高中数学函数的对称性和周期性知识点精析新人教B版必修

高中数学函数的对称性和周期性知识点精析新
人教B版必修
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函数的对称性和周期性知识点精析
1．周期函数的定义
周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得
()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，
则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()
f x 的最小正周期.
2．函数的轴对称：
定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.
定理2：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x =-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.
定理3：如果函数()y f x =满足()()2f x f a x -=+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.
定理4：如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2
a b x +=对称. 定理5：如果函数()y f x =满足()()f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线0x =（y 轴）对称.
3.函数的点对称：
定理1：如果函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数
()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.
定理2：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b +-=，则函数
()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.
定理3：如果函数()y f x =满足()()22f x f a x b -++=，则函数
()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.
定理4：如果函数()y f x =满足()()0f a x f a x ++-=，则函数
()y f x =的图象关于点(,0)a 对称.
定理5：如果函数()y f x =满足()()0f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于原点(0,0)对称.
4．函数的对称性与周期性的联系
定理3：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=-，且
()()f b x f b x +=-（其中a b ≠），则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理4：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=--，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以2()a b -为周期. 定理5：若函数()y f x =在R 上满足()()f a x f a x +=-，且
()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以4()a b -为周期.
以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.
5．几种特殊抽象函数的周期：
函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,
① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()
1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1()()1()
f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-
+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()
f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，
若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.
⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以
()2b a -为周期的周期函数；
⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；
⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；
6．判断一个函数是否是周期函数的主要方法
1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=;
二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.
2.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。