基于核函数的学习算法经典.ppt
Kernel方法演示课件-精选.ppt
高斯过程
•线性回归重访问： 基本模型
精品
高斯过程
• 考察y的前两阶矩
• 由此确定y的分布（由核矩阵K所决定） • 作业：自行验证上述公式
精品
高斯过程
• 替换视角：不显式指定基函数集{ϕk}和p(w)， 直接定义核矩阵K
• 高斯核和指数核
精品
高斯过程
• 目标方程：
，这里
• 目标分布：
• y分布： 核矩阵
，这里K是由参数决定
精品
高斯过程
•由上述定义，可解析给出
这里 •问题：利用哪些结果可获得上面给出的结果？
精品
高斯过程
• 核矩阵K的定义：
精品
•预测：
高斯过程
•为计算以上条件概率，考虑
协方差矩阵做如下划分
精品
高斯过程
• 利用高斯分布条件化公式（2.81和2.82），
得到
服从均值和方法如下的高斯分布：
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学习超参数
• 最大似然解
• 注：问题是非凸的
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精品
精品
对偶表示
•比较原形式化的解
与对偶形式化的解
易知两个形式化涉及不同规模的矩阵反转 •问题：典型问题设置下，哪个形式化计算开 销更小？对偶形式化的优势在哪里？
精品
构造核
•方法1：首先构造 ，再由 获得核函数k(.,,)
•方法2：直接定义k(.,,) •注：方法2需要Hale Waihona Puke 证所定义的k(.,,)合法精品
Kernel方法
PRML第6、7章
精品
不同的方法框架
•数据只与模型的训练过程发生联系：例如线性 回归、Logistic回归等
训练耗时，测试相对较快
大数据十大经典算法SVM-讲解PPT
contents
目录
• 引言 • SVM基本原理 • SVM模型构建与优化 • SVM在大数据处理中的应用 • SVM算法实现与编程实践 • SVM算法性能评估与改进 • 总结与展望
01 引言
算法概述
SVM（Support Vector Machine，支持向量机）是一种监督学习模型，用于数据 分类和回归分析。
性能评估方法
01
准确率评估
通过计算模型在测试集上的准确率来评估SVM算法的性能，准确率越
高，说明模型分类效果越好。
02
混淆矩阵评估
通过构建混淆矩阵，可以计算出精确率、召回率、F1值等指标，更全面
地评估SVM算法的性能。
03
ROC曲线和AUC值评估
通过绘制ROC曲线并计算AUC值，可以评估SVM算法在不同阈值下的
核函数是SVM的重要组成部分 ，可将数据映射到更高维的空 间，使得原本线性不可分的数 据变得线性可分。常见的核函 数有线性核、多项式核、高斯 核等。
SVM的性能受参数影响较大， 如惩罚因子C、核函数参数等 。通过交叉验证、网格搜索等 方法可实现SVM参数的自动调 优，提高模型性能。
SVM在文本分类、图像识别、 生物信息学等领域有广泛应用 。通过具体案例，可深入了解 SVM的实际应用效果。
SVM算法实现步骤
模型选择
选择合适的SVM模型，如CSVM、ν-SVM或One-class SVM等。
模型训练
使用准备好的数据集对SVM模 型进行训练，得到支持向量和 决策边界。
数据准备
准备用于训练的数据集，包括 特征提取和标签分配。
参数设置
设置SVM模型的参数，如惩罚 系数C、核函数类型及其参数 等。
基于核及其优化的流形学习算法
0.22
PCA KPCA KOPCA(my method)
0.21
error rate
0.36 0.34 0.32 0.3
0.2
0.19
0.18
0.28 0.26 0.1
0.2
0.3 trainset size
0.4
0.5
0.17 0.1
0.2
0.3 trainset size
Dataset methods PCA KPCA KOPCA Label rate 0.005 0.01 0.05 0.1 0.2841 0.2727 0.2522 0.2472 0.2427 0.2336 0.04 0.0533 0.044 0.0405 0.0351 0.0343 0.4247 0.2603 0.2589 0.2536 0.2470 0.2445 0.4712 0.3942 0.3487 0.3443 0.3353 0.3284 0.2174 0.2609 0.2697 0.2432 0.2334 0.2051 wine Iris glass sonar soybean
利用核函数k代替特征空间中的内积，就对应于将数据通过一个 映射，映射到某个高维的特征空间中，高维特征空间是由核函 数定义的，选定了一个核函数，也就对应地定义了一个高维特 征空间。特征空间中所有的内积运算都是通过原空间中的核函 数来隐含实现。我们可以利用此思想，在特征空间中实现一般 的线性算法，同时也就实现了相对于原空间来说是非线性的算 法。这将会大大地提高学习算法的效率，改进现有算法，提高 各类模式识别任务的识别率。 目前常用的满足mercer条件的核函数：
线性分类器，只能对线性可分的样本做处理，如果提供 的样本线性不可分，那么用线性分类器无法将样本点分 开，于是，便可以引入核函数。 那么什么是核函数呢？
基于核函数的学习算法
基于核函数的学习算法基于核函数的学习算法是一种机器学习算法，用于解决非线性分类和回归问题。
在传统的机器学习算法中，我们通常假设样本数据是线性可分或线性可回归的，但是在现实世界中，许多问题是非线性的。
为了解决这些非线性问题，我们可以使用核函数来将原始数据映射到高维特征空间中，然后在该特征空间中进行线性分类或回归。
核函数是一个用于计算两个向量之间相似度的函数。
它可以通过计算两个向量在特征空间中的内积来度量它们的相似程度。
常用的核函数包括线性核函数、多项式核函数、高斯核函数等。
支持向量机是一种非常有力的分类算法。
它利用核技巧将输入数据映射到高维特征空间中，然后在该特征空间中找到一个最优分割超平面，使得样本点离超平面的距离最大化。
通过最大化间隔，支持向量机能够更好地处理非线性分类问题，并具有较好的泛化性能。
支持向量机的核函数可以将样本数据映射到高维特征空间中，以便在非线性问题上进行线性分类。
常用的核函数包括线性核函数、多项式核函数和高斯核函数等。
线性核函数可以实现与传统线性分类算法相同的效果。
多项式核函数可以将数据映射到多项式特征空间中，通过多项式特征的组合实现非线性分类。
高斯核函数可以将数据映射到无穷维的特征空间中，通过高斯核函数的相似度计算实现非线性分类。
核岭回归是一种非线性回归算法。
类似于支持向量机，核岭回归也利用核函数将输入数据映射到高维特征空间中，然后在该特征空间中进行线性回归。
通过最小二乘法求解岭回归问题，核岭回归能够更好地处理非线性回归问题。
1.能够处理非线性问题：核函数能够将数据映射到高维特征空间中，从而实现对非线性问题的线性分类或回归。
2.较好的泛化性能：支持向量机等基于核函数的学习算法通过最大化间隔来进行分类，可以有较好的泛化性能，减少模型的过拟合风险。
3.算法简洁高效：基于核函数的学习算法通常具有简单的模型结构和高效的求解方法，能够处理大规模数据集。
4.不依赖数据分布：基于核函数的学习算法不依赖于数据的分布情况，适用于各种类型的数据。
高斯核函数计算
高斯核函数：深度学习中的经典工具
在深度学习领域中，高斯核函数一直是一个备受关注的经典工具。
它不仅可以有效地解决回归和分类等任务，还可以应用于图像和语音
识别等领域。
那么，高斯核函数是如何计算的呢？本文将介绍高斯核
函数的计算方法及其应用。
首先，高斯核函数是一种基于距离的相似度度量方式。
它可以将
样本空间中的点映射到高维空间中，使得原本线性不可分的数据变成
线性可分的数据。
具体而言，我们可以用以下公式来表示高斯核函数：K(x_i, x_j) = exp(-|| x_i - x_j ||^2 / (2 * sigma^2))
其中，x_i和x_j分别表示样本空间中的两个点，sigma为高斯核
函数的参数，|| x_i - x_j ||^2为欧氏距离的平方。
在实际计算过程中，高斯核函数通常与支持向量机（SVM）算法结
合使用，来进行分类和回归等任务。
在SVM算法中，高斯核函数可以
将原始数据映射到一个高维空间中，并计算多维空间中数据的内积，
从而得出分类结果。
具体而言，高斯核函数可以通过SVM的拉格朗日
乘子来计算。
除此之外，高斯核函数还可以应用于图像和语音识别等领域。
例如，在图像识别中，可以通过高斯核函数来进行图像特征提取，从而
实现图像分类和识别。
在语音识别中，可以通过高斯核函数来进行声
学模型训练，从而实现语音识别的精准度提升。
综上所述，高斯核函数作为深度学习中的经典工具，不仅能够有效地解决回归和分类等问题，还可以应用于图像和语音识别等领域。
因此，如果你想要开展深度学习相关的研究，那么请不要错过这个重要的工具！。
机器学习经典算法(PPT45页)
培训专用
七、K-means
• K-means算法是很典型的基于距离的聚类算法，采 用距离作为相似性的评价指标，即认为两个对象的 距离越近，其相似度就越大。该算法认为簇是由距 离靠近的对象组成的，因此把得到紧凑且独立的簇 作为最终目标。
1)adaboost是一种有很高精度的分类器 2)可以使用各种方法构建子分类器，adaboost算法提
供的是框架 3)当使用简单分类器时，计算出的结果是可以理解的。
而且弱分类器构造极其简单 4)简单，不用做特征筛选 5)不用担心overfitting
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adaboost算法的一些实际可以使用的场景：
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步骤1：发现频繁项集
❖ 频繁项集发现过程： ❖ （1）扫描 ❖ （2）计数 ❖ （3）比较 ❖ （4）产生频繁项集 ❖ （5）连接、剪枝，产生候选项集 ❖ 重复步骤（1）~（5）直到不能发现更大频集
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步骤2：产生关联规则
• 根据前面提到的置信度的定义，关联规则的产生如 下：
• （1）对于每个频繁项集L，产生L的所有非空子集； • （2）对于L的每个非空子集S，如果
• 主要应用在电子邮件过滤和文本分类的研究
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朴素贝叶斯算法原理：
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四、KNN
• K-近邻分类算法（K Nearest Neighbors，简称KNN） 通过计算每个训练数据到待分类元组的距离，取和 待分类元组距离最近的K个训练数据，K个数据中哪 个类别的训练数据占多数，则待分类元组就属于哪 个类别。
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（4）
其中,非负常数C 为惩罚因子，C 值越大表示对错误分类的惩罚越大。 这是一个具有线性约束的二次规划问题，利用拉格朗日乘子法可以 将式(4) 转化为其对偶形式:
(5)
约束条件: (6)
最新.
21 其中ai为原问题中与约束条件式(2) 对应的拉格朗日乘子。 这是一个不等式约束下的二次函数寻优问题，存在高效的 算法求解。可以证明，在此寻优问题的解中有一部分ai不 为0，它们所对应的训练样本完全确定了这个超平面，因 此称其为支持向量(support vector)。
最新.
9
该线性分类函数的VC维即为3
最新.
10
一般而言,VC维越大, 学习能力就越强,但学 习机器也越复杂。
目前还没有通用的关于计算任意函数集的VC 维的理论,只有对一些特殊函数集的VC维可以 准确知道。
最新.
11 结构风险最小化准则
Vapnik和Chervonenkis(1974)提出了SRM。 传统机器学习方法中普遍采用的经验风险最小化原则
最新.
18
支持向量机方法建立在统计学习理论基础之上，专门 针对小样本情况下的机器学习问题。 对于分类问题，
支持向量机方法根据区域中的样本计算该区域的分类 曲面，由该曲面决定该区域中的样本类别。
已知样本x 为m 维向量, 在某个区域内存在n个样本:
(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)
最新.
32 Principal Component Analysis
主成分分析(Principal Component Analysis, 简称PCA)是 一种常用的基于变量协方差矩阵对信息进行处理、压缩和抽 提的有效方法。
Kernel-Based Learning Algorithms
核函数
核函数(2010-12-23 23:08:30)分类：工作篇标签：校园高斯核函数所谓径向基函数(Radial Basis Function 简称 RBF), 就是某种沿径向对称的标量函数。
通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数, 可记作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即当x远离xc时函数取值很小。
高斯核函数 - 常用公式最常用的径向基函数是高斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc为核函数中心,σ为函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作用范围。
核函数简介（1）核函数发展历史早在1964年Aizermann等在势函数方法的研究中就将该技术引入到机器学习领域，但是直到1992年Vapnik等利用该技术成功地将线性SVMs推广到非线性SVMs时其潜力才得以充分挖掘。
而核函数的理论则更为古老，Mercer定理可以追溯到1909年，再生核希尔伯特空间(ReproducingKernel Hilbert Space, RKHS)研究是在20世纪40年代开始的。
（2）核函数方法原理根据模式识别理论，低维空间线性不可分的模式通过非线性映射到高维特征空间则可能实现线性可分，但是如果直接采用这种技术在高维空间进行分类或回归，则存在确定非线性映射函数的形式和参数、特征空间维数等问题，而最大的障碍则是在高维特征空间运算时存在的“维数灾难”。
采用核函数技术可以有效地解决这样问题。
设x,z∈X,X属于R（n）空间,非线性函数Φ实现输入间X到特征空间F的映射,其中F属于R（m）,n<<m。
根据核函数技术有：K(x,z) =<Φ(x),Φ(z) >(1)其中：<, >为内积,K(x,z)为核函数。
从式(1)可以看出，核函数将m维高维空间的内积运算转化为n维低维输入空间的核函数计算，从而巧妙地解决了在高维特征空间中计算的“维数灾难”等问题，从而为在高维特征空间解决复杂的分类或回归问题奠定了理论基础。
机器学习中的核函数
Kernel Functions for Machine Learning Applications机器学习中的核函数1.核函数概述In recent years, Kernel methods have received major attention, particularly due to the increased popularity of the Support Vector Machines. Kernel functions can be used in many applications as they provide a simple bridge from linearity to non-linearity for algorithms which can be expressed in terms of dot products. In this article, we will list a few kernel functions and some of their properties.Many of these functions have been incorporated in , a extension framework for the popular Framework which also includes many other statistics and machine learning tools.2.机器学习中的核函数Kernel Methods（核函数方法）Kernel methods are a class of algorithms for pattern analysis or recognition, whose best known element is the support vector machine (SVM). The general task of pattern analysis is to find and study general types of relations (such as clusters, rankings, principal components, correlations, classifications) in general types of data (such as sequences, text documents, sets of points, vectors, images, graphs, etc) (Wikipedia, 2010a).The main characteristic of Kernel Methods, however, is their distinct approach to this problem. Kernel methods map the data into higher dimensional spaces in the hope that in this higher-dimensional space the data could become more easily separated or better structured. There are also no constraints on the form of this mapping, which could even lead to infinite-dimensional spaces. This mapping function, however, hardly needs to be computed because of a tool called the kernel trick.The Kernel Trick（核函数构造）The kernel trick is a mathematical tool which can be applied to any algorithm which solely depends on the dot product between two vectors. Wherever a dot product is used, it is replaced by a kernel function. When properly applied, those candidate linear algorithms are transformed into a non-linear algorithms (sometimes with little effort or reformulation). Those non-linear algorithms are equivalent to their linear originals operating in the range space of a feature space φ. However, because kernels are used, the φ function does not need to be ever explicitly computed. This is highly desirable, as we noted previously, because this higher-dimensional feature space could even be infinite-dimensional and thus infeasible to compute. There are also no constraints on the nature of the input vectors. Dot products could be defined between any kind of structure, such as trees or strings.Kernel Properties（核函数特性）Kernel functions must be continuous, symmetric, and most preferably should have a positive (semi-) definite Gram matrix. Kernels which are said to satisfy the Mercer's theorem are positivesemi-definite, meaning their kernel matrices have no non-negative Eigen values. The use of a positive definite kernel insures that the optimization problem will be convex and solution will be unique.However, many kernel functions which aren’t strictly positive definite also have been shown to perform very well in practice. An example is the Sigmoid kernel, which, despite its wide use, it is not positive semi-definite for certain values of its parameters. Boughorbel (2005) also experimentally demonstrated that Kernels which are only conditionally positive definite can possibly outperform most classical kernels in some applications.Kernels also can be classified as anisotropic stationary, isotropic stationary, compactly supported, locally stationary, nonstationary or separable nonstationary. Moreover, kernels can also be labeled scale-invariant or scale-dependant, which is an interesting property as scale-invariant kernels drive the training process invariant to a scaling of the data.Choosing the Right Kernel（怎样选择正确的核函数）Choosing the most appropriate kernel highly depends on the problem at hand - and fine tuning its parameters can easily become a tedious and cumbersome task. Automatic kernel selection is possible and is discussed in the works by Tom Howley and Michael Madden.The choice of a Kernel depends on the problem at hand because it depends on what we are trying to model. Apolynomial kernel, for example, allows us to model feature conjunctions up to the order of the polynomial. Radial basis functions allows to pick out circles (or hyperspheres) - in constrast with the Linear kernel, which allows only to pick out lines (or hyperplanes).The motivation behind the choice of a particular kernel can be very intuitive and straightforward depending on what kind of information we are expecting to extract about the data. Please see the final notes on this topic from Introduction to Information Retrieval, by Manning, Raghavan and Schütze for a better explanation on the subject.Kernel Functions（常见的核函数）Below is a list of some kernel functions available from the existing literature. As was the case with previous articles, every LaTeX notation for the formulas below are readily available from their alternate text html tag. I can not guarantee all of them are perfectly correct, thus use them at your own risk. Most of them have links to articles where they have been originally used or proposed.1. Linear KernelThe Linear kernel is the simplest kernel function. It is given by the inner product <x,y> plus an optional constant c. Kernel algorithms using a linear kernel are often equivalent to their non-kernel counterparts, i.e. KPCA with linear kernel is the same as standard PCA.2. Polynomial KernelThe Polynomial kernel is a non-stationary kernel. Polynomial kernels are well suited for problems where all the training data is normalized.Adjustable parameters are the slope alpha, the constant term c and the polynomial degree d.3. Gaussian KernelThe Gaussian kernel is an example of radial basis function kernel.The adjustable parameter sigma plays a major role in the performance of the kernel, and should be carefully tuned to the problem at hand. If overestimated, the exponential will behave almost linearly and the higher-dimensional projection will start to lose its non-linear power. In the other hand, if underestimated, the function will lack regularization and the decision boundary will be highly sensitive to noise in training data.4. Exponential KernelThe exponential kernel is closely related to the Gaussian kernel, with only the square of the norm left out. It is also a radial basis function kernel.5. Laplacian KernelThe Laplace Kernel is completely equivalent to the exponential kernel, except for being less sensitive for changes in the sigma parameter. Being equivalent, it is also a radial basis function kernel.It is important to note that the observations made about the sigma parameter for the Gaussian kernel also apply to the Exponential and Laplacian kernels.6. ANOVA KernelThe ANOVA kernel is also a radial basis function kernel, just as the Gaussian and Laplacian kernels. It is said toperform well in multidimensional regression problems (Hofmann, 2008).7. Hyperbolic Tangent (Sigmoid) KernelThe Hyperbolic Tangent Kernel is also known as the Sigmoid Kernel and as the Multilayer Perceptron (MLP) kernel. The Sigmoid Kernel comes from the Neural Networks field, where the bipolar sigmoid function is often used as anactivation function for artificial neurons.It is interesting to note that a SVM model using a sigmoid kernel function is equivalent to a two-layer, perceptron neural network. This kernel was quite popular for support vector machines due to its origin from neural network theory. Also, despite being only conditionally positive definite, it has been found to perform well in practice.There are two adjustable parameters in the sigmoid kernel, the slope alpha and the intercept constant c. A common value for alpha is 1/N, where N is the data dimension. A more detailed study on sigmoid kernels can be found in theworks by Hsuan-Tien and Chih-Jen.8. Rational Quadratic KernelThe Rational Quadratic kernel is less computationally intensive than the Gaussian kernel andcan be used as an alternative when using the Gaussian becomes too expensive.9. Multiquadric KernelThe Multiquadric kernel can be used in the same situations as the Rational Quadratic kernel. As is the case with the Sigmoid kernel, it is also an example of an non-positive definite kernel.10. Inverse Multiquadric KernelThe Inverse Multi Quadric kernel. As with the Gaussian kernel, it results in a kernel matrix with full rank (Micchelli, 1986) and thus forms a infinite dimension feature space.11. Circular KernelThe circular kernel is used in geostatic applications. It is an example of an isotropic stationary kernel and is positive definite in .12. Spherical KernelThe spherical kernel is similar to the circular kernel, but is positive definite in R3.13. Wave KernelThe Wave kernel is also symmetric positive semi-definite (Huang, 2008).14. Power KernelThe Power kernel is also known as the (unrectified) triangular kernel. It is an example of scale-invariant kernel (Sahbi and Fleuret, 2004) and is also only conditionally positive definite.15. Log KernelThe Log kernel seems to be particularly interesting for images, but is only conditionally positive definite.16. Spline KernelThe Spline kernel is given as a piece-wise cubic polynomial, as derived in the works by Gunn (1998).17. B-Spline (Radial Basis Function) KernelThe B-Spline kernel is defined on the interval [−1, 1]. It is given by the recursive formula:In the work by Bart Hamers it is given by:Alternatively, Bn can be computed using the explicit expression (Fomel, 2000):Where x+ is defined as the truncated power function:18. Bessel KernelThe Bessel kernel is well known in the theory of function spaces of fractional smoothness. It is given by:where J is the Bessel function of first kind. However, in the Kernlab for R documentation, the Bessel kernel is said to be:19. Cauchy KernelThe Cauchy kernel comes from the Cauchy distribution (Basak, 2008). It is a long-tailed kernel and can be used to give long-range influence and sensitivity over the high dimension space.20. Chi-Square KernelThe Chi-Square kernel comes from the Chi-Square distribution.21. Histogram Intersection KernelThe Histogram Intersection Kernel is also known as the Min Kernel and has been proven useful in image classification.22. Generalized Histogram IntersectionThe Generalized Histogram Intersection kernel is built based on the Histogram Intersection Kernel for image classification but applies in a much larger variety of contexts (Boughorbel, 2005). It is given by:23. Generalized T-Student KernelThe Generalized T-Student Kernel has been proven to be a Mercel Kernel, thus having a positive semi-definite Kernel matrix (Boughorbel, 2004). It is given by:24. Bayesian KernelThe Bayesian kernel could be given as:However, it really depends on the problem being modeled. For more information, please see the work by Alashwal, Deris and Othman, in which they used a SVM with Bayesian kernels in the prediction of protein-protein interactions.25. Wavelet KernelThe Wavelet kernel (Zhang et al, 2004) comes from Wavelet theory and is given as:Where a and c are the wavelet dilation and translation coefficients, respectively (the form presented above is a simplification, please see the original paper for details). A translation-invariant version of this kernel can be given as:Where in both h(x) denotes a mother wavelet function. In the paper by Li Zhang, Weida Zhou, and Licheng Jiao, the authors suggests a possible h(x) as:Which they also prove as an admissible kernel function.See also（推荐阅读）Kernel Support Vector Machines (kSVMs)Principal Component Analysis (PCA)3.参考文献On-Line Prediction Wiki Contributors. "Kernel Methods." On-Line Prediction Wiki. /?n=Main.KernelMethods (accessed March 3, 2010). Genton, Marc G. "Classes of Kernels for Machine Learning: A Statistics Perspective." Journal of Machine Learning Research 2 (2001) 299-312.Hofmann, T., B. Schölkopf, and A. J. Smola. "Kernel methods in machine learning." Ann. Statist. Volume 36, Number 3 (2008), 1171-1220.Gunn, S. R. (1998, May). "Support vector machines for classification and regression." Technical report, Faculty of Engineering, Science and Mathematics School of Electronics and Computer Science.Karatzoglou, A., Smola, A., Hornik, K. and Zeileis, A. "Kernlab – an R package for kernel Learning." (2004).Karatzoglou, A., Smola, A., Hornik, K. and Zeileis, A. "Kernlab – an S4 package for kernel methods in R." J. Statistical Software, 11, 9 (2004).Karatzoglou, A., Smola, A., Hornik, K. and Zeileis, A. "R: Kernel Functions." Documentation for package 'kernlab' version 0.9-5. /Rdoc/library/kernlab/html/dots.html (accessed March 3, 2010). Howley, T. and Madden, M.G. "The genetic kernel support vector machine: Description and evaluation". Artificial Intelligence Review. Volume 24, Number 3 (2005), 379-395.Shawkat Ali and Kate A. Smith. "Kernel Width Selection for SVM Classification: A Meta-Learning Approach." International Journal of Data Warehousing & Mining, 1(4), 78-97, October-December 2005.Hsuan-Tien Lin and Chih-Jen Lin. "A study on sigmoid kernels for SVM and the training of non-PSD kernels by SMO-type methods." Technical report, Department of Computer Science, National Taiwan University, 2003.Boughorbel, S., Jean-Philippe Tarel, and Nozha Boujemaa. "Project-Imedia: Object Recognition." INRIA - INRIA Activity Reports - RalyX. http://ralyx.inria.fr/2004/Raweb/imedia/uid84.html (accessed March 3, 2010).Huang, Lingkang. "Variable Selection in Multi-class Support Vector Machine and Applications in Genomic Data Analysis." PhD Thesis, 2008.Manning, Christopher D., Prabhakar Raghavan, and Hinrich Schütze. "Nonlinear SVMs." The Stanford NLP (Natural Language Processing) Group. /IR-book/html/htmledition/nonlinear-svms-1.html(accessed March 3, 2010).Fomel, Sergey. "Inverse B-spline interpolation." Stanford Exploration Project, 2000./public/docs/sep105/sergey2/paper_html/node5.html (accessed March 3, 2010).Basak, Jayanta. "A least square kernel machine with box constraints." International Conference on Pattern Recognition 2008 1 (2008): 1-4.Alashwal, H., Safaai Deris, and Razib M. Othman. "A Bayesian Kernel for the Prediction of Protein - Protein Interactions." International Journal of Computational Intelligence 5, no. 2 (2009): 119-124.Hichem Sahbi and François Fleuret. “Kernel methods and scale invariance using the triangular kernel”. INRIA Research Report, N-5143, March 2004.Sabri Boughorbel, Jean-Philippe Tarel, and Nozha Boujemaa. “Generalized histogram intersection kernel for image recognition”. Proceedings of the 2005 Conference on Image Processing, volume 3, pages 161-164, 2005.Micchelli, Charles. Interpolation of scattered data: Distance matrices and conditionally positive definite functions. Constructive Approximation 2, no. 1 (1986): 11-22.Wikipedia contributors, "Kernel methods," Wikipedia, The Free Encyclopedia, /w/index.php?title=Kernel_methods&oldid=340911970 (ac cessed March 3, 2010).Wikipedia contributors, "Kernel trick," Wikipedia, The Free Encyclopedia, /w/index.php?title=Kernel_trick&oldid=269422477 (access ed March 3, 2010).Weisstein, Eric W. "Positive Semidefinite Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource./PositiveSemidefiniteMatrix.htmlHamers B. "Kernel Models for Large Scale Applications'', Ph.D. , Katholieke Universiteit Leuven, Belgium, 2004.Li Zhang, Weida Zhou, Licheng Jiao. Wavelet Support Vector Machine. IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics, Part B, 2004, 34(1): 34-39.。
核技术应用研究中蒙特卡罗计算问题PPT学习教案
第10页/共45页
➢ 蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般 数值计算方法有很大区别，它能够比较逼真 地描述事物的特点及物理实验过程，解决数 值方法难以解决的问题，因而该方法的应用 领域是十分广泛的。
第2页/共45页
2.1 蒙特卡罗方法的计算原理
➢ 当所求问题的解为某个事件的概率，或者 是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、 数学期望有关的量时，通过随机实验的方法， 得到该事件发生的频率，或者该随机变量若 干个具体观察值的算术平均值，以频率代替 概率，或者算术平均值代替期望值得到问题 的解。
➢ 该项工作与实验工作一起，获得了部级科技 进步二等奖，以及国家级科学进步三等奖。
第38页/共45页
实例三、 I-125体内放射源剂量场分布计算 1. 物理模型
第4页/共45页
2.2 蒙特卡罗方法的特点
④ 蒙特卡罗方法具有同时计算多个方案与多 个未知量的能力。
⑤ 蒙特卡罗方法的计算误差容易确定，它的 程序结构简单、且易于实现。
⑥ 同时，蒙特卡罗方法具有以下的缺点：收 敛速度慢，误差具有概率性，在粒子输运 问题中，计算结果与系统大小有关。
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2.3 蒙特卡罗方法的主要应用范围
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2.2 蒙特卡罗方法的特点
① 蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述具有随机 性质的事物的特点及物理实验过程。它可以 部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验 难以得到的结果。
《核数据处理原理》课件
采用分布式存储架构，将核数据分散存储在多个 节点上，以提高数据可靠性和容错性。
数据备份与恢复
建立完善的数据备份与恢复机制，确保数据安全 可靠。
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《核数据处理原理》 PPT课件
CONTENTS 目录
• 核数据处理概述 • 核数据采集 • 核数据预处理 • 核数据特征提取 • 核数据分类与回归 • 核数据处理性能优化
CHAPTER 01
核数据处理概述
核数据处理的意义
核数据处理是核科学和技术领域 的重要环节，对于核能、核安全 、核医学、核物理等领域具有重
核医学领域
核数据处理在放射性药物研发、医学影像处理等方面有重要应用。
核物理领域
通过对实验数据的处理和分析，深入了解原子核结构和反应机制等物理现象。
CHAPTER 02
核数据采集
核数据采集的原理
核数据采集是指利用各种探测器、加速器等设备，测量和记录核反应过程中释放的各种信息，如能量 、时间、角度等参数。
基于统计的方法
通过假设检验、相关性分析等方法评估每个 特征的重要性。
交互式特征选择
在特定领域知识的基础上，通过用户与系统 交互来选择特征。
特征提取算法
主成分分析（PCA）：通过线 性变换将原始特征转换为新的 特征，新特征按照方差从大到 小排列，保留主要方差成分。
线性判别分析（LDA）：寻找 最佳投影方向，使得同类数据 投影后尽可能接近，不同类数
半导体探测法
利用半导体材料中电子和空穴 的运动规律来进行探测。
量子点探测法
利用量子点材料对特定光子的 吸收和荧光现象来进行探测。
核数据采集的设备
闪烁计数器
利用闪烁物质发光的现象进行探测的设备。
第章 支持向量机和核函数
机器学习本质上就是一种对问题真实模型的逼近，但真实 模型一定是不知道的。那么我们选择的假设与问题真实解之 间究竟有多大差距，我们就没法得知。这个与问题真实解之 间的误差，就叫做风险。我们选择了一个假设后，真实误差 无从得知， 但我们可以用某些可以掌握的量来逼近它。最直 观的想法就是使用分类器在样本数据上的分类的结果与真实 结果（因为样本是已经标注过的数据，是准确的数据）之间 的差值来表示。这个差值叫做经验风险Remp(w)。以前的机 器学习方法都把经验风险最小化作为努力的目标，但后来发 现很多分类函数能够在样本集上轻易达到100%的正确率，在 真实分类时却一塌糊涂（即所谓的推广能力差，或泛化能力 差）。
函数集的vc维：
用这个函数集中的函数所能够打散的最大样本集 的样本数目。也就是说，如果存在h个样本的样本集 能够被函数集打散，而不存在有h＋1个样本的样本集 能被函数集打散，则函数集的VC维就是h。
若对于任意的样本数，总能找到一个样本集能够被这 个函数集打散，则函数集的VC维就是无穷大。
例如：3个样本被线性分类器打散的情况 有2h ＝23＝8种分类形式
图中分类间隔为
SVM基本思想：就是最大化分类间隔 等价于 最小化 。
，因此
因此，求取最优平面问题就转化为优化问题。 因对于所有样本
（1）
满足式（1），且使 最优分类面
最小的分类面就是
在条件式（1）下，求函数 的最小值。
使式(1)等号成立的样本（即H2 和H3 上 的样本）就叫支持向量。
由上节可知 我们的目标函数 ：用另一个完全等价的目标函数来代替，那就是：
以上给出了在已知法向量w’情况下构造划分直
线的方法。这样就把问题归结为寻求法向量w及b。
要让H满足wTx＋b＝0 ，则必须寻找最佳(w、b)
核函数公式
核函数公式
核函数是机器学习中常用的一种工具，用于将低维数据映射到高维特征空间中，以便更好地进行分类或回归等任务。
核函数的本质是一种相似度度量，它通过计算两个样本在特征空间中的距离来确定它们的相似程度。
本文将介绍常见的几种核函数及其特点。
1. 线性核函数
线性核函数是最简单的核函数之一，它的公式为K(x,y)=x*y。
它的特点是将数据映射到同一维度的特征空间中，效果较差，适用于数据本身线性可分的情况。
2. 多项式核函数
多项式核函数是将数据映射到高维特征空间的一种方式，它的公式为K(x,y)=(x*y+1)^d，其中d为多项式的次数。
它的特点是可以处理一些非线性可分的情况，但需要选择合适的多项式次数，否则会出现过拟合或欠拟合的问题。
3. 径向基核函数
径向基核函数是常用的一种核函数，它的公式为K(x,y)=exp(-||x-y||^2/2σ^2)，其中σ为控制函数衰减速度的参数。
它的特点是可以将数据映射到无穷维的特征空间中，适用于处理复杂的非线性可分问题。
但需要注意的是，径向基核函数对参数的选择比较敏感，不当的参数选择可能会导致分类效果不佳。
4. Sigmoid核函数
Sigmoid核函数是一种常用的核函数，它的公式为K(x,y)=tanh(αx*y+β)，其中α和β为参数。
它的特点是可以处理一些非线性可分的问题，但需要选择合适的参数，否则会出现过拟合或欠拟合的问题。
此外，Sigmoid核函数在实践中并不常用。
以上是常见的几种核函数，它们各自有不同的特点和适用范围。
在使用核函数时，需要根据具体问题选择合适的核函数及其参数，以获得最佳的分类或回归效果。
核函数方法_下_
样本矢量的维数 。特征空间 的维数很高 , 甚至
可能是无穷维的 。例如 , 若 x 代表包含 256 个象
素的图像 ,即输入空间是 256 维 ,核函数采用 5 阶
多项式时特征空间 的维数高达 1010。但是 KP2 CA 并不是在整个特征空间 中寻求主分量 , 从 (69) 式可见 , 它只是在由 l 个观测数据所张的子 空间中寻求主分量 , 因而计算量只取决于样本集
2 主分量分析法
2. 1 经典的主分量分析法 [5 ]
主分量分析 ( PCA) 是一种经典的统计方法 ,
它对多元统计观测数据的协方差结构进行分析 ,
以期求出能简约地表达这些数据依赖关系的主分
量 。具体地说 , 通过线性变换将原始 n 维观测矢
量化为个数相同的一组新特征 , 即每一个新特征
都是原始特征的线性组合 , 如果这些新特征互不
对应的 KPCA 归结为求解下列特征方程 :
Kα =λα
( 77)
K 可由 K 计算 :
其中 阵。
K = K - A l K - KA l + A l KA l
( 78)
A l 是所有的元素都等于 1/ l 的 l ×l 矩
2. 3 测试与应用
文献[ 6 ]报道了对 KPCA 所进行的测试 。在对
因此它的特征值方程
Cv =λv
( 51)
的解都是非负的实数 , 将它们按从大到小的顺序
排列 :
λ1 ≥λ2 ≥…≥λn ≥0
( 52)
[ 收稿日期 ]2001212219 [ 作者简介 ]罗公亮 (1941 - ) ,男 ,贵州贵阳人 ,教授级高级工程师 ,博士 ,主要从事智能控制与工业自动化的研究及开发工作 。
机器学习：SVM（核函数、高斯核函数RBF）
机器学习：SVM（核函数、⾼斯核函数RBF）⼀、核函数（Kernel Function） 1）格式K(x, y)：表⽰样本 x 和 y，添加多项式特征得到新的样本 x'、y'，K(x, y) 就是返回新的样本经过计算得到的值；在 SVM 类型的算法 SVC() 中，K(x, y) 返回点乘：x' . y'得到的值； 2）多项式核函数业务问题：怎么分类⾮线性可分的样本的分类？内部实现：1. 对传⼊的样本数据点添加多项式项；2. 新的样本数据点进⾏点乘，返回点乘结果；多项式特征的基本原理：依靠升维使得原本线性不可分的数据线性可分；升维的意义：使得原本线性不可分的数据线性可分；例：1. ⼀维特征的样本，两种类型，分布如图，线性不可分：2.3. 为样本添加⼀个特征：x2，使得样本在⼆维平⾯内分布，此时样本在 x 轴升的分布位置不变；如图，可以线性可分：4. 3）优点 / 特点不需要每次都具体计算出原始样本点映射的新的⽆穷维度的样本点，直接使⽤映射后的新的样本点的点乘计算公式即可；减少计算量减少存储空间1. ⼀般将原始样本变形，通常是将低维的样本数据变为⾼维数据，存储⾼维数据花费较多的存储空间；使⽤核函数，不⽤考虑原来样本改变后的样⼦，也不⽤存储变化后的结果，只需要直接使⽤变化的结果进⾏运算并返回运算结果即可；核函数的⽅法和思路不是 SVM 算法特有，只要可以减少计算量和存储空间，都可以设计核函数⽅便运算；对于⽐较传统的常⽤的机器学习算法，核函数这种技巧更多的在 SVM 算法中使⽤； 4）SVM 中的核函数svm 类中的 SVC() 算法中包含两种核函数：1. SVC(kernel = 'ploy')：表⽰算法使⽤多项式核函数；2. SVC(kernel = 'rbf')：表⽰算法使⽤⾼斯核函数；SVM 算法的本质就是求解⽬标函数的最优化问题；求解最优化问题时，将数学模型变形： 5）多项式核函数格式：from sklearn.svm import SVCsvc = SVC(kernel = 'ploy')思路：设计⼀个函数（ K(x i, x j) ），传⼊原始样本（x(i)、 x(j)），返回添加了多项式特征后的新样本的计算结果（x'(i) . x'(j)）；内部过程：先对 x i、x j添加多项式，得到：x'(i)、 x'(j)，再进⾏运算：x'(i) . x'(j)；1. x(i)添加多项式特征后：x'(i)；2. x(j)添加多项式特征后：x'(j)；3. x(i) . x(j)转化为：x'(i) . x'(j)；其实不使⽤核函数也能达到同样的⽬的，这⾥核函数相当于⼀个技巧，更⽅便运算；⼆、⾼斯核函数（RBF）业务问题：怎么分类⾮线性可分的样本的分类？ 1）思想业务的⽬的是样本分类，采⽤的⽅法：按⼀定规律统⼀改变样本的特征数据得到新的样本，新的样本按新的特征数据能更好的分类，由于新的样本的特征数据与原始样本的特征数据呈⼀定规律的对应关系，因此根据新的样本的分布及分类情况，得出原始样本的分类情况。
基于gauss核函数的快速构造最小超球算法
基于gauss核函数的快速构造最小超球算法基于高斯核函数的快速构造最小超球算法是通过计算各点附近三个层次相似度，来得到一个最小半径的超球簇。
它试图在给定一定数量的超球的情况下，使其半径最小化。
首先，建立数据集，准备计算邻域相似度。
设置好预设的参数，如高斯带宽等。
对于每一对数据点，计算它们在每个中心点的相似度，这可以通过计算欧氏距离来实现，如：$d_{ij}=\sqrt{(\mathbf{x_i}-\mathbf{x_j})^T(\mathbf{x_i}-\mathbf{x_j})}$其中，$\mathbf{x_i}$和$\mathbf{x_j}$分别为第i个和第j个数据点，dij表示两个数据点之间的欧氏距离。
接着，根据高斯核函数可以计算出相似度：$Sim(i,j)=\exp\biggr(-\frac{1}{2b^2}d_{ij}^2\biggr)$其中，b为高斯核函数的带宽参数。
接下来，计算每个数据点附近三层次的相似度，第一层为1，第二层为2，第三层为4。
例如，第一层次相似度：$Sim_1=\sum_{j=1,j\neq i}^{n}Sim(i,j)$这样，对于每个数据点，都可以得到它附近3层次的相似度s1, s2, s4。
最后，根据已有的三层次相似度，可以计算出一个最小半径的超球簇。
这个算法是从最小的超球簇开始，然后在不断地扩大半径，直到超球簇的相似度符合要求为止。
实际应用中，基于高斯核函数的快速构造最小超球算法可以用于各种类型的聚类任务。
决定超球半径的准则可以自定义，它能有效地将类内点聚类在同一个超球中，而将不属于同一类的点聚类到不同的超球中。
因此，这种算法可以有效地快速地构建出更好的聚类结果。
十、核方法
m = min(d , n − 1)
10.1 引言
核函数的作用
将非线性问题转化为线性问题 映射的表示：不需要显式表达式 计算复杂性：特征空间中的计算
10.2 核函数
10.2 核函数
核函数：
x φ (x) = (φ1 (x), , φ j (x),)
j
T
K (x, z ) = φ (x) ∗ φ (z ) = ∑ φ j (x)φ j (z )
~ J F (w ) 只与投影方向有关，与 w 大小无关。
如果 w是一个最优解，那么 kw 也是最优 解， k 是任何不为零的常数。
~ T~ w Sb w (kw ) Sb (kw ) ~ J F (w ) = = T ~ T ~ (kw ) S w + tI (kw ) w S w + tI w
10.1 引言
非线性SVM：
目标函数：
n 1 n max ∑ α i − ∑ y i y j α iα j (φ ( x i ) ∗ φ ( x j )) α 2 i , j =1 i =1
s.t.
∑α y
判别函数：
i =1 i
0 ≤ αi ≤ C,
n i
i = 1, , n
核函数的构造 如果K 1 ( x, z )，K 2 ( x, z )是核函数，
则下列K ( x, z )也是核函数。 (1) K ( x, z ) = K 1 ( x, z ) + K 2 ( x, z ) (2) K ( x, z ) = aK 1 ( x, z ), ∀a > 0 (3) K ( x, z ) = K 1 ( x, z ) + a, ∀a > 0 (4) K ( x, z ) = f ( x) f (z ), ∀f : X R (5) K ( x, z ) = xT Az, A是半正定矩阵
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其中，xi 是训练元组，xi∈Rm，yi是类标号，yi∈{1,1}。
若存在超平面( hyperplane):
ω·x + b = 0
(1)
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19 其中·表示向量的点积，如图1 所示，超平面能将这n 个样 本分为两类,那么存在最优超平面不仅能将两类样本准确 分开，而且能使两类样本到超平面的距离最大。式(1) 中 的ω和b 乘以系数后仍能满足方程，进行归一化处理之后， 对于所有样本xi ，式| ω·xi + b| 的最小值为1 , 则样本与 此最优超平面的最小距离为|ω·xi + b |/‖ω‖= 1/‖ω‖,那 么最优超平面应满足条件: yi（ω·xi + b）≥1，i=1，…，n. (2)
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核方法分为核函数设计和算法设计两个部分,具体情况如图1 所示。核方法的实施步骤,具体描述为: ①收集和整理样本,并 进行标准化; ②选择或构造核函数; ③ 用核函数将样本变换成 为核矩阵; ④在特征空间对核矩阵实施各种线性算法;⑤得到 输入空间中的非线性模型。
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核函数
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VC维
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Vanik和Chervonenkis(1968)提出了VC维的概念。 VC维：对于一个指示函数（即只有0和1两种取值的函
数）集，如果存在h个样本能够被函数集里的函数按照 所有可能的2h种形式分开，则称函数集能够把h个样本 打散，函数集的VC维就是能够打散的最大样本数目。 VC维是描述函数集或学习机器的复杂性或者说是学习 能力的一个重要指标,在此概念基础上发展出了一系列 关于统计学习的一致性、收敛速度、泛化性能等的重 要结论。
典型的例子就是SVM（可支持向量机）、 KFD（基于核的Fisher判别分析）。
最新.
17 SVM（Support vector machines)
SVM是基于SLT的一种机器学习方法。简单的 说，就是将数据单元表示在多维空间中，然 后对这个空间做划分的算法。
SVM是建立在统计学习理论的VC维理论和结 构风险最小原理基础上的，根据有限的样本 信息在模型的复杂性之间寻求最佳折衷，以 期获得最好的推广（泛化）能力。
在样本数目有限时是不合理的,因此，需要同时最小 化经验风险和置信范围。 统计学习理论提出了一种新的策略,即把函数集构造 为一个函数子集序列,使各个子集按照VC维的大小排 列;在每个子集中寻找最小经验风险,在子集间折衷考 虑经验风险和置信范围,取得实际风险的最小。这种 思想称作结构风险最小化准则(Structural Risk Minimization Principle)。
学习机中有函数集{f(x,w)}，可估计输入与输出之间依赖关系， 其中w为广义参数。
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风险最小化－机器学习问题表示
已知变量y与输入x之间存在一定的未知依赖关系，即联合概率分布F(x,y) 机器学习就是根据独立同分布的n个观测样本： (x1, y1), (x2, y2), ···, (xn, yn)
统计学习理论为研究有限样本情况下的模式 识别、函数拟合和概率密度估计等三种类型 的机器学习问题提供了理论框架，同时也为 模式识别发展了一种新的分类方法——支持 向量机。
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6 机器学习
机器学习是现代智能技术中重要的一个方面，研究从观测样本出 发去分析对象，去预测未来。
机器学习的基本模型：
输出y与x之间存在一种固定的、但形式未知的联合概率分布函数 F(y,x)。
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支持向量机方法建立在统计学习理论基础之上，专门 针对小样本情况下的机器学习问题。 对于分类问题，
支持向量机方法根据区域中的样本计算该区域的分类 曲面，由该曲面决定该区域中的样本类别。
已知样本x 为m 维向量, 在某个区域内存在n个样本:
(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)
最新.
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理论基础 监督学习:SVM、KFD 无监督学习：KPCA 模型选择
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理论基础
机器学习 VC维 结构风险最小化原则
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5 SLT(Statistical Learning Theory)
上世纪90年代中才成熟的统计学习理论，是 在基于经验风险的有关研究基础上发展起来 的，专门针对小样本的统计理论。
主要的核函数有三类： 多项式核函数
Байду номын сангаас径向基函数
S形函数
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有监督学习
(supervised learning)
监督学习，就是人们常说的分类，通过已有 的训练样本（即已知数据以及其对应的输出） 去训练得到一个最优模型（这个模型属于某 个函数的集合，再利用这个模型将所有的输 入映射为相应的输出，对输出进行简单的判 断从而实现分类的目的，也就具有了对未知 数据进行分类的能力。
Kernel-Based Learning Algorithms
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引言
近几年，出现了一些基于核函数的机器学习 方法，例如：SVM（可支持向量机）、KFD （基于核的Fisher判别分析）、KPCA（核主 成分分析）等。这些方法在分类问题、回归 问题以及无监督学习上都具有现实意义。这 些核函数方法已经成功应用到模式识别的各 个领域，比如目标识别、文本分类、时间序 列预测等等
最新.
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该线性分类函数的VC维即为3
最新.
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一般而言,VC维越大, 学习能力就越强,但学 习机器也越复杂。
目前还没有通用的关于计算任意函数集的VC 维的理论,只有对一些特殊函数集的VC维可以 准确知道。
最新.
11 结构风险最小化准则
Vapnik和Chervonenkis(1974)提出了SRM。 传统机器学习方法中普遍采用的经验风险最小化原则
最新.
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核函数
在处理线性分类问题时，数据以点积的形式( xi ·xj ) 出现。 而在处理非线性分类问题时，需要采用非线性映射把输入 空间映射到高维特征空间，记为： 当在特征空间H 中构造最优超平面时，训练算法仅使用空 间中的点积，即
存在一种核函数K,使得:
核函数将m维高维空间的内积运算转化为n维低维输入空 间的核函数计算，从而巧妙地解决了在高维特征空间中计 算的“维数灾难”等问题。
在一组函数{f(x,w)}中求一个最优函数f(x,w0)，使预测的期望风险R(w)最 小化。
R(w) L( y, f (x, w))dF(x, y)
L(y, {f(x,w)})为损失函数，由于对y进行预测而造成的损失；w为函数的 广义参数，故{f(x,w)}可表示任何函数集；F(x,y) 为联合分布函数。