等差数列单元测试题含答案百度文库(1)
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本题主要考查了等差数列的性质和前n项和 ，属于基础题.
30．AD
【分析】
根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.
【详解】
， ，所以 是递增数列，故①正确，
，当 时，数列 不是递增数列，故②不正确，
，当 时， 不是递增数列，故③不正确，
，因为 ，所以 是递增数列，故④正确，
故选：
【点睛】
【详解】
，即有 ，得 ，
∴ ， ，且 ，
∴ .
故选：B
15．B
【分析】
利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.
【详解】
由等差数列的性质，可得 ， ，
因为 ，
可得 ，即 ，
故数列的前13项之和 .
故选：B.
16．A
【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，得出 ，再由等差数列前 项和公式，即可得出结果.
故选：B
12．B
【分析】
由等差数列的通项公式可得 ，再由 ，从而可得结果.
【详解】
解： ，
，
.
故选：B.
13．C
【分析】
根据已知条件得到关于首项 和公差 的方程组，求解出 的值，再根据等差数列前 项和的计算公式求解出 的值.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
14．B
【分析】
由已知条件，结合等差数列通项公式得 ，即可求 .
由 有 ，即
所以 ,则选项D正确.
选项A. ,无法判断其是否有最小值，故A错误.
选项B. ,故B正确.
选项C. ,所以 ，故C正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件 得到 ，即 ，然后由等差数列的性质和前 项和公式判断,属于中档题.
23．无
利用等差数列的求和公式可判断A选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B选项的正误；利用 结合不等式的基本性质可判断C选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由于 ，故选项A错误；
对于B选项，由于 ，则
，故选项B错误；
对于C选项，由于 ，故选项C错误；
对于D选项，设 ，则 ，从而 ，
由于 ，故 .
，
故 .
，
由此 ，故选项D正确.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示 、 ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断.
19．B
【分析】
利用等差数列的性质，由 ，得到 ，然后由 求解.
【详解】
因为 ，
又抛物线开口向上，以 为对称轴，且 |，
所以当 时， 有最小值．
故选：C
7．C
【分析】
可设 ， ，进而求得 与 的关系式，即可求得结果．
【详解】
因为 ， 是等差数列，且 ，
所以可设 ， ，
又当 时，有 ， ，
，
故选： ．
8．A
【分析】
利用等差数列的性质结合已知解得 ，进一步求得 ．
【详解】
在等差数列 中，设公差为 ，由 ， .
所以由等差数列的性质得 ，
解得 ，
所以 ．
故选：B
20．C
【分析】
由题建立关系求出公差，即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
，
， ，
.
故选：C
二、多选题
21．AD
【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求 ，最后根据和项与通项关系得 .
【详解】
因此数列 为以 为首项， 为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （）
A．11B．12C．23D．24
5．已知等差数列 中， ，则 的前n项和 的最大值为（）
A． B． C． D．
6．已知等差数列 中，前 项和 ，则使 有最小值的 是（）
A．7B．8C．7或8D．9
7．若两个等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ，且 ，则 （）
一、等差数列选择题
1．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的值是（）
A．48B．60C．72D．24
2．等差数列 中，已知 ，则 （）
A．13B．14C．15D．16
3．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，下列四个命题：①公差 的最大值为 ；② ；③记 的最大值为 ，则 的最大值为30；④ .其真命题的个数是（）
29．AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求 ， ，即可求公差 ，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以等差数列 公差 ，
所以 是递减数列，
故 最大，选项A正确；选项 不正确；
，
所以 ，故选项C不正确；
当 时， ，即 ，故选项D正确；
故选：AD
【点睛】
所以 ，即A正确；
当 时
所以 ，即B，C不正确；
故选：AD
【点睛】
本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
22．BCD
【分析】
由 是等差数列及 ，求出 与 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.
【详解】
设等差数列数列 的公差为 .
A． B． C． D．
8．已知等差数列 满足 ， ，则 （）
A．10B．9C．8D．7
9．已知等差数列 的前n项和为Sn，若S2=8， ，则a1等于（）
A．1B．2C．3D．4
10．已知数列 的前项和 ， ，则 （）
A．20B．17C．18D．19
11．在等差数列 中， ，S，是数列 的前n项和，则S2020=（）
A．2019B．4040C．2020D．4038
12．设等差数列 的前 项之和为 ，已知 ，则 （）
A． B． C． D．
13．等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 （）
A．21B．15C．10D．6
14．设等差数列 的公差d≠0，前n项和为 ，若 ，则 （）
A．9B．5C．1D．
15．在等差数列 中， ，则此数列前13项的和是（）
所以 ， .
故选：AD.
27．AB
【分析】
根据等差数列的性质及 可分析出结果.
【详解】
因为等差数列中 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ， ，故AB正确，C错误；
因为 ，故D错误，
故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题突破口在于由 得到 ，结合 ，进而得到 ，考查学生逻辑推理能力.
28．ABD
【分析】
结合等差数列的性质、前 项和公式，及题中的条件，可选出答案.
【详解】
， ，
， 公差 ，
，
故选：C.
5．B
【分析】
根据已知条件判断 时对应的 的范围，由此求得 的最大值.
【详解】
依题意 ，所以 ，
所以 的前n项和 的最大值为 .
6．C
【分析】
看作关于 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．
【详解】
，
∴数列 的图象是分布在抛物线 上的横坐标为正整数的离散的点．
A．60B．120C．160D．240
20．设 是等差数列 （ ）的前 项和，且 ，则 （）
A． B． C． D．
二、多选题
21．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则下列说法正确的是（）
A．数列 的前n项和为 B．数列 的通项公式为
C．数列 为递增数列D．数列 为递增数列
22．已知数列 是等差数列，前n项和为 且 下列结论中正确的是（）
A．13B．26C．52D．56
16．在等差数列 中， ，则 的前 项和 （）
A． B． C． D．
17．若数列 满足 ，且 ，则 （）
A． B．
C． D．
18．已知数列 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前 项和为 .若 且 ，则下列判断正确的是（）
A． B．
C． D．
19．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （）
当 时，有最大值，此时 ，
当 时，有最大值，此时 ，C正确．
又该数列为递减数列，所以 ，D正确．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前 项和，掌握等差数列的前 和公式与性质是解题关键．等差数列前 项和 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由 求得．
4．C
【分析】
由题设求得等差数列 的公差 ，即可求得结果.
24．BC
【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前 项和公式
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
，
故选：BC
25．AC
【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．
【详解】
对于选项A， 取前六项得： ，满足条件；
故选：A
9．C
【分析】
利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出 ．
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
，解得
故选：C
10．C
【分析】
根据题中条件，由 ，即可得出结果．
【详解】
因为数列 的前项和 ，
所以 ．
故选：C．
11．B
【分析】
由等差数列的性质可得 ，则 可得答案.
【详解】
等差数列 中,
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.
A． 最小B． C． D． 23．题目文件丢失！
24．设等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则（）
A． B．
C． D．
25．已知数列 ，则前六项适合的通项公式为（）
A． B．
C． D．
26．记 为等差数列 的前n项和.已知 ，则（）
A． B． C． D．
27．等差数列 的前n项和记为 ，若 ， ，则（）
【详解】
由 ，可得 ，故B正确；
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，故等差数列 是递减数列，即 ，故A正确；
又 ，所以 ，故C不正确；
又因为等差数列 是单调递减数列，且 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式 ，及 ，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
对于选项B， 取前六项得： ，不满足条件；
对于选项C， 取前六项得： ，满足条件；
对于选项D， 取前六项得： ，不满足条件；
故选：AC
26．AD
【分析】
设等差数列 的公差为 ，根据已知得 ，进而得 ，故 ， .
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，因为
所以根据等差数列前 项和公式和通项公式得： ，
解方程组得： ，
【详解】
由等差数列的性质可得 ，
所以 ，解得： ，
故选：A
3．B
【分析】
设公差为 ，利用等差数列的前 项和公式， ，得 ，由前 项和公式，得 ，同时可得 的最大值， ， 或 时取得，结合递减数列判断D．
【详解】
设公差为 ，由已知 ， ，得 ，所以 ，A正确；
所以 ，B错误；
，Biblioteka Baidu得 ， ，解得 ，
所以 ，当 时， ，
【详解】
因为 为等差数列， ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前 项和的基本量运算是解题关键.
17．B
【分析】
根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解.
【详解】
由 ，则 ，
即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 .
故选：B
18．D
【分析】
A． B．
C． D．当且仅当 时，
28． 是等差数列，公差为d，前项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
29．已知无穷等差数列 的前n项和为 ， ，且 ，则（）
A．在数列 中， 最大
B．在数列 中， 或 最大
C．
D．当 时，
30．下面是关于公差 的等差数列 的四个命题，其中的真命题为（）.
A．数列 是递增数列
B．数列 是递增数列
C．数列 是递增数列
D．数列 是递增数列
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等差数列选择题
1．A
【分析】
根据条件列方程组，求首项和公差，再根据 ，代入求值.
【详解】
由条件可知 ，解得： ，
.
故选：A
2．A
【分析】
利用等差数列的性质可得 ，代入已知式子即可求解.
30．AD
【分析】
根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.
【详解】
， ，所以 是递增数列，故①正确，
，当 时，数列 不是递增数列，故②不正确，
，当 时， 不是递增数列，故③不正确，
，因为 ，所以 是递增数列，故④正确，
故选：
【点睛】
【详解】
，即有 ，得 ，
∴ ， ，且 ，
∴ .
故选：B
15．B
【分析】
利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.
【详解】
由等差数列的性质，可得 ， ，
因为 ，
可得 ，即 ，
故数列的前13项之和 .
故选：B.
16．A
【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，得出 ，再由等差数列前 项和公式，即可得出结果.
故选：B
12．B
【分析】
由等差数列的通项公式可得 ，再由 ，从而可得结果.
【详解】
解： ，
，
.
故选：B.
13．C
【分析】
根据已知条件得到关于首项 和公差 的方程组，求解出 的值，再根据等差数列前 项和的计算公式求解出 的值.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
14．B
【分析】
由已知条件，结合等差数列通项公式得 ，即可求 .
由 有 ，即
所以 ,则选项D正确.
选项A. ,无法判断其是否有最小值，故A错误.
选项B. ,故B正确.
选项C. ,所以 ，故C正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件 得到 ，即 ，然后由等差数列的性质和前 项和公式判断,属于中档题.
23．无
利用等差数列的求和公式可判断A选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B选项的正误；利用 结合不等式的基本性质可判断C选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由于 ，故选项A错误；
对于B选项，由于 ，则
，故选项B错误；
对于C选项，由于 ，故选项C错误；
对于D选项，设 ，则 ，从而 ，
由于 ，故 .
，
故 .
，
由此 ，故选项D正确.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示 、 ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断.
19．B
【分析】
利用等差数列的性质，由 ，得到 ，然后由 求解.
【详解】
因为 ，
又抛物线开口向上，以 为对称轴，且 |，
所以当 时， 有最小值．
故选：C
7．C
【分析】
可设 ， ，进而求得 与 的关系式，即可求得结果．
【详解】
因为 ， 是等差数列，且 ，
所以可设 ， ，
又当 时，有 ， ，
，
故选： ．
8．A
【分析】
利用等差数列的性质结合已知解得 ，进一步求得 ．
【详解】
在等差数列 中，设公差为 ，由 ， .
所以由等差数列的性质得 ，
解得 ，
所以 ．
故选：B
20．C
【分析】
由题建立关系求出公差，即可求解.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
，
， ，
.
故选：C
二、多选题
21．AD
【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求 ，最后根据和项与通项关系得 .
【详解】
因此数列 为以 为首项， 为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （）
A．11B．12C．23D．24
5．已知等差数列 中， ，则 的前n项和 的最大值为（）
A． B． C． D．
6．已知等差数列 中，前 项和 ，则使 有最小值的 是（）
A．7B．8C．7或8D．9
7．若两个等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ，且 ，则 （）
一、等差数列选择题
1．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的值是（）
A．48B．60C．72D．24
2．等差数列 中，已知 ，则 （）
A．13B．14C．15D．16
3．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，下列四个命题：①公差 的最大值为 ；② ；③记 的最大值为 ，则 的最大值为30；④ .其真命题的个数是（）
29．AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求 ， ，即可求公差 ，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以等差数列 公差 ，
所以 是递减数列，
故 最大，选项A正确；选项 不正确；
，
所以 ，故选项C不正确；
当 时， ，即 ，故选项D正确；
故选：AD
【点睛】
所以 ，即A正确；
当 时
所以 ，即B，C不正确；
故选：AD
【点睛】
本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
22．BCD
【分析】
由 是等差数列及 ，求出 与 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.
【详解】
设等差数列数列 的公差为 .
A． B． C． D．
8．已知等差数列 满足 ， ，则 （）
A．10B．9C．8D．7
9．已知等差数列 的前n项和为Sn，若S2=8， ，则a1等于（）
A．1B．2C．3D．4
10．已知数列 的前项和 ， ，则 （）
A．20B．17C．18D．19
11．在等差数列 中， ，S，是数列 的前n项和，则S2020=（）
A．2019B．4040C．2020D．4038
12．设等差数列 的前 项之和为 ，已知 ，则 （）
A． B． C． D．
13．等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 （）
A．21B．15C．10D．6
14．设等差数列 的公差d≠0，前n项和为 ，若 ，则 （）
A．9B．5C．1D．
15．在等差数列 中， ，则此数列前13项的和是（）
所以 ， .
故选：AD.
27．AB
【分析】
根据等差数列的性质及 可分析出结果.
【详解】
因为等差数列中 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ， ，故AB正确，C错误；
因为 ，故D错误，
故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题突破口在于由 得到 ，结合 ，进而得到 ，考查学生逻辑推理能力.
28．ABD
【分析】
结合等差数列的性质、前 项和公式，及题中的条件，可选出答案.
【详解】
， ，
， 公差 ，
，
故选：C.
5．B
【分析】
根据已知条件判断 时对应的 的范围，由此求得 的最大值.
【详解】
依题意 ，所以 ，
所以 的前n项和 的最大值为 .
6．C
【分析】
看作关于 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．
【详解】
，
∴数列 的图象是分布在抛物线 上的横坐标为正整数的离散的点．
A．60B．120C．160D．240
20．设 是等差数列 （ ）的前 项和，且 ，则 （）
A． B． C． D．
二、多选题
21．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则下列说法正确的是（）
A．数列 的前n项和为 B．数列 的通项公式为
C．数列 为递增数列D．数列 为递增数列
22．已知数列 是等差数列，前n项和为 且 下列结论中正确的是（）
A．13B．26C．52D．56
16．在等差数列 中， ，则 的前 项和 （）
A． B． C． D．
17．若数列 满足 ，且 ，则 （）
A． B．
C． D．
18．已知数列 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前 项和为 .若 且 ，则下列判断正确的是（）
A． B．
C． D．
19．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （）
当 时，有最大值，此时 ，
当 时，有最大值，此时 ，C正确．
又该数列为递减数列，所以 ，D正确．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前 项和，掌握等差数列的前 和公式与性质是解题关键．等差数列前 项和 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由 求得．
4．C
【分析】
由题设求得等差数列 的公差 ，即可求得结果.
24．BC
【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前 项和公式
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
，
故选：BC
25．AC
【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．
【详解】
对于选项A， 取前六项得： ，满足条件；
故选：A
9．C
【分析】
利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出 ．
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
，解得
故选：C
10．C
【分析】
根据题中条件，由 ，即可得出结果．
【详解】
因为数列 的前项和 ，
所以 ．
故选：C．
11．B
【分析】
由等差数列的性质可得 ，则 可得答案.
【详解】
等差数列 中,
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.
A． 最小B． C． D． 23．题目文件丢失！
24．设等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则（）
A． B．
C． D．
25．已知数列 ，则前六项适合的通项公式为（）
A． B．
C． D．
26．记 为等差数列 的前n项和.已知 ，则（）
A． B． C． D．
27．等差数列 的前n项和记为 ，若 ， ，则（）
【详解】
由 ，可得 ，故B正确；
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，故等差数列 是递减数列，即 ，故A正确；
又 ，所以 ，故C不正确；
又因为等差数列 是单调递减数列，且 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式 ，及 ，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.
对于选项B， 取前六项得： ，不满足条件；
对于选项C， 取前六项得： ，满足条件；
对于选项D， 取前六项得： ，不满足条件；
故选：AC
26．AD
【分析】
设等差数列 的公差为 ，根据已知得 ，进而得 ，故 ， .
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，因为
所以根据等差数列前 项和公式和通项公式得： ，
解方程组得： ，
【详解】
由等差数列的性质可得 ，
所以 ，解得： ，
故选：A
3．B
【分析】
设公差为 ，利用等差数列的前 项和公式， ，得 ，由前 项和公式，得 ，同时可得 的最大值， ， 或 时取得，结合递减数列判断D．
【详解】
设公差为 ，由已知 ， ，得 ，所以 ，A正确；
所以 ，B错误；
，Biblioteka Baidu得 ， ，解得 ，
所以 ，当 时， ，
【详解】
因为 为等差数列， ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前 项和的基本量运算是解题关键.
17．B
【分析】
根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解.
【详解】
由 ，则 ，
即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 .
故选：B
18．D
【分析】
A． B．
C． D．当且仅当 时，
28． 是等差数列，公差为d，前项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
29．已知无穷等差数列 的前n项和为 ， ，且 ，则（）
A．在数列 中， 最大
B．在数列 中， 或 最大
C．
D．当 时，
30．下面是关于公差 的等差数列 的四个命题，其中的真命题为（）.
A．数列 是递增数列
B．数列 是递增数列
C．数列 是递增数列
D．数列 是递增数列
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一、等差数列选择题
1．A
【分析】
根据条件列方程组，求首项和公差，再根据 ，代入求值.
【详解】
由条件可知 ，解得： ，
.
故选：A
2．A
【分析】
利用等差数列的性质可得 ，代入已知式子即可求解.