人教版高中数学必修一第11讲：对数函数(教师版)

对数函数

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1、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

2、掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数 y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数. （a >0,a ≠1）

一、对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。 二、对数函数的图像和性质：

a >1

1a

<<

图 像

性 质

定义域：()0,+∞

值域：R

过点()1,0，即当1x =时，0y =

)1,0(∈x 时，0y

)1,0(∈x 时，0>y ；),1(+∞∈x 时，0

在()0,+∞上是增函数

在()0,+∞上是减函数

三、比较对数值的大小，常见题型有以下几类：

1、比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；

2、比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较；

3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较。

四、对数不等式的解法：

()()()()()()()()()()

1 log log 0 01log log 0a a a a f x g x a f x g x f x f x g x a f x g x f x >⎧>>⎨>⎩

<⎧<<>⎨>⎩当时，与同解。

当时，与同解。

五、对数方程常见的可解类型有：

形如()()()()()

log log 01,0,0a a f x g x a a f x g x =>≠>>且的方程，化成()()f x g x =求解；

形如()log 0a F x =的方程，用换元法解；

形如()()log f x g x c =的方程，化成指数式()()c

f x

g x =⎡⎤⎣⎦求解

指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。

类型一 求函数的定义域

例1：求下列函数的定义域：

(1)y = (2)y ＝

3log (1

32)

x -；

解析：(1)由题意得lg(2－x )≥0， 即2－x ≥1，∴x ≤1，

则y ={x |x ≤1}． (2)欲使y ＝

3log (1

32)

x -有意义，

应有log 3(3x －2)≠0，∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

3x －2>0

3x －2≠1.

解得x >2

3

，且x ≠1.

答案：(1) {x |x ≤1}．(2) {x |x >2

3

，且x ≠1.}．

练习1：(2014～2015学年浙江舟山中学高一上学期期中测试)函数f (x )＝

1ln(1)

x +＋4－x 2

的

定义域为________________．

答案：(－1,0)∪(0,2]

练习2：(2014·江西理，2)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )

A．(0,1) B．[0,1]

C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

答案: C

类型二应用对数函数的性质比较数的大小

例2：比较下列各组中两个数的大小：

(1)log23.4和log28.5；(2)log0.53.8和log0.52；

解析：(1)∵y＝log2x在x∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4<8.5，∴log23.4

(2)∵y＝log0.5x在x∈(0，＋∞)上为减函数，且3.8>2，∴log0.53.8

答案：(1)log23.4

练习1：设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )

A．a>c>b B．b>c>a

C．c>b>a D．c>a>b

答案：D

π，c＝π－2，则( ) 练习2：(2014·天津文，4)设a＝log2π，b＝log1

2

A．a>b>c B．b>a>c

C．a>c>b D．c>b>a

答案：C

类型三与对数函数有关的图象问题

|x|的大致图象是( )

例3：函数y＝log1

2

1＝0，排除A；

解析：当x＝1时，y＝log1

2

2＝－1，排除B、C、故选D．

当x＝2时，y＝log1

2

答案: D

练习1：函数f (x )＝ln(x 2

＋1)的图象大致是( )

答案: A

练习2：已知a >0且a ≠1，函数y ＝a x

与y ＝log a (－x )的图象可能是下图中的( )

答案：B

类型四 求反函数

例4：求函数y ＝2x

＋1(x <0)的反函数．

解析: 由y ＝2x ＋1，得2x

＝y －1， ∴x ＝log 2(y －1)，∴y ＝log 2(x －1)．

又∵x <0，∴0<2x <1，∴1<2x

＋1<2，

∴所求函数的反函数为y ＝log 2(x －1)(1

答案：y ＝log 2(x －1)(1

练习1：求函数y ＝1＋x

1－x 的反函数．

答案：y ＝

x －1

x ＋1

(x ≠－1)． 练习2：函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为( ) A ．x ＝2－y

B ．x ＝y －2