信号与系统习题答案(4-5)

5.20、有一因果稳定的LTI 系统S ，具有下面性质：

[][]4455n n

S u n n u n ⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1.求该系统的频率响应()j H

e ω。 2.求该系统的差分方程。 解：1. []41[]()4515

n FT j j x n u n X e e ωω-⎛⎫=→= ⎪⎝⎭- []24()(4/5)[]()45(1)5n

j j FT j j dX e e y n n u n Y e j d e ωωωωω--⎛⎫=→== ⎪⎝⎭- ()(4/5)()4()15

j j j j j Y e e H e X e e ωωωωω--∴==- 2. ()()() j j j Y e H e X e ωω

ω= 4()(1)()(4/5)5

j j j j Y e e X e e ωωωω--∴-= 对上式两边进行傅立叶反变换，得 44[][1][1]55

y n y n x n --=-

5.48、已知一离散时间LTI 的因果系统，其输入为x[n]，输出为y[n]。该系统由下面一对差分方程所表征：

112[][1][][1][]423

y n y n w n w n x n +-++-= 55[][1]2[]2[1][]43

y n y n w n w n x n --+--=- 其中][n w 是一个中间信号。

1. 求该系统的频率响应和单位脉冲响应；

2. 对该系统找出单一的关联x[n]和y[n]的差分方程。

解：1.分别求出两个差分方程的傅立叶变换

()112()()()()423

j j j j j Y e e Y e W j e W e X j ωωωωωωω--+++=

()55()()2()2()43

j j j j j Y e e Y e W j e W e X j ωωωωωωω--++-=- 整理消去()W j ω，得

311(1)()(3)()482

j j j j e e Y e e X j ωωωωω---+=- 因此

13()412()1111()(1)(1)(1)(1)2424

j j j j j j j j e Y e H e X e e e e e ωω

ωωωωωω---------===----- 对上式求逆变换得 11[]4[]24n n h n u n ⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣

⎦ 2.由1小题可知

311(1)()(3)()482

j j j j e e Y e e X j ωωωωω---+=- 对上式两端取逆变换得

311[][1][2]3[][1]482

y n y n y n x n x n --+-=--

4.25、设()X j ω为图7-1信号()x t 的傅里叶变换：

1.求()X j ω

2.求()0X j

3.求()X j d ωω∞-∞⎰

4.计算()2X j d ωω∞

-∞⎰ 5.画出(){}Re X j ω的反变换 图7-1 解：1.令1()(1)x t x t =+，1()x t 是实偶数，所以()1X j ω

也为实偶数。考虑移位特

230t 1()e x t 1-1-2-3123/21/2性，则

()()1j X j X j e ωωω-= 得()()10X j X j ωωω=-≥ , 或()()10X j X j ωπωω=-< ,

2.当0ω=时，有

()0()7X x t dt +∞

-∞==⎰

3. ()1()2j t x t X j e d ωωωπ+∞

-∞=⎰，将0t =代入，得

()1(0)2x X j d ωωπ+∞

-∞=⎰

所以()2(0)4X j d x ωωππ+∞

-∞==⎰

4.利用帕斯瓦尔定理

()()22

7623X j d x t dt ωωππ∞

∞-∞-∞==⎰⎰

5.根据1小题可知()()1j X j X j e ω

ωω-=

(){}()()()1111

1

cos 22j j e X j X j e X j e X j ωωωωωωω-ℜ==+

因此

(){}()()111

1

1122e x t x t x t ℜ=++-

如下图下所示

6.21（a ）

解：()()()()2Y j X j H j j X j ωωωωω==-

因此有

()2()/2jt y t dx t dt je =-=-