ，则m ，n 满足的关系式为______．【答案】6mn =（答案不唯一）【解析】【分析】根据//a b得到存在实数λ，使a b λ=，根据坐标运算列式可得答案.【详解】//a b ，()3,,1a m =-- ，(),2,1b n =- ，则存在实数λ，使a b λ=，即321nm λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，可得m ，n 满足的关系式为6mn =或1n m -=等故答案为：6mn =（答案不唯一）.15.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA=，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则点B 到平面APC 的最大距离为______．【答案】2【解析】【分析】以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点B 到平面APC 的距离，然后求其最值即可.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤，则)()1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0,0,0,2A B C D ，则()11,1,2BD =-- ，故()1,,2BP BD λλλλ==--，则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=-- ，()1,1,0AC =- ，()0,1,0AB =设平面APC 的法向量(),,n x y z =r，则()0120n AC x y n AP x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，取2x λ=可得()2,2,21n λλλ=- ，则点B 到平面APC的距离为||||AB n n ⋅= ，当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0，当0λ≠时，2==.当且仅当12λ=时，等号成立，所以点B 到平面APC 的最大距离为22.故答案为：2.16.已知圆()2221:0C x y b b +=>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且3APB π∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是______．【答案】,2⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】连接,,OA OP OB ，则,OA AP OB BP ⊥⊥，设点(),P x y ，则22222b xy b a=-，分析可得||2OP b a =≥，可得ba范围，进而可得离心率的范围.【详解】连接,,OA OP OB ，则,OA AP OB BP ⊥⊥，由切线长定理可得PA PB =，又OA OB =，PO PO =，所以AOP BOP ≅ 所以126APO BPO APB π∠∠∠===，则||2||2OP OA b==设点(),P x y ，则22222b xy b a=-，且x a ≥，所以||2OP b a ====≥=所以12b a ≥，故2c e a ===.故答案为：,2⎫+∞⎪⎢⎣⎭.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知点()4,4M 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，F 为C 的焦点，A 、B 是C 上两个动点．（1）直线AB 经过点F 时，求AB 的最小值．（2）若直线MF ，MB 的倾斜角互补，MF 与C 的另一个交点为A ，求直线AB 的斜率．【答案】（1）4（2）12-【解析】【分析】（1）先代入点M 的坐标求出抛物线方程，设直线AB 的方程为1x ty =+，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式求解AB 的最小值；（2）先利用MF MA k k =求出A 坐标，再利用0MB MA k k +=求出B 点坐标，进而可得直线AB 的斜率．【小问1详解】点()4,4M为抛物线()2:20C y px p =>上一点∴168p =，得2p =，即抛物线方程为24y x =，设直线AB 的方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，216160t ∆=+>，∴12124,4y y t y y +==-，∴()2222121221212216811222444444y y y y y y t AB x x t +-++=+++=+=+=+=+≥.当0=t 时，等号成立，∴直线AB 经过点F 时，求AB 的最小值为4【小问2详解】直线MF ，MB 的倾斜角互补，()1,0F ，则直线MF 的斜率2240444414443M A A A A MF M M M M A A y y y y k y y x x y y y ---======--++-解得1A y =-，则1,14A ⎛⎫-⎪⎝⎭，同理44BMB k y =+，44043B MB MA k k y ∴=++=+，解得7B y =-，则49,74B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线AB 的斜率7(1)6149112244AB k ----===--.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面1,2,3ABC AC BC CC ===，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 中点．（1）求证：1C M //平面1B DE ；（2）若DE BC ⊥，求二面角1A DE B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）66-【解析】【分析】（1）取1A D 的中点N ，连接1,MN C N ，证明平面1MNC //平面1B DE 后可证得题中线面平行；（2）先证得BC AC ⊥，然后建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．【小问1详解】取1A D 的中点N ，连接1,MN C N ，因为1,2AD CE ==，11//AA CC ，所以1//C E DN 且1C E DN =，所以四边形1DEC N 为平行四边形，所以1//DE C N ，又1C N ⊄平面1B DE ，DE ⊂平面1B DE ，所以1C N //平面1B DE ，因为M 为棱11A B 中点，所以1//MN DB ，又MN ⊄平面1B DE ，1DB ⊂平面1B DE ，所以MN //平面1B DE ，又11,,C N MN N C N MN ⋂=⊂平面1MNC ，所以平面1MNC //平面1B DE ，又1C M ⊂平面1MNC ，所以1C M //平面1B DE ；【小问2详解】因为1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC BC ⊥，又11,,,DE BC DE CC E DE CC ⊥⋂=⊂平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ，又AC ⊂平面11ACC A ，所以ACBC ⊥，如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，则()()()()()10,2,0,0,0,0,2,0,1,0,0,2,0,2,3B C D E B ，因为BC ⊥平面11ACC A ，所以()0,2,0CB =，即为平面11ACC A 的一个法向量，()()12,0,1,0,2,1DE EB =-=，设平面1DEB 的一个法向量为(),,n x y z =，则12020n DE x z n EB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，则2,1z y ==-，所以()1,1,2n =- ，则cos ,6CB n CB n CB n ⋅===-，由图可知，二面角1A DE B --为钝二面角，所以二面角1A DE B --的余弦值为6-．19.设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C ，D ，且焦距为2.F 为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C ，D 两点.若直线MC 与MD 的斜率之积为34-.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()4,0P 作一条斜率不为0的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点（A 在B ，P 之间），直线BF 与椭圆E 的另一个交点为H ，求证：点A ，H 关于x 轴对称.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据直线MC 与MD 的斜率之积得到2222413x y a a+=，故2234b a =，结合焦距得到24a =，23b =，得到椭圆方程；（2）设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出0FA FH k k +=，得到结论.【小问1详解】由题意有(),0C a -，(),0D a ，设(,)M x y ，34MC MD y y k k x a x a ⋅=⋅=-+-，化简得2222413x y a a+=，结合22221x y a b +=，可得2234b a =，由椭圆焦距为2，有2222231144a b a a a -=-==，得24a =，23b =，椭圆E 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】显然直线AB 方程斜率不存在时，与椭圆方程无交点，根据椭圆的对称性，欲证A ，H 关于x 轴对称，只需证FA FH k k =-，即证0FA FH k k +=，设()22,A x y ，()11,B x y ，直线AB 方程为4x my =+，由2243412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()223424360m y my +++=，()()2224436340m m ∆=-⨯+>，解得24m >，所以1222434my y m -+=+，1223634y y m =+.则()()()()()()()12211221121212121211111111FA FHk y x y x y x y x y y y y x x x x k x x -+-+-++==-=---+--，因为()()1221121212223624232303434my x y x y y my y y y m m m -+-+=++=⋅+⋅=++，所以0FA FH k k +=，即A ，H 关于x 轴对称.20.已知点M 到直线l ：2x =的距离和它到定点()1,0F．（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）若点P 是直线l 上一点，过P 作曲线E 的两条切线分别切于点A 与点B ，试求三角形PAB 面积的最小值．（二次曲线220Ax By C ++=在其上一点()00,Q x y 处的切线为000Ax x By y C ++=）【答案】（1）2212x y +=；（2）22.【解析】【分析】（1）设(),M x y=（2）设()2,P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，写出切线AP 、BP 并将点代入得直线AB 为1x ty +=，由点线距离公式确定距离最小值，联立直线与2212x y +=，应用韦达定理、弦长公式求AB 的最小值，注意最小值取值条件一致，最后求三角形PAB 面积的最小值.【小问1详解】设(),M x y=E ：2212x y +=，所以点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=.【小问2详解】设()2,P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，则切线AP 为1112x x y y +=，切线BP 为2212x xy y +=，将点P 分别代入得112211x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，所以直线AB 为:1m x ty +=，点P 到m的距离2d ==，当0=t 时，min 1d =．另一方面，联立直线AB 与22112x ty E x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty +--=，所以1221222212t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则)21222112122t AB y y t t +⎫=-==-⎪++⎭，当0=t时，min AB =122ABP S AB d =⋅≥△．故0=t 时，ABP S 最小值为22.21.如图，四棱锥E ABCD -中，平面CBE ⊥平面ABE ，120ABE ∠= ，23AB DC ==，2BE =，//DC AB ，CB CE =．（1）求证：平面DAE ⊥平面ABE ；（2）若60DBA ∠= ，求BD 与平面ABE 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明面面垂直即可；（2）利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】取BE 中点F ，连接CF ，因为CB CE =，则CF BE ⊥，又平面CBE ⊥平面ABE ，平面CBE 平面ABE BE =，CF ⊂平面CBE ，则CF ⊥平面ABE ，设CF h =，如图过B 作GB BE ⊥交AE 于G 点，建立空间直角坐标系B xyz -，则333,,022A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0B ，()2,0,0E ，()1,0,C h ，由题意23AB DC ==，则131,,0,,24444CD BA D h ⎛⎫⎛⎫==-⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以77,,,,,04422AD h AE ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面DAE 的一个法向量(),,m x y z =，则733004407022x y hz AD m AE m x y ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-=⎪⎩，令7,0x y z =⇒==，即()m = ，又易知平面ABE 的一个法向量()0,0,1n =，因为0m n ⋅=，则m n ⊥ ，所以平面DAE ⊥平面ABE；【小问2详解】由（1）得3,22BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,44BD h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，则1cos 2DAB BA BD BA BD ⋅===⋅∠ ，解得32h =，则13,,442BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又平面ABE 的法向量()0,0,1n =，设BD 与平面ABE 所成角为θ，则332sin cos ,24BD n BD n BD nθ⋅====，所以37tan 7θ==．22.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上．（1）点1A ，2A 为C 的左右顶点，P 为双曲线C 上异于1A ，2A 的点，求12PA PA k k ⋅的值；（2）点M ，N 在C 上，且12AM AN k k ⋅=，AD MN ⊥，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【答案】（1）12;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）代入点(2,1)A ，得22a =，从而得双曲线方程及1A ，2A 的坐标，设P 点坐标为(),x y，则12PA PA k k ==，结合P 在双曲线C 上，即可得答案；（2）设直线MN 方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及12AM AN k k ⋅=，得()4210m k m +-=，舍去210k m +-=，从而得0m =，直线MN 过定点()0,0O ，ADO △为直角三角形，D ∠为直角，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证.【小问1详解】解：因为点()2,1A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，所以双曲线22:12x C y -=，则())12,A A ．设P 点坐标为(),x y，则12PA PA k k ==，所以12222PA PA y k k x ⋅==-．因为点P 在曲线C 上，所以2212x y =-，所以122211222PA PA x k k x -⋅==-，所以12PA PA k k ⋅的值为12．【小问2详解】证明：依题意，直线MN 的斜率存在，故设其方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立2212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()222124220k x kmx m ----=，显然2120-≠k ，否则不可能有两个交点，()()()22222(4)412228120km k mm k ∆=----=+->，由韦达定理得2121222422,1212km m x x x x k k--+==--，因为直线,AM AN 的斜率之积为12，所以()()()()121212121111122222y y y y x x x x ----⋅==----，所以()()()()121222211x x y y --=--，即()()()()121222211x x kx m kx m --=+-+-，所以有()()()221212212122(1)40k x x k m x x m ⎡⎤-+-+++--=⎣⎦，将韦达定理代入化简得()4210m k m +-=，而当210k m +-=，此时直线l 为()1221y kx k k x =+-=-+，易知l 恒过定点()2,1A ，故舍去，所以0m =，此时满足Δ0>且直线MN 过定点()0,0O ，（如图所示）又因为,AD MN D ⊥为垂足，所以ADO △为直角三角形，D ∠为直角，所以当点Q 为斜边AO 的中点11,2⎛⎫⎪⎝⎭时，DQ 为定值522AO =．综上所述，存在定点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ，使得DQ 为定值2．。
2023-2024学年青海省西宁市城西区高二上册12月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年青海省西宁市城西区高二上册12月月考数学模拟试题一、单选题1．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．本题考点为共轭复数，为基础题目．2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，若BE =1xAA +y AB +z AD，则（）．A ．x ＝1，12y ＝，12z ＝－B ．x ＝1，12y ＝－，12z ＝C ．12x ＝，y ＝1，12z =-D ．12x ＝－，y ＝1，12z ＝【正确答案】B【分析】利用空间向量的加减及数乘运算法则进行计算，解决空间向量基本定理问题.【详解】由题意得：()11111111112BE BB B A A E AA AB A B A D =++=-++1111112222AA AB AB AD AA AB AD =-++=-+ ，所以111,,22x y z ==-=故选：B3．设非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．a b> 【正确答案】A【详解】由a b a b +=- 平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，故选A.本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为．A ．1415B ．115C ．29D．【正确答案】A【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，可以求(P A ,运用公式()1()P A P A =-，求出()P A .【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以232101(15C P A C =，因此114()1()=11515P A P A =--=,故本题选A.本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.5．已知向量()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =-，则有（）．A ．23a c b=- B ．a b c+= C ．()b a c⊥- D ．a b b c c a⋅=⋅=⋅ 【正确答案】C【分析】对于A ，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解；对于B ，利用向量的摸的坐标表示即可求解；对于C ，利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解；对于D ，利用向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】对于A ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =- ，所以242,0,33b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2140,1,33c b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，所以23a c b ≠- ，故A 不正确；对于B ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =-，所以1,a ==b == ，c == ，所以a b c +≠ ，故B 不正确；对于C ，因为()0,1,0a = ，()2,1,3c =- ，所以()2,0,3a c -=-，又()3,0,2b = ，所以()()3200320b a c ⋅-=⨯-+⨯+⨯= ，即()b ac ⊥-，故C 正确.对于D ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =- ，所以0310020a b ⋅=⨯+⨯+⨯=，()3201230b c ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，()2011301c a ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以a b b c c a ⋅=⋅≠⋅，故D 不正确.故选：C.6．已知sin cos αα-=α∈(0,π)，则tan α=A ．-1B ．2C ．2D ．1【正确答案】A 【详解】sin cos αα-=()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα=1tan α∴=-故选A 7．曲线2122y x =+在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（）A ．34πB ．4πC ．23πD ．3π【正确答案】A【分析】根据导数的几何意义得到点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.【详解】=y x '，所以在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为-1，倾斜角为34π.故选：A.8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=【正确答案】A【详解】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A9．四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在线段OC 上，且2OM MC =，N 为BA 中点，则MN为（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．112223a b c+-r r r D ．221332a b c++ 【正确答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.【详解】解：根据题意可得，()2111232223MN MO ON OC OA OB a b c =+=-++=+-.故选：C.10．椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．,12⎤⎢⎥⎣⎦B．⎣⎦C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎣⎦【正确答案】B【分析】确定四边形1AFBF为矩形，得到1π4e α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质得到离心率范围.【详解】设椭圆右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，AF BF ⊥，则四边形1AFBF 为矩形，则12sin 2cos 2AF AF AF BF c c a αα+=+=+=，故11πsin cos 4e ααα=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,，则ππ32π,4α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，πsin ,142α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，23e ∈⎣⎦.故选：B.11．已知a<0，若直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，则它们之间的距离为（）A．4B．2CD4【正确答案】A【分析】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．【详解】解：直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，()120a a ∴+-=，解得2a =-或1a =，又a<0，所以2a =-，当2a =-时，直线1:2210l x y -+=与直线2:2280l x y -+=距离为4=.故选：A12．若圆221x y +=上总存在两个点到点(,1)a 的距离为2，则实数a 的取值范围是（）A ．(-⋃B ．(-C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,1)-【正确答案】A【分析】将问题转化为圆22()(1)4x a y -+-=与221x y +=相交，从而可得2121-<+，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】到点(,1)a 的距离为2的点在圆22()(1)4x a y -+-=上，所以问题等价于圆22()(1)4x a y -+-=上总存在两个点也在圆221x y +=上，即两圆相交，故2121-<+，解得0a -<<或0a <<所以实数a 的取值范围为(-⋃，故选：A ．二、填空题13．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB 的中点，则直线l 的方程是__________.【正确答案】220x y +-=【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--，∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立．故220x y +-=．14．过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【正确答案】1x =或3450x y -+=【分析】当直线斜率不存在时，可得直线:1l x =，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k ，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离1d r ==，即可求得k 值，综合即可得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ==，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=.综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故1x =或3450x y -+=15．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF △的周长是___.【正确答案】16根据椭圆的定义求解．【详解】由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==.故16．16．已知P 为圆22(1)1x y ++=上任意一点，A ，B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||2AB =，则PAB 面积的最大值是___________．【正确答案】3【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：根据圆的方程，圆心(1,0)-到直线3470x y +-=的距离2d =，所以圆上的点P 到直线的最大距离213max d =+=，此时最大面积13232PAB S =⨯⨯=△．故3．三、解答题17．已知直线12:310,:(2)0l ax y l x a y a ++=+-+=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离．【正确答案】（1）32a =；（2【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线1l 与2l 之间的距离.【详解】（1）由12l l ⊥知3(2)0a a +-=，解得32a =．（2）当12l l //时，有(2)303(2)0a a a a --=⎧⎨--≠⎩，解得3a =．此时12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即233:90x y l ++=，则直线1l 与2l 之间的距离d =本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.18．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值【正确答案】（1）B =60°（2）a c ==【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别为1AD 、1CD 中点.(1)求证：EF BD ⊥;(2)求两异面直线BD 与1CD 所成角的大小.【正确答案】(1)见解析(2)3π【分析】（1）利用向量乘积为0证明即可；（2）利用向量法求异面直线所成的角.【详解】（1）如图,建立空间直角坐标系D xyz -则(0,0,0),(2,2,0),(1,0,1),(0,1,1)D BEF (1,1,0),(2,2,0)EF BD =-=--因为2200EF BD ⋅=-+=所以EF BD ⊥,即EF BD⊥（2）11(0,2,0),(0,0,2),(0,2,2)C D CD =-1111cos ,2||BD CD BD CD BD CD ⋅==设异面直线BD 与1CD 所成角为θ,则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以3πθ=,即异面直线BD 与1CD 所成角的大小为3π20．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BC ＝2CC 1＝2，点E 是DC的中点．(1)求点D 到平面AD 1E 的距离；(2)求证：平面AD 1E ⊥平面EBB 1．【正确答案】(2)证明过程见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面1D AE 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；（2）利用空间向量的数量积为0证明出1,EA EB EA BB ⊥⊥，从而证明出线面垂直，进而证明出面面垂直.【详解】（1）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,2,0,1,2,1D A E D B B ，设平面1D AE 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()()1,,1,0,10,,1,1,00m D A x y z x z m EA x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1x =得：1,1y z ==，所以()1,1,1m = ，则点D 到平面AD 1E 的距离为DA m d m⋅= ；（2）()()11,1,0,0,0,1EB BB == ，所以()()1,1,01,1,0110EA EB ⋅=-⋅=-= ，()()11,1,00,0,10EA BB ⋅=-⋅= ，所以1,EA EB EA BB ⊥⊥，因为1EB BB B =，1,EB BB ⊂平面1EBB ，所以EA ⊥平面1EBB ，因为EA ⊂平面1D AE ，所以平面1D AE ⊥平面1EBB .21．某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分的中位数与平均值；(3)从评分在[)40,60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)40,50的概率.【正确答案】(1)0.006a =；(2)中位数为5357，均值为76.2；(3)110【分析】（1）根据频率和为1可求频率分布直方图中a 的值;（2）根据组中值可求平均值，根据前3组、前4组的频率和可求中位数.（3）利用古典概型的概率计算公式可求概率.【详解】（1）由直方图可得(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，故0.006a =.（2）由直方图可得平均数为(0.004450.006550.018950.022650.022850.02875)1076.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.前3组的频率和为0.0040.0060.022)100.32++⨯=，前3组的频率和为0.0040.0060.0220.028)100.6+++⨯=，故中位数在[)70,80，设中位数为x ，则700.320.280.510x -+⨯=，故5357x =.故中位数为5357.（3）评分在[)40,60的受访职工的人数为()0.0040.00610505+⨯⨯=，其中评分在[)40,50的受访职工的人数为2，记为,a b在[)50,60的受访职工人数为3，记为,,A B C ，从5人任取2人，所有的基本事件如下：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C ，基本事件的总数为10，而2人评分都在[)40,50的基本事件为{},a b ，故2人评分都在[)40,50的概率为110.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是,A B ，且经过点1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，直线:1l x ty =-恒过定点F 且交椭圆于,D E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记BDE △的面积为S ，求S 的最大值.【正确答案】(1)2214x y +=(2)2【分析】（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程；（2）设()()1122,,,E x y D x y ，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44t y y y y t t +==-++，计算弦长DE ，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．【详解】（1）由题意可得，直线:1l x ty =-恒过定点(1,0)F -，因为F 为OA 的中点，所以||2OA =，即2a =.因为椭圆C经过点1,⎛ ⎝⎭，所以2222112b ⎛ ⎝⎭+=，解得1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,E x y D x y .由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩得()224230,0t y ty +--=∆>恒成立，则12122223,44t y y y y t t +==-++，则||ED ===又因为点B 到直线l 的距离d =所以11||22S ED d =⨯⨯==令m =26611m m m m==++，因为1y m m=+，m 时，2110y m'=->，1y m m =+在)m ∈+∞上单调递增，所以当m时，min 13m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，故max 2S =.即S的最大值为方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．。
辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1x =，12y =，12z =-C ．12x =，1y =，12z =-4．已知抛物线2:C y x =的焦点为为B ，1BF =，则BAF ∠=（A ．30°B ．45°5．美术绘图中常采用“三庭五眼鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（A ．524C ．9246．已知双曲线221(0)x y m m-=>曲线的渐近线方程为（）A ．2y x=±B ．y =±7．已知直线20kx y k -+=与直线二、多选题9．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法A ．无论λ取何值，三棱锥B ．若24λ=，则EG ⋅ C ．点1D 到平面EFG 的距离为D ．若异面直线EF 与AG 12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，圆的蒙日圆.若椭圆Γ：22x a 动点M 作Γ的两条切线，分别与A ．2a b=B ．MPQ 面积的最大值为C ．M 到Γ的左焦点的距离的最小值为D ．若动点D 在Γ上，将直线三、填空题四、解答题(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成角的余弦值．18．已知圆C 过点(02)M -，，(1)求圆C 的标准方程．(2)设直线10ax y -+=与圆C 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数19．已知圆22:22M x y x ++（1）求曲线E 的方程；（2）点A 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，过点,AB AC 的斜率分别是12,k k ，试探索12k k ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∠=∠二面角P AD B --为直二面角．(1)求证：PA BD ⊥；(2)若直线PB 与平面PAD 弦值．21．已知双曲线C ：22x a -A(1)求双曲线C 的方程(2)动直线12y x t =+交双曲线22．抛物线1C ：24x y =，双曲线一点3,4M m ⎛⎫⎪⎝⎭作1C 的切线，其斜率为(1)求2C 的标准方程；。
广西南宁市第三中学2024-2025学年高二上学期12月月考(三)数学试卷(含答案)
南宁三中2024~2025学年度上学期2026届高二月考（三）数学试题2024.12一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 设，则在复平面内对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 在等比数列中，若，，，则公比等于（ ）A.B.C. D.或3. 设非零向量，满足，则（ ）A. B. C. D. 4. 等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（ ）A. 54B. 63C. 66D. 725. 已知，是两条不重合直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则6. 为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是（）A.B.C.D.7. 直线被圆截得弦长为（ ）A.B. C.D. 8.设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个公共点，.记椭圆与双曲线的离心率分别为与，则点到中心距离的最小值为（）A.B.C.D.的的32i z =-z {}n a 10a <218a =48a =q 322323-2323-ab ||||a b a b +=-a b⊥a b=//a ba b>{}n a 35718a a a ++=m n α//m α//n α//m n //m αn ⊂α//m n m n ⊥m α⊥//n αm α⊥//n αm n⊥3:2161312233y kx =+22(2)(3)4-+-=x y k =1E 2E 1F 2F P 1260F PF ∠=︒1e 2e ()12,e M e O二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.9. 设是等比数列，与分别是它们前项的和与积，则下列说法正确的有（）A. 是等比数列B. 若，其中，，则C. 若，，则有最大值D. 若，，则等比数列10. 对于，下列正确的有（ ）A. 若，则关于直线对称B. 若，则关于点中心对称C. 若在上有且仅有4个根，则D. 若在上单调，则11. 已知抛物线，过点的直线依次交抛物线于，两点，为抛物线的焦点，记，，，（为轴），直线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）A 恒成立B. 若与抛物线相切，则C.时， D. 存在直线，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若是奇函数，则________.13. 若数列对任意正整数，有（其中，为常数，且），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前3项为1，1，2，周期为3，周期公比为2，则数列的前13项和为________.的是.{}n a n S n T n {}n ka ()k ∈R nn S Aq B =+A B ∈R 0A B +=11a >01q <<n T 10a >0q>π()2sin 1(0)3f x x ωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭2ω=()f x 5:π12l x =2ω=()f x π,06P ⎛⎫⎪⎝⎭()1f x =π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)10,13ω∈()f x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦50,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦2:2(0)C y px p =>(,0)2pE -l A B F C AEF α∠=AFB θ∠=AFE β∠=BFX γ∠=X x l k βγ=l C 1k =±90θ=︒12k =±l αθ=()22xxf x a -=⋅-a ={}n a n n m n a a q +=m +∈N q 0q ≠1q ≠{}n a m q {}n a {}n a14. 长方体中，，.点，分别是，的中点，记面为，直线，则直线与所成角的余弦值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在中，角，，的对边分别为，，.（1）求角的大小；（2）若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长.16. 如图，四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）点在上，且.判断，，，四点是否共面，说明理由.17. 某校杰出校友为回报母校，设立了教育基金，有A 和B 两种方案.方案A 是在每年校庆日这天向基金账户存入100万元.当天举办仪式奖励优秀的教师和品学兼优的学生共计40万元，剩余资金用于投资，预计可实现10%的年收益.方案B 是今年校庆日一次性给基金账户存入1000万元，校庆日奖励为第一年奖40万，每年增加10万，余下资金同样进行年化10%收益的投资.设表示第年校庆后基金账户上的资金数（万元）.（1）对于A 、B 两种方案，分别写出，及与的递推关系；（2）按两种方案基金连续运作10年后，求基金账户上资金数额.（精确到万，参考数据：，）18. 已知数列满足，，设.1111ABCD A B C D -12AB AA ==3AD =E F AB 1AA 1EFC α11A D P α= BP 1CD ABC V A B C a b c a bc-=A 2sin sin 1cos ABC =+ABC V BAC ∠BCD AD P ABCD -PA ⊥ABCD AD CD ⊥//AD BC 2PA AD CD ===3BC =E PDF PC 13PF PC =AE CD ⊥F AE P --G PB 23PG PB =A G E F n a n 1a 2a 1n a +n a 91.1 2.36=101.1 2.59={}n a 11a =112N 221n n n a n ka k a n k *++=⎧=∈⎨=-⎩，，，21n n b a -=（1）写出，，并证明是一个等比数列：（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.19. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，焦距为2，点在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过原点作圆的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线、的斜率分别记为，.当点在椭圆上运动时.①证明：恒为定值，并求出这个定值；②求四边形面积的最大值.1b 2b {}1n b +{}n a k 2k a 21k a +22k a +k 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F ()00,M x y C2MF 1F 21cos F F M =∠C O 22002:()()3M x x y y -+-=C P Q OP OQ 1k 2k M 12k k OPMQ S南宁三中2024~2025学年度上学期2026届高二月考（三）数学试题简要答案2024.12一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1【13题答案】【答案】【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2【16题答案】【答案】（1）证明略 （2 （3）共面，理由略【17题答案】【答案】（1）方案A：；方案B ：.（2）方案A ：万元；方案B ：万元.【18题答案】【答案】（1），证明略；（2），；（3）不存在，理由略.【19题答案】【答案】（1）76π612160,126, 1.160n n a a a a +===+121960,1006, 1.11040n n a a a a n +===--95811261213b b ，==2121222n n n n k a n k⎧-=-=⎨-=⎩，，N k *∈2212x y +=（2）①;②112。
广东省珠海市第二中学2024_2025学年高二数学12月月考试题
广东省珠海市其次中学2024-2025学年高二数学12月月考试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.抛物线24x y =-的焦点到准线的距离为 （ ） A.4 B.2 C.1 D ．122.已知R x ∈，设p ：1-<x ，q ⌝：022>--x x ，则下列命题为真的是 （ ） A ．若p 则q B ．若q ⌝则p C ．若q 则p ⌝ D ．若p ⌝则q3.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中随意取出3件,设E 表示事务“3件产品 全不是次品”,F 表示事务“3件产品全是次品”,G 表示事务“3件产品中至少有1件是 次品”,则下列结论正确的是 ( )A ．F 与G 互斥B ．E 与G 互斥但不对立 C.,,E F G 随意两个事务均互斥 D ．E 与G 对立4.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为（ ） A.607 B.627C.12D.14 5.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成状况,随机采访了9位代表, 得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体,则年龄在 (),x s x s -+内的人数占公司人数的百分比是 ( ) (其中x 是平均数,s 为标准差,结果精确到1%) A .14% B .25% C .56% D .67% 6.如图所示,已知1111ABCD A B C D -是平行六面体.设ACBD M =, N 是1BC 上靠近 点1C 的四等分点,若1MN xAB yAD zAA =++,则,,x y z 的值为( )A.113,,244x y z === B.113,,424x y z ===C.131,,244x y z === D.311,,424x y z === 7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，实轴的两个端点分 别为1A 、2A ，虚轴的两个端点分别为1B 、2B .以坐标原点O 为圆心，12||B B 为直径的 圆()O b a >与双曲线交于点M （位于其次象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点1F ，则双曲线的离心率是（ ）A.3B.2C.62 D.728.抛物线28y x =的焦点为F ,设1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线上的两个动点,若122343x x AB ++=, 则AFB ∠的最大值为（ ） A.3π B.23π C.34π D.56π 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分） 9.给出下列命题,正确的是 ( )A.命题“R x ∈∃，使得1<x ”的否定是“∀x R ∈，都有1-≤x 或1≥x ”；B.对于命题p 和命题q ，“q p ∧为真命题”的必要不充分条件是“q p ∨为真命题”；C.若{}n a 为等差数列，,,,p q m n N *∈，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+” 的充要条件；D.若0,0a b >>且21a b +=，则115.8a b+>； 10.统计某校n 名学生的某次数学同步练习成果(满分150分),依据成果依次分成六组:[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150,得到频率分布直方图如图所示,若不低于140分的人数为110,则以下说法正确的是( )A.0.031m =B.800n =C.100分以下的人数为60D.分数在区间[)120,140的人数占大半.11.在三棱锥P ABC -中,(0,1,0),(3,1,0),(0,3,0),(0,1,2)A B C P ,则( ) A.(3,0,0)AB =- B.2tan ,3BP AB <>=-C.两异面直线AC 与PB 所成角为060 D.2P ABC V -=12.已知双曲线22:14x y C m m+=+,给出下列四个结论, 正确的是 ( ) A.m 的取值范围是()4,0- B.C 的焦距与m 的取值无关C.当C 的离心率不小于2时, m 的最小值为3-D.存在实数m ,使得点()2,m m 在C 上三、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）13.某公司生产,,A B C 三种不同型号的轿车,产量之比依次为2:3:4,为检验公司的产品质量, 用 分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本,若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆, 则n = .14.已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的焦距为10， 则双曲线C 的渐近线方程为 . 15.已知[]0:0,1p x ∃∈,使得00x a e-≥成立；:q 对x R ∀∈,240x x a ++>恒成立. 若p q ∧⌝是真命题,则实数a 的取值范围是 ．16.阳马,中国古代算数中的一种几何形体,是底面为长方形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.在 阳马P ABCD -中,PC 为阳马P ABCD -中最长的棱,1,2,3AB AD PC ===,若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点,则该点位于阳马内的概率为 ．17.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于 ．18.已知椭圆22:197x y C +=,F 为其左焦点,过原点O 的直线l 交椭圆于,A B 两点,点A 在其次象限,且FAB BFO ∠=∠,则直线l 的斜率为 ．四、解答题（本题共5个小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.(本小题12分)有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z 参与某夏令营,其年级状况如下表:现从这6 (1)用表中字母列举出全部可能的结果;(2)设M 为事务“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事务M 发生的概率.20.(本小题12分)已知动圆M 过点(2,0)，被y 轴截得的弦长为4. （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；(2) 若P 为x 轴的负半轴上随意一点，点F 的坐标为()1,0,Q 为轨迹C 上随意一点，且QF PF =,求证：直线PQ 与抛物线C 有且只有一个公共点．21.(本小题12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣扬费，需了解年宣扬费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣扬费和年销售量数据进行了探讨，发觉年宣扬费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.x （万元）2 4 53 6 y （单位：t ） 2.544.536（1）依据表中数据建立年销售量y 关于年宣扬费x 的回来方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，依据（1）中的结果回答下列问题：① 当年宣扬费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？② 估算该公司应当投入多少宣扬费，才能使得年利润与年宣扬费的比值最大.附：回来方程ˆˆˆy bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆnni i n ni i x ynx yx x yybx nxx x====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5S i x y==∑，21190Si x ==∑.22.(本小题12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面11BB C C ,E 是1CC 的中点1,BC =12BB =,0160BCC ∠=.(1)证明:1B E AE ⊥； (2)若2AB =,求二面角11A B E A --的余弦值.23.(本小题12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点3(1,)2P ,且离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若,M N 是椭圆C 上异于P 的两点,直线,PM PN 的斜率分别为12,k k 且121,,k k PD MN +=-⊥D 为垂足.是否存在定点Q ,使得DQ 为定值? 若存在,恳求出Q 点坐标及定值;若不存在,请说明理由.珠海二中高二月考数学试题参考答案BCDD CAAB 9. ABD 10. AC 11. BD 12. ABD 13. 72 14.12y x =±15.[]1,4 16.827π 17.23 18.73- 19.(1)从这6名同学中随机选出2人参与学问竞赛的全部可能结果为(A ,B ),(A ,C ),(A ,X ),(A ,Y ),(A ,Z ),(B ,C ),(B ,X ),(B ,Y ),(B ,Z ),(C ,X ),(C ,Y ),(C ,Z ),(X ,Y ),(X ,Z ),(Y ,Z ),共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的全部可能结果为 (A ,Y ),(A ,Z ),(B ,X ),(B ,Z ),(C ,X ),(C ,Y ),共6种. 因此,事务M 发生的概率P (M )==.20.（1）设动圆圆心(,)M x y ，由题意可得：22222(2)+=-+x x y 24y x =， 所以，动圆圆心M 的轨迹C 的方程：24=y x .（2）设点Q 的坐标为(),m n ，有24n m =，设点P 的坐标为()(),00t t <．又||1QF m =+，||1PF t =-，||||QF PF =， 所以11,m t +=-得(0)t m m =-> 直线PQ 的斜率22()224n nn k n m m mn ====--⨯， 所以直线PQ 的方程为2()y x m n =+，即直线PQ 的方程为22n y x n =+． 解2422y x n y x n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24n x y n =⎧⎪⎨⎪⎩=即方程组仅有一组解， 所以直线PQ 与抛物线C 有且只有一个公共点． 21.解:（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==，21222188.554ˆ0.859054ni ii nii x y nx ybxnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣扬费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为 2.25. ②令年利润与年宣扬费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭1.2520.050.850.35x x ⋅+=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应当投入5万元宣扬费，才能使得年利润与年宣扬费的比值最大.22.解:(1)证明:连接BC 1,BE ,因为在△BCC 1中,BC=1,CC 1=BB 1=2,∠BCC 1=60°,所以BC ⊥BC 1,所以BE=CC 1=1. 因为在△EC 1B 1中,B 1E==,所以BE 2+B 1E 2=B,即B 1E ⊥BE ,又AB ⊥平面BB 1C 1C ,且B 1E ⊂平面BB 1C 1C , 所以B 1E ⊥AB ,AB ∩BE=B ,所以B 1E ⊥平面ABE , 因为AE ⊂平面ABE ,所以B 1E ⊥AE.(2)以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,),B 1(-1,,0),E ,,0,A 1(-1,,),所以=,-,0,=(-1,,-),=,-,-,设平面AB 1E 的法向量为n=(x ,y ,z ),平面A 1B 1E 的法向量为m=(a ,b ,c ),由得取x=1,则n=(1,,),由得取a=1,则m=(1,,0).所以cos m ,n ===,由图可知二面角A-B 1E-A 1为锐角,所以二面角A-B 1E-A 1的余弦值为. 23.(1)由12c e a ==，得2222222,4,3a c a c b a c c ===-=.2222223311221,143a b c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=∴+= 解得2221,3, 4.c b a ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由题意得直线MN 的斜率肯定存在，直线MN 的方程为y kx m =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得()2224384120k x kmx m +++-= 2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+->，得22430k m -+>21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++ 1212211212123333()(1)()(1)222211(1)(1)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211233()(1)()(1)22(1)(1)kx m x kx m x x x +--++--=-- 121212121232()()()(23)2()1kx x m x x k x x m x x x x +-+-+--=-++22222224123882()()()()(23)43243434128()14343m km km k m k m k k k m kmk k -+------+++=---+++22224126129412843k km m k m km k -+-++=-+++ 由121k k +=-，得2281023120k km m m k ++--=， 即()()22340k m k m +-+=当2230k m +-=时，直线33()(1)22y kx k k x =+-=-+过定点3(1,)2P ，舍去. 当40k m +=，直线4(4)y kx k k x =-=-过定点(4,0)T 此时，222433120k m k -+=->，得1122k -<<，存在直线过定点(4,0)T . 当Q 为,P T 的中点，即53(,)24Q，此时124DQ PT ===.。
天津市百华实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
D． 2 6
2．一条直线过点 A (1，0)和 B (−2，3) ，则该直线的倾斜角为
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
3．若抛物线 y ax2 的焦点坐标为 (0, 2) ，则 a 的值为
1 A． 8
1 B． 4
C．8
D．4
4．已知点
P
为椭圆
x2 4
y2 2
1上的一点，F1 ，F2 为该椭圆的两个焦点，若
36 9
A． x 2 y 0
B． x 2 y 4 0
C． 2x 3y 12 0 D． x 2 y 8 0
9．已知抛物线 y2 2 px p 0 上一点 M 1,mm 0 到其焦点的距离为 5，双曲线的
试卷第 1页，共 3页
x2 y2 1左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 n 的值是（ ） n
(1)求证： AF // 平面 PCE ； 试卷第 2页，共 3页
(2)求点 F 到平面 PCE 的距离；
(3)求直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值.
18．已知椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)的离心率为
3 2
，点
1,
3 2
在
E
上.
（1）求 E 的方程；
（2）设直线
l
:
为．
15．已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的右顶点为 A ，左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，以 F1F2
为直径的圆与 C 的渐近线在第一象限的交点为 M ，且 MF1 2 | MA | ，则该双曲线的离
2023-2024学年广东省佛山市顺德区高二上学期12月月考数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年广东省佛山市顺德区高二上册12月月考数学试题一、单选题10y +=的倾斜角为（）A ．3πB ．6πC ．56πD ．23π【正确答案】D【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，0y +=得y =，所以tan k α==结合直线的倾斜角的范围即可求得α.【详解】设该直线的倾斜角为α，则tan α=，[)0,απ∈，解得23πα=.故选：D.2．已知圆C ：2286100x y x y +---=，则（）A ．圆C 的圆心坐标为()4,3--B ．圆C 的圆心坐标为()3,4C ．圆CD ．圆C 的半径为35【正确答案】C【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，得到圆心和半径，得到答案.【详解】因为圆C ：2286100x y x y +---=的标准方程为()()224335x y -+-=.所以其圆心坐标为()4,3ABD 错误，C 正确.故选：C3．甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为13，则最后甲获胜的概率是（）A ．1027B ．1627C ．2027D ．2627【正确答案】C【分析】分前两局甲均赢，和前两局甲赢一场，输一场，第三局赢，分别求出概率相加得到答案.【详解】因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），甲每局比赛获胜的概率都为23，若前两局甲均赢，则结束比赛，甲获得胜利，此时概率为224339⨯=，前两局甲赢一场，输一场，第三局甲赢，此时甲获得胜利，则概率为212122833333327⨯⨯+⨯⨯=，所以最后甲获胜的概率482092727P =+=.故选：C4．已知圆C ：2222420x y kx y k +-++-=和直线l ：()25130kx k y +--=，若圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，则k ＝（）A ．－2B ．12C ．2D ．12或2【正确答案】B【分析】根据圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，得到直线l 经过圆C 的圆心求解.【详解】解：因为圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，所以直线l 经过圆C 的圆心，圆C 的标准方程为()()221x k y -++243k k =-+，圆心(),1C k -，所以222520430k k k k ⎧-+=⎨-+>⎩，解得12213k k k k ⎧==⎪⎨⎪⎩或或，所以12k =.故选：B5．已知圆1C ：2224230x y x ay a +-+++=和圆2C ：22224410x y x ay a ++-+-=，则圆1C 与圆2C 的公切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】D【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距大于半径之和，得到两圆外切，故公切线条数为4.【详解】两圆的标准方程分别为()()2221x y a -++=和()()22122x y a ++-=，圆心分别为()12,C a -，()21,2C a -，半径分别为11r =，2r =圆心距123C C ==≥，故1212C C r r >+，所以圆1C 与圆2C 外离，所以圆1C 与圆2C 有4条公切线.故选：D6．如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且3AP PN =，23ON OM = ，设OA a = ，OB b = ，OC c =，则下列等式成立的是（）A ．111444OP a b c=++ B ．1133AN a b c=++C ．311444AP a b c=-+- D ．1122OM b c=- 【正确答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则逐项进行计算即可判断.【详解】因()2211133233AN AO ON AO OM AO OB OC b c a =+=+=+⨯+=+-，所以选项B 错误；因()()3333231144443422AP AN AO ON a OM a b c ==+=-+⨯=-+⨯+311444a b c =-++.所以选项C 错误；因为()111222OM OB OC b c =+=+，所以选项D 错误.因为311111444444OP OA AP a a b c a b c ⎛⎫=+=+-++=++ ⎪⎝⎭ ，所以选项A 正确；故选.A7．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，()1,1,0AB =-，()1,0,2AD = ，()1,1,1AP =- ，E 为线段AC 的中点，F 为线段PD 的中点，则（）A ．直线BP 与直线CDB ．AD 是平面PAB 的法向量C ．//EF PBD ．AC BD⊥ 【正确答案】C【分析】选项A 利用空间向量夹角公式计算即可，B 选项利用法向量性质判断即可，选项C 画出利用三角形的中位线判断即可，选项D ，利用向量垂直的条件判断即可.【详解】因为()0,2,1BP AP AB =-=-，()1,1,0CD BA ==- ，所以cos ,5BP CDBP CD BP CD⋅<>==，故A 错误；因为AB ⊂平面PAB ，且10AD AB ⋅=≠ ，所以AD不是平面PAB 的法向量，故B 错误；连接BD ，如图所示：因为E 为线段AC 的中点，F 为线段PD 的中点，又BD 为平行四边形ABCD 的对角线，所以E 为线段BD 的中点所以EF 是PBD △的中位线，所以//EF PB ，即//EF PB，故C 正确；因为()2,1,2AC AB AD =+=-，()0,1,2BD AD AB =-= ，所1430AC BD ⋅=-+=≠，故AC BD ⊥不成立，故D 错误.故选：C.8．如图，已知()5,0A ，()0,5B ，从点()1,0P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程长为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】求出P 关于AB 的对称点1P 和它关于y 轴的对称点2P ,则12PP 就是所求的路程长.【详解】易知直线AB 的方程为5y x =-+，设点()1,0P 关于直线AB 的对称点为()1,P a b ，则1,115,22b a b a ⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-+⎪⎩解得5,4,a b =⎧⎨=⎩即()15,4P ．又点()1,0P 关于y 轴的对称点为()21,0P -，由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长12PP ==故选.A 二、多选题9．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A 为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B 为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C 为“两次点数之和为8”，事件D 为“两次点数之和为7”，则（）A ．A 与B 相互独立B ．A 与D 相互独立C ．B 与C 为互斥事件D ．C 与D 为互斥事件【正确答案】ABD【分析】先求出(),(),(),()P A P B P C P D ,再利用公式判断选项AB ，利用概念判断选项CD 得解.【详解】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)．共36个．依题意，11(),()66P A P B ==，事件C 包括(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，共5个，5()36P C =，事件D 包括(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个，61()366P D ==．对于选项A ，事件AB 只有结果1(3,5),()()()36P AB P A P B ==⋅，A 与B 相互独立，所以选项A 正确；对于选项B ，事件AD 只有结果1(3,4),()()()36P AD P A P D ==⋅，A 与D 相互独立，所以选项B 正确；对于选项C ，当第一次的点数是3点，第二次是5点时，两个事件同时发生了，所以事件B C ，不是互斥事件，所以选项C 不正确；对于选项D ，事件C D ，是不可能事件，即C 与D 是互斥事件，所以选项D 正确．故选：ABD10．已知方程221124x y m m +=--表示椭圆，下列说法正确的是（）A ．m 的取值范围为()4,12B ．若该椭圆的焦点在y 轴上，则()8,12m ∈C ．若6m =，则该椭圆的焦距为4D ．若10m =，则该椭圆经过点(【正确答案】BC【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程221124x y m m +=--表示椭圆，所以12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得412m <<，且8m ≠，故A 错误；B ：因为椭圆221124x y m m +=--的焦点在y 轴上，所以4120m m ->->，解得812m <<，故B 正确；C ：若6m =，则椭圆方程为22162x y +=，所以222624c a b =-=-=，从而24c =，故C 正确；D ：若10m =，则椭圆方程为22126x y +=，点(的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点(，故D 错误.故选：BC.11．已知O 为坐标原点，圆M ：()()222cos 2sin 4x y θθ-+-=，则（）A ．圆M 与圆2216x y +=内切B ．直线sin cos 0x y αα-=与圆M 相离C ．圆M上到直线0x y +=的距离等于1的点最多有三个D100y +-=上任意一点P 作圆M 的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAMB 面积的最小值为【正确答案】AD【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ；根据点到直线的距离公式和三角函数的有界性即可判断B ；根据点到直线的距离公式计算即可判断C ；根据点到直线的距离公式求出MP ，利用三角的恒等变换化简计算即可判断D.【详解】A ：圆M 的圆心()2cos ,2sin M θθ，半径12r =，而圆2216x y +=的圆心()0,0O ，24r =，所以2OM ==21r r -，，所以圆M 与圆2216x y +=内切，A 正确；B ：圆心M 到直线sin cos 0x y αα-=()2sin 2αθ=-≤，故圆和直线相切或相交，B 错误；C ：因为圆心()2cos ,2sin M θθ到直线0x y +=的距离π2sin 14d θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为[]0,3d ∈，圆M 的半径为2，所以圆M上到直线0x y +=的距离等于1的点最多有四个，故C 错误；D ：四边形PAMB的面积2S MA PA PA =⋅==当MP100y +-=时，MP 有最小值，此时πsin 52sin 53MP θθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为[]3,7MP ∈，所以min 3MP =，则四边形PAMB 面积的最小值min S ==，故D 正确.故选：AD.12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为空间中一点，1AP xAA y AB z AD =++，则（）A ．当12x z ==，0y =时，异面直线BP 与1C D B ．当1x y ==，[]0,1z ∈时，三棱锥1A PBC -的体积为43C ．当12x =，1y =，[]0,1z ∈时，有且仅有一个点P ，使得1A C ⊥平面1AB P D ．当0y =，[]0,1x z =∈时，异面直线BP 和1C D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦【正确答案】ABD【分析】根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后逐项进行判断即可求解.【详解】对于A ，连接11B D ，1AD .由下图可知，P 为1AD 的中点，取11B D 的中点O .连接PO ，BO ，则1//PO C D ，所以∠BPO 或其补角即异面直线BP 与1C D 所成的角，易得BP =PO =，BO =cos6BPO ∠=，故选项A 正确；对于B ，由条件可知1BP zBC BB =+（[]0,1z ∈），P 点的轨速为线段11B C ，因为11B C BC ∥，所以P 到平面1A BC ，且1A BC 的面积为122⨯=1P A BC -的体积为定值43，故选项B 正确；对于C ，如下图，由条件可知112BP zBC BB =+（[]0,1z ∈），所以点P 在线段EF 上（E ，F 分别为1BB ，1CC 的中点）.因为1A C ⊥平面11AB D ，所以平面1AB P 即平面11AB D ，点P 则平面11AB D 与直线EF 的交点，此交点在FE 的延长线上，故选项C 错误；对于D ，由条件可知()1AP x AA AD =+（[]0,1x ∈），可知点P 的轨速为线段1AD ，如下图，建立空间直角坐标系，得()12,0,2C D =- ，()2,0,2B ，设()0,,2P a a -，[]0,2a ∈，则()2,,BP a a =--，所以cos<1,>BP C D ==，令[]20,2a t -=∈，当2a =，即0=t 时，1cos ,0BP C D <>= ，此时直线BP 和1C D 所成的角是2π；当2a ≠，即(]0,2t ∈时，1cos ,BP C D <>=，令11,2m t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，1cos ,BP C D <>=所以112m t ==，即0a =时，1cos ,BP C D <>取得最大值2，直线BP 和1C D 所成角的最小值为π4，故选项D 正确.故选.ABD 三、填空题13．若直线()2110x a y ---=与直线()4230x a y -+-=平行，则a ＝______________.【正确答案】4【分析】根据直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=平行时的条件计算即可.【详解】因为直线()2110x a y ---=与直线()4230x a y -+-=平行，所以()()2241a a -+=--，解得4a =，经检验，当4a =时，两直线不重合，所以4a =.故4.14．已知椭圆221369x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2214AF BF +=，则AB =______________.【正确答案】10【分析】根据椭圆的定义可得22||4AF BF AB a ++=，结合题意即可求解.【详解】因为6a =，122AF AF a +=，122BF BF a +=，两式相加得22||424AF BF AB a ++==.又2AF +214BF =，所以10AB =.故10.15．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别12，23，p ，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p ＝______________.【正确答案】14##0.25【分析】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】由题意可知()1271111238p ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14p =.故答案为.1416．已知圆22:2O x y +=，M 是直线l ：40x y -+=上的动点，过点M 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则MA MB ⋅的最小值为______.【正确答案】3【分析】画出图形，设2AMB θ∠=,利用数量积公式将MA MB ⋅ 转化为求2||cos 2MA θ的最小值，从而分析图形可知当OM l ⊥时,这时2||cos 2MA θ最小，即MA MB ⋅ 最小.【详解】设2AMB θ∠=,则2||||cos 2||cos 2MA MB MA MB MA ⋅== θθ,可知当OM l ⊥时,||MA 最小且2θ最大,cos 2θ最小,这时MA MB ⋅ 最小.设点O 到直线l 的距离为d ,则d =因为圆O 的半径为所以当OM l ⊥时,1sin 2θ=,可得21cos 2,||2MA = θ226d =-=,所以MA MB ⋅ 的最小值为3.故3.四、解答题17．已知△ABC 的顶点()5,0A -，()2,2B -，BC 边上的高所在直线的方程为550++=x y .(1)求直线BC 的方程；(2)若，求直线AC 的方程.在①点C 在直线0x y -=上；②BC 边上的中线所在直线的方程为120x y +-=这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)5120x y --=(2)选①：38150x y -+=；选②：1811900x y -+=【分析】（1）由BC 边上的高所在直线的方程求出直线BC 的斜率，再由点斜式求方程即可；（2）若选①联立直线方程求出C 点坐标，再求出AC 斜率，点斜式得直线方程；若选②先求出BC 中点坐标，再由中点坐标公式求出C 点坐标，利用点斜式求方程即可.【详解】（1）因为BC 边上的高所在直线的方程为550++=x y ，所以直线BC 的斜率5k =.直线BC 的方程为()252y x +=-，即5120x y --=.（2）若选①.由05120x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，即()3,3C ，所以38AC k =，直线AC 的方程为()3058y x -=+，即38150x y -+=.若选②.由1205120x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得48x y =⎧⎨=⎩，即线段BC 的中点坐标为()4,8.设点()11,C x y ，则11242282x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，解得11618x y =⎧⎨=⎩，即()6,18C ，所以1811AC k =，直线AC 的方程为()180511y x -=+，即1811900x y -+=.18．已知圆心为C 的圆经过点()1,1A 和()2,2B -，且圆心C 在直线:50l x y ++=上．（1）求圆C 的方程；（2）若过点()1,1D --的直线m 被圆C截得的弦长为m 的方程．【正确答案】（1）()()223225x y +++=；（2）直线m 的方程为=1x -或3470x y ++=．【分析】（1）由圆的性质可得：AB 的垂直平分线方程与直线:50l x y ++=联立方程组求得圆心为()3,2--，用两点之间距离公式求得5r CA ===，即可求出圆的标准方差.（2）由圆的半径，弦长，利用垂径定理和勾股定理求出弦心距2d =，再利用圆心到直线的距离为2求出直线方程即可，需注意斜率不存在的情况.【详解】（1）因为()1,1A ，()2,2B -，所以线段AB 的中点坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率21321AB k --==--，因此线段AB 的垂直平分线方程是：113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即330x y --=．圆心C 的坐标是方程组33050x y x y --=⎧⎨++=⎩的解．解此方程组得：32x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心C 的坐标是()3,2--．圆C 的半径长5r CA ==，所以圆心为C 的圆的标准方程是()()223225x y +++=．（2）因为()()22131225-++-+<，所以()1,1D --在圆内.又因为直线m 被圆C 截得的弦长为所以圆心C 到直线m 的距离2d =①当直线m 的斜率不存在时，:1m x =-，()3,2--到=1x -的距离为3(1)2---=，符合题意．②当直线m 的斜率存在时，设():11m y k x +=+，即10kx y k -+-=．2=2=⇒22(12)4(1)k k -=+，解得34k =-，直线m 为：31(1)4y x +=-+，即：3470x y ++=综上：直线m 的方程为=1x -或3470x y ++=．本题第一问考查了圆的标准方程，主要利用弦的垂直平分线过圆心来求圆的标准方差.第二问主要考查圆的弦长及垂径定理，直线斜率不存在的情况容易丢掉，熟练掌握公式及定理是解决本题的关键.属于中档题.19．某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130]．(1)求语文成绩在[]120,130内的学生人数．(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．(3)若语文成绩在[)80,90内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在[)80,90内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．【正确答案】(1)5(2)0.21(3)35．【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为1求出a ，即可求出语文成绩在[]120,130内的学生人数；（2）直接利用频率分布直方图求概率；（3）利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】（1）由频率分布直方图，知()20.020.030.04101a +++⨯=，解得0.005a =，语文成绩在[]120,130内的学生人数为0.005101005⨯⨯=．（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率1201120.02100.005100.2110-⨯⨯+⨯=．（3）由频率分布直方图，知语文成绩在[)80,90内的学生有0.005101005⨯⨯=人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A ，B ，3名男生为a ，b ，c .样本空间为{,,,,,,,,,}AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，其中抽到1名男生和1名女生的情况有,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc ，所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为63105=．20．如图1，在△ABC 中，D 为AC 的中点，2BC =，5CD =25cos 5C =，将△ABD 沿BD 折起，得到如图2所示的三棱锥P -BCD ，且平面PBD ⊥平面BDC .(1)证明：BC ⊥面PBD ；(2)求二面角C -PD -B 的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)6【分析】(1)根据余弦定理可得1BD =，利用勾股定理的逆定理可得BC BD ⊥，结合面面垂直的性质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，根据余弦定理求出AB ，进而求得点P 的坐标，得平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积的定义即可即可求解.【详解】（1）在△BCD 中，2BC =，CD =cos 5C =，由余弦定理知22252215BD =+-⨯⨯=，即1BD =，所以222BD BC CD +=，即BC BD ⊥.因为平面PBD ⊥平面BDC ，平面BCD 平面PBD BD =，所以BC ⊥平面PB D.（2）以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，过点B 且垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0D .在△ABC中，由余弦定理知(2222225AB =+-⨯⨯⨯，解得AB =，所以cos 2ABD ∠=，4ABD π∠=，可求得()0,2,2P ，从而()0,1,2DP = ，()2,1,0DC =- .设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，由00DP n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020y z x y +=⎧⎨-=⎩，令2y =，可得()1,2,1n =- .因为BC ⊥平面PBD ，所以可取平面PBD 的一个法向量为()1,0,0m = ，所以cos ,m n 〈〉== ，即二面角C -PD -B21．已知圆224：+=C x y .(1)若圆C 与直线320：-+-=l x my m 相切，求m 的值；(2)已知点()10M ，，过点P 作圆C 的切线，切点为Q ，再过P 作圆()()221112：'-+-=C x y 的切线，切点为R ，若=PQ PR ，求MP 的最小值.【正确答案】(1)0m =或125m =(2)【分析】（1）利用圆C 的圆心到与直线l 等于半径可得答案；（2）设点(),P x y ，求出PQ ，PR ，利用=PQ PR ，可得点P 所在直线方程，MP 的最小值即为点P 到所求直线的距离可得答案.【详解】（1）圆224：+=C x y 的圆心为()00C ，半径为2，因为圆C 与直线320：-+-=l x my m 相切，2=，解得0m =或125m =；（2）圆224：+=C x y 的圆心为()00C ，半径为2，()()221112：'-+-=C x y 的圆心为()11，'C 半径为设点(),P x y ，由题意可得PQ ==PR ==，因为=PQ PR =，整理得30x y ++=，因为()00C ，到直线30x y ++=1>，所以直线30x y ++=与圆C 相离，因为()11，'C 到直线30x y ++=>30x y ++=与圆C '相离，即点P 在直线30x y ++=上，MP的最小值即为点P 到直线30x y ++==.22．已知四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，33AD AB ===，点E在棱BC 上.(1)若E 为BC 的中点，求直线SE 与平面SCD 所成角的正弦值；(2)是否存在一点E ，使得点A 到平面SDE 若存在，求出BE EC 的值；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)310(2)存在，2【分析】(1)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面SCD 的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求解；(2)设点E 的坐标，利用空间向量法求出平面SDE 的法向量，结合向量法即可求出点A 到平面SDE的距离，列出等式，解之即可.【详解】（1）由SA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD 得,SA AB SA AD ⊥⊥，又AD AB ⊥，以A 为原点，AB ，AD ，AS 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为()0,0,0A，(S ，()1,3,0C ，()0,3,0D ，31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,,2SE ⎛= ⎝ ，()1,0,0CD =-，(0,3,SD = .设平面SCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00CD n SD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则030x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1y =，得(n = .设直线SE 与平面SCD 所成的角为θ，则332sin cos ,51022SE n SE n SE n θ⋅====⨯ ，所以直线SE 与面SCD 所成角的正弦值为310.（2）设()()1,,003E λλ≤≤，平面SDE 的法向量为()111,,m x y z = ，则00SD m SE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则11111300y x y λ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令1z(3m λ=- .又(AS = ，当点A 到平面SDE的距离为5，AS m m ⋅= 解得2λ=，所以存在点()1,2,0E ，使得点A 到平面SDE 的距离为5，此时2BE EC =.。
贵州省2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
A．若秒针 OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则 OA BC
B．若秒针 OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则 NA // 平面 OBC C．若秒针 OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则 BC 与 AM 所成角的余弦值为 14
7 D．若秒针 OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则四面体 OABC 的外接球的表面积为 103
(1)证明：不论 m 为何值，直线 l 过定点 M . (2)过（1）中点 M ，且与直线 l 垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 最小时，求直线 l 的方程.
五、证明题 21．如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，平面 ADE 平面 ABCD ，且 AB 4 ，正三角形 ADE 的边长为 2.
贵州省 2023-2024 学年高二上学期 12 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 ax 3y 2 0 与直线 2x a 1 y a 0 平行，则 a （ ）
A． 2
B．3
C． 2 或 3
(1)证明： BC OP .
(2)若 BM 2MC ，求二面角 M AP C 的余弦值.
试卷第 5页，共 5页
(1)证明： EF / / 平面 ABCD . (2)若 EF AB ，且直线 AE 与平面 BCF 所成角的正弦值为 21 ，求 EF 的值.
7 22．如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 3 2, PA PB PC AC 6,O 为 AC 的中 点.
试卷第 4页，共 5页
A． 179 4
B． 178 4
C． 179 8
北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
设双曲线方程为：x2 a2-Fra biblioteky2 b2
= 1(a
> 0,b
> 0) ，则 2a
= 8, 2c
= 10 ，所以 a = 4,c = 5 ，
所以 b2
=
c2
- a2
=
9 ，所以双曲线方程为 x2
16
-
y2 9
=1，
即化简方程
令t =
x2
+
y2
(t
³
0)
，上述方程可化为
y
=
t
-
t2
=
-
æ çè
t
-
1 2
ö2 ÷ø
+
1 4
£
1 4
结合上图得， y 的整数取值为 0，-1，-2.
y = 0 时， x = ±1 或 x = 0 ；
-1)
，
r b
=
(t,
t
+1,
t
-1)
若
r a
^
r b
，则
t
=
（
）
D．135o
A． -1
B．0
C．1
D．2
3．已知等差数列{an} 中， a1 = 1，公差 d ¹ 0 ，如果 a1 ， a2 ， a5 成等比数列，那么d 等
于（ ）
A．2 或 -2
B． -2
C．2
D．3
4．已知圆 C 的圆心在直线 y = x 上，且圆 C 经过坐标原点，则圆 C 的方程可以为 （）
y
=±
2x ，
辽宁省名校联盟2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学含答案
辽宁省名校联盟2023年高二12月份联合考试数学（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(3i)45i z =-，则z 的共轭复数为（）A.54i 33-- B.54i33-+ C.54i 33+ D.54i 33-2.抛物线24x y =-的准线方程是（）A.1y = B.1y =- C.2y = D.=2y -3.已知12112212,log 3,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b>> D.c b a>>4.如图，在四面体A BCD -中，点O 为底面三角形BCD 的重心，P 为AO 的中点，设,AB a AC b ==，AD c = ，则BP 在基底{},,a b c下的有序实数组为（）A.211,,333⎛⎫--⎪⎝⎭B.211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭C.511,,666⎛⎫--⎪⎝⎭D.511,,666⎛⎫-⎪⎝⎭5.已知()0,2π,θθ∈终边经过点()sin3,cos3，则θ=（）A.32π-B.32π+ C.332π- D.532π-6.设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交C 于,M N 两点，若112MF F N = ，且27cos 9MNF ∠=，则C 的离心率为（）A.33B.63C.2D.27.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E 为线段BC 的中点，且1DE DF ⋅=-，则该半正多面体外接球的表面积为（）A.4πB.8πC.16πD.24π8.十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于2π3时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角2π3；当三角形有一内角大于或等于2π3时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在ABC 中，2π,1,23C AC BC ===，CM 是ABC 的角平分线，交AB 于M ，满足若P 为AMC 的费马点，则·PA PM PM ⋅+ PC PA PC +⋅=（）A.35-B.25-C.23-D.13-二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知定义域为R 的奇函数()f x 在()0,∞+单调递减，且()10f -=，则下列选项满足()0xf x >的是（）A.(),1-∞- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,+∞10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.点7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的对称中心B.直线512x π=是()f x 图像的对称轴C.()f x 的图像向右平移712π个单位长度得sin2y x =的图像D.()f x 在区间232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11.已知直线:10l x y +-=截圆222:()0O x y r r +=>，点,M N 在圆O 上，且直线()():12130l m x m y m '++--=过定点P ，若PM PN ⊥，Q 为MN 的中点，则下列说法正确的是（）A.点P 坐标为()1,1B.当直线l 与直线l '平行时，2m =-C.动点Q 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆D.MN 的取值范围为-12.在一个圆锥中，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，P 为线段DO 的中点，AE 为底面圆的直径，ABC 是底面圆的内接正三角形，3AD ==，则下列说法正确的是（）A.//BE 平面PACB.在圆锥的侧面上，点A 到DE 的中点的最短距离为2C.二面角B PC A --的余弦值为12D.记直线DO 与过点P 的平面α所成角为θ，当cos 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆或部分椭圆三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()0,0,0,3,2,4,0,5,1O A B -，若23OC AB =uuu r uu u r，则C 的坐标是__________.14.若函数()e 1xf x a =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.15.已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在对称轴，则ω的最大值是__________.16.如图，已知直线1l 2,l A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1,2,B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，平面内动点G 满足230GA GB GC ++=，则 GBC 面积的最小值是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，点()1,1B ，且满足43FB FA OF=-（O 为坐标原点）.（1）求C 的方程；（2）求AFB ∠的角平分线所在直线的方程.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为()1,0F ，且离心率为12.（1）求C 的方程；（2）过F 作直线l 与C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若627OMN S =，求l 的方程.19.如图，已知棱长为4的正方体1111,ABCD A B C D M -为11B D 的中点，E 为MC 的中点，F BC ∈，且EF 面11BB D D .（1）求证：,,,E F M B 四点共面，并确定点F 位置；（2）求异面直线1AA 与BM 之间的距离；（3）作出经过点,,A F M 的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长.20.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求A ；（2）若π4,4b B ==，点D 在线段BC 上且满足CD CB λ= ，当AD 取最小值时，求λ的值.21.如图①，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==为边CD 的中点.将ADE V 沿AE 翻折至PAE △，连接,PB PC ，得到四棱锥P ABCE -（如图②），M 为棱PB 的中点.（1）求证：CM 面PAE ，并求CM 的长；（2）若23PB =，棱AP 上存在动点F （除端点外），求直线BF 与面PEC 所成角的正弦值的取值范围.22.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为23（1）求C 的标准方程；（2）设不与渐近线平行的动直线l 与双曲线有且只有一个公共点P ，且与直线12x =相交于点Q ，试探究：在焦点所在的坐标轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由.辽宁省名校联盟2023年高二12月份联合考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(3i)45i z =-，则z 的共轭复数为（）A.54i 33-- B.54i33-+ C.54i 33+ D.54i 33-【答案】B 【解析】【分析】由复数的除法运算结合共轭复数的定义求得.【详解】由题得()245i i 45i 54i 3i 3i 33z --===--，所以z 的共轭复数为54i 33-+.故选：B.2.抛物线24x y =-的准线方程是（）A.1y =B.1y =- C.2y = D.=2y -【答案】A 【解析】【分析】结合抛物线的准线方程求解即可.【详解】由题知抛物线224x py y =-=-,所以2p =，故抛物线24x y =-的准线方程为12p y ==.故选：A.3.已知12112212,log 3,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a>>【答案】C 【解析】【分析】根据指数，对数相应的值可得12021a -<=<，12log 30b =<，121log 13c =>从而可求解.【详解】因为12021a -<=<，12log 30b =<，112211log l 132c og =>=所以b a c <<，故C 项正确，故选：C.4.如图，在四面体A BCD -中，点O 为底面三角形BCD 的重心，P 为AO 的中点，设,AB a AC b ==，AD c = ，则BP 在基底{},,a b c下的有序实数组为（）A.211,,333⎛⎫--⎪⎝⎭B.211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭C.511,,666⎛⎫--⎪⎝⎭D.511,,666⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】取CD 的中点E ，连接BE .由重心的性质可知23BO BE =，且,,B O E 三点共线.因为()()()1112222BE BC BD AC AB AD AB b a c =+=-+-=-+，所以()()211112,33222BO BE b a c BP BA BO AB BO==-+=+=-+()1115112223666a b a c a b c =-+⨯-+=-++ .所以BP 在基底{},,a b c 下的有序实数组为511,,666⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D5.已知()0,2π,θθ∈终边经过点()sin3,cos3，则θ=（）A.32π-B.32π+ C.332π- D.532π-【答案】D 【解析】【分析】根据θ的终边经过点()sin 3,cos3，利用三角函数终边知识从而可求解【详解】由题意得πsin 3cos3π2tan tan 3πsin32cos 32θ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，故π3π,Z 2k k θ=-+∈.又因为π3,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin30,cos30><，所以3π,2π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2k =，所以5π32θ=-，故D 项正确.故选:D.6.设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交C 于,M N 两点，若112MF F N = ，且27cos 9MNF ∠=，则C 的离心率为（）A.33B.63C.22D.32【答案】A 【解析】【分析】设1F N m =，2MNF 中，由余弦定理得m 与a 的关系，12NF F △中，由余弦定理得c 与a 的关系，可求C 的离心率.【详解】如图，设1F N m =，则12,3MF m MN m ==.由椭圆定义可得2222,2MF a m F N a m =-=-，则在2MNF 中，由余弦定理得:()()22222222222||9(2)(22)647cos 262629MN F N MF m a m a m m am MNF MN F Nm a m m a m ∠+-+---+====⋅--，即2254368442m am am m +=-，解得2a m =，则123,22a a F N F N ==.在12NF F △中，由余弦定理得222212121212937232cos 2442293a a a a F F F N F N F N F N F NF a ∠=+-⋅=+-⋅⋅⋅=，又122F F c =，所以323a c =，所以离心率33c e a ==.故选：A.7.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若E 为线段BC 的中点，且1DE DF ⋅=-，则该半正多面体外接球的表面积为（）A.4πB.8πC.16πD.24π【答案】C 【解析】【分析】利用割补法将此多面体补成正方体，建立空间直角坐标系，根据几何关系，从而可求解.【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.令正方体的棱长为2a ，则(,0,2),(0,,2),(,2,2),(2,2,),,,222a a B a a C a a D a a a F a a a E a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以3(,0,),,,022a a DF a a DE ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭ ，所以212a DE DF ⋅=-=-，解得a =，则正方体的棱长为.令该半正多面体外接球的半径为r ，即2,2r r ==，则外接球的表面积为16π.故C 项正确.故选：C.8.十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于2π3时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角2π3；当三角形有一内角大于或等于2π3时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点.已知在ABC 中，2π,1,23C AC BC ===，CM 是ABC 的角平分线，交AB 于M ，满足若P 为AMC 的费马点，则·PA PM PM ⋅+ PC PA PC +⋅=（）A.35-B.25-C.23-D.13-【答案】D 【解析】【分析】应用角平分线的性质及等面积法及数量积即可求解.【详解】在ABC 中，2π,1,23C AC BC ===，由CM 是ABC 的角平分线，交AB 于M ，设M 到两边的距离为d ，则||||AMC BMC S BC d S AC d ⋅==⋅21，故1111233226AMC ABC S S ==⨯⨯⨯⨯=.已知AMC 的三个内角均小于2π3，则点P 与AMC 的三个顶点的连线两两成角2π3，所以.12π12π12π||sin ||||sin ||||sin 232323AMCS PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅(||||||||||||)46PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅=，所以2||||||||||||3PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅= ，所以PA PM PM PC PA PC⋅+⋅+⋅ 2π2π2π||||cos ||||cos ||||cos333PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅ 1121(||||||||||||)2233PA PM PM PC PA PC =-⋅+⋅+⋅=-⨯=- .故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知定义域为R 的奇函数()f x 在()0,∞+单调递减，且()10f -=，则下列选项满足()0xf x >的是（）A.(),1-∞- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,+∞【答案】BC 【解析】【分析】由0,0,0x x x <=>分类讨论，结合奇函数的性质求出不等式的解集，然后判断各选项．【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，且在()0,∞+单调递减，且()10f -=，所以()()110f f -=-=，且()()00,f f x =在(),0∞-上单调递减，所以当0x =时，()0xf x =，不满足题意；当0x <时，由()0xf x >，可得()0f x <，所以10x -<<；当0x >时，由()0xf x >，可得()0f x >，所以01x <<.综上，()0xf x >的解集为()()1,00,1-U .故选:BC .10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.点7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的对称中心B.直线512x π=是()f x 图像的对称轴C.()f x 的图像向右平移712π个单位长度得sin2y x =的图像D.()f x 在区间232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD 【解析】【分析】由图象结合五点法求出函数解析式，然后根据正弦函数性质进行检验．【详解】由题意可知311ππ1,4126A T ==-，解得πT =，所以2ππT ω==，解得2ω=.将π,06⎛⎫⎪⎝⎭代入()()sin 2f x x ϕ=+中，得πsin 206ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，解得π2π,Z 3k k ϕ=-∈，因为π2ϕ<，所以当0k =时，π3ϕ=-，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.对于A 项，7π7ππsin 20663f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点7π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的对称中心，故A 项正确；对于B 项，5π5ππ()sin(2)112123f =⨯-=，所以直线5π12x =是()f x 图像的对称轴，故B 项正确；对于C 项，()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向右平移7π12个单位长度得7ππsin 2123y x ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3πsin 2cos22x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的图像，故C 项错误；对于D 项，当π2π[,]23x ∈时，π2ππ2,π,π332x ⎡⎤⎡⎤-∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在区间[π2,2π]3上单调递减，故D项正确.故选：ABD11.已知直线:10l x y +-=截圆222:()0O x y r r +=>，点,M N 在圆O 上，且直线()():12130l m x m y m '++--=过定点P ，若PM PN ⊥，Q 为MN 的中点，则下列说法正确的是（）A.点P 坐标为()1,1B.当直线l 与直线l '平行时，2m =-C.动点Q 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆D.MN的取值范围为-【答案】ABD 【解析】【分析】由直线过定点的求法参变分离，即可列式求解得出定点判断A ；由两直线平行时斜率的关系列式得出m 判断B ，注意验证一下，避免两直线重合；通过圆弦长的几何求法列式得出半径r ，设出所求点(),Q x y ，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出12PQ MN MQ ==，即可通过圆弦长的几何求法列式22222OMOQ MQ OQ PQ =+=+代入值化简得出轨迹方程，即可判断C ；通过圆上点到定点距离的范围求法得出PQ 的取值范围，即可通过2MN PQ =得出MN 的取值范围判断D.【详解】对于A ，因为直线()():12130l m x m y m '++--=，可化为()230x y m x y -++-=，由0230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以()():12130l m x m y m '++--=过定点()1,1P ，故A 正确；对于B ，当直线l 与直线l '平行时，因为直线:10l x y +-=的斜率为1-，所以直线l '的斜率也为1-时，则1211mm+=--，解得：2m =-，此时:3360l x y '--+=，即20x y +-=与直线:10l x y +-=平行，故B 项正确；对于C2=，则=，解得2r =，设MN 的中点为(),Q x y ，PM PN ⊥ ，Q 为MN 的中点，12PQ MN MQ ∴==， 点,M N 在圆O 上，2OM ∴=，OQ MN ⊥，22222OM OQ MQ OQ PQ ∴=+=+，即22224(1)(1)x y x y =++-+-，化简可得22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点Q 的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，62为半径的圆，故C 错误；对于D ，点P 到圆心11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离为22，在圆22113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内，PQ ∴的取值范围为22-+⎣⎦，2MN PQ= MN ∴的取值范围为，故D 项正确.故选：ABD.12.在一个圆锥中，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，P 为线段DO 的中点，AE 为底面圆的直径，ABC 是底面圆的内接正三角形，3AD ==，则下列说法正确的是（）A.//BE 平面PACB.在圆锥的侧面上，点A 到DE 的中点的最短距离为2C.二面角B PC A --的余弦值为12D.记直线DO 与过点P 的平面α所成角为θ，当cos 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆或部分椭圆【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，假设//BE 平面PAC ，由线面平行的性质得到线线平行，但BE 不与AC 平行，所以假设不成立，A 错误；B 选项，将侧面铺平展开，在平面内得到最短距离；C 选项，先求出四面体-P ABC 为正四面体，作出辅助线，找到二面角B PC A --的平面角，利用余弦定理求出答案；D 选项，设圆锥的轴截面顶角2ADE β∠=，得到cos 3OD DE β==，根据余弦函数的单调性得到π2βθ<<，从而得到答案.【详解】对于A 项，假设//BE 平面PAC ，因为BE ⊂平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，所以BE //AC ，由题意得BE 不与AC 平行，所以假设不成立，则BE 不平行平面PAC ，故A 项错误；对于B 项，将侧面铺平展开得3AD DE ==，因为3AD ==，所以AB =故2cos30ABAE ==︒，1AO =，底面圆周长2π12π⨯=，所以 πAE =，则π3ADE ∠=，所以点A 到DE 中点M 的最短距离为AM ，在等边三角形ADE 中，sin2π3AM AD ==，故B 项正确；对于C 项，因为3DE =，1AO =，则DO ==，所以12PO DO ==21PA =+=，同理PB PC ==，又AB BC AC ===，所以四面体-P ABC为正四面体，取PC 的中点Q ，连接,BQ AQ ，则BQ ⊥PC ，AQ ⊥PC ，则AQB ∠即为二面角B PC A --的大小，其中3602BQ AQ ==︒=，由余弦定理得222993144cos 3323222AQ BQ AB AQB AQ BQ +-+-∠===⋅⨯⨯，即二面角B PC A --的余弦值为13，故C 项错误；对于D 项，设圆锥的轴截面顶角2ADE β∠=，则22cos 3OD DE β==，由题意得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为cos 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos cos θβ<，又cos y x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故π2βθ<<，此时平面α与圆锥侧面的交线为椭圆或部分椭圆，D 正确.故选：BD .【点睛】在空间中，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线是一个圆，用一个不垂直轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角α不同时，可以得到不同的截口曲线，设圆锥的轴截面半顶角为β，当βα<时，截口曲线为椭圆，当βα=时，截口曲线为抛物线，当βα>时，截口曲线为双曲线如图所示：三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()0,0,0,3,2,4,0,5,1O A B -，若23OC AB =uuu ruu ur ，则C 的坐标是__________.【答案】102,2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】应用空间向量数乘即向量相等即可.【详解】因为()()()0,0,0,3,2,4,0,5,1O A B -，设(),,C x y z 则()3,3,5AB =- ，(,,)O y z C x =所以210(,,)2,2,33OC x y z AB ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，则102,2,3x y z =-==，即102,2,3C ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：102,2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭14.若函数()e 1xf x a =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】()1,0-【解析】【分析】将问题转换成e 1xy =-与y b =的图像交点问题，数形结合得到答案.【详解】函数()e 1xf x a =-+有两个零点，即e 1xy =-与y a =-的图像有两个交点.令a b -=，作出e 1xy =-与y b =的大致图像如图所示，由图可知01b <<，则01a <-<，故实数a 的取值范围是()1,0-.故答案为：()1,0-15.已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在对称轴，则ω的最大值是__________.【答案】53【解析】【分析】由正弦函数性质及已知条件建立不等式组即可【详解】因为π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且0ω>，所以πππππ2666x ωωω-<-<-，因为()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在对称轴，所以()ππππ262,Z πππ1π62k k k ωω⎧-≥+⎪⎪∈⎨⎪-≤++⎪⎩，解得452,Z 33k k k ω+≤≤+∈，当1k =-时，203ω<≤；当0k =时，4533ω≤≤；当1k ≥时，不成立，即2450,,333ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为：53.16.如图，已知直线1l 2,l A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1,2,B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，平面内动点G 满足230GA GB GC ++=，则 GBC 面积的最小值是__________.【答案】13【解析】【分析】取AC 的中点,M BC 的中点N ，先由平面向量运算得到20GM GN +=；表示出11113326GBC MBC ABC ABC S S S S ==⨯= ，再由几何关系得到21,cos sin AB AC θθ==，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.【详解】由230GA GB GC ++= ，得220GA GC GB GC +++=.取AC 的中点,M BC 的中点N ，有20GM GN +=，则11113326GBC MBC ABC ABC S S S S ==⨯= .设π02BAD Ðq q 骣琪=<<琪桫，由于1DE l ⊥，2DE l ⊥，而AC AB ⊥，则π2EAC θ∠=-，由2AD =，1AE =，得21,cos sin AB AC θθ==，则122222cos sin sin2ABC S AB AC θθθ=⋅==≥ ，当且仅当π22θ=，即π4θ=时取等号，此时GCB △的面积的最小值为1163ABC S = .故答案为：13【点睛】本题考查平面向量和基本不等式的计算.取AC 的中点,M BC 的中点N ，先由平面向量运算得到20GM GN += ；表示出11113326GBC MBC ABCABC S S S S ==⨯= ，再由几何关系得到21,cos sin AB AC θθ==，最后由三角函数二倍角公式和取值范围得到最值.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A 在抛物线C 上，点()1,1B ，且满足43FB FA OF=-（O 为坐标原点）.（1）求C 的方程；（2）求AFB ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）24y x =（2）330x y --=【解析】【分析】（1）利用向量关系求出点A 坐标，代入抛物线方程可得；（2）求出直线BF ，AF 的方程，设(),P x y 为AFB ∠的角平分线所在直线上任一点，利用点到直线的距离公式可得.【小问1详解】因为43FB FA OF =- ，所以33OF FB FA FB +=- ，所以3OB BA =，设(),A x y ，则()()31,11,1x y =--，解得()4,4A .因为点A 在C 上，所以2424p =⋅，所以2p =，所以24y x =.【小问2详解】由（1）知()1,0F ，所以直线BF 的方程为1x =，又43AF k =，所以直线AF 的方程为()413y x =-，即4340x y --=.由抛物线的图形知，AFB ∠的角平分线所在直线的斜率为正数.设(),P x y 为AFB ∠的角平分线所在直线上任一点，则有43415x y x --=-，若43455x y x --=-，得310x y +-=，其斜率为负，不合题意，舍去.所以43455x y x --=-+，即330x y --=，所以AFB ∠的角平分线所在直线的方程为330x y --=.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为()1,0F ，且离心率为12.（1）求C 的方程；（2）过F 作直线l 与C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若27OMN S =，求l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）10x y +-=或10x y --=.【解析】【分析】（1））由离心率和焦点坐标即可求得C 的方程.（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据627OMN S =求出直线l 的方程.【小问1详解】由已知得1c =，离心率12c e a ==，得2222,3a b a c ==-=，则C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题可知，若OMN 面积存在，则斜率不为0，所以设直线l 的方程为1,x my m =+显然存在，()()1122,,,M x y N x y ，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2234690m y my ++-=，因为直线l 过点F ，所以Δ0>显然成立，且12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，因为121122OMNS OF y y =⋅-= .127==，化简得4218170m m --=，解得21m =或21718m =-（舍），所以直线l 的方程为10x y +-=或10x y --=.19.如图，已知棱长为4的正方体1111,ABCD A B C D M -为11B D 的中点，E 为MC 的中点，F BC ∈，且EF 面11BB D D .（1）求证：,,,E F M B 四点共面，并确定点F 位置；（2）求异面直线1AA 与BM 之间的距离；（3）作出经过点,,A F M 的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长.【答案】（1）F 为BC 的中点.证明见解析（2）22（3）截面位置见解析，45217+【解析】【分析】（1）由线面平行的性质定理得到四点共面，进而确定F 的位置；（2）证明1A M 同时垂直于两条异面直线，并求出长度即可；（3）在线段1111,A D B C 上分别取点,P Q ，使得111,1A P C Q ==，连接点,,,A F Q P ，画出四边形AFQP 即为所求，并求出周长.【小问1详解】证明：因为EF 面11,BB D D EF ⊂面CBM ，面CBM 面11BB D D MB =，所以EF MB ，所以,,,E F M B 四点共面.又EF MB ，所以F 为BC 的中点.【小问2详解】连接1A M ，因为1AA ⊥面11111,A B C D A M ⊂面1111D C B A ，所以11AA A M ⊥，因为1AA 1BB ，所以11A M BB ⊥，又1111111,A M B D BB B D B ⊥⋂=，所以1A M ⊥面11BB D D ，又BM ⊂面11BB D D ，所以1A M BM ⊥.所以线段1A M 即为异面直线1AA 与BM 之间的距离，易得12A M =即异面直线1AA 与BM 之间的距离为22.【小问3详解】如图，在线段1111,A D B C 上分别取点,P Q ，使得111,1A P C Q ==，连接点,,,A F Q P ，则四边形AFQP 即为所求.又AF PQ AP QF ======，所以该截面的周长为+20.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求A ；（2）若π4,4b B ==，点D 在线段BC 上且满足CD CB λ= ，当AD 取最小值时，求λ的值.【答案】（1）π3（2）336λ-=【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到sin cos sin sin A C A C C =+，得到cos 1A A -=，求得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可求解.（2）由正弦定理求得5π12a ACB ∠==，根据AD CB CA λ=- ，利用向量的线性运算法则和数量积的运算公式，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】由题得cos sin a C C b c +=+，由正弦定理得sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，又由πA B C ++=，可得()sin sin B A C =+，所以()sin cos sin sin sin A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C =+，因为()0,πC ∈，可得sin 0C >cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66A -=，故π3A =，【小问2详解】在ABC 中，由正弦定理得sin sin b aABC BAC∠∠=2322=解得5π12a ACB ∠==，则5πππ232162cos cos()124622224=+=⋅-⋅=，因为AD CD CA CB CA λ=-=-，由余弦定理得2225π||24162241624cos12AD CB CA λλλλ=+-⋅=+-⋅⋅(222416242483164λλλλ=+-⋅=-+，所以当336λ-=时，AD 取到最小值.21.如图①，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==为边CD 的中点.将ADE V 沿AE 翻折至PAE △，连接,PB PC ，得到四棱锥P ABCE -（如图②），M 为棱PB 的中点.（1）求证：CM 面PAE ，并求CM 的长；（2）若PB =，棱AP 上存在动点F （除端点外），求直线BF 与面PEC 所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）CM =，证明见解析（2）20,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用线面平行即可求证，然后利用勾股定理可求出CM 的长；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解直线与平面的夹角，并结合函数性质，从而求解.【小问1详解】证明：取PA 的中点N ，连接,EN MN ，如下图，因为,M N 分别为,PB PA 的中点，所以MN AB 且12MN AB =.又EC AB 且12EC AB =，所以EC MN ，EC MN =，所以四边形CMNE 为平行四边形，所以CM EN .因为CM ⊄平面,PAE EN ⊂平面PAE ，所以CM 平面PAE .在Rt PEN中，EN ===，所以CM EN ==.【小问2详解】取EA 的中点Q ，连接,PQ BQ，易得PQ =在QAB中，45,QAB BQ ∠==，且PB =，则222PQ QB PB +=，即PQ QB ⊥.因为,,,PQ EA EA QB Q EA QB ⊥⋂=⊂面ABCE ，所以PQ ⊥面ABCE .取AB 的中点G ，连接EG ，则EG EC ⊥，以E 为原点，,,EG EC QP方向分别为,,x y z轴的正方向，建立如上图所示的空间直角坐标系，(0,0,0),(2,2,0),(2,2,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,E A B C Q P ---，设(),,,(01)F x y z AF AP λλ=<<，则有()(2,2,x y z λ-+=-，所以()()2,,,F BF λλλλ--=--.因为()(0,2,0,1,EC EP ==-，设平面PEC 的一个法向量(),,n a b c = ，则200EC n b EP n a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取a =1)n =- .设BF 与平面PEC 所成角为θ，则sin BF n BF n θ⋅===⋅3=.设11t λ=>，所以sin 3θ=，因为2213421224t t t ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，因为1t >，所以24213t t -+>，0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin 0,3θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.即BF 与平面PEC所成角的正弦值的取值范围为0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.22.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2（1）求C 的标准方程；（2）设不与渐近线平行的动直线l 与双曲线有且只有一个公共点P ，且与直线12x =相交于点Q ，试探究：在焦点所在的坐标轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213y x -=（2）存在定点M ，坐标为()2,0M .【解析】【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解，（2）联立直线与双曲线方程，利用判别式为0得2230k m -+=，进而可得,P Q 坐标，即可根据向量垂直的坐标关系代入求解.【小问1详解】由题可得渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，则右焦点F到渐近线的距离为b ==，又2222,===+ce c a b a，所以223,1b a ==，所以C 的标准方程为2213y x -=.【小问2详解】由题可得直线的斜率显然存在且k ≠，设直线l 的方程为y kx m =+，则11,22Q k m ⎛⎫+⎪⎝⎭，联立22,1,3y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 整理得()2223230k x kmx m ----=，由设直线l 与双曲线有且只有一个公共点P且k ≠，可知()()2222Δ44330k m k m=----=，即2230k m -+=.令()11,P x y ，则123km kx k m==--，代入直线方程得213k y m m m =-+=-，即3,k P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.假设以PQ 为直径的圆上存在定点M ，令()0,0M x ，则0MP MQ ⋅=，即00113022k x x k m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，即00011330222k k x x x m m ⎛⎫⎛⎫-+--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()200013202kx x x m --+-=，令2001302x x --=且020x -=，则02x =当02x =时恒成立，所以在焦点所在的坐标轴上存在定点M ，坐标为()2,0M .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b。
江苏省苏州园三2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2023-2024学年高二年级12月三校联合调研测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知等比数列{}n a 中，11a =，48a=−，则公比q =（ ）A. 2B. 4−C. 4D. 2−【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.【详解】依题意33418,2a a q q q ===−=−. 故选：D2. 已知过(,2),(,1)A m B m m −−两点的直线的倾斜角是45 ，则,A B 两点间的距离为（ ）A. 2B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用倾斜角求出1m =，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，12tan 451m m m−−=°=−−， 解得1m =，故(1,2),(1,0)A B −，则,A B 故选：C3. 直线320x my m +−=平分圆C ：22220x x y y ++−=，则m =（ ）A.32B. 1C. -1D. -3【答案】D 【解析】【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.【详解】22220x x y y ++−=变形为()()22112x y ++−=，故圆心为()1,1−，由题意得圆心()1,1−在320x my m +−=上，故320m m −+−=，解得3m =−.故选：D4. 设双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的虚轴长为2，焦距为 ）A. y =B. 2y x =±C. y x =±D. 12y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到1b =，c =a =.【详解】由题意得22b =，2c =1b =，c =故a故双曲线渐近线方程为b y x x a=±. 故选：C5. 椭圆22192x y +=中以点()21M ，为中点的弦所在直线斜率为（ ） A. 49−B.12C.D. −【答案】A 【解析】【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【详解】设弦的两端点为()11A x y ，，()22B x y ，，代入椭圆得22112222192192x y x y += += ， 两式相减得()()()()12121212092x x x x y y y y −+−++=，即()()()()1212121292x x x x y y y y −+−+=−，即()()1212121229x x y y y y x x +−−=+−， 即12122492y y x x −×−=×−， 即121249y y x x −=−−，∴弦所在的直线的斜率为49−， 故选:A ．6. 已知()1,0F c −，()2,0F c 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】设点P .【详解】设()00,P x y ，则()22002210x ya b a b +=>>，∴2220021x y b a=−， 由212PF PF c ⋅=，∴()()20000,,c x y c x y c −−−⋅−−=， 化为2222x c y c −+=，∴22220212x x b c a+−=， 整理得()2222023a x c a c=−， ∵220x a ≤≤，∴()2222203a c a a c≤−≤，e ≤≤，故选：B7. 过动点(),P a b （0a ≠）作圆C：(223x y +−=的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=°，则ba的取值范围是（ ）A.B.C. , −∞+∞D.(),−∞∪+∞【答案】D 【解析】【分析】求出PC =，确定动点(),P a b 的轨迹方程，从而结合ba表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率，利用距离公式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆C：(223x y +−=因为A ，B 分别为两条切线PA ，PB 的切点，且60APB ∠=°，则30APC BPC ∠=∠=°，所以2PC AC ==，所以动点(),P a b在圆(2212x y +−=上且0a ≠，b a表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率， 设bk a=，则直线y kx =与圆(2212x y +−=有公共点，≤，解得k ≤k ≥，即ba的取值范围是(),−∞∪+∞， 故选：D8. 已知数列{}n a 满足()2123111N 23n a a a n n na n +++++=+∈ ，设数列{}nb 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A. 1,4+∞B. 1,4+∞C. 3,8∞+D. 38 +∞,【答案】D 【解析】【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果.【详解】数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n++++=+ ，① 当2n ≥时，()2123111111231n n a a a a n n −++++−−=+− ，②①−②得，12n a n n=，故22n a n =， 则()()2222121211114411n n n n n b a a n n n n +++===− ++， 则()()22222211111111114223411n T n n n=−+−++−=− ++，由于()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，故()2111411nn n λ −< ++， 整理得：()21144441n n n λ+>=+++，因()11441n ++随n 的增加而减小， 所以当1n =时，()11441n ++最大，且38， 即38λ>. 故选：D二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）为9. 下列说法正确的是（ ）A. 直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1 C. 过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x −−=−− D. 已知点()1,2P，向量()m =，过点P 作以向量m为方向向量的直线为l ，则点()3,1A 到直线l的距离为1【答案】ABD 【解析】【分析】由直线方程，求得在坐标轴上的截距，利用面积公式，可判定A 正确；根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标，可判定B 正确；根据直线的两点式方程的条件，可判定C 错误；根据题意，求得直线l 的方程，结合点到直线的距离公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，令0x =，可得=2y −，令0y =，可得2x =，则直线20x y −−=与两坐标轴围成三角形的面积12222S =××=，所以A 正确； 对于B 中，设()0,2关于直线1y x =+对称点坐标为(),m n ，则212122n mn m − =−+ =+ ，解得1,1m n ==，所以B 正确； 对于C 中，直线的两点式使用的前提是1212,x x y y ≠≠，所以C 错误；对于D中，以向量()m =为方向向量的直线l的斜率k =，则过点P 的直线l的方程为)12y x −+，即10x +−−=， 则点()3,1A 到直线l的距离1d −，所以D 正确． 故选：ABD ．的10. 已知椭圆221259x y +=上一点P ，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，则（ ）A. 若点P 的横坐标为2，则1325PF = B. 1PF 的最大值为9C. 若12F PF ∠为直角，则12PF F △的面积为9D. 若12F PF ∠为钝角，则点P的横坐标的取值范围为 【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，可直接解出点P 坐标，求两点距离； 对B ，1PF 最大值为a c +对C ，设1PF x =，则210PF x =-，列勾股定理等式，可求面积；对D ，所求点P 在以原点为圆心，4c =为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.【详解】椭圆的长半轴为5a=，半焦距为4=c ，∴()()124,0,4,0F F −对A ，2x =时，代入椭圆方程得，=，1175PF ==，A 错； 对B ，1PF 的最大值为9a c +=，B 对；对C ，12F PF ∠为直角，设1PF x =，则210PF x =-，则有()222210810180x x x x +-=⇒-+=，则12PF F △的面积为()11810922x x −==，C 对； 对D ，以原点为圆心，4c =为半径作圆，则12F F 为圆的直径，则点P 在圆内时，12F PF ∠为钝角，联立2222125916x y x y += +=，消y得x =，故点P的横坐标的取值范围为 ，D 对. 故选：BCD11. 已知数列{}n a 满足12a =，12,2,n n na n a a n ++ = 为奇数，为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则（ ）A. 520a =B. 32nn b =×C. 12632n n T n +=−−+×D. 2261232n n S n +=−−+×【答案】ACD 【解析】【分析】分析1n a +与n a 的递推关系，根据数列{}n a 的奇数项、偶数项以及分组求和法求得2,n n T S .【详解】依题意，2132435424,28,210,220a a a a a a a a =+====+===，A 选项正确. 112432b a ==≠×，所以B 选项错误.当n 为偶数时，2111222n n n n a a a a ++++==+=+，所以()2222n n a a ++=+，而226a +=，所以1122262,622nn nn a a −−+=×=×−，所以12242662622nn nT a a a n − ++++×++×−()16122263212n n n n +−=−=−−+×−，所以C 选项正确.当n 为奇数时，()211122224n n n n n a a a a a ++++++，所以()2424n n a a ++=+，而146a =，所以11122462,624n n nn a a +−−+=×=×−，所以1213521662624n n a a a a n −−+++++×++×−()16124463212n n n n +−=−=−−+×−，所以()()11224632263261232n n n n S n n n +++=−−+×+−−+×=−−+×，所以D 选项正确.故选：ACD【点睛】求解形如()11n n a pa q p +=+≠的递推关系式求通项公式的问题，可考虑利用配凑法，即配凑为()1n n a p a λλ++=+的形式，再结合等比数列的知识来求得n a .求关于奇数、偶数有关的数列求和问题，可考虑利用分组求和法来进行求解.12. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+．已知椭圆C，点A ，B 均在椭圆C 上，直线:40l bx ay +−=，则下列描述正确的为（ ） A. 点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB. 若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y +=C. 若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则01b <<D. 若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆上点到原点最大距离为a ，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减去a 可判断A ，利用相切列出方程即可求得椭圆的方程，可判断B ，分析可得点Q 应在蒙日圆外，解不等式从而判断C ，依据题意表示出面积表达式并利用基本不等式即可求出面积最大值，可判断D.【详解】由离心率c e a ==，且222a b c =+可得223a b ， 所以蒙日圆方程2224x y b +=； 对于A ，由于原点O 到蒙日圆上任意一点的距离为2b ，原点O到椭圆上任意一点的距离最大值为a ，所以椭圆C 上的点A 与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(2b −，即A 错误；对于B ，由蒙日圆定义可知：直线:40l bx ay +−=与蒙日圆2224x y b +=相切， 则圆心到直线l422b b=，解得1b =； 所以椭圆C 的方程为2213x y +=，即B 正确；对于C ，根据蒙日圆定义可知：蒙日圆上的点与椭圆上任意两点之间的夹角范围为π0,2，若若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，可知点Q 应在蒙日圆外，所以此时直线l 与蒙日圆2224x y b +=422b b >，解得11b −<<， 又0a b >>，所以可得01b <<，即C 正确.对于D ，易知椭圆C 的方程为2213x y +=，即2233x y +=，蒙日圆方程为224x y +=， 不妨设()0,Mx y ，因为其在蒙日圆上，所以22004xy +=，设()()1122,,,A x y B x y ，又MA MB ⊥，所以可知,MA MB 与椭圆相切，此时可得直线MA 的方程为1133x x y y +=，同理直线MB 的方程为2233x x y y +=； 将()00,M x y 代入,MA MB 直线方程中可得101020203333x x y y x x y x +=+= ，所以直线AB 的方程即为0033x x y y +=， 联立00223333x x y y x y +=+=，消去y 整理可得()2222000036990x y x x x y +−+−=； 由韦达定理可得200121222220000699,33x y x x x x x y x y −+==++, 所以()20202122y AB y +=+， 原点O 到直线AB的距离为d，因此AOB 的面积()2020********AOBy S AB d y +=⋅=×=+333222==≤=；，即201y =时等号成立， 因此AOBD 正确； 故选：BCD的【点睛】方法点睛：在求解椭圆中三角形面积最值问题时，经常利用弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积的表达式，再利用基本不等式或函数单调性即可求得结果.三、填空题（本大题共4小圆，每小题5分，共20分）13. 在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =_________. 【答案】55 【解析】【分析】根据下标和性质求出6a ，再根据等差数列前n 项和公式及下标和性质计算可得.【详解】在等差数列{}n a 中7825a a =+，又7862a a a =+，所以65a =， 所以()111611611112115522a a a S a +×====. 故答案为：5514. 已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为_____【解析】【分析】首先求12,PF PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解．【详解】因为12||||26PF PF a +==，12||2||PF PF =，所以12||4,||2PF PF ==， 212954,||24c F F c −====，则121||||4F F PF ==，等腰12PF F △边2PF 上的高h =，所以12122PF F S =×= ，设22PF F 的内切圆半径为r ，则121211(||||||)1022PF PF F F r r ++×=××=所以r =15. 已知圆M经过((()2,,1,0,A C B −．若点()3,2P ，点Q 是圆M 上的一个动点，则MQ PQ ⋅的最小值为__________．【答案】4−【解析】【分析】先利用待定系数法求出圆的方程，再利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出. 【详解】设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由于圆经过(2,A，(B ，()1,0C −，所以有72072010D F D F D F ++=++=−+=，解得203D E F =− = =− ， 所以圆M 的一般方程为22230x y x +−−=，即标准方程为()2214x y −+=. 则圆M 的圆心()1,0M ，半径2==r MQ ，且=MP，因为()2424 ⋅=⋅−=−⋅≥−×=−MQ PQ MQ MQ MP MQ MQ MP ，当且仅当MQ 与MP同向时，等号成立，所以MQ PQ ⋅的最小值为4−.故答案为：4−.16. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作倾斜角为30 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点P ，Q ，若()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，则C 的离心率为______．【解析】【分析】由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解.【详解】依题意，由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=， 得22220F P F Q QP F P F Q+⋅=，即2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直， 如图，设2PF Q ∠的平分线2F D 与直线PQ 交于点D ，则22PF D QF D ∠=∠，2290F DP F DQ ∠=∠= ，又22DF DF =， 所以22PDF QDF ≌△△2QF ．由题得()1,0F c −，()2,0F c ，设2DF h =，2QF s =，1PF t =，在12Rt DF F △中，1290F DF ∠=，1230DF F ∠=，则h c =，1DF =，由双曲线的性质可得122122QF QF PQ t s a PF PF s t a −=+−=−=−= ，解得4PQ a =，则2PDQD a ==，所以在2Rt QDF△中，s=又12t DF PD a =−=−，2s t a −=)22a a −−=，，整理得222ac =，所以cea==四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列{}n a 满足：122,4a a ==，数列{}n a n −为等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：12nn S a a a =++⋅⋅⋅+． 【答案】（1）12n n −+ （2）2112122n n n ++− 【解析】【分析】（1）首先求出11a −，22a −，即可求出等比数列{}n a n −的通项公式，从而求出{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】因为12a =，24a =，数列{}n a n −为等比数列，所以111a −=，222a −=2=，即{}n a n −是以1为首项，2为公比等比数列， 所以12n n a n −−=，则12n n a n −=+. 【小问2详解】12n n S a a a =++⋅⋅⋅+01211222322n n −=++++++++()()01211232222n n −=+++++++++()2112112121222n n n n n n +−=+=++−−. 18. 已知圆()()22:121M x y ++−=，直线l 过原点()0,0O ． （1）若直线l 与圆M 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆M 交于P ，Q 两点，当MPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．的【答案】（1）0x =或34y x =− （2）y x =−或7y x =−．【解析】【分析】（1）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径来求得直线l 的方程.（2）设出直线l 的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得三角形PQM 面积的表达式，结合二次函数的性质求得MPQ 的面积最大时直线l 的方程. 【小问1详解】①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =，显然符合直线与圆相切， ②当斜率存在时，设直线为y kx =，圆M 的圆心坐标()1,2-，圆心到直线的距离d由题意得：直线l 与圆M1，解得：34k =−，所以直线l 的方程为：34y x =−， 综上所述，直线l 的方程为：0x =或34y x =− 【小问2详解】直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =与圆相切，不符合题意，故直线l 斜率必存在， 设直线l 的方程为：y mx =， 圆心到直线的距离d，弦长PQ ==，所以12PQM S PQ d =⋅⋅=△当212d =时，面积S 最大，12=，整理得2870m m ++=，解得7m =−，或1m =−，所以直线l 的方程：y x =−或7y x =−．19.如图，已知A ，(0,0)B ，(12,0)C，直线:(20l k x y k −−=．（1）证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标； （2）若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；（3）若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程． 【答案】（1）证明见解析，定点坐标为(2,； （2170y +−=； （3）2100x −=． 【解析】【分析】（1）整理得到(2))0k x y −+−=，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S =得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D 点坐标，得到直线方程；（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到12P P k =由对称性得PK k =写成直线方程. 【小问1详解】直线:(20l k x y k +−−=可化为(2))0k x y −+−=，令200x y −= −=，解得2x y = = l经过的定点坐标为(2,；【小问2详解】因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12ABAC BC ===， 由题意得直线AB方程为y =，故直线l经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM ==，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =××，所以3||||94AD AC ==， 设00(,)D x y ，所以34AD AC = ，即003(6,(6,4x y −−=−，所以0212x =，0y =D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =， 所以直线l 170y+−=； 【小问3详解】设P 关于BC 的对称点1(2,P −，关于AC 的对称点2(,)P m n ， 直线AC12612x −=−，即)12y x −，直线AC的方程为12)y x −，所以(12122m =−+ =− ，解得14,m n ==2P ， 由题意得12,,,P K I P四点共线，12P P k =PK k =， 所以入射光线PK的直线方程为2)y x −−，即2100x +−=．20.已知两定点()()12,2,0F F ，满足条件212PF PF −=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =−与曲线E 交于A ，B （1）求曲线E 的方程； （2）求实数k 的取值范围；（3）若||AB =AB 的方程． 【答案】20. ()2210x y x −=<21. ()1−22.10x y ++= 【解析】【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为()2210x y x −=<；（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去y 后得到关于x 的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解k 的取值范围； （3）由AB =，利用弦长公式，结合韦达定理列出关于k 的方程，解方程即可得结果. 【小问1详解】由双曲线定义可知，曲线E是以()1F，)2F为焦点的双曲线的左支，且c =由2122PF PF a −==，所以1a =，1b ，所以曲线E 的方程为()2210x y x −=<.故曲线E 的方程为：()2210x y x −=<.【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意联立方程组2211x y y kx −= =− ，消去y 得()221220k x kx −+−=， 又因为直线与双曲线左支交于两点，有()()222122122102810201201k k k k x x k x x k −≠ ∆=+−> − +=< −− => −，解得1k <<−. 故k的取值范围为()1−. 【小问3详解】因为2AB x =−====，整理化简得422855250k k −+=，解得257k =或254k =， 因为1k<<−，所以k =AB 10x y ++=. 故直线AB 10x y ++=. 的【点睛】关键点睛：（2）（3）中根据直线与曲线联立后利用韦达定理，再结合弦长公式从而求解. 21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=−，数列{}n b 满足2log 1nn a b n =+，其中*N n ∈. （1）证明2n n a为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n+的前n 项和为n T ；（3）求使不等式1321111111n m b b b −+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥n 都成立的最大实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；(1)2nn a n =+⋅ （2）188(4)4339n n T n =+⋅− （3【解析】【分析】（1）根据数列递推式可得122nn n a a −−=，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求得答案； （3）将原不等式化为()111111321n+++≥ −调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案. 【小问1详解】当1n =时，11124a S a ==−，则14a =， 当2n ≥时，11,22nn n n n n a S S a a −−∴=−−=，即11122n n n n a a −−−=，即2n n a 是以122a =为首项，公差为1的等差数列， 故(1,22)1n n n n a n a n =++⋅∴= 【小问2详解】由（1）可得2(1)41n n a n n =+⋅+， 故22434(1)4n n T n =×+×+++⋅ ，故231424344(1)4n n n T n n +=×+×++⋅++⋅ ，则231324444(1)4n n n T n +−=×++++−+⋅14(14)884(1)4(4)41433n n n n n +−=+−+⋅=−+⋅−， 故188(4)4339n n T n =+⋅−； 【小问3详解】22log log 21n n n a b n n ===+，则1321111111n m b b b − +⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥即()111111321n+++≥ −即11321n m −≤对任意正整数n 都成立，令()11111?·1321n f n +++−=则()111111?·11321211n n f n ++++−++故()()11f n f n +=>， 即(),N f n n +∈随着n 的增大而增大，故()()1f n f ≥m ≤， 即实数m【点睛】关键点睛：第三问根据数列不等式恒成立问题求解参数的最值问题时，要利用分离参数法推得111111321n m +++−≤ 对任意正整数n 都成立，之后的关键就在于构造函数，并判断该函数的单调性，从而利用最值求得答案.22. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，两焦点12,F F 在x 轴上，离心率为12，点P 在C 上，且12PF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()4,0M 的动直线l 与C 相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴的交点为E ，求ABE 的面积的最大值． 【答案】（1）22143x y += （2【解析】【分析】（1）根据题意得到22212226c a a c a b c = +==+，再解方程组即可. （2）首先设出直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、点,B D 关于x 轴对称、,,A E D 三点共线得到()1,0E ，从而得到ABES = ，再利用换元法求解最值即可. 【小问1详解】由题知：2221222261c a a a c b a b c c == +=⇒ =+=， 所以椭圆22:143x y C += 【小问2详解】如图所示：设直线():40l x ty t =+≠，()()1122,,,A x y B x y . ()222243424360143x ty t y ty x y =+ ⇒+++= += . ()()2224434360t t ∆−+×>，解得24t >.1222434t y y t −+=+，1223634y y t =+. 因为点,B D 关于x 轴对称，所以()22,D x y −. 设()0,0E x ，因为,,A E D 三点共线，所以AE DE k k =. 即121020y y x x x x −=−−，即()()120210y x x y x x −=−−. 解得()()()12211212122101212124424y ty y ty ty y y y y x y x x y y y y y y ++++++===+++ 2364124t t×=−+=. 所以点()1,0E 为定点，3EM =.1212ABE AME BME S S S EM y y =−=⋅−=令0m =>，则()22181818163163443ABE m m S m m m m===≤++++△ 当且仅当163m m =，即m =时取等号. 所以ABE。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A．23B．22
6．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是
通的概率为（）
二、多选题
A ．1EF AD ⊥C ．EF 与1BD 异面
11．已知抛物线2
:2C y px =2x =-上一点，过点P 作抛物线
三、填空题
四、解答题
(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，市太空知识竞赛，求90分（包括9020．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，1
12
BC CD AD ==
=、PA PD =，E 、(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；
(2)若PC 与AB 所成角为45 ，求二面角21．已知抛物线C ：28y x =，点(M B 两点．
(1)若P 为抛物线C 上的一个动点，当线段的顶点处，求a 的取值范围；
(2)当a 为定值时，在x 轴上是否存在异于点
(1)求r的取值范围；
(2)过点P作圆C的两条切线，切点为PB与椭圆E的另一个交点为
ST的最大值，并计算出此时圆。
2023-2024学年上海市高二上册12月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市高二上册12月月考数学试题一、填空题1．已知等比数列}{n a 中，12452,16a a a a +=+=，则}{n a 的公比为__．【正确答案】2【分析】设公比为q ，再根据题意作商即可得解.【详解】设公比为q ，则345128a a q a a +==+，所以2q =.故答案为.22．已知直棱柱的底面周长为12，高为4，则这个棱柱的侧面积等于___________.【正确答案】48【分析】根据直棱柱的侧面积公式直接求解即可【详解】因为直棱柱的底面周长为12，高为4，所以这个棱柱的侧面积为12448⨯=，故483．直线0mx y -=与直线220x my --=平行，则m 的值是__________．【正确答案】【分析】利用直线的平行条件即得.【详解】∵直线0mx y -=与直线220x my --=平行，∴122m m -=≠--，∴m =.故答案为.m =4．经过两直线2x +y -1=0与x -y -2=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是___________．【正确答案】x +y =0或x -y -2=0【分析】先求解两直线的交点坐标，再运用截距式求解直线的方程可得出结果.【详解】解：联立两直线方程可得：21020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，可得两条直线交点P （1，-1）．①直线经过原点时，可得直线方程为y =-x ；②直线不经过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，把交点P （1，-1）代入可得111a a-+=-，解得a =2．所以直线的方程为x -y-2=0．综上直线方程为：x +y =0或x -y -2=0．故x +y =0或x -y -2=0．5．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，由22r l πππ==，求得底面半径，进而得到高，再利用锥体的体积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，高为h ，底面半径为r ，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以22r l πππ==，解得1r =，所以h =所以圆锥的体积为：1133V Sh π==⨯⨯故该几何体的体积为3，故36．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，空间一点Р到平面α、β和棱l 的距离分别为4和l αβ--的大小为_______________.【正确答案】75 或15【分析】分点P 在二面角l αβ--的内部和外部，利用二面角的定义求解.【详解】当点P 在二面角l αβ--的内部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥，A ，C ，B ，P 四点共面，ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42所以212sin ,sin 224242ACP BCP ∠=∠==所以30,45ACP BCP ∠=∠= ，则453075ACB BCP ACP ∠=∠+∠=+= ；当点P 在二面角l αβ--的外部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥，A ，C ，B ，P 四点共面，ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42所以所以2212sin ,sin 224242ACP BCP ∠=∠==所以30,45ACP BCP ∠=∠= ，30,45ACP BCP ∠=∠= ，则453015ACB BCP ACP ∠=∠-∠=-= .故75 或157．已知圆台的上、下底面半径分别为2和5，圆台的高为3，则此圆台的体积为__．【正确答案】39π【分析】由圆台的体积公式代入求解即可.【详解】由题意知，122,5,3r r h ===，则()()22121211ππ42510339π33V r r r r h =++⨯=++⨯=.故答案为.39π8．如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 平行；③CN 与BM 成60 角④DM 与BN 垂直，请写出正确结论的个数为__个．【正确答案】4【分析】画出该平面展开图合起来后的正方体后，逐项判断.【详解】解：该平面展开图合起来后的正方体，如图所示：由图形得BM 与ED 是异面直线，故①正确；CN 与BE 平行，故②正确；连接EM ，则BEM △为等边三角形，所以BE 与BM 所成角为60︒，因为//CN BE ，所以CN 与BM 成60︒角，故③正确；对于④，连接CN ，BC ⊥平面CDNM ，DM ⊂平面CDNM ，所以BC DM ⊥，又DM CN ⊥，,,CN BC C CN BC ⋂=⊂面BCN ，所以DM ⊥平面BCN ，BN ⊂平面BCN ，所以DM BN ⊥，故④正确.所以正确结论的个数是4个.故49．若圆222:()0O x y r r +=>上恰有相异两点到直线40x y --=，则r 的取值范围是__．【正确答案】【分析】计算圆心到直线的距离为||d r -.【详解】圆心(0,0)到直线40x y --=的距离d =，因为圆上恰有相异两点到直线40x y --=，所以||d r -即||r r <<故10．过点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.【正确答案】2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程.【详解】设点1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，则OB 为原点O 到直线l 的距离，在直角三角形AOB 中，OA 为斜边，所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，而1212OA k -==-，所以12l k =，所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，整理得：2450x y --=本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.11．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．15【分析】将四边形面积的最小时，等价于圆心C 到直线34130x y ++=的距离最小，求出最小距离，进而利用三角形面积公式求出最小面积.【详解】解：由题意知，A ，B 是切点，是圆心()1,1C ，且圆的半径为1所以221PB PA PC ==-四边形PACB 面积为：221212S PB r PC =⨯⋅=-所以当PC 取最小值时，S 取最小值由点P 在直线上运动可知，当PC 与直线34130x y ++=垂直时PC 取最小值此时PC 为圆心C 到直线34130x y ++=的距离即22314113434PC ⨯+⨯+==+故四边形PACB 最小面积为：224115S =-=故答案为关键点睛：本题的关键是将面积的最值转化为点到直线上点的距离的最值，进而转化为点到直线的距离.12．我们将函数图象绕原点逆时针旋转()02θθπ≤≤后仍为函数图象的函数称为JP 函数，θ为其旋转角，若函数0y x =≤≤⎭为JP 函数，则其旋转角θ所有可取值的集合为___________【正确答案】2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】由解析式可知原函数图象为圆弧AB ，根据函数的定义可知若旋转后不再是函数，则必存在垂直于x 轴的切线，且切点异于弧AB 端点,A B ，通过图形进行分析可得结果.【详解】02y x =≤≤⎭为如图所示的一段圆弧AB ，其所对圆心角6AOB π∠=，若该函数图象绕原点逆时针旋转θ后不再是函数，则其旋转后的图象必存在垂直于x 轴的切线，且切点异于弧AB 端点,A B ，由图象可知：若6COD π∠=，则当A 点自C 向D 运动（不包含,C D ）时，图象存在垂直于x 轴的切线，此时2,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；若6EOF π∠=，则当A 点自E 向F 运动（不包含,E F ）时，图象存在垂直于x 轴的切线，此时35,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；∴若函数02y x ⎫=≤≤⎪⎪⎭为JP 函数，其旋转角()02θθπ≤≤所有可能值的集合为.2350,,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为.2350,,22323πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦13．设10x y -+=，求d =__．【正确答案】【分析】根据d 的表达式可知，其几何意义表示直线10x y -+=上一点(),P x y 到点()3,5A -和点()2,15B -的距离之和，根据“将军饮马”模型求解即可.【详解】根据题意可得d =，表示直线10x y -+=上一点(),P x y 到点()3,5A -和点()2,15B -的距离之和，点A 关于直线10x y -+=的对称点为(),C a b ，则满足513351022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩解得4,2a b ==-；所以点A 关于直线10x y -+=的对称点为()4,2C -，如下图所示：则PA PB PB PC BC+=+≥所以()min PA PB BC +==.故14．若,x y R ∈___________.【分析】根据题意并结合两点间的距离公式，将原不等式转化为PA QB PQ =++，其中(),0P x 是x 轴上的动点，()0,Q y 是y 轴上的动点，()1,1A ，()1,2B 是定点，根据距离的几何意义和对称关系，可知当A '、P 、Q 、B '四点共线时，PA QB PQ ++取得最小值，则()min PA QB PQ A B ''++=，最后利用两点间的距离公式即可求得结果.根据两点间的距离公式可知，表示点(),0P x 到点()1,1A 的距离，表示点()0,Q y 到点()1,2B 的距离，表示点(),0P x 到点()0,Q y 的距离，其中(),0P x 是x 轴上的动点，()0,Q y 是y 轴上的动点，()1,1A ，()1,2B 是定点，PA QB PQ =++，如图，作A 关于x 轴的对称点()1,1A '-，B 关于y 轴的对称点()1,2B '-，的最小值，则需求PA QB PQ ++的最小值，可知当A '、P 、Q 、B '四点共线时，PA QB PQ ++取得最小值，即()min PA QB PQ A B ''++==，故答案为二、单选题15．设29n a n =-，则当数列{an }的前n 项和取得最小值时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或6【正确答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，解不等式组即可求出结果.【详解】由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，即()2902190n n -≤⎧⎨+-≥⎩，解得7922n ≤≤，因为n N *∈,故4n =.故选：A.16．已知三条不同的直线a ，b ，c ，两个不同的平面α，β，则下列说法错误的是（）A ．若a α⊥，//αβ，a b ⊥r r ，则b β//或b β⊂B ．若a α⊥，b β⊥，//αβ，则a b⊥r r C ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b⊥r r D ．若a α⊥，⋂=c αβ，//b c ，则a b⊥r r 【正确答案】B【分析】根据线面位置关系逐项判断即可得出答案.【详解】选项A 中，//a ααβ⊥，，可得a β⊥，又//a b b β⊥∴或b β⊂，选项A 正确；选项B 中，//a a ααββ⊥∴⊥，，又b β⊥，则//a b ，选项B 错误；选项C 中，//a a ααββ⊥⊥∴，或a β⊂，又b β⊥//a β∴时，a b ⊥；a β⊂时，a b ⊥，选项C 正确；选项D 中，a c a c ααβ⊥⋂=∴⊥，，又//b c a b ∴⊥，选项D 正确故选：B.17．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P满足PA PB=22PA PB +的最大值为（）A．16+B．8+C．7+D．3【正确答案】A【分析】设()()1,0,1,0A B -，(),P x y，由PA PB=P 的轨迹为以()2,0为圆心，半()222221PA PB x y +=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，从而根据圆的性质即可求解.【详解】解：由题意，设()()1,0,1,0A B -，(),P x y ，因为PA PB==，即()2223xy -+=，所以点P 的轨迹为以()2,0因为()()()222222221121x y x y x y PA PB =++++-+=++，其中22x y +可看作圆()2223x y -+=上的点(),x y 到原点()0,0的距离的平方，所以()(222max27x y+==+，所以()22max21168x y ⎡⎤++=+⎣⎦22PA PB +的最大值为16+故选：A.18．已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积为323π，其中12BB =，则三棱锥O ABC -的体积的最大值为（）A ．1B ．3C ．2D ．4【正确答案】A【分析】设,AB a AD b ==，根据长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积和12BB =，可求得外接球的半径2R =，根据基本不等式求得ABCS 的最大值，再代入三棱锥的体积公式，即可得到答案；【详解】设,AB a AD b ==，∵长方体1111ABCD A B C D -的外接球O 的体积为323π，12BB =，∴外接球O 的半径2R =，∴22416a b ++=，∴2212a b +=，∴2262a b ab +≤=，∵O 到平面ABC 的距离1112d BB ==，132ABCSab =≤，∴三棱锥O ABC -的体积1131133ABCV S d =⨯⨯≤⨯⨯=．∴三棱锥O ABC -的体积的最大值为1．故选：A ．19．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，1AB BM ==，将ABM 沿直线AM 翻折成AB M '（B '不在平面AMCD 内），连结B D '，N 为B D '的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的个数是（）①//CN 平面AB M '；②存在某个位置，使得CN AD ⊥；③线段CN 长度为定值；④当三棱锥B AMD '-的体积最大时，三棱锥B AMD '-的外接球的表面积是4π.A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】取AB '中点，利用线线平行推出线面平行可判断①；假设垂直，得到AB AD '<不成立，可判断②；由①知//CN MN '，且CN MN '=，可判断③；当平面B AM '⊥平面AMD 时，三棱锥B AMD '-体积最大，此时AD 中点为外接球球心，可判断④.【详解】对于①，取AB '的中点N '，连接NN '，则1////,2NN AD CM NN AD CM ''==，所以四边形N MCN '为平行四边形，所以//CN MN '，又MN '⊂平面AB M '，CN ⊄平面AB M '，即//CN 平面AB M '，故①正确；对于②，假设存在某个位置，使得CN AD ⊥，又,AD CD CN CD C ⊥= ，,CN CD ⊂平面CDN ，所以AD ⊥平面CDN ，又DN ⊂平面CDN ，所以AD ⊥DN ，即222AB AD DB ''=+，因为1,2,AB AD AB AD ''==<，所以不可能，故②错误；对于③，由①得CN MN '=，因为AB B M ''⊥，1AB B M ''==，所以2MN '==为定值，所以CN 长度为定值，故③正确；对于④，取AD 的中点H ，当三棱锥B AMD '-的体积最大时，此时平面B AM '⊥平面AMD ，因为MD AM ⊥，MD ⊂平面AMD ，平面B AM ' 平面AMD AM =，所以MD ⊥平面B AM '，又AB '⊂平面B AM '，所以AB MD '⊥，又,B AB M M MD M B '''⊥= ，,D B M M '⊂平面B MD '，所以AB '⊥平面B MD '，B D '⊂平面B MD '，所以A B D B ''⊥，所以H 即为三棱锥B AMD '-的外接球球心，又1HA =，所以外接球的表面积是24π14π⨯=，故④正确.故选：C三、解答题20．已知等差数列{}n a 中，1479,0a a a =+=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和取得最大值？【正确答案】(1)()112n a n n N *=-∈(2)5n =【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求出公差，进而可以求出结果；（2）求出数列{}n a 的前n 项和，结合二次函数的性质即可求出结果.【详解】（1）由1479,0a a a =+=，得11360a d a d +++=，解得2d =-，()()11921112n a a n d n n =+-=--=-，所以数列{}n a 的通项公式()112n a n n N *=-∈.（2）19,2a d ==-，()()()22192105252n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+，∴当5n =时，n S 取得最大值.21．在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =8．(1)求异面直线PB 与DC 所成角的正切值；(2)求PA 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】(1)53(2)10【分析】(1)由//AB CD 可知PBA ∠就是异面直线PB 与DC 所成的角，利用线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面PDA ，根据线面垂直的性质可得AB PA ⊥，进而求出tan PBA ∠即可；(2)连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBD ，进而可知APO ∠为PA 与平面PBD 所成的角，求出AO 即可得出结果.【详解】（1）由题意知，//AB CD ，所以PBA ∠就是异面直线PB 与DC 所成的角，因为PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB PD ⊥，又AB AD ⊥，=PD AD D ⋂，所以AB ⊥平面PDA ，而PA ⊂平面PDA ，所以AB PA ⊥.在Rt PAB 中，106PA AB ===，，所以5tan 3PA PBA AB ∠==，即异面直线PB 与DC 所成的角的正切值为53；（2）连接AC ，与BD 交于点O ，连接PO ，由PD ⊥平面ABCD ，得PD AC ⊥，PD AD ⊥，因为底面ABCD 为边长为6的正方形，所以BD AC ⊥，AC =，又BD PD D PDBD =⊂ ，、平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，所以PA 在平面PAD 内的射影为PO ，APO ∠为PA 与平面PBD 所成的角，又PD =8，AD =6，所以PA =10，12AO AC ==所以在Rt APO 中，sin 10AO APO PA ∠==，即PA 与平面PBD 所成的角的正弦值为10.22．已知直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=.(1)证明：无论m 为何值，直线l 恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线l 使得ABO 的面积为9.若存在，求出直线l 的方程；若不存，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析；()2,2(2)存在，2211660x y +-=或922660x y +-=【分析】（1）在直线的方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x 、y 的值，可得直线经过定点的坐标.（2）求出A 、B 的坐标，根据ABO 的面积为9，求出m 的值，可得结论.【详解】（1）直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=，即()()4314220m x y x y +-+-+=，令43140x y +-=，可得220x y -+=，求得2x =，2y =，可得该直线一定经过43140x y +-=和220x y -+=的交点()2,2.（2）若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则142,014m A m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭、1420,32m B m -⎛⎫-⎝⎭，且142014m m ->+，142032m m ->-，∴14m <-，或23m >.则ABO 的面积为1142142921432m m m m --⨯⨯=+-，即()()()227194132m m m ⨯-+-=，即21017200m m --=，∴52m =，或45m =-.故存在直线l 满足条件，且满足条件的出直线l 的方程为2211660x y +-=，或922660x y +-=.23．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为P ，圆柱的上、下底面的圆心分别为1O 、2O ，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的项点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为O ．(1)32Ω的体积；(2)若112:1:3PO O O =，求几何体Ω的表面积．【正确答案】(1)78π(2)648525+【分析】（1）分别计算圆锥的体积与圆柱的体积，体积和即为所求；（2）根据比例关系，可分别求出圆锥与圆柱的高及底面半径，再利用表面积公式即可求解.【详解】（1）如图可知，过P 、1O 、2O 的截面为五边形ABCPD ，其中四边形ABCD 为矩形，三角形CPD 为等腰三角形，PC PD=在直角1OO D 中，1OD =，132O D =，则22131212OO ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-=32111122O P =-=，其体积为2131328ππ⨯⨯=⎝⎭32122112O O =⨯=，其体积为23314ππ⨯=⎝⎭所以几何体Ω的体积为37488πππ+=（2）若112:1:3PO O O =，设122O O h =，则123h PO =，故213h h +=，35h ∴=在直角1OO D 中，1OD =，135OO =，则22155134O D ⎛⎫⎪⎝⎭=-=故圆锥的底面半径为45，高为125O P =22425555⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆锥的侧面积为45525ππ⨯⨯=圆柱的底面半径为45，高为1265O O =，其侧面积为464825525ππ⨯⨯=所以几何体Ω2484255π⎛⎫++⨯= ⎪⎝⎭24．已知圆C 的圆心C 为（0，1），且圆C 与直线260x y -+=相切．(1)求圆C 的方程；(2)圆C 与x 轴交于A ，B 两点，若一条动直线l ：x ＝x 0交圆于M ，N 两点，记圆心到直线AM 的距离为d ．（ⅰ）当x 0＝1时，求dBN的值．（ⅱ）当﹣2＜x 0＜2时，试问dBN是否为定值，并说明理由．【正确答案】(1)()2215x y +-=(2)（ⅰ）12；（ⅱ）d BN为定值12，理由见解析【分析】（1）求出圆心到直线的距离，则圆C 的方程可求；（2）（ⅰ）当x 0＝1时，可得直线l ：x ＝1，与圆的方程联立求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，则答案可求；（ⅱ）联立直线与圆的方程，求得M 、N 的坐标，写出AM 的方程，求出圆心到直线AM 的距离d ，再求出|BN |，整理即可求得d BN为定值12．【详解】（1）圆C 的半径r ==则圆C 的方程为()2215x y +-=；（2）（ⅰ）由()2215x y +-=，取y ＝0，可得2x =±．∴A （﹣2，0），B （2，0），圆C 与动直线l ：0x x =交于M ，N 两点，则2200(1)51x y x x x ⎧+-=⎪=⎨⎪=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩，∴M （1，3），N （1，﹣1），则直线AM 的方程y ﹣0()()3212x =+--，即20x y -+=．圆心到直线AM 的距离d 2==，|BN|==∴12d BN ==；（ⅱ）由圆C 与动直线l ：0x x =交于M ，N 两点，设M （x 0，y 1），N （x 0，y 2），联立220(1)5x y x x ⎧+-=⎨=⎩，解得M（01x ，，N（01x ，，∴直线AM：)02y x =+．圆心（0，1）到直线AM 的距离d =．|BN|=则12 dBN=．∴dBN为定值12．。
重庆市部分学校(九校联盟)2023-2024学年高二上学期12月月考试题 数学(含答案)
重庆市高二数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.密封线内不要答题1.已知向量()1,3,3a =-，()2,4,1b =-，则a b -= （）A.()1,7,4-B.()1,7,4-C.()1,7,4- D.()1,7,4--2.若直线1l ：2550x y --=，2l ：430x By ++=，且12l l ∥，则B =（）A.85-B.85C.10D.-103.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一部分，其宽为8m ，高为0.8m ，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）A.()5,0 B.()10,0 C.()0,5 D.()0,104.已知直线1l 的倾斜角比直线2:4l y =+的倾斜角小20︒，则直线1l 的倾斜角为（）A .150︒B.130︒C.120︒D.100︒5.虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为30厘米，短轴长为20厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（）A.13B.23C.53D.636.在空间直角坐标系中，直线l 的一个方向向量为()1,0,3m =-，平面α的一个法向量为()5,2n = ，则直线l 与平面α所成的角为（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π67.已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与C 的两条渐近线从左到右依次交于A ，B 两点，且1F A AB =，2BF a =，则C 的渐近线的倾斜角为（）A.5π12或7π12B.π3或2π3C.π4或3π4 D.π6或5π68.如图，在三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，3AP =，1cos cos 3BAP CAP ∠=∠=，1cos 4BAC ∠=，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，O 为BCP 的重心，AO 与PF 相交于点G ，则AG 的长为（）A.45B.1C.54D.335二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.圆22:1:O x y +=与圆22:()(2)4M x a y -+-=的位置关系可能为（）A.内切B.相交C.外切D.外离10.已知,,a b c是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.,,a b c a b c +++B.,2,3a b c- C.,,a a b c+ D.2,,a b c a b a c-+-+ 11.已知1F ，2F 分别是椭圆222:1(03)9x y M b b +=<<的左、右焦点，点P 在M 上，且14PF =，12sin 4F PF ∠=，则b 的值可能为（）A. B.2C.D.12.已知F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，3AF BF =，C 的准线与x 轴的交点为1F ，点A 在准线上的投影为点1A ，且四边形11AA F F 的面积为2732，则（）A.2BF =B.3p =C.直线lD.点A 的横坐标为92三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C 的焦点在y 轴上，且C 的离心率大于2，请写出一个C 的标准方程：___________.14.在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD 的三个顶点分别为()0,1,2A -，()2,2,1B -，()1,3,2C ，则点D 的坐标为__________.15.已知A ,B 分别是椭圆222:1(3x y M a a +=>的左、右顶点，P 是M 的上顶点，若2π3APB ∠=，则12PF F △的面积为__________.16.已知直线1:40l x y +-=，2:330l x y -+=，一条光线从点()1,1P 射出，经1l 反射后，射到2l 上，再经2l 反射后，回到P ，则该光线经过的路程长度为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的顶点()()()0,4,2,0,5,A B C m -，线段AB 的中点为D ，且CD AB ⊥.（1）求m 的值；（2）求BC 边上的中线所在直线的方程.18.已知圆22:24100M x x y y -++-=．（1）求圆M 的标准方程，并写出圆M 的圆心坐标和半径：（2）若直线30x y C ++=与圆M 交于A ，B 两点，且AB =C 的值．19.已知点P 到()0,4F 的距离与它到x 轴的距离的差为4，P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 中点的横坐标为4-，求l 的斜率.20.已知椭圆M ：()222210y x a b a b+=>>的焦距为4，且经过点(.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）若直线1l 与椭圆M 相切，且直线1l 与直线l ：0x y --=平行，求直线l 的斜截式方程.21.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1AA上，且1AE =.（1）求平面11ADD A 与平面1B DE 夹角的余弦值；（2）若点P 在棱11D C 上，且P 到平面1B DE 的距离为2，求P 到直线1EB 的距离.22.已知圆221:(4C x y +=，圆222:(4C x y +=，动圆C 与这两个圆中的一个内切，另一个外切.（1）求动圆圆心C 的轨迹方程.（2）若动圆圆心C 的轨迹为曲线M ，()2,0D ，斜率不为0的直线l 与曲线M 交于不同于D 的A ，B 两点，DE AB ⊥，垂足为点E ，若以AB 为直径的圆经过点D ，试问是否存在定点F ，使EF 为定值？若存在，求出该定值及F 的坐标；若不存在，请说明理由.重庆市高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.密封线内不要答题1.已知向量()1,3,3a =-，()2,4,1b =-，则a b -= （）A.()1,7,4-B.()1,7,4-C.()1,7,4-D.()1,7,4--【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的减法运算的坐标表示即可得出答案.【详解】因为向量()1,3,3a =- ，()2,4,1b =-，所以()1,7,4a b -=--.故选：D2.若直线1l ：2550x y --=，2l ：430x By ++=，且12l l ∥，则B =（）A.85-B.85C.10D.-10【答案】D 【解析】【分析】根据12l l ∥列方程求解即可.【详解】由题意得()245B =⨯-，得10B =-.故选：D.3.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一部分，其宽为8m ，高为0.8m ，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）A.()5,0 B.()10,0 C.()0,5 D.()0,10【答案】C 【解析】【分析】根据待定系数法，代入坐标即可求解抛物线方程，进而可得焦点.【详解】由题意得()4,0.8B ，设该抛物线的方程为22(0)x py p =>，则2420.8=⨯p ，得10p =，所以该抛物线的焦点为()0,5.故选：C4.已知直线1l 的倾斜角比直线2:4l y =+的倾斜角小20︒，则直线1l 的倾斜角为（）A.150︒B.130︒C.120︒D.100︒【答案】D 【解析】【分析】根据直线2l 的斜率可知其倾斜角，进而可得直线1l 的倾斜角.【详解】由题意得直线2l 斜率为α（0180α≤<︒）满足tan α=，可得120α=︒，所以直线1l 的倾斜角2012020100βα=-︒=︒-︒=︒，故选：D.5.虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为30厘米，短轴长为20厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（）A.13B.23C.3D.3【答案】C 【解析】【分析】由已知可得15a =，10b =，进而可得离心率.【详解】由已知可得230a =，220b =，即15a =，10b =，所以离心率53c e a ====，故选：C.6.在空间直角坐标系中，直线l 的一个方向向量为()1,0,3m =-，平面α的一个法向量为()2n = ，则直线l 与平面α所成的角为（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】A 【解析】【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线l 与平面α所成的角为π20θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则1sin cos ,2m n m n m n θ⋅=== ，所以π6θ=.故选：A7.已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与C 的两条渐近线从左到右依次交于A ，B 两点，且1F A AB =，2BF a =，则C 的渐近线的倾斜角为（）A.5π12或7π12B.π3或2π3C.π4或3π4 D.π6或5π6【答案】C 【解析】【分析】由题意通过几何关系得到22,OB BF a OF c ===，进一步由2tan bBOF a∠=可得2cos aBOF c∠=，再结合余弦定理即可得出,a b 的关系，进一步即可得解.【详解】设O 为坐标原点.由题意得C 的渐近线方程为by x a=±，得12AOF BOF ∠=∠，12tan tan b AOF BOF a∠=∠=.由112,O F A AB O F F ==，即OA 是12BF F △的中位线，得2OA BF ∥，则212BF O AOF BOF ∠=∠=∠，所以2OB BF a ==.由222222222sin tan ,,sin cos 1cos BOF b BOF c a b BOF BOF a BOF ∠∠===+∠+∠=∠，得2222222211cos cos b c BOF BOF a a ⎛⎫+∠=∠ ⎪⎝=⎭，所以2cos a BOF c ∠=，所以在2BOF 中，由余弦定理2222cos 2a c a aBOF ac c+-∠==，得22222c a a b ==+，即a b =，所以C 的渐近线的倾斜角为π4或3π4.故选：C.8.如图，在三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，3AP =，1cos cos 3BAP CAP ∠=∠=，1cos 4BAC ∠=，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，O 为BCP 的重心，AO 与PF 相交于点G ，则AG 的长为（）A.45B.1C.54D.335【答案】D 【解析】【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得35AG AO =，即可根据模长公式求解.【详解】设(01)AG AO λλ=<<，由题意得2PO OE =，则()2223133233AG AO AP AP A P P AP A PO PE A E E A λλλλλ⎛⎫===+ ⎪⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎭⎝⎪⎝⎭⎝⎭1233AP AE λλ=+.设(01)PG PF μμ=<<，则()P A AP G AF A μ--= ,故()()1112AG AP AF AP AE μμμμ=-+=-+ .由11,321,32λμλμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得λ35=，得121211111555522555AG AP AE AP AB AC AP AB AC ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ ，所以222211()22255AG AP AB AC AP AB AC AP AB AP AC AB AC=+++++⋅+⋅+⋅22211113332223223222253345=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.圆22:1:O x y +=与圆22:()(2)4M x a y -+-=的位置关系可能为（）A.内切 B.相交 C.外切D.外离【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，求得圆心距OM =211r r -=，由21OM ≥>，结合两圆的位置关系，即可求解.【详解】由圆22:1:O x y +=，可得圆心坐标为(0,0)O ，半径为11r =；又由圆22:()(2)4M x a y -+-=，可得圆心坐标为(,2)M a ，半径为22r =，则圆心距为OM =O 与圆M 的半径之差为211-=，21≥>，所以圆O 与圆M 的位置关系可能为相交、外切、外离．故选：BCD.10.已知,,a b c是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A.,,a b c a b c +++B.,2,3a b c- C.,,a a b c+ D.2,,a b c a b a c-+-+ 【答案】BC 【解析】【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.【详解】对于选项A ：因为()a b c a b c ++=++，所以,,a b c a b c +++三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故A 错误；对于选项D ：因为()()2a b c a b a c -+=-++，所以2,,a b c a b a c -+-+三个向量共面，故不能构成空间的一个基底，故D 错误；因为,,a b c是空间中不共面的三个向量，对于选项B ：设()()23=+-r r ra xb yc ，显然不存在实数,x y 使得该式成立，所以,2,3a b c -不共面，可以作为基底向量，故B 正确；对于选项C ：设()()()33=++-=++-r r r rr r r a x a b y c xa xb y c ，则1030x x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，方程无解，即不存在实数,x y 使得该式成立，所以,,a a b c +不共面，可以作为基底向量，故C 正确；故选：BC.11.已知1F ，2F 分别是椭圆222:1(03)9x y M b b +=<<的左、右焦点，点P 在M 上，且14PF =，12sin 4F PF ∠=，则b 的值可能为（）A.B.2C.D.【答案】AC 【解析】【分析】根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解.【详解】由1226PF PF a +==，14PF =，得22PF =.()()22222124449F F c a b b ==-=-,由12sin 4F PF ∠=，得121cos 4F PF ∠=±.在12F PF △中，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，得25b =或23b =，所以b =故选：AC12.已知F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，3AF BF =，C 的准线与x 轴的交点为1F ，点A 在准线上的投影为点1A ，且四边形11AA F F 的面积为32，则（）A.2BF =B.3p =C.直线l 3D.点A 的横坐标为92【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式以及条件，代入计算可得3p =，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】如图，设点B 在C 的准线上的投影为点1B ，取AB ，11A B 的中点分别为E ，1E ，过F 作1FG AA ⊥，垂足为点G .设33AF BF m ==，则1133AA BB m ==，11122AA BB EE m +==，111322BB EE mFF +==，()2211332mFG AF AA FF =--=，所以四边形11AA F F 的面积为211282AA FF FG +⋅==，解得2BF m ==，12332mF F p ===，故A ，B 正确；由1sin 2AG AFG AF ∠==，得π6AFG ∠=，当A 在第一象限，B 在第四象限时，直线l ，当A 在第四象限，B 在第一象限时，直线l 的斜率为，故C 错误；点A 的横坐标为39322m -=，故D 正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C 的焦点在y 轴上，且C 的离心率大于2，请写出一个C 的标准方程：___________.【答案】2214x y -=（答案不唯一）【解析】【分析】由题意可知符合22221y x a b -=，223b a >即可.【详解】设()2222:10,0y x C a b a b -=>>，由2c e a ==>，得223b a >，可令21a =，24b =，即2214x y -=，故答案为：2214x y -=（答案不唯一）.14.在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD 的三个顶点分别为()0,1,2A -，()2,2,1B -，()1,3,2C ，则点D 的坐标为__________.【答案】()1,4,3-【解析】【分析】由题意首先设(),,D x y z ，结合AB DC =进行运算即可得解.【详解】设(),,D x y z ，由题意得()2,1,1AB =-- ，()1,3,2DC x y z =---，因为AB DC = ，所以211312x y z =-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩,得143x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即()1,4,3D -.故答案为：()1,4,3-.15.已知A ,B分别是椭圆222:1(3x y M a a +=>的左、右顶点，P 是M 的上顶点，若2π3APB ∠=，则12PF F △的面积为__________.【答案】【解析】【分析】设O为坐标原点，由题意可得b =tan aAPO b∠==，解出,a b 值，再利用12PF F △的面积为bc ，求解即可.【详解】设O 为坐标原点.由题意得b =，π3APO ∠=，则tan aAPO b∠==，得3a ==，又222c a b =-，所以c =，所以12PF F △的面积为1212F F OP bc ==故答案为：16.已知直线1:40l x y +-=，2:330l x y -+=，一条光线从点()1,1P 射出，经1l 反射后，射到2l 上，再经2l 反射后，回到P ，则该光线经过的路程长度为__________.【解析】【分析】分别求出P 关于1l 对称的点A ，关于2l 对称的点B ，求出AB 即可求解.【详解】如图，设P 关于1l 对称的点为()11,A x y，由()1111111,11140,22y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+-=⎪⎩得113,3,x y =⎧⎨=⎩即()3,3A .设P 关于2l 对称的点为()22,B x y ，由2222131,111330,22y x x y -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪⨯-+=⎪⎩得222,2,x y =-⎧⎨=⎩即()2,2B -.易得该光线经过的路程长度为AB ==.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的顶点()()()0,4,2,0,5,A B C m -，线段AB 的中点为D ，且CD AB ⊥.（1）求m 的值；（2）求BC 边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）1m =-（2）340x y -+=【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式以及垂直满足的斜率关系即可求解，（2）根据中点公式以及斜率公式即可根据点斜式求解方程.【小问1详解】因为()()0,4,2,0A B ，所以D 的坐标为()1,2，因为CD AB ⊥，所以24015102m --⨯=----，解得1m =-.【小问2详解】设线段BC 的中点为E ，由（1）知()5,1C --，则31,22E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以1423302AEk +==+，所以直线AE 的方程为()430y x -=-，化简得340x y -+=，即BC 边上的中线所在直线的方程为340x y -+=.18.已知圆22:24100M x x y y -++-=．（1）求圆M 的标准方程，并写出圆M 的圆心坐标和半径：（2）若直线30x y C ++=与圆M 交于A ，B两点，且AB =C 的值．【答案】（1）22(1)(2)15x y -++=，圆心坐标(1,2)M -（2）15C =或5-【解析】【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案【小问1详解】由2224100x x y y -++-=，得22214415x x y y -++++=，则圆M 的标准方程为22(1)(2)15x y -++=，圆M 的圆心坐标(1,2)M -【小问2详解】由AB =M 到直线30x y C ++==则圆心M 到直线30x y C ++==，得15C =或5-．19.已知点P 到()0,4F 的距离与它到x 轴的距离的差为4，P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 中点的横坐标为4-，求l 的斜率.【答案】（1）()2160x y y =≥或()00x y =<.（2）12-.【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式，结合绝对值的性质进行求解即可；（2）利用点差法进行求解即可.【小问1详解】设(),P x y ，由题意可知：44PF y y -=⇒=+，两边同时平方，得2222216,0816168880,0y y x y y y y x y y x y ≥⎧+-+=++⇒=+⇒=⎨<⎩所以C 的方程为()2160x y y =≥或()00x y =<.【小问2详解】由题可知曲线C 为216x y =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()12248x x +=⨯-=-.由21122216,16,x y x y ⎧=⎨=⎩得()()()221212121216x x x x x x y y -=-+=-，所以l 的斜率为1212121162y y x x x x -+==--.20.已知椭圆M ：()222210y x a b a b+=>>的焦距为4，且经过点(.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）若直线1l 与椭圆M 相切，且直线1l与直线l ：0x y --=平行，求直线l 的斜截式方程.【答案】（1）22162y x +=；（2）y x =±.【解析】【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；（2）由平行关系设直线方程1l ：y x b =+，联立椭圆方程得224260x bx b ++-=，利用相切关系有Δ0=求参数，即可得直线方程.【小问1详解】由题意得2222224311c a b c a b⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，得22622a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆M 的标准方程为22162y x +=.【小问2详解】设与l 平行的1l ：y x b =+，由22162y x y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得224260x bx b ++-=，由()2244460b b ∆=-⨯-=，得b =±，则1l：y x =±.21.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1AA上，且1AE =.（1）求平面11ADD A 与平面1B DE 夹角的余弦值；（2）若点P 在棱11D C 上，且P 到平面1B DE 的距离为262，求P 到直线1EB 的距离.【答案】（1）32626（2）4815【解析】【分析】（1）建立空间空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面夹角，从而求解；（2）由点P 到平面1B DE 的距离为262，求得P 的坐标，然后利用空间点到直线距离的向量法即可求解.【小问1详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()4,0,1E ，()14,4,4B ，()4,0,1DE =，()14,4,4DB =.设平面1B DE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则1404440n DE x z n DB x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩取1x =，则3y =，4z =-，得()1,3,4n =-，因为DC ⊥平面11ADD A ，所以平面11ADD A 的一个法向量为(0,4,0)DC =，则平面11ADD A 与平面1B DE的夹角的余弦值为6cos 2,DC n DC nn ⋅==.【小问2详解】设()0,,4P a ，04a ≤≤，则()0,,4DP a =.由（1）可知平面1B DE 的法向量为()1,3,4n =-，则P 到平面1B DE的距离为2DP n n⋅==，解得1a =或293（舍去），即()0,1,4P .因为()14,3,0PB = ，()10,4,3EB =，所以P 到直线1EB的距离为5.22.已知圆221:(4C x y +=，圆222:(4C x y +=，动圆C 与这两个圆中的一个内切，另一个外切.（1）求动圆圆心C 的轨迹方程.（2）若动圆圆心C 的轨迹为曲线M ，()2,0D ，斜率不为0的直线l 与曲线M 交于不同于D 的A ，B 两点，DE AB ⊥，垂足为点E ，若以AB 为直径的圆经过点D ，试问是否存在定点F ，使EF 为定值？若存在，求出该定值及F 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y -=（2）存在，定值为6，()8,0F 【解析】【分析】（1）由题意根据圆与圆的位置关系可得12124CC CC C C =<=-，进一步由双曲线的定义即可得解.（2）由题意以AB 为直径的圆经过点D ，所以DA DB ⊥，即()()1212220DA DB x x y y ⋅=--+=，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理可得直线AB 过定点()14,0G ，而DE GE ⊥，即点E 在DG 中点为圆心，DG 的一半为半径的圆上，由此即可得解.【小问1详解】设动圆C 的半径为r ，由题意圆1C 、2C 的半径均为2，圆心)()12,C C .因为动圆C 与圆1C ，圆2C 一个外切，另一个内切，所以1222CC r CC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或1222CC r CC r ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，得12124CC CC C C =<=-，所以圆心C的轨迹是以)，()为焦点，实轴长为4的双曲线，即2,c a b ====，得动圆圆心C 的轨迹方程为22143x y -=.【小问2详解】如图所示：存在定点()8,0F ，使得EF 为定值6，理由如下：直线l 的斜率不为0，设直线:l x my b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()112,DA x y =- ，()222,DB x y =- .由22143x my b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2223463120m y mby b -++-=，由()()2222Δ364343120m b m b =--->，得22340m b +->，由韦达定理得122212263431234mb y y m b y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，因为以AB 为直径的圆经过点D ，所以DA DB ⊥，则()()1212220DA DB x x y y ⋅=--+= .因为()()()()121212122222x x y y my b my b y y --+=+-+-+()()()22121212(2)m y y m b y y b =++-++-，所以()()()()22212122231262212(2)03434b mb x x y y m m b b m m ---+=+--+-=--，得()()()()()()()222231262342140b m b m b b m b b ⎡⎤-++-+--=--+=⎣⎦.因为直线l 不经过D ，所以2b ≠，14b =，满足22340m b +->.直线:14l x my =+经过定点()14,0.取()14,0G ，()8,0F ，当G ，E 不重合时，DE GE ⊥，则由斜边上的中线等于斜边的一半可知162EF DG ==，当G ，E 重合时，162EF EG DG ===.故存在定点()8,0F ，使得EF 为定值6.【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是充分利用圆与圆之间的位置关系以及双曲线的定义即可，第二问关键是数学结合，首先求出直线AB 过顶点，进一步根据平面几何知识确定点E 在定圆上运动，从而即可顺利得解.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
杭西高2017年12月考高二数学试卷本试卷由卷I 和卷II 两部分组成，卷I 为《必修2》的模块考，满分100分，卷II 为《选修2—1》内容，满分50分，总分150分。
卷I （共100分）一. 选择题 ：本大题共10小题 ，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选择项中,只有一项是符合题目要求的。
1．过点（－1，3）且垂直于直线x －2y+3=0的直线方程为（ ）A.2x+y －1=0B.2x+y －5=0C.x+2y －5=0D.x －2y+7=02.已知直线的方程为043=++y x ，则直线的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．0120D ．01503．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( )．A ．(2，2) B(1，1) C ．(－2，－2) D ．(－1，－1) 4．若一圆的标准方程为3)5()1(22=++-y x ，则此圆的的圆心和半径分别为 （ ） A 、)5,1(-,B 、)5,1(-, C 、)5,1(-, D 、)5,1(-,5．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则m 的值为（ ）A. 2B. 3C. 6D. 46．以两点)1,3(--A 和)5,5(B 为直径端点的圆的方程是（ ）A 、100)2()1(22=++-y xB 、100)2()1(22=-+-y x C 、25)2()1(22=+++y x D 、25)2()1(22=-+-y x 7.已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.12 cm 3B.13 cm 3C.16 cm 3D.112cm 38.长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π9．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n10.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为（）A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0二．填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）。
11 ．经过原点，圆心在轴的正半轴上，半径等于的圆的方程是12．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为________．13．若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．14．已知一个圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°，圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为三、解答题16..若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点。
（1）求圆心C的坐标；（2）求直线AB的方程。
17．已知六棱锥P －ABCDEF ，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面上的投影为正六边形中心O ，底面边长为2，侧棱长为3. （1）求底面正六边形ABCDEF 的面积；（2）求六棱锥P －ABCDEF 的体积．试卷 Ⅱ（共50分）四．选择题（每题5分，共10分）18．已知方程x 23＋k ＋y 22－k＝1表示椭圆，则k 的取值范围为( ) A ．k >－3且k ≠－12B ．－3<k <2且k ≠－12C ．k >2D ．k <－3 19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20五、填空题（每题5分，共10分）20.已知中心在原点，长轴在x 轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(2－1)，则此椭圆方程是21．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是六．解答题（共30分，每题15分）22．已知椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1。
（1）求椭圆的长轴长2a ,短轴长2b;（2）求椭圆的焦点F 1、F 2的坐标、离心率e23．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点．(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若OA →⊥OB →，求k 的值．杭西高2017年12月考高二数学试卷本试卷由卷I 和卷II 两部分组成，卷I 为《必修2》的模块考，满分100分，卷II 为《选修2—1》内容，满分50分，总分150分。
卷I二. 选择题 ：本大题共10小题 ，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选择项中,只有一项是符合题目要求的。
1．过点（－1，3）且垂直于直线x －2y+3=0的直线方程为（ A ）A.2x+y －1=0B.2x+y －5=0C.x+2y －5=0D.x －2y+7=02.已知直线的方程为043=++y x ，则直线的倾斜角为（ D ）A ．B ．C ．0120D ．01503．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( B )．A ．(2，2) B(1，1) C ．(－2，－2)D ．(－1，－1) 4．若一圆的标准方程为3)5()1(22=++-y x ，则此圆的的圆心和半径分别为 （ B ）A 、)5,1(-,B 、)5,1(-,C 、)5,1(-,D 、)5,1(-,5．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则m 的值为（ D ）A. 2B. 3C. 6D. 46．以两点)1,3(--A 和)5,5(B 为直径端点的圆的方程是（ D ）A 、100)2()1(22=++-y xB 、100)2()1(22=-+-y xC 、25)2()1(22=+++y xD 、25)2()1(22=-+-y x7.已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( C )A.12 cm 3B.13 cm 3C.16 cm 3D.112 cm 38.长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ C ）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（D ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n10.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为（ C ）A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0二．填空题：（本大题共5小题 ，每小题4分，共20分）。
11 ．经过原点，圆心在轴的正半轴上，半径等于的圆的方程是25)5(22=+-y x12．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面； ③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为________．解析：根据平面的基本性质知③正确．答案：113．若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．解析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V ＝13S ·h ＝13πR 2·h＝13π×22×2＝8π3.答案：8π314．已知一个圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°，圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．答案 22π3解析 因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.15.如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为答案：105三、解答题:(满分30分，每题15分）16..若P(2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点。
（1）求圆心C 的坐标；（2）求直线AB 的方程。
解：（1）C （1,0） （2）直线AB 的方程为x －y －3＝017．已知六棱锥P －ABCDEF ，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面上的投影为正六边形中心O ，底面边长为2，侧棱长为3，(1)求正六边形ABCDEF 的面积；（2）求六棱锥P －ABCDEF 的体积． 分析 由已知条件可以判断六棱锥为正六棱锥，要求其体积，求出高即可．解析解：（1）如图，O 为正六边形中心，则PO 为六棱锥的高，G 为CD 中点，则PG 为六棱锥的斜高，由已知得：CD ＝2，则OG ＝3，CG ＝1，S ABCDEF ＝6×34×22＝6 3（2）在Rt△PCG 中，PC ＝3，CG ＝1，则 PG ＝PC 2－CG 2＝2 2.在Rt△POG 中，PG ＝22，OG ＝3，则 PO ＝PG 2－OG 2＝ 5.V P －ABCDEF ＝13S ABCDEF ·PO ＝13×6×34×22×5＝215.试卷 Ⅱ四．选择题（每题5分，共10分）18．已知方程x 23＋k ＋y 22－k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围为( )A ．k >－3且k ≠－12B ．－3<k <2且k ≠－12C ．k >2D ．k <－3答案 B解析 只需满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋k 2－k3＋k ≠2－k.19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D五、填空题（每题5分，共10分）20．已知中心在原点，长轴在x 轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(2－1)，则此椭圆方程是________．答案 x 232＋y 216＝1解析 由题意，得⎩⎨⎧ a －c ＝2－，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝42，b ＝4，所以椭圆方程为x 232＋y 216＝1.21．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是答案 (0,3)∪(163，＋∞)解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k 4<1，解得0<k <3，综上知选C.六．解答题（共30分，每题15分）22．已知椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1。