自主招生数学讲义(范端喜)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反思：作为选择题，没有必要把新方程完全求出再与答案比较，这样比较费时。
例6(2008复旦)方程 的实根是( )（☆☆☆）
A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.有三个
指针：数形结合，再根据零值定理判断具体根的个数
反思：本题极易误选选项C.究其原因就是对两种函数的性态把握不准
例7（2005复旦）在实数范围内求方程 的实数解（☆☆☆☆）
推论二整系数多项式的整数根，必是常数项 的约数
补充例4 （☆☆）
指针：利用知识拓展四
反思：对于次数比较高的方程在求它的有理根时，这个结论非常管用
模仿训练④
求方程 的有理数根（☆☆）
重要例题
例5
（☆☆☆）
指针：先把原方程的三个根用韦达定理表示，再把新方程的三个根的和求出来，对四个选项中的新方程用韦达定理检验，逐一排除
综合练习13.（2002复旦）参数 取何值时：
（1）有解?
（2）仅有一解?（☆☆☆☆）
先去掉对数符号，化归为一个与之等价的有理方程，并考虑定义域
利用原方程判别式为零，再配方
用反证法证明
利用韦达定理及基本不等式，分别证明
综合练习17. （☆☆☆☆☆）
利用三角代换
综合练习18.（2011福建省预赛）．对正整数 ，设 是关于 的方程 的实数根，记 （ ，3，…）（符号 表示不超过 的最大整数）.则 .（☆☆☆☆）
→例10
综合练习
综合练习1
（☆☆）
将根式里面配方
综合练习2.（05上海交大） 的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值．（☆☆☆）
先用三次方程的韦达定理，再不断消元，还要用到整系数多项式有理根的知识（本题运用到知识拓展）。
综合练习3.（09上海交大）若 满足 ，称 为 的不动点.
介值定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间端点处取不同的函数值：f(a)=A,f(b)=B,且A≠B。那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C (a<ξ<b)。
特别的，如果f(a)与f(b)异号，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0 (a<ξ<b)---零值定理。
综合练习8.（07上海交大）设 且 ，则方程 的解的个数为．（☆☆☆）
数形结合
综合练习9.（04上海交大）已知 ,则方程 的相异实根的个数是__________．（☆☆☆）
数形结合
综合练习10.（03复旦）解方程 ，x＝________________．（☆☆☆）
方程两边同时取以 为底的对数
将 分离出来，转化为求函数的值域
知识拓展二三次方程的韦达定理
韦达定理当然还可以推广到更一般情形，在此就不多说。
补充例1 （☆☆）
指针：利用三次方程的韦达定理
反思：注意韦达定理中的符号是负正交错出现的
模仿训练①
（☆☆）
补充例2
(☆☆)
指针：先将原方程的三个根用韦达定理表示，再把新方程的三个根的和、两两乘积之和、三个根的乘积分别求出。
例10（08上海交大）已知函数 ，且 没有实数根．那么 是否有实数根？并证明你的结论．
指针可设法证明
反思：从解法三可以看出，此题的结论不只针对二次函数 是对的，对一般的连续函数都有一样的结论。
练习：
Байду номын сангаас练习1
（☆☆☆）
→例5
练习2
（2011吉林省预赛）若函数 满足 且 时 ,函数 ，则函数 在区间 内零点的个数为()
证明：若 有唯一不动点，则 也有唯一不动点.（☆☆☆☆）
先证存在性，把 的唯一不动点设出来，换元，再用 作用，并利用唯一性。
可以数形结合，分别画出 的图像
本题缺图
先考虑判别式，求出 的范围，再把
因式分解
综合练习7.（08复旦）方程 有( )解
A.一个 B.两个 C.三个 D.四个（☆☆）
分幂指数为0和底数为1两种情况
方程的根的问题
【知识拓展】
方程的根（零点）的问题也是自主招生中的热点问题之一，这是因为它可以与其它知识点交汇：比如数形结合思想、换原思想、多项式问题、甚至三角等（见），这类问题往往能体现考试数学代数功夫，因此颇受命题老师青睐。
知识拓展一零值定理
零值定理实际上是大学数学分析中讲到的介值定理的一种特殊情形。
利用零值定理，把 的范围估计出来，可得
综合练习19.（2011年湖北省预赛）满足方程 （ ）的实数对 的个数为（☆☆☆）
配方（按 ）
综合练习20.（2011湖南省预赛）设函数 ，若 ，则你对函数 在区间 中零点存在情况的判断是.（☆☆☆）
利用不等式，把 的符号估计出来，再由零值定理
按k分离整数。
指针：换个角度，看成关于a的一次函数，因式分解
反思：这种方法称为变换主元法，有时换一个主元在某些问题中会起到意料不到的效果！
例9（2009清华）求一个整系数多项式 ，使得 （☆☆☆☆）
指针：设 ，把 移到左边，两边同时三次方，再把无理数项分离，平方即可
反思：本问题用到了方程的思想，先构造一个方程，对一端有两个无理数的方程化简问题，一般把其中一项移到另一边，保持两边无理数项尽量平衡。
A．12B．14C．13D．8
（☆☆☆）
→例6
练习3
（☆☆☆）
→例7
练习4.（2004交大） ，试求出：当实数 取何值时，（1）总有 ；（2）总有 ．（☆☆☆）
→例8
练习5
(2006交大) （☆☆☆）
→例8
练习6
求一个整系数多项式 ，使得
（☆☆☆☆）
→例9
练习7
（2011北大保送生考试题） ,若 只有一个实数根,求证: .（☆☆☆☆☆）
指针：换元将无理方程化为有理方程或利用等差中项性质换元
反思：解法一引入两个变量后得到一个四次方程组，再对其中一个式子降次；解法二利用等差中项引入一个变元再利用二项式定理展开相加化为一个双二次方程，这两种做法均值得推敲。
例8（2007上海交大）设 ，试证明对任意实数 ：
（1）方程 总有相同实根；
（2）存在 ，恒有 ．（☆☆☆）
反思：新方程的三个根如何表示用原方程三个根的初等对称式表示出来是关键
模仿训练②
知识拓展三余数定理、因数定理
补充例3：（日大阪工业大学）
（☆☆）
指针：（1）由因数定理（2）由余数定理（3）由因数及余数定理
反思：余数、因式定理中代入的都是一次因式的根
模仿训练③
（☆☆）
知识拓展四整系数多项式的根及其推论
推论一首项系数为1的整系数多项式的有理根必是整数根
例6(2008复旦)方程 的实根是( )（☆☆☆）
A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.有三个
指针：数形结合，再根据零值定理判断具体根的个数
反思：本题极易误选选项C.究其原因就是对两种函数的性态把握不准
例7（2005复旦）在实数范围内求方程 的实数解（☆☆☆☆）
推论二整系数多项式的整数根，必是常数项 的约数
补充例4 （☆☆）
指针：利用知识拓展四
反思：对于次数比较高的方程在求它的有理根时，这个结论非常管用
模仿训练④
求方程 的有理数根（☆☆）
重要例题
例5
（☆☆☆）
指针：先把原方程的三个根用韦达定理表示，再把新方程的三个根的和求出来，对四个选项中的新方程用韦达定理检验，逐一排除
综合练习13.（2002复旦）参数 取何值时：
（1）有解?
（2）仅有一解?（☆☆☆☆）
先去掉对数符号，化归为一个与之等价的有理方程，并考虑定义域
利用原方程判别式为零，再配方
用反证法证明
利用韦达定理及基本不等式，分别证明
综合练习17. （☆☆☆☆☆）
利用三角代换
综合练习18.（2011福建省预赛）．对正整数 ，设 是关于 的方程 的实数根，记 （ ，3，…）（符号 表示不超过 的最大整数）.则 .（☆☆☆☆）
→例10
综合练习
综合练习1
（☆☆）
将根式里面配方
综合练习2.（05上海交大） 的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值．（☆☆☆）
先用三次方程的韦达定理，再不断消元，还要用到整系数多项式有理根的知识（本题运用到知识拓展）。
综合练习3.（09上海交大）若 满足 ，称 为 的不动点.
介值定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间端点处取不同的函数值：f(a)=A,f(b)=B,且A≠B。那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C (a<ξ<b)。
特别的，如果f(a)与f(b)异号，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0 (a<ξ<b)---零值定理。
综合练习8.（07上海交大）设 且 ，则方程 的解的个数为．（☆☆☆）
数形结合
综合练习9.（04上海交大）已知 ,则方程 的相异实根的个数是__________．（☆☆☆）
数形结合
综合练习10.（03复旦）解方程 ，x＝________________．（☆☆☆）
方程两边同时取以 为底的对数
将 分离出来，转化为求函数的值域
知识拓展二三次方程的韦达定理
韦达定理当然还可以推广到更一般情形，在此就不多说。
补充例1 （☆☆）
指针：利用三次方程的韦达定理
反思：注意韦达定理中的符号是负正交错出现的
模仿训练①
（☆☆）
补充例2
(☆☆)
指针：先将原方程的三个根用韦达定理表示，再把新方程的三个根的和、两两乘积之和、三个根的乘积分别求出。
例10（08上海交大）已知函数 ，且 没有实数根．那么 是否有实数根？并证明你的结论．
指针可设法证明
反思：从解法三可以看出，此题的结论不只针对二次函数 是对的，对一般的连续函数都有一样的结论。
练习：
Байду номын сангаас练习1
（☆☆☆）
→例5
练习2
（2011吉林省预赛）若函数 满足 且 时 ,函数 ，则函数 在区间 内零点的个数为()
证明：若 有唯一不动点，则 也有唯一不动点.（☆☆☆☆）
先证存在性，把 的唯一不动点设出来，换元，再用 作用，并利用唯一性。
可以数形结合，分别画出 的图像
本题缺图
先考虑判别式，求出 的范围，再把
因式分解
综合练习7.（08复旦）方程 有( )解
A.一个 B.两个 C.三个 D.四个（☆☆）
分幂指数为0和底数为1两种情况
方程的根的问题
【知识拓展】
方程的根（零点）的问题也是自主招生中的热点问题之一，这是因为它可以与其它知识点交汇：比如数形结合思想、换原思想、多项式问题、甚至三角等（见），这类问题往往能体现考试数学代数功夫，因此颇受命题老师青睐。
知识拓展一零值定理
零值定理实际上是大学数学分析中讲到的介值定理的一种特殊情形。
利用零值定理，把 的范围估计出来，可得
综合练习19.（2011年湖北省预赛）满足方程 （ ）的实数对 的个数为（☆☆☆）
配方（按 ）
综合练习20.（2011湖南省预赛）设函数 ，若 ，则你对函数 在区间 中零点存在情况的判断是.（☆☆☆）
利用不等式，把 的符号估计出来，再由零值定理
按k分离整数。
指针：换个角度，看成关于a的一次函数，因式分解
反思：这种方法称为变换主元法，有时换一个主元在某些问题中会起到意料不到的效果！
例9（2009清华）求一个整系数多项式 ，使得 （☆☆☆☆）
指针：设 ，把 移到左边，两边同时三次方，再把无理数项分离，平方即可
反思：本问题用到了方程的思想，先构造一个方程，对一端有两个无理数的方程化简问题，一般把其中一项移到另一边，保持两边无理数项尽量平衡。
A．12B．14C．13D．8
（☆☆☆）
→例6
练习3
（☆☆☆）
→例7
练习4.（2004交大） ，试求出：当实数 取何值时，（1）总有 ；（2）总有 ．（☆☆☆）
→例8
练习5
(2006交大) （☆☆☆）
→例8
练习6
求一个整系数多项式 ，使得
（☆☆☆☆）
→例9
练习7
（2011北大保送生考试题） ,若 只有一个实数根,求证: .（☆☆☆☆☆）
指针：换元将无理方程化为有理方程或利用等差中项性质换元
反思：解法一引入两个变量后得到一个四次方程组，再对其中一个式子降次；解法二利用等差中项引入一个变元再利用二项式定理展开相加化为一个双二次方程，这两种做法均值得推敲。
例8（2007上海交大）设 ，试证明对任意实数 ：
（1）方程 总有相同实根；
（2）存在 ，恒有 ．（☆☆☆）
反思：新方程的三个根如何表示用原方程三个根的初等对称式表示出来是关键
模仿训练②
知识拓展三余数定理、因数定理
补充例3：（日大阪工业大学）
（☆☆）
指针：（1）由因数定理（2）由余数定理（3）由因数及余数定理
反思：余数、因式定理中代入的都是一次因式的根
模仿训练③
（☆☆）
知识拓展四整系数多项式的根及其推论
推论一首项系数为1的整系数多项式的有理根必是整数根