千锤百炼-高考数学100个热点问题——第96炼 平面几何

第96炼 平面几何

一、基础知识：

1、相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形的判定

① 三个角：若两个三角形对应角都相等，则这两个三角形相似 注：由三角形内角和为180可知，三角形只需两个内角对应相等即可

② 两边及一夹角：若两个三角形的两条边对应成比例，且所夹的角相等，则这两个三角形相似

③ 三边：若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似

④（直角三角形）若两个直角三角形有两组对应边成比例，则这两个直角三角形相似 （2）相似三角形性质：若两个三角形相似，这它们的对应角相等，对应边成比例即相似比（主要体现出“对应”两字），例如：若'''ABC

A B C ，则有：

''',,,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠

''''

''

A B A C

B C

A B A C B C == 2、平行线分线段成比例：如图：已知123l l l ∥∥，且直线,m n 与平行线交于,,,,,A B C D E F ，则以下线段成比例：

（1）

AB DE

BC EF = （上比下） （2）AB DE

AC DF =（上比全） （3）BC EF

AC DF

=（下比全） 3、常见线段比例模型：

（1）“A ”字形：在ABC 中，平行BC 的直线交三角形另两边于,D E ，即形成一个“A ”字，在“A ”字形中，可得ABC ADE ，进而有以下线段成比例：

①

AD AE

DB EC = ② DB CE

AB AC

= ③ AD AE DE

AB AC BC

== （2）“8”字形：已知AB CD ∥，连结,AD BC 相交于O ，即形成一个“8”字，在“8”字

形中，有：

AOB DOC ，从而

AO BO AB

OD CO CD

== 4、圆的几何性质： （1）与角相关的性质 ① 直径所对的圆周角是直角

② 弦切角与其夹的弧所对的圆周角相等 ③ 同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半 ④ 圆内接四边形，其外角等于内对角 （2）与线段相关的性质： ① 等弧所对的弦长相等

② 过圆心作圆上一条弦的垂线，则直线垂直平分该弦 ③ 若一条直线与圆相切，则圆心与切点的连线与该直线垂直 5、与圆相关的定理

（1）切割线定理：设PA 是O 的切线，PBC 为割线，则有：2

PA PB PC =⋅

（2）相交弦定理：设,AB CD 是圆内的两条弦，且,AB CD 相交于P ，则有AP BP CP DP ⋅=⋅

（3）切线长定理：过圆外一点P 可作圆的两条切线，且这两条切线的长度相等

6、射影定理：已知在直角三角形ABC 中，90BCA ∠=，CD 为斜边AB 上的高（双垂直特点），则以下等式成立：

2BC BD BA =⋅ 2A C A D A B =⋅ 2C D B D A D =⋅

注：射影定理结合勾股定理，以及等面积法。在直角三角形ABC 中的边,,,,AC BC BD DA CD 这五条线段中，可做到已知两条边的长度，即可求出所有边的长度 7、平面几何中线段长度的求法：

（1）观察所求线段是否是某个定理的一部分，从而凑齐该定理的其他条件即可求出该线段 （2）考虑所求线段是否与其它线段存在比例关系

C

（3）可将此线段放入三角形中，考虑是否能通过正余弦定理解决

（4）若不易找到题目中各线段与所求线段的联系，可考虑将所求线段设为x ，通过方程进行求解。 二、典型例题：

例1：如图，已知PA 切O 于A 点，割线PCD 与弦AB 相交于E 点，且PA PE BE ==，若4,21PC CD ==，则AE 的长为___________

思路：由PA 是切线，PCD 是割线联想到切割线定理，所以有：

()2100PA PC PD PC PC CD =⋅=⋅+=，解得10PA =，从而

10PE BE ==，求AE 可联想到相交弦定理：AE BE CE DE ⋅=⋅，

即CE DE

AE BE ⋅=

，其中6CE PE PC =-=，15DE CD CE =-=，代入可得：615910

AE ⨯==

答案：9

例2：如图，四边形ABCD 内接于圆O ，DE 与圆O 相切于点D ，AC BD F ⋂=，F 为AC 的中点，O BD ∈

，CD =5BC =，则DE = ． 思路：由DE 与圆O 相切可想到切割线定理：即2

DE EA EB =⋅，因为BD 是直径，且F 为AC 的中点，所以BD 垂直平分AC ，且

BAD 和BCD

为对称的直角三角形。所以AD CD ==，

5AB BC ==

，所以BD =EDF 中，

由切线可知ED BD ⊥，且,AD BE

⊥，所以由射影定理可知22

7BD BD BA BE BE BA

=⋅⇒==，则2AE BE AB =-=

，进而DE ==

例3：如图，PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知30BPA ∠=︒

，

PA =1PC =，则圆O 的半径等于__________．

思路：由PA 与圆O 相切于A 可知2

PA PC PB =⋅，可得

2

12PA PB PC

==，从而11BC PB PC =-=，在PAD 中，

可由30BPA ∠=︒

，PA =2,4DA PD ==，从而3,5CD BD ==，观察圆内的弦，延长AO 交圆于E ，从而有AD DE CD DB ⋅=⋅，与半径进行联系可得：

()2AD R AD CD DB ⋅-=⋅，代入数值可得7R =

答案：7R =

例4：如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PT 切半

圆于点T ，TH BC ⊥于H ，若1,2PT PB PC a =+=，则PH =（ ） A.

2a B. 1a C. 2a D. 3

a

思路：因为PT 切半圆于点T ，所以考虑连结圆心与切点，可得：OT PT ⊥，在Rt PTO 中

具有双垂直的特点，所以只需已知两条边即可求出PH ，由切割线定理可得：

2

PT PC PB =⋅

，21PB PC a PC a PB PC PB a ⎧+==-⎧⎪⇒⎨⎨⋅=⎩=+⎪⎩

BC PC PB =-=

r

，从而OT r PO PC r a ===+=，

由射影定理可得：22

1

PT PT PH PO PH PO a

=⋅⇒=

= 答案：B

例5：如图，PB 为ABC 外接圆O 的切线，BD 平分PBC ∠，交圆O 于D ，,,C D P 共线．若,,1AB BD PC PB PD ⊥⊥=，则圆O 的半径是 ．

思路：由AB BD ⊥可知AD 为圆O 的直径，由弦切角性质可

得

B

B