2020届全国各地高考试题分类汇编06平面向量

06平面向量

1.（2020•北京卷）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1

()2

AP AB AC =

+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．

【答案】 (1).

(2). 1-

【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.

【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()

()()()111

2,02,22,1222

AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，

因此，(PD =

-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-.

【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P 的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.

2.（2020•全国1卷）设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.

【解析】整理已知可得：()

2

a b a b +=+，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形

可得：2

2

2a b a a b b -=

-⋅+，问题得解.

【详解】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()

2

22

2221a b a b a a b b a b +=

+=+⋅+=+⋅=

解得：21a b ⋅=-,所以(

)

2

22

23a b a b

a a

b b -=

-=-⋅+=,

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

3.（2020•全国2卷）已知单位向量a →

,b →

的夹角为45°，k a b →→-与a →

垂直，则k ＝__________. 【答案】

2

【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.

【详解】由题意可得：211cos 45a b →→

⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a

→→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，

即：2

02

k a a b k →→→

⨯-⋅=-

=，解得：2k =.故答案为：2．

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.（2020•全国3卷）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）

A. 31

35

- B. 1935

- C.

1735

D.

1935

【答案】D

【解析】计算出()

a a

b ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】

5a =，6b =，6a b ⋅=-，()

2

25619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.

(

)

2

22

2257a b a b

a a

b b +=

+=+⋅+=-=，

因此，(

)1919

cos ,5735

a a b

a a

b a a b

⋅+<+>=

=

=⨯⋅+.故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

5.（2020•江苏卷）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9，若3

()2

PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．

【答案】

185

【解析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝

⎭

与,,B D C 三点共线，可求得λ，

再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.

【详解】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>，∵3

2

PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

，

∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

，即32m m PD PB PC λλ

⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，∴321m m λλ

⎛⎫

- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =， 设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.

∴根据余弦定理可得222cos 26

AD CD AC x

AD CD θ+-=

=⋅，()()()2

22257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-， ∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2

57

0665x x x --+

=-，解得185x =，∴CD 的长度为185

. 当0m =时， 3

2

PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =

时，3

2PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185

.

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出

()0PA PD λλ=>．

6.（2020•新全国1山东）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)

-

【答案】A

【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，